高二上学期期末数学试卷真题

镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。

又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。

高二上学期期末数学试卷（理科A卷）一、选择题1. i是虚数单位，复数=（）A . 1﹣iB . ﹣1+iC . + iD . ﹣+ i2. 变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 53. 设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. 函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（）A . （﹣∞，0）B . （0，+∞）C . （﹣∞，﹣2）D . （2，+∞）5. 如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+ x+1上，则f（x）=（）A .B .C .D .6. 二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A . 3或B .C . 3D . 3或7. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A . 10+4 +4B . 10+2 +4C . 14+2 +4D . 14+4 +48. 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（）A . 150B . 180C . 200D . 2809. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程 =0.72x+58.4．零件数x（个）1020304050加工时间y71767989表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（）A . 85B . 86C . 87D . 8810. （x+ ）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（）A . 2520B . 1440C . ﹣1440D . ﹣252011. 圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（）A .B .C .D .12. 下列四个命题中，正确的有（）①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．A . 0 个B . 1 个C . 2 个D . 3个二、填空题13. 已知向量 =（2，1）， =（x，﹣1），且﹣与共线，则x的值为________14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=________15. 已知函数f（x）= +2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是________．16. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为________．三、解答题17. 如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1 ．（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．18. 已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．19. 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．20. 国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．甲乙丙丁物理成绩（x）75m8085化学成绩（y）80n8595综合素质（x+y）155160165180（1）请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．21. 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．22. 已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．（1）若函数f（x）的值域为[﹣4，4]，求实数m的值；（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且[2，4]⊆M，求实数m的取值范围．。

高二上学期数学期末考试试卷一、解答题1. 直线的倾斜角的大小为________．2. 设直线，，．（1）若直线，，交于同一点，求m的值；（2）设直线过点，若被直线，截得的线段恰好被点M平分，求直线的方程．3. 如图，在四面体中，已知⊥平面，，，为的中点．（1）求证：；（2）若为的中点，点在直线上，且，求证：直线//平面．4. 已知，命题{ |方程表示焦点在y轴上的椭圆}，命题{ |方程表示双曲线}，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数的取值范围．5. 如图，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，．（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.6. 已知圆C的圆心为，过定点，且与轴交于点B，D．（1）求证：弦长BD为定值；（2）设，t为整数，若点C到直线的距离为，求圆C的方程．7. 已知函数（a为实数）.（1）若函数在处的切线与直线平行，求实数a的值；（2）若，求函数在区间上的值域；（3）若函数在区间上是增函数，求a的取值范围．8. 设动点是圆上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，若点在线段上，且满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）设直线与交于，两点，点坐标为，若直线，的斜率之和为定值3，求证：直线必经过定点，并求出该定点的坐标．二、填空题9. 命题“对任意的”的否定是________．10. 设，，且//，则实数________．11. 如图，已知正方体的棱长为a，则异面直线与所成的角为________．12. 以为准线的抛物线的标准方程是________．13. 已知命题: 多面体为正三棱锥，命题:多面体为正四面体，则命题是命题的________条件．（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”之一）14. 若一个正六棱柱的底面边长为，侧面对角线的长为，则它的体积为________．15. 函数的单调递减区间为________．16. 若双曲线的焦距为8，点在其渐近线上，则C的方程为________．17. 如果一个圆锥的侧面积与其底面积之比是5:3，那么该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为________．18. 已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值是________．19. 椭圆具有如下的光学性质：从一个焦点发出的光线经过椭圆内壁反射后恰好穿过另一个焦点．现从椭圆的左焦点发出的一条光线，经过椭圆内壁两次反射后，回到点，则光线所经过的总路程为________．20. 已知是三个互不重合的平面，是一条直线，给出下列四个命题：① 若，则；② 若，则；③ 若，则；④ 若，，，，则.其中所有正确命题的序号是________．21. 设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为________．22. 在平面直角坐标系中，已知是函数图象上的动点，该图象在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的横坐标为，则的最大值是________．。

