10.2与圆有关的位置关系.ppt

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切 线 长 定 理
第24课时┃与圆有关的位置关系
考点5
三角形的 内切圆
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形 叫圆的外切三角形．
三 角 形 内 切圆 的 圆 心叫 做 三 角形 的 内心 ， 它 是 三角 形 三角 定义 三条角平分线 的交点. ______________ 形的 相等 内心 性质 三角形的内心到三边的距离________.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
4．如图 24－6，PA、PB 是⊙O 的切线，切点是 A、B， 3 3 ． 已知∠P＝60°，OA＝3，那么 PA＝________
图 24－6
连接 OP，根据切线的性质，OA⊥PA，由切 1 线长定理，知∠OPA＝ ∠APB＝30°.在 Rt△OAP 中， 2 3 OA 3 tan30°＝ ＝ ＝ ，所以 PA＝3 3. PA PA 3
垂直 于这条半径的直线是圆的 经过半径的外端并且 ________
切线.
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第24课时┃与圆有关的位置关系
考点4
切 线 长
切线长及切线长定理
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做 这点到圆的切线长． 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________ 相等 ，圆心和这一 平分 两条切线的夹角. 点的连线________ 如图，点 P 是⊙O 外一点，PA、PB 切⊙O 于点 A、 B，AB 交 PO 于点 C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠ AOP＝ ∠BOP＝∠CAP＝∠CBP； (3)AB⊥OP 且 AC＝BC.

所以r1 +r2 <|PO|< r1 +r2,
所以点M的轨迹是以P(6,0)为圆心,半径为4
2的一个圆.
所以点M的轨迹与圆相交.
第三步:把代数
运算结果翻译成
几何关系．
.
O
B
.
P
x
解惑提高
坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
第一步 ：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为
两圆的位置关系
外离
外切
相交
图形
几何法
与，的关系
>+
=+
− < <+
内切
=−
内含
0≤ <−
代数法
公切线的条数
交点个数
4
0
3
2
1
2
1
1
0
0
即时巩固
相交
1.两圆有两个交点，则两圆的位置关系是______.
外离或内含
两圆没有交点，则两圆的位置关系是__________.
C2 : ( x 2) 2 ( y 2) 2 ( 10 ) 2
C1的圆心(1,4), 半径为r1 5
C2的圆心(2,2), 半径为r2 10

C1C2
(1 2) 2 (4 2) 2 3 5
| r1 r2 | 5 10
| r1 r2 | 5 10
O的位置关系.
第一步:建立坐标系，用坐
分析:我们可以通过建立适当的平面直角坐标系,求得满足条件的动点M的轨
解:如图,以线段AB的中点O为原点, AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分

做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
C 弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外
B
1．(孝感市 2008 年)在 Rt△ABC 中， C 90 ， AC 8， BC 6 ，
两等圆⊙A，⊙B 外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之 和为（ ）
C
A
25 A． 4
25 B． 8
25 C． 16
25 D． 32
（第 1 题图）
2．(浙江省湖州市 2008 年)已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，圆心距为 5cm，则两圆
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A． 点在圆内
d＜r
．
点在圆上
d＝r
C
． 点在圆外

: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
线是两圆公共弦 AB所在的直线
①-②得
y
x2y10 ③
探究：画出圆C1与圆 C2以及直线方程③ ， 你发现了什么？
A
O
C2 Bx
C1
题型 与两圆公共弦有关的问题 例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-
4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程 及公共弦长.

