(同济大学)高等数学课件D12_4一阶线性

将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．
a1 al a b b1 bm a1 al b a b1 bm
a1 al a b1 bmb c1 cn a1 al b b1 bma c1 cn
备注 1. 相邻对换是对换的特殊情形.
2. 一般的对换可以通过一系列的相邻对换来实现.
3. 如果连续施行两次相同的对换，那么排列就还原了.
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 0 a44
0 0 0 a14
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0 (1)t(4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
b1 b2
由消元法，得
(a a a a )x b a a b
11 22
12 21 1
1 22
12 2
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
例1
求解二元线性方程组
3 x1 2 2 x1
x2 x2
12 1
3 2
解 因为 D
3 (4) 7 0
21
12 2
D1 1
12 (2) 14 1

注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
(1) 2 a1na2,n1 L an1
an1
(3) 上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
aa
11
12
0 D
a22

a 1n
a
2n

a a11 22 ann
0 0a nn
(4) 下三角形行列式 （主对角线上侧元素都为0）
a 0 11
D a21 a22
0 D2 0
0 a23 a32 0
0 0
(1)t (4321) a14a23a33a41 a14a23a33a41
a41 0 0 0
其中 t(4321) 0 1 2 3 3 4 6. 2
a11 a12 a13 a14
0 D3 0
a22 0
a23 a33
a24 a34
0 D3 0
a22 a23 a24 0 a33 a34
0 0 0 a44
a11 0 0 0
D4

a21 a32
a22 a32
0 a33
0 0
a41 a42 a43 a44
解：
a11 0 0 0
0 D1 0
0
a22 0 0 a33
0 0 a11a22a33a44
0 0 a44
0 0 0 a14
p1 p2 L pn

2x
y1 x , y2 e , y3 e , 求此方程满足初始条件
y2 y1 与 y3 y1 是对应齐次方程的解, y2 y1 e x x 常数 2x y3 y1 e x
故原方程通解为
x 2x
y (0) 1, y(0) 3 的特解 .
解: 且
因而线性无关,
r1 r2 r3 r4 0, r5 1 原方程通解: y C1 C2 x C3 x 2 C4 x 3 C5e x
(不难看出, 原方程有特解 1, x, x 2 , x 3 , e x )
d4 w 例5. 解方程 4w 0 ( 0 ). 4 dx 解: 特征方程: (r 2 2 ) 2 2 2 r 2 0
代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x 比较系数, 得
因此特解为 y* x ( 1 x 1) e 2 x . 2
所求通解为
1 ( 2
x 2 x ) e2 x .
例3. 求解定解问题 y 3 y 2 y 1 解: 本题 0 , 特征方程为
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]ex
若是k重共轭 复根 i
基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程
转化
求特征方程(代数方程)之根
例1. 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解: 特征方程 r 2 2 r 3 0, 特征根: r1 1 , r2 3 , 因此原方程的通解为
y (0) y (0) y (0) 0
其根为
故对应齐次方程通解为 Y C1 C2 e x C3 e 2 x 设非齐次方程特解为 原方程通解为

一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚 CHENLI 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3
第一节 目录 上页 下页 返回 结束
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
恩格斯
CHENLI
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
1
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
CHENLI
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.

x1 c 4
x x
2 3
c c
3
x 4 3
07.07.2020
5
消元法的三类变换： （1）对调二个方程的次序； （2）以非零的数 k 乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 k 倍．
由于三类变换都是可逆的， 因此变换前的方程组与变换后是同解的．
07.07.2020
6
定义1：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:
(2 )E (i(k ) 1 ) E (i(1 ))E ,(i(k )T ) E (i(k )) k
( 3 ) E ( i ,j ( k ) 1 ) E ( i ,j ( k )E ) ( i ,j ( , k ) T ) E ( j , i ( k ))
07.07.2020
21
定理1： 设 A 为m×n 矩阵，则 (1) A r i rj E(i,j)A A c i cj A(E i,j)T
1 2 3 0 0 1 3 2 1
0 3
1 4
2 5
0 1
1 0
0 0
2 5
1 4
0 3
07.07.2020
26
A 1 (A ,E ) (E ,A 1 ) A1P1P2 Ps
P 1 P 2 P s ( A ,E ) ( E ,A 1 )
即 A ,E 初 等 行 变 换 E ， A 1
(1) E r i rj E(i,j)
(2) E r ik E(i(k)) (3)E r i kj r E (i,j(k))
07.07.2020
16
1
1
0
1
第i 行
1
E(i, j)
1
1
0
1