一、单选题1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为﹣1的直线方程是（ ） A ．x ﹣y +1＝0 B ．x ﹣y ﹣1＝0 C ．x +y ﹣1＝0 D ．x +y +1＝0【答案】D【分析】先求出直线的斜率，再利用在y 轴上的截距是﹣1，用斜截式写出直线方程． 【详解】∵直线倾斜角是135°， ∴直线的斜率等于﹣1， ∵在y 轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y ＝﹣1×x ﹣1， 即 y ＝﹣x ﹣1， 故选：D ．2．已知等差数列{an }满足a 2﹣a 5+a 8＝4，则数列{an }的前9项和S 9＝（ ） A ．9 B ．18 C ．36 D ．72【答案】C【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a 2﹣a 5+a 8＝a 5＝4，又由，计算可得19959()92a a S a +==答案．【详解】根据题意，等差数列{an }中，a 2+a 8＝2a 5，则a 2﹣a 5+a 8＝a 5＝4， 数列{an }的前9项和， 19959()9362a a S a +===故选：C ．3．已知双曲线上的点到的距离为15，则点到点的距离为（ ）221169x y -=P (5,0)P (5,0)-A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23【答案】D【分析】根据双曲线的定义知，，即可求解.12||||||28PF PF a -==【详解】由题意，双曲线，可得焦点坐标，221169x y -=12(5,0),(5,0)F F -根据双曲线的定义知，， 12||||||28PF PF a -==而，所以或．215PF =17PF =123PF =【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及其应用，其中解答中熟记双曲线的定义，列出方程是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 4．若抛物线的焦点坐标为，则的值为2y ax =(0,2)a A ．B ．C ．8D ．41814【答案】A【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的焦点坐标，可得的值.a 【详解】抛物线的标准方程为， 21x y a=因为抛物线的焦点坐标为， 2y ax =(0,2)所以，所以，124a=18a =故选A.【点睛】该题考查的是有关利用抛物线的焦点坐标求抛物线的方程的问题，涉及到的知识点有抛物线的简单几何性质，属于简单题目.5．在直三棱柱A 1B 1C 1﹣ABC 中，∠BCA ＝90°,D 1，F 1分别是A 1B 1，B 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则AD 1与BF 1所成角的余弦值是（ ） AB ．CD12【答案】A【分析】以点C 为坐标原点，分别以为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标1,,CB CA CC系，根据已知条件求出相应点的坐标，进而求出的坐标，11,AD BF再求出直线AD 1和直线BF 1所成角的余弦值．【详解】解：以点C 为坐标原点，分别以为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 1,,CB CA CC建立空间直角坐标系，如图所示，设BC ＝CA ＝CC 1＝2， 则A （0，2，0），D 1（1，1，2），B （2，0，0），F 1（1，0，2），∴，11(1,1,2),(1,0,2)AD BF =-=-∴直线AD 1和直线BF1所成角的余弦值为 1111AD BF AD BF ⋅==6．已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则22680x y x y +--=()3,5四边形ABCD 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD 的面积.【详解】解：圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1． ()3,4()3,5所以点在圆内，最长弦为圆的直径()3,5由垂径定理得：最短弦BD 和最长弦（即圆的直径）AC 垂直，故最短弦的长为，最长弦即直径，即， =10AC =所以四边形的面积为ABCD 111022AC BD ⋅=⨯⨯=故选：B.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ） A ．192 里 B ．96 里C ．48 里D ．24 里【答案】B【分析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得. 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，12{}n a 由题意和等比数列的求和公式可得，解得， 61112378112a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎦1192a =第此人第二天走里.1192962⨯=故选：B ．8．已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆22221(0,0)x y a b a b-=>>(2,0)F ()2223x y -+=相切,则双曲线的方程为A ．B ．C ．D ．221913x y -=221139x y -=2213x y -=2213y x -=【答案】D【详解】试题分析：依题意有，解得.222{3ba c c ab ===+1,a b ==2213y x -=【解析】双曲线的概念与性质．9．已知两条不同的直线l ，m 与两个不重合的平面α，β，l ⊂α，m ⊂β，则下列命题中不正确的是（ ）A ．若l ∥m ，则必有α∥βB ．若l ⊥m ，则必有α⊥βC ．若l ⊥β，则必有α⊥βD ．若α⊥β，则必有m ⊥α【答案】C【分析】根据线面、面面位置关系，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】解：对于A ：如图所示：设α∩β＝c ，l ∥c ，m ∥c 满足条件，但是α与β不平行，故A 错误；对于B ：假设α∥β，l ′⊂β，l ′∥l ，l ′⊥m ，则满足条件，但是α与β不垂直，故B 错误； 对于C ：若l ⊂α，l ⊥β，根据线面垂直的判定定理可得α⊥β，故C 正确； 对于D ：设α∩β＝c ，若l ∥c ，m ∥c ，虽然α⊥β，但是可有m ∥α，故D 错误， 故选：C ．二、多选题10．（多选）点到抛物线的准线的距离为2，则a 的值可以为（ ） (1,1)M 2y ax =A ．B ．C ．D ．14112-11214-【答案】AB【分析】把抛物线，化为标准形式，得 ，故准线方程为：，利用2y ax =21x y a =12p a =14y a=-点到直线的距离可得答案.【详解】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，2y ax =14y a=-(1,1)M 2y ax =所以，解得或， 1124a +=14a =112a =-故选AB ．【点晴】焦点在轴的抛物线的标准方程为，准线方程为，计算时一定要找准y 22x py =±2py =±p 的值.11．若数列{an }满足，则（ ） 1112,1nn na a a a ++==-A ． B ．C ．D ．S 2020＝2020312a =712a =-202013a =【答案】BC【分析】根据题意分别求出a 2，a 3，a 4，a 5，可得数列{an }是以4为周期的周期数列，逐一分析选项，即可得出答案． 【详解】解：∵， 1112,1nn na a a a ++==-∴，，， 1211123112a a a ++===---23211(3)111(3)2a a a ++-===----34311()1121131()2a a a +-+===---，故A 错误；454111321113a a a ++===--∴数列{an }是以4为周期的周期数列， ∴a 7＝a 3+4＝a 3＝，故B 正确；12-∴a 2020＝a 505×4＝a 4＝，故C 正确；13∴S 2020＝505（a 1+a 2+a 3+a 4），故D 错误，11353550523236⎛⎫=⨯--+=- ⎪⎝⎭故选：BC ．12．在平面直角坐标系中，已知点，，圆．若圆C 上存在点M ，使(2,0)A (0,2)B 22:()1C x a y -+=得，则实数a 的值可能是（ ） 22||||12MA MB +=A ．-1 B ．0C ．D ．-21+【答案】ABC【分析】设点的坐标为，根据题设条件，求得，由圆C 上存在点M ，M (,)x y 22(1)(1)4x y -+-=转化为两圆相交或相切，列出不等式，即可求解. 【详解】设点的坐标为，M (,)x y 因为，即， 22||||12MA MB +=2222(2)(2)12x y x y -+++-=整理得．22(1)(1)4x y-+-=因为圆C上存在点M ，满足，所以两圆相交或相切， 22||12MA MB +=所以，即，所以， 13≤|1|a -≤11a -≤≤+所以A ，B ，C 均正确． 故选：ABC.