4. 若曲线 y＝1＋ 4－x2与直线 y＝k(x－2)＋4 有两个相异交点，则实数 k 的取值范围是
5 A. ，＋∞ 12 5 C.0， 12
(
5 3 B. ， 12 4
B
)
1 3 D. ， 3 4
解析： 曲线表示半圆，而直线恒过点 5 3 P(2,4)，结合图形可知 <k≤ . 12 4
智 慧 改 变 命 运,勤 奋 创 造 奇 迹.
直线与圆、圆与圆的位置关系
[备考方向要明了] 考 什 么 1.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系． 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3.初步了解用代数方法处理几何问题.
怎 么 考
1.直线与圆的位置关系，特别是直线与圆相切一直是高考 考查的重点和热点． 2.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在综合性 较强的解答题中.
5.(2012年高考(天津理))设m , n R,若直线 (m 1) x+(n 1) y 2=0 与圆 (x 1)2 +(y 1)2 =1相切, 则m+n的取值范围是 （ ） A． [1 3,1+ 3] C． [2 2 2,2+2 2] B． ( ,1 3] [1+ 3,+) D． ( ,2 2 2] [2+2 2,+)
3．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－ 2y＋1＝0的公切线有且仅有 A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 (
B
)
4．(教材习题改编)直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＋4x－4y
－8＝0截得的弦长等于________ ． 2 14 5．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－

移动多少个单位？若⊙A要与x轴相交呢？
y
B 4
-1
3 .(-3,-4)
O
-1
C
x
A
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l
．ｏ d r ┐ l .
A
. B
．O d r ┐ . lC
相离
0 d>r
相切
1 d=r
相交
2 d<r
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
公共点的名称 直线名称
义务教育教科书（华师）九年级数学下册
第27章 圆
27.2 与圆有关的位置关系
学习目标
• 1 了解直线与圆的三种位置关系，理解直线 和圆相离、相切、相交的概念。 • 2 会用圆心到直线的距离与半径比较，判断 直线和圆的位置关系。 • 重点 用数量关系（圆心到直线的距离）判 断直线与圆的位置关系。 • 难点 用数量关系（圆心到直线的距离）判 断直线与圆的位置关系。
学习目标
• 1 了解直线与圆的三种位置关系，理解直线 和圆相离、相切、相交的概念。 • 2 会用圆心到直线的距离与半径比较，判断 直线和圆的位置关系。 • 重点 用数量关系（圆心到直线的距离）判 断直线与圆的位置关系。 • 难点 用数量关系（圆心到直线的距离）判 断直线与圆的位置关系。
点和圆的位置关系有几种？ 用数量关系如何来 ( 令 OP= d ) 判断呢？ P
切点
切线
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2, 且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离为9cm. 求l1与l2的距离m.
A 。 o C l2
B l1 l2
在同一平面内,已知点O到直线l的距离 为5.以点O为圆心,r为半径画圆.

圆心坐标是（－
D E ，－ ） 。 2 2
3． 圆的参数方程：圆心为（a，b） ，半径为 r 的圆的参数方程为
x a r cos （ 为参数） y b r sin
4． 直线和圆的位置关系： （设 d 为圆心到直线的距离， r 为圆半径） 代数的观点 （直线方程代入原方程） 几何的观点 线 圆 相 离 线 圆 相 切 线 圆 相 交 判别式 0 判别式 0 判别式 0 常见题型 求直线到圆的最近（ d - r ）距离 最远（ d + r ）距离 求直线上一点到切点的距离： l 2 r 2
第19讲圆的方程及圆与圆的位置关系
1． 圆的标准方程：圆心为（a，b） ，半径为 r 的圆的标准方程为(x－a)2+(y－b)2=r2.
D 2 E 2 4F 2． 圆的一般方程： x +y +Dx+Ey+F=0(D +E －4F>0)叫做圆的一般方程， 其中， 半径 r= ， 2
2 2 2 2
2 2 2 2
坐标是（－
D E ，－ ） 。 2 2
（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2 项系数相等且不为零，没有 xy 项。 （2）当 D2+E2－4F=0 时，方程（*）表示点（－
D E ，－ ） ； 2 2
当 D2+E2－4F<0 时，方程（*）不表示任何图形。 （3）根据条件列出关于 D、E、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程。 4．二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆，则有 A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示 圆的必要条件，不是充分条件。 在 A=C≠0，B=0 时，二元二次方程化为 x2+y2+