同济大学高等数学课件
目录
• 函数与极限 • 导数与微分 • 不定积分与定积分 • 多元函数微积分 • 常微分方程
01
函数与极限
函数的概念与性质
函数定义
01
函数是数学上的一个概念，它定义了一个输入值对应一个输出
值的规则。
函数的性质
02
函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性等，这些性质对于理
解和应用函数都非常重要。
03
全微分的概念与计 算
理解全微分的概念，掌握全微分 的计算方法，理解全微分在近似 计算中的应用。
二重积分
1 2
总结词
理解二重积分的概念及性质，掌握计算二重积分 的方法。
二重积分的定义与性质
理解二重积分的定义，掌握二重积分的计算方法 ，理解二重积分在面积和体积计算中的应用。
3
二重积分的几何意义与物理应用
分部积分法
通过将两个函数的乘积进行积分，将问题转化为求两个函数的原函 数的问题。
04
多元函数微积分
多元函数的极限与连续性
总结词
理解多元函数的极限与连续性的 概念和性质，掌握判断多元函数 极限与连续性的方法。
多元函数的极限
理解极限的定义，掌握计算多元 函数极限的方法，包括累次极限 和同时极限的概念及计算方法。
导数的计算
基本初等函数的导数
对于一些常见的初等函数，如幂函数、指数函数、三角函数等， 可以直接查表得到它们的导数。
链式法则
如果一个复合函数由两个或多个函数组成，那么它的导数可以通 过链式法则进行计算。
参数式函数的导数
对于参数式函数，可以通过对参数求导来得到函数的导数。
微分的概念与性质
微分的定义
微分是函数在某一点的变化率的近似值，表示函数在 该点附近的小增量。

恩格斯
CHENLI
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了,而它们也就立刻产生.
1
笛卡儿 目录 上页 下页 返回 结束
主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
CHENLI
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚 CHENLI 由薄到厚 , 由厚到薄 .
3
第一节 目录 上页 下页 返回 结束
他在解析数论自守函数论高维数值积分等广泛的数学领域中都作出了卓几何学典型群他对青年学生的成长非常关心他提出治学之道是即基础要宽专业要专要使自己的专业知识漫到其它领域
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.

P(y) 1
xe
1 y
e
2y Q(y) 1
1 y
dy ln C
y
x
所求通解为 y e y C (C 0)
第12页/共32页
6.2.5 伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx 当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
第13页/共32页
两端除以yn，得 yn dy P( x) y1n Q( x), dx
令z y1n , 则 dz (1 n) yn dy ，
dx
dx
代入上式 dz (1 n)P( x)z (1 n)Q( x), dx
求出通解后，将 z y1n 代入即得
y1n z
e (1n)P( x)dx (
Q(
x
)(1
n)e
(1 n )
P
(
页/共32页
例7
求
dy dx
4 x
y
x2
y 的通解.
解 两端除以 y, 得
1 y
dy dx
4 x
y x2,
令 z
y,
得
2
dz dx
4 x
z
x2,
解得
z
x2
x 2
C
,
故所求通解为
y
x
4
x 2
故原方程的通解为
x
1 y2
(ln
|
y
|
C
)
其中C 为任意常数.
第11页/共32页

二元线性方程组
aa1211
x1 x1

a12 x2 a22 x2

b1 b2
求解公式为

x1


x2

b1a22 a11a22 a11b2 a11a22
a12b2 a12a21 b1a21 a12a21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
规律：
1. 三阶行列式共有6项，即3!项．
2. 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
3. 每一项可以写成 a1p1a2 p（2 a3正p3负号除外），其中
是1、2、3的某个排列.
p1 p2 p3
4. 当 p1 p2是p3偶排列时，对应的项取正号； 当 p1 p是2 p奇3 排列时，对应的项取负号.
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
例2 计算行列式
1 2 -4 D -2 2 1
-3 4 -2
解 按对角线法则，有
D 1 2 (2) 2 1 (3) (4) (2) 4 11 4 2 (2) (2) (4) 2 (3)
p1 p2 p3
其中 表示对1、2、3的所有排列求和. p1 p2 p3
二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形.
二、n 阶行列式的定义
a11 a12 L a1n
D a21 a22 L MM
a2n
M (1) a a L a p1 p2L pn
t ( p1 p2L pn )