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中求得点的轨迹方程，转化为两M 圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.三、填空题13．已知是公比为q 的等比数列，且成等差数列，则q ＝_____． {}n a 243,,a a a 【答案】或112-【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答. 【详解】在等比数列中，成等差数列，则， {}n a 243,,a a a 4232a a a =+即，而，整理得，解得或，22222a q a a q =+20a ≠2210q q --=12q =-1q =所以或.12q =-1q =故答案为：或112-14．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2 +y 2- 4y = 0所截得的弦长为__________.【答案】【分析】由题意求出直线方程、圆的标准方程、圆心坐标和半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，利用勾股定理即得解【详解】设弦长为，过原点且倾斜角为60°的直线方程为 l 0y y =⇔-=整理圆的方程为：，圆心为，半径 22(2)4x y +-=(0,2)2r =圆心到直线的距离为： |20|12+=则：2ll ===故答案为：15．已知双曲线，则C 的焦距为_________．22:1(0)x C y m m -=>0my +=【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出的关系，再结合双曲线中对应关系，联立求解,a b 22,a b m ，再由关系式求得，即可求解.c【详解】化简得，即，又双曲线中0my +=y =b a =2223b a m =，故，解得（舍去），，故焦距. 22,1a m b ==231m m=3,0m m ==2223142c a b c =+=+=⇒=24c =故答案为：4.【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.16．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是_______.【答案】2π12π+【分析】根据圆柱的侧面展开图是一个正方形，得到圆柱的高和底面半径之间的关系，然后求出圆柱的表面积和侧面积即可得到结论．【详解】设底面半径为，则圆柱的侧面展开图的边长为，即圆柱的高为r 2πr 2πr ∴圆柱的侧面积为，表面积为()22212π4πS r r ==222212π4π2πS S r r r =+=+则圆柱的表面积与侧面积的比是 2222214π2π2π14π2πS r r S r ++==故答案为：． 2π12π+四、解答题17．求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直1:240l x y -+=2:20l x y +-=P 3:3450x l y -+=线的方程．l 【答案】4360x y +-=【分析】直接求出两直线l 1：x ﹣2y+4=0和l 2：x+y ﹣2=0的交点P 的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程．【详解】由方程组可得P （0，2）．24020x y x y -+=⎧⎨+-=⎩∵l ⊥l 3，∴k l =﹣， 43∴直线l 的方程为y ﹣2=﹣x ，即4x+3y ﹣6=0． 43【点睛】本题是基础题，考查直线的交点与直线的方程的求法，考查计算能力． 18．已知圆C 的圆心为(1，1)，直线与圆C 相切. 40x y +-=（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）或．22(1)(1)2x y -+-=3460x y -+=2x =【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线(1,1)C 40x y +-=d 与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．40x y +-=C r d =（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心l l 3(2)y k x -=-320kx y k -+-=到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，l d 212d +=k l l 2x =，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件． 2(1)1y -=y【详解】（1）圆心到直线的距离． (1,1)C 40x y +-=d ==直线与圆相切，40x y +-=C r d ∴==圆的标准方程为：．∴22(1)(1)2x y -+-=（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：， l l 3(2)y k x -=-即：，，又，．320kx y k -+-=d =212d +=1d ∴=解得：． 34k =直线的方程为：．∴l 3460x y -+=②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满l 2x =2(1)1y -=11y =±2=足条件．综上所述的方程为：或．l 3460x y -+=2x =【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．19．在四棱锥中，底面是正方形，若平面Q ABCD -ABCD 2,AD QD QA ==QAD ⊥.ABCD（1）求的长；QB （2）求二面角的平面角的余弦值. B QD C --【答案】（1）；（2. 3【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，利用勾股定理即求； AD O ,QO BO QO ⊥ABCD （2）在平面内，过作，交于，则，建如图所示的空间坐标系，求ABCD O //OT CD BC T OT AD ⊥出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. QAD BQD 【详解】（1）取的中点为，连接，AD O ,QO BO因为，，则，QA QD =OA OD =QO ⊥AD 因为平面平面，， QAD ⊥ABCD QAD ABCD AD ⋂=平面平面QO QAD ⊂平面所以平面， QO ⊥ABCD 因为， BO ABCD ⊂平面所以，QO BO ⊥而.2,ADQA =2QO ==在正方形中，因为，故，故， ABCD 2AD =1AO =BO =所以.3QB ===（2）在平面内，过作，交于，则，ABCD O //OTCD BC T OT AD ⊥结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系, QO ⊥ABCD 则，，()()()0,1,0,0,0,2,2,1,0D Q B -(2,1,0)C 故， ()()2,1,2,2,2,0BQ BD =-=- (0,1,2),(2,0,0)DQ DC =-=设平面的法向量，QBD (),,n x y z =则即，00n BQ n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 220220x y z x y -++=⎧⎨-+=⎩取，则，故1x =11,2y z ==11,1,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭而平面的法向量为，QCD (',',')m x y z = 则即， 00m DQ m DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'2'02'0y z x -+=⎧⎨=⎩取，则，故'1z ='0,'2x y ==(0,2,1)m = 因为3||,||2n m ===150222m n ⋅=++= 所以cos ,||||m n m n mn ⋅<>===⋅二面角B QD C --20．在①②过，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题；已知椭e =E ⎛ ⎝a =圆：的右焦点为. C ()222210x y a b a b+=>>()1,0F (1)求椭圆的方程； C (2)设过点的直线交椭圆于，两点，若（为坐标原点）的面积为，求直线的F l C M N OMN A O 23l 方程. 