出去的?
情景2：用砂轮磨刀时擦出的火花，:是沿着什么方向飞出的？
知识回顾
推进新课
回顾直线与圆相切：
切线
切点
判断直线和圆相切
有哪两种办法？
.
.O
直线与圆
相切
新知探究
切线具有的性质
1. 定义法：
和圆有且只有一个公共点
的直线是圆的切线.
2. 数量关系法（d=r ）：
圆心到直线的距离等于
半径的直线是圆的切线.
一不可: (1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直.
归纳
切线的判定方法
判断一条直线是圆的切线的 三种方法
O
1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
l
A
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，
即d=r；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径
O r
d
l
A
O
的直线是圆的切线.
又AP=AC，所以∠P=∠ACP=30°,
所以∠OAP=∠AOC-∠P=90°.
所以OA⊥PA，所以PA是⊙O的切线.
人教版 数学 九年级上册
直线和圆的位置关系
第3课时
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2. 运用切线长定理进行计算与证明.
复习引入
问题1
在同一个平面内，有一点 和⊙，过点 能否作
1
• ∴MN= 2 OM=2.5cm.
• 所以(1)⊙M与直线OA相离，因为r<MN.
• (2)⊙M与直线OA相交，因为r>MN.
• (3)⊙M与直线OA相切，因为r=MN.
综合应用
• 6.已知⊙O的半径为 2 ，直线l与点O的距离为d，

∴CF= 12．在Rt△COF中，OF= OC2 CF2 ，
24 12 5 ∴EF=EO+OF= ，∴ CE EF2 CF2 . 5 5
9 5
5
【例4】如图，AB是⊙O的直径，C．D是⊙O上一 点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延 长线于点E，则∠E等于( B ) A．40° B．50° C．60° D．70°
(1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
C
．
．
A．
点与圆的位置关 系
d与r的关系
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
2.直线和圆的位置关系:
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角， 叫做圆周角.
性质: 同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条
弧所对的圆心角的一半。
D E
O A
1 ADB=∠ ACB = ∠ AEB= AOB 2 在同圆或等圆中，相等的圆周角 C 所对的弧相等 推论： 半圆（或直径）所对的圆 周角是直角，90°的圆周角所 B 对的弦是直径
【分析】如图所示，连接OC, ∵∠BOC与∠CDB是弧BC 所对的圆心角与圆周角， ∴∠BOC=2∠CDB。 又∵∠CDB=20°，∴∠BOC=40°， 又∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE， 即∠OCE=90°, 则 ∠E=90°﹣40°=50°

∵OB=10=10 ∴点B在圆上
反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证明的命题，主要有：
A
A 如果直角三角形的两条直角边分别是6,8,你能求出这个直角三角形的外接圆的半径吗?是多少?
如图，假设过同一条直线l上三点A、B、C可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线
⊙O外
4.正方形ABCD的边长为 3 cm，以A为 A
D
圆心2cm为半径作⊙A，则点C( C )
A.在⊙A上 B.在⊙A内
3
C.在⊙A外 D.无法判断
B
3
C
5、你认为判断点和圆的位置关系的步骤是怎样的？ 一作、二算、三判
随堂练习
6.如图，⊿ABC中，∠C=90°， B
BC=3，AC=6，CD为中线，
如图，设⊙O 的半径为r，
O
如图，设⊙O 的半径为r，
当OP
时点P在圆内；
的距离分别为8cm、10cm、12cm，则
●
点在圆外
圆心2cm为半径作⊙A，则点C( )
d＝r
d>r
为什么过同一直线上的三点不能作圆呢？
符号 读作“等价
经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？
符号 读作“等价 以⊙CO练为的圆半心径习,6以cm：，当已O为P半=6径知时作，圆圆点，P在的半；径等于5厘米，若点到圆心的距离是:
反证法常用于解决用直接证法不易证明或不能证 明的命题，主要有：
(1)命题的结论是否定型的； (2)命题的结论是无限型的； (3)命题的结论是“至多”或“至少”型 的.
我学会了什么 ？
实际问题
过一点可以作无数个圆
引入
过两点可以作无数个圆.圆心在以已知 两点为端点的线段的垂直平分线上.