【答案】(1) 2212x y +=(2)或10x y +-=10x y --=【分析】（1）分别选择①②③，根据椭圆的几何性质，求得的值，即可求解；,,a b c （2）由题意可以设直线的方程为，联立方程组，求得，，所以l 1x my =+()11,M x y ()22,N x y ，，结合的面积列出方程，求得的值，即可求解. 12222m y y m +=-+12212y y m =-+OMN A m 【详解】（1）解：选①条件，由椭圆：的右焦点为， C ()222210x y a b a b+=>>()1,0F 可得，因为离心率 1c =c e a ==a =所以，所以椭圆的方程为. 2221b a c =-=C 2212x y +=选②条件，由椭圆：的右焦点为， C ()222210x y a b a b+=>>()1,0F 可得，过，则，∴， 1c =E ⎛ ⎝21112a +=22a =所以椭圆的方程为. C 2212x y +=选③条件，由椭圆：的右焦点为， C ()222210x y a b a b+=>>()1,0F 可得，，1c=a =又由，则，，222a b c =+221b c ==22a =所以椭圆的方程为. C 2212x y +=（2）解：由题意可以设直线的方程为，l 1x my =+由，得，22121x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222210m y my ++-=可得，()()222442810m m m ∆=++=+>设，，所以，， ()11,M x y ()22,N x y 12222m y y m +=-+12212y y m =-+所以的面积 OMN A212S OF y ===因为的面积为， OMN A 231m =±所以直线的方程为或.l 10x y +-=10x y --=21．设数列{an }的前n 项和为Sn ，a 1＝2，an +1＝2+Sn ，（n ∈N *）．(1)求数列{an }的通项公式；(2)设bn ＝1+log 2（an ）2，求证数列{}的前n 项和Tn ． 11n n b b+16<【答案】(1)2n n a =(2)证明见解析【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【详解】（1）数列{an }的前n 项和为Sn ，a 1＝2，an +1＝2+Sn ，（n ∈N *）．则an ＝2+Sn ﹣1，（n ∈N *）．所以an +1﹣an ＝Sn ﹣Sn ﹣1＝an ，所以， 12n n a a +=所以数列{an }是以a 1＝2为首项，2为公比的等比数列．则，1222n n n a -=⨯=故．2n n a =（2）设bn ＝1+log 2（an ）2，则bn ＝2n +1． 则， 111111(21)(23)22123n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以 11111111123525722123n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112323n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 11646n =-+因为n ∈N *，所以. 16n T <22．已知抛物线C ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ．且F 与圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为4．(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上，PA ，PB 是C 的两条切线．A ，B 是切点，求△PAB 面积的最大值．【答案】(1)x 2＝4y(2)【分析】根据点F （0，）到圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为，可解p ，从2p 342p +=而可得抛物线方程；（2）利用抛物线方程可得为，对其求导得，设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P 214y x =12y x '=（x 0，y 0），分别表示出直线PA 、直线PB 的方程，从而可得直线AB 的直线方程，进而利用韦达定理表示出|AB |，以及点P 到直线AB 的距离为d ，从而可得△PAB 面积，利用﹣5≤y 0≤﹣3，结合二次函数定义可解．【详解】（1）焦点F （0，）到圆M ：x 2+（y +4）2＝1上点的距离的最小值为，则p ＝2p 342p +=2，故抛物线的方程为x 2＝4y ，（2）因为抛物线C 的方程为，对其求导得， 214y x =12y x '=设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0），直线PA 的方程为，即，即， 111()2x y y x x -=-112x y x y =-11220x x y y --=同理可知，直线PB 方程为，由于点P 是这两条直线的公共点，22220x x y y --=则， 10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩所以点A 、B 的坐标满足方程，00220x x y y --=所以直线AB 的方程为，00220x x y y --=联立，可得， 0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩200240x x x y -+=由韦达定理可得，1201202,4+==x x x x x y=点P 到直线AB的距离为d 所以， 12PAB S AB d =A ()32200142x y -因为2222000000041(4)41215(6)21x y y y y y y -=-+-=---=-++由已知可得，053y -≤≤-所以当时，△PAB 面积的最大值为 05y =-321202⨯=【点睛】关键点点睛：此题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线的位置关系，解题的关键是由PA ，PB 是C 的两条切线求出直线AB 的方程，考查计算能力，属于较难题.。

2023—2024学年浙江省温州市高二上学期期末教学质量统一检测数学试卷(B卷)一、单选题1. 已知直线方程，则倾斜角为（）A．45°B．60°C．120°D．135°2. 抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．3. 在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则（）A．B．C．D．4. 已知为数列的前n项和，，则（）A．2B．4C．8D．165. 在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为（）A．B．C．D．6. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数．他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如下图的1，3，6，10称为三角．．形数．．，1，4，9，16称为正方形数，则下列各数既是三角形数又是正方形数的是（）A．55B．49C．36D．287. 已知圆锥有一个内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，圆柱与圆锥的高之比为（）A．B．C．D．8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点P在椭圆C上，直线与直线交于点Q，且，则（）A．B．C．D．二、多选题9. 已知圆和圆外离，则整数m的一个取值可以是（）A．4B．5C．6D．710. 以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（）A．与B．与C．与D．与11. 已知三棱锥如图所示，G为重心，点M，F为中点，点D，E分别在上，，，以下说法正确的是（）A．若，则平面∥平面B．C．D．若M，D，E，F四点共面，则12. 已知数列的前n项和为，且，，则下列命题正确的是（）A．若为等差数列，则数列为递增数列B．若为等比数列，则数列为递增数列C．若为等差数列，则数列为递增数列D．若为等比数列，则数列为递增数列三、填空题13. 若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的方程可以是______ ．（只需填写满足条件的一个方程）14. 已知正项等比数列的前n项和为，，且，则______ ．15. 已知点P为圆上一动点，，，则点P到直线AB的距离的取值范围是 ______ ．16. 两个正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，M 和N分别是对角线AC和BF上的动点，则MN的最小值为 ______ ．四、解答题17. 如图，在平行六面体中，，，，，设，，．(1)用向量表示；(2)求．18. 已知等差数列的前n项和为，且满足，．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前10项和．19. 如图，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，平面ABCD，，M为PB的中点．(1)求证：平面平面PDB；(2)求CP与平面MAC所成角的正弦值．20. 已知圆满足：①截轴所得弦长为2；②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为3：1；③圆心到直线：的距离为，求该圆的方程．21. 已知数列满足，．(1)求证：数列为等差数列；(2)设数列前n项和为，且对任意的恒成立，求k的取值范围．22. 已知点在双曲线C：上，(1)求C的方程；(2)如图，若直线l垂直于直线OA，且与C的右支交于P、Q两点，直线AP、AQ与y轴的交点分别为点M、N，记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为与，求的取值范围．。

新高考地区高二上学期期末考试试题数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．322．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π33．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 ）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．2B ．5C ．D ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．56．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（ ）A ．97B C D ．1877．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞B ．[)3,+∞C ．[)2,∞+D ．[)1,+∞8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）A B C ．1D ．12二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（ ） A ．790a a += B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠ B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABCD D ．若直线AE平面1BFD ，则14λ=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（ ）A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF为定值12D ．PKF QKF ∠∠=第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 14．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y+=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．15．在直三棱柱111ABC A B C中，CA =CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值.19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围.21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N .22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在直线MN 上，PQ MN ⊥，证明：存在定点T ，使得QT 为定值.新高考地区高二期末考试参考答案第I 卷（选择题）一、单选题1．在等比数列{}n a 中，23341,2a a a a +=+=，则45a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【分析】根据3423()a a q a a +=+求出q ，再根据4534()a a q a a +=+可得答案. 【详解】设等比数列的公比为q ，由3423()a a q a a +=+，可得q ＝2，所以4534()4a a q a a +=+=. 故选：A.2．已知直线 l ：360x y +-=和圆C ：22240x y y +--=交于A ，B 两点，则弦 AB 所对的圆心角的大小为（ ）A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π3【分析】根据弦长公式可得弦长，根据ABC 的边长关系，确定圆心角的大小，可得2(x +CA CB ==π3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为 ）A 0y ±=B ．0x =C ．30x y ±=D ．30x y ±=【详解】由双曲线的离心率为22，得22222122c a b b e a a a +⎛⎫⎛⎫===+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7b a =，又双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，所以渐近线方程为7y x =±，即70x y ±=．故选:A ．4．已知直线10x ay +-=是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴，过点()3,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ） A ．2 B ．5C ．42D ．210【答案】B【分析】求出圆的圆心与半径，然后求解a ，求出A 的坐标，画出示意图，利用勾股定理求解AB 即可． 【详解】解：圆224210x y x y +--+=即22(2)(1)4x y -+-=，圆心为()2,1C ，半径为2r =， 由题意可知:10l x ay +-=过圆的圆心()2,1C ， 则210a +-=，解得1a =-，点A 的坐标为()3,1--， 作示意图如图所示：225229,2AC BC r =+===，切点为B ，则AB BC ⊥， 所以225AB AC BC =-=．故选：B ．5．已知过抛物线2:8C y x =的焦点F 且倾斜角为45︒的直线交C 于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，P 为C 上一点，则||||PF PQ +的最小值为（ ） A ．53B ．8C ．112D ．5【答案】B【分析】根据给定条件，求出直线AB 的方程，再与抛物线方程联立，结合抛物线定义，借助几何意义求解作答.D ，连接P PD PQ +6．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，且该四棱柱的外接球表面积为17π，M 为BC 的中点，则点1D 到平面1AB M 的距离为（ ）A ．97B C D ．187为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为(2,2,3)，(1,2,0),M D ，所以11(0,2,3),(1,2,0),(2,0,3)AB AM AD ==-=-的法向量为(,,)n x y z =00=，可取(6,3,2)n =-，的距离为112187||364AD n n ⋅-==+．故选：D7．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞ C ．[)2,∞+ D ．[)1,+∞【答案】C【分析】本题首先可根据516a =、434a a -=得出12n n a -=，然后根据n n b na =得出12n n b n -=⋅，再然后根据错位相减法求出()121nn S n =-⨯+，最后根据题意得出对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立，根据()*1222n n n N S b n-=-∈<即可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为516a =，434a a -=，所以413211164a q a q a q ⎧=⎨-=⎩，解得2q ，11a =，12n n a -=，因为n n b na =，所以12n n b n -=⋅，0n b >，则01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯，12112222222212112n nn n nn n n nS S S n n n ， 对任意*n ∈N 不等式1n n S mb -≤恒成立，即对任意*n ∈N 不等式1n nS m b -≥恒成立， 因为()*11(1)22222n n n n S n b n n N n ---⋅==-<⋅∈，所以2m ≥，m 的取值范围为[)2,∞+. 故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查根据数列不等式恒成立求参数的取值范围，考查数列求和，常见的数列求和方法有等差等比公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法，考查计算能力，是难题. 8．已知椭圆和双曲线有共同的焦点1F ，2F ，P 是它们的一个交点，且12π3F PF ∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ⋅的最小值为（ ）ABC ．1D ．12二、多选题9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若677889,,S S S S S S =<>.则下列结论正确的有（ ）A ．790a a +=B ．610S S >C ．数列{}n a 是递减数列D ．使0n S >的n 的最大值为1510．已知圆22:4C x y +=，直线:(3)4330(R)l m x y m m ++-+=∈，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 恒过定点(3,3)B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上动点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】CD【分析】对A 将直线化成(3)(343)0m x x y +++-=，则303430x x y +=⎧⎨+-=⎩，解出即为定点；对B 直接计算圆心到直线的距离与1的大小关系，即可判断B ，对C ，直接将m 代入，通过几何法判断两圆位置关系即可，对D ，设点(,94)P t t --，利用两点直径式方程写出以PC 为直径的圆的方程，两圆方程作差，得到公共弦所在直线方程，化成关于参数t 的方程，即可求出定点坐标.【详解】由直线l :(3)4330m x y m ++-+=,(R)m ∈,整理得:(3)(343)0m x x y +++-=,故303430x x y +=⎧⎨+-=⎩,解得33x y =-⎧⎨=⎩,即经过定点()3,3-,故A 错误; 当0m =时,直线l 为3430x y +-=,∴圆心(0,0)到直线3430x y +-=的距离11．在长方体1111ABCD A B C D -中，1222AA AB BC ===，点,E F 满足1(01)AF AA λλ=<<，1CE EC =.下列结论正确的有（）A ．若直线BE 与1D F 异面，则12λ≠B ．若AE BF ⊥，则13λ=C ．直线AE 与平面11ABC DD ．若直线AE平面1BFD ，则14λ= 【答案】ACD 【分析】建立空间坐标系，用空间向量逐项计算.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：1(1,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,2)A B E D 1(1,0,2),(1,0,1),(1,0,22)F BE D F λλ=-=-1(1,1,1),(0,1,2),(1,1,2)AE BF BD λ=-=-=--对于A ：若直线BE 与1D F 异面，则12211λ-≠-，则12λ≠，故A 正确； 对于B ：若,0AE A BF E BF ∴⊥⋅=，(1,1,1)(0,1,2)0λ∴-⋅-=，12λ∴=，故B 错误； 对于C ：1(0,1,0),(1,0,2)AB D A ==-，设平面11ABC D 的法向量为()111,,n x y z =则100AB n D A n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111020y x z =⎧⎨-=⎩，取(2,0,1)n = 直线AE 与平面11ABC D 所成角θ满足(1,1,1)(2,0,1)15sin |cos ,|1535AE nAE n AE n θ⋅-⋅=〈〉===⨯⋅，故C 正确； 对于D ：设平面1BFD 的法向量()222,,m x y z =1100BD m D F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222220(22)0x y z x z λ--+=⎧⎨+-=⎩，取(22,2,1)m λλ=- 若直线AE平面1BFD ，则22210AE m λλ⋅=-++=12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线=1x -与x 轴相交于点K ，过抛物线C 的焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于P Q ､两点，且P Q ､两点在准线上的投影点分别为M N ､，则下列结论正确的是（ ） A ．2p =B ．PQ 的最小值为4C ．2||MN PF QF 为定值12D ．PKF QKF ∠∠=所以()()222161||441m MN PF QF m +==+，所以C 不正确； 对于D ，()()()1122,,,,1,0P x y Q x y K -，111PK y k x =+，221PQ y k x =+， ()()()()()()222112122112121212+1+1+1+144++==1+11+11+1PK KQ y y y y y x y x y y k k x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+++ ()()()()()2221121212121212121+++4441+11+1y y y y y y y y y y y y x x x x +++==++()214444044m m m -⋅+==+ 所以PKF QKF ∠∠=，故D 正确.故选：ABD.第II 卷（非选择题）三、填空题13．数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩135a =，则数列的第2022项为___________. 【答案】15##0.2 【分析】根据递推关系可通过计算前面2345n ,,,，发现数列{}n a 是周期为4的周期数列，进而由周期性即可求解.【详解】由112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =得2131212155a a =-=⨯-=，23222155a a ==⨯=，32242255a a ，4243212155a a ，543122155a a ，，故数列{}n a 是周期为4的周期数列，故2022215a a ， 故答案为：1514．已知1F ，2F 为椭圆C ：22142x y +=的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且12||PQ F F =，则四边形12PFQF 的面积为__________．【答案】4【分析】根据题意分析可得12π2F PF ∠=，利用勾股定理结合椭圆定义求12PF PF ，进而可求四边形12PFQF 的面积.【详解】由椭圆22142x y +=可得：2212122,2,2,24,222a b c a b PF PF a F F c ===-=+====， 由题意可得：12||,||OP OQ OF OF ==，则12PFQF 为平行四边形， ∵12||PQ F F =，则121||2OP F F =， ∴12π2F PF ∠=，则22212128PF PF F F +==， 又 ()222121212216PF PF PF PF PF PF +=++=，∴124PF PF =， 则四边形12PFQF 的面积121212242PF F S S PF PF △==⨯=. 故答案为：4.15．在直三棱柱111ABC A B C 中，33CA =32CB =16CC =，90BCA ∠=，112AM MB =，则异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为______．【答案】8215【分析】根据条件，可建立空间直角坐标系，得出CM 与1A B 的坐标，利用向量法解决.【详解】由已知可得，1,,CA CB CC 两两垂直，可如图建立空间直角坐标系. 则，()133,0,6A ，()10,32,6B ，()0,0,0C ，()0,32,0B ， 由112AM MB =可得，1122CM CA CB CM -=-， 则()()()11212133,0,60,32,623263333CM CA CB =+=+=，，， ()133326A B =--，，，()()222232652CM ==++，()()()2221333269A B =--=++，11863648CM A B ⋅=-+-=-，所以，111cos ,CM A BCM A B CM A B ⋅=488215952-==-⨯. 所以，异面直线CM 与1A B 夹角的余弦值为8215. 故答案为：8215. 16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与C 的右支交于A ，B 两点，若1221F AF AF F ∠=∠，222F B F A =，则C 的离心率为______.【答案】53##213【分析】设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，由题意可得1122AF F F c ==，12F M AF ⊥，由双曲线的定义可得222F A c a =-，2MF c a =-，244BF c a =-，142BF c a =-，2121BF F MF F π∠+∠=，2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，在12MF F △和12BF F △中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出,a c 的关系，从而可得双曲线C 的离心率.【详解】解：如图：设2AF 的中点为M ，连接1F M ，1BF ，因为1221F AF AF F ∠=∠，所以1122AF F F c ==，因为M 为2AF 的中点，所以12F M AF ⊥，由122AF F A a =-，得222F A c a =-，所以2212F A M F c a ==-， 在12MF F △中，22112cos 2MF c a MF F F F c-∠==， 因为22244BF AF c a ==-，所以12242BF a BF c a =+=-， 在12BF F △中，()()()22222212212112241642cos 2224F F BF BF c c a c a BF F F F BF c c a +-+---∠==⨯⨯⨯-()224121616c a ac c c a +-=-， 因为2121BF F MF F π∠+∠=，所以2121cos cos 0BF F MF F ∠+∠=，即()22412160216c a c a ac c c c a -+-+=-， 整理可得221616120a ac c -+=，即225830a ac c -+=， 所以()()530a c a c --=，所以53a c =或a c =（舍），所以离心率53c e a ==， 故答案为：53. 四、解答题17．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)()21N n a n n +=-∈(2)321n n + 【分析】（1）等差数列通项公式和求和公式列方程求解；（2）利用裂项相消法11221231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，可求和. 【详解】（1）根据题意，设等差数列{}n a 公差为()0d d ≠， 因为1S ，2S ，4S 成等比数列，24S =，所以221424S S S S ⎧=⋅⎨=⎩， 整理得：()()2111146224a a d a d a d ⎧⋅+=+⎪⎨+=⎪⎩， 解得112a d =⎧⎨=⎩. 故()21N n a n n +=-∈.（2）由（1）得：()()3311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 311111313112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 18．如图，直三棱柱111ABC A B C 中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，E 是BC 中点.(1)若棱1AA 上存在一点M ，满足11B M C E ⊥，求AM 的长； (2)求直线BC 与平面1AEC 所成角的余弦值. ）建立空间直角坐标系，利用110B M C E ⋅=求得1AEC 所成角的余弦值）依题意，建立如图所示空间直角坐标系，),02t t ≤≤， ()(112,0,2,1,1B M t C E =--=-若11B M C E ⊥，则112B M C E ⋅=--则棱1AA 上存在一点M ，满足1B M （2）()()(2,0,0,0,2,0,2,2,0B C BC =-的法向量为(),,n x y z =12n AC y n AE x y ⎧⋅=+⎪⎨⋅=+⎪⎩，故可取()1,1,1n =-设直线BC 与平面所成角为,0θθ≤≤22n BC n BCθ⋅==⋅，所以cos BC 与平面AEC19．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()02,A y 是抛物线C 上的点，且5AF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，且MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，求MNF 的面积．【答案】(1)212y x = (2)8【分析】（1）直接由抛物线中焦半径公式求出p 即可.（2）用横截式设出直线MN 的方程以及M N ，的坐标，联立直线与抛物线方程，得到0∆>及韦达定理，再利用线段MN 的中点坐标求出直线中的参数，再利用弦长公式求出线段MN 的长度，用点到直线的距离公式求出点F 到直线MN 的距离，进而可求出MNF 的面积. 【详解】（1）由抛物线的定义知02522p pAF x =+=+=，解得6p ，则抛物线的方程为212y x =故：答案为212y x =.（2）由线段MN 的中点为5,23⎛⎫- ⎪⎝⎭知直线MN 的斜率存在且不为0，设直线MN x my b =+：，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与抛物线方程，有212x my b y x=+⎧⎨=⎩，即212120y my b --=，所以有()()2212484830m b m b ∆=+=+>， 且12121212y y m y y b +=⎧⎨=-⎩，则()212122122x x m y y b m b +=++=+ 所以2124101223m m b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，即131m b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以直线:33MN y x =-+，21281013MN m y y =+-=，点F 到直线MN 的距离233361013d -⨯+==+. 所以182MNFSMN d ==. 故：答案为8.20．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，底面是边长为2的等边三角形，112,60.,CC ACC D E ∠==分别是线段1,AC CC 的中点，二面角1C AC B --为直二面角.(1)求证：1A C ⊥平面BDE ；(2)若点P 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求锐二面角P BD E --的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2)13,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）首先证明1A C DE ⊥，然后证明BD ⊥平面11AAC C ，可得1BD A C ⊥，即可证明；（2）首先证明1C D ⊥平面ABC ，然后以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设()111,,,(01)P x y z C P C B λλ=<<，算出两个平面的法向量，然后求出二面角的余弦值，然后可得答案.【详解】（1）连接1AC ，由题设知四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ∴⊥， ,D E 分别为1,AC CC 中点，11,DE AC AC DE ∴∴⊥∥； 又D 为AC 中点，BD AC ∴⊥，因为二面角1C AC B --为直二面角， 即平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面,ABC AC BD =⊂平面,ABCBD ∴⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面111,AAC C BD AC ∴⊥；又,,BD DE D BD DE =⊂平面1,BDE AC ∴⊥平面BDE . （2）112,60CA CC ACC ∠===，1ACC ∴△为等边三角形，1C A D C ∴⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AAC C 平面ABC AC =，1C D ⊂平面11,ACC A1C D ∴⊥平面ABC ，则以D 为坐标原点，1,,DB DA DC 所在直线为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()11130,0,0,3,0,0,0,,,0,0,3,3,1,3,0,1,022D BE C B C ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,2,3A ，()()()111133,0,0,0,,,3,1,0,0,3,322DB DE C B CA ⎛⎫∴==-== ⎪ ⎪⎝⎭111,(0C P C B λλ=<(3DP λ∴=的一个法向量(10,3,m CA ==的法向量(),,n a b c =30330DB n a DP n a b c λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩3，则(,0,3,a n λ==-∴=-33cos ,233m nm n m n -⋅==⋅⨯， ()2,3t λ-=∈，则113,126212m n λ==-+211112613,,1,,3222m n t t t ⎛⎛⎫⎛∈∴-+∈∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎝即锐二面角的余弦值的取值范围为1,2⎛ ⎝21．已知数列{}n a 满足11a =，()121n n a a n *+=+∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()()312111144441n n bb b b b n a n ----*=+∈N ，证明{}n b 是等差数列；(3)证明：()122311232n n n a a a nn a a a *+-<+++<∈N . 【答案】(1)21nn a =-(2)证明见解析 (3)证明见解析【分析】（1）推导出数列{}1n a +为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列{}n a 的通项公式； （2）由已知条件变形可得出()12322n n b b b b n nb ++++-=，令1n =可求得1b 的值，令2n ≥，由()12322n n b b b b n nb ++++-=可得()()()123112211n n b b b b n n b --++++--=-，两式作差结合等差中项法可证得结论成立；(114n b a --=)2n b ++-1b ，解得b )232n n b b b nb +++-=可得)1n b -++-上述两个等式作差可得(22n n b nb -=-)11n b --=-，故())11n n b b --， ，因此，数列{）解：122n n n a a +=1n n a a +++<(111211122122232nn n n a a ++-==≥--⋅所以，12221111116212322221n n n a a a n n a a a +- ⎛⎫⎝+++≥-+++=- ⎪⎝⎭-因此，对任意的N n *∈，122311232n n a a a n n a a a +-<+++<. 【点睛】关键点点睛：解本题的第（3）问的关键在于利用放缩法推导出和结合不等式进行推导，从而证得结论成立.22．双曲线2221(0)3x y C a a -=>：的左、右顶点分别为A ，B ，过点()2,0D 且垂直于x 轴的直线l 与该双曲线C交于点E ，F ，设直线EA 的斜率为1k ，直线FB 的斜率为212,1k k k ⋅=-． (1)求曲线C 的方程；(2)动点M ，N 在曲线C 上，已知点()2,1P -，直线PM ，PN 分别与y 轴相交的两点关于原点对称，点Q 在⊥，证明：存在定点T，使得QT为定值．直线MN上，PQ MN。

四川省成都市2023-2024学年高二上学期期末校级调研联考
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
3
三、填空题
四、解答题
(1)求证：AM ⊥平面BDM
(2)求直线AM 与平面MBC 所成角的余弦值.
21．已知圆的方程2216x y +=,(2,0)A -,(2,0)B ，抛物线过,A B 两点，且以圆的切线为准线.
(1)求抛物线焦点的轨迹C 的方程；
(2)已知(4,0)P ， 设x 轴上一定点(,0)(44)T t t -<<， 过T 的直线交轨迹C 于 ,M N 两点（直线MN 与x 轴不重合），求证：MP NP k k ⋅为定值.
22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ， 过F 的直线l 交于,A B 两点， 过F 与l 垂直的直线交于,D E 两点，其中,B D 在y 轴左侧，
,M N 分别为,AB DE 的中点，且直线
M N 过定点(0,3). (1)求抛物线2:2(0)C x py p =>的方程； (2)设G 为直线 AE 与直线BD 的交点; （i ）证明G 在定直线上； （ii ）求MGN V 面积的最小值.。

湖北省部分省级示范高中2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过点()1,0且与直线220x y +-=垂直的直线方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y --=D ．210x y +-=2．已知数列{}n a ，则“2415a a a a +=+”是“{}n a 为等差数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．圆22:1O x y +=与圆22:2270M x y x y ++--=的位置关系为（）A ．外离B ．相切C ．相交D ．内含4．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是1BB ，1DD 的中点，求直线EF 与直线1OB 夹角的余弦值是（）A ．13B ．223C ．13-D ．223-5．已知抛物线24x y =的焦点为F ，点M 在抛物线上，且3MF =，则M 点到y 轴的距离为（）A ．23B ．22C ．2D ．16．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2020这2020个数中，被2除余1，且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则18a =（）A ．161B ．171C ．181D ．1917．两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且523n n S n T n +=+，则220715a a b b ++等于（）A ．10724B ．724C ．14912D ．14938．已知双曲线2222:1(0,b 0)x y C a a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线l ，垂足为M ，若直线l 与双曲线C 的另一条渐近线交于点N ，且34ON OM OF +=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为（）A ．32B ．33C ．233D ．62二、多选题9．已知数列{}n a 的前n 项和()2*29N n S n n n =-+∈，则下列结论正确的是（）A ．数列{}n a 是等差数列B ．78>a a C ．n S 的最大值为10D ．230a a +=11A B 的中点，则（）长度的取值范围是6,22⎡⎤⎣⎦的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的分别相交于,A B 和,C D ，直线,AD BC 的倾斜角分别为,αβ四、解答题(1)证明：EF AD ⊥；(2)若四棱锥P ABCD -的体积为求PGPB的值；若不存在，请说明理由22．已知抛物线2:2(C y px p =>(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()2,0的直线l 与抛物线C 个交点为B ，试问在x 轴上是否存在一定点由.。