【最新】高中数学-2018高考数学(文)大一轮复习习题 板块命题点专练(八) word版含答案

第八板块 必修4 第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换单元质量检测第Ⅰ卷（选择题 共55分）一、选择题(本大题共11题,每小题5分,共55分) 1.已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A247 B 247- C 724 D 724-2.函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ） A5π B 2πC πD 2π 3. 在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 无法判定4. 设00sin14cos14a =+，00sin16cos16b =+，2c =，则,,a b c 大小关系（ ） A a b c << B b a c << C c b a << D a c b <<5.函数)cos[2()]y x x ππ-+是（ ）A 周期为4π的奇函数 B 周期为4π的偶函数 C 周期为2π的奇函数 D 周期为2π的偶函数6.已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（ ） A1813 B 1811 C 97 D 1-7.设212tan13cos66,,21tan 13a b c ===+则有（ ）A a b c >>B a b c <<C a c b <<D b c a <<8.已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A1925 B 1625 C 1425 D 7259.函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是（ ）A 2(,3π B 5(,6π C 2(3π- D (,)3π 10.0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( ) A 16 B 8 C 4 D 211.当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是（ ）A 4 B12C 2D 14第Ⅱ卷（非选择题 共95分）二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)12.求值：0000tan 20tan 4020tan 40+=_____________13.若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+14.已知sincos22θθ+=那么sin θ的值为 ,cos 2θ 15.ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，且这个最大值为三、解答题(本大题共6小题, 共79分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分12分）已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值心脏在跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值,最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mm Hg 为标准值.设某人的血压满足函数式()11525sin160P t t π=+,其中()P t 为血压(mm Hg),t 为时间(min).,(Ⅰ)求函数()P t 的周期; (Ⅱ)此人每分钟心跳的次数;(Ⅲ)画出函数()P t 的草图; (Ⅳ)求出此人的血压在血压计上的读数,并与标准值18.（本小题满分14分）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．19.（本小题满分12分）已知函数)(),,0(2sin 22cos4)(2x f a a x xx f 且其中R ∈>+-+=ωωω的图象在y轴右侧的第一个最高的横坐标为2.（I ）求ω的值；（II ）若)(x f 在区间[8，16]上的最大值为3，求a 的值.若函数ｙ＝x2－4px－2的图象过点(tanα，1)，及点(tanβ，1).求2cos2αcos2β＋p sin2（α＋β）＋2sin2（α－β）的值.21.（本小题满分14分）海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般的早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某点时的水深的近似数值;(Ⅱ)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4m,安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久?(Ⅲ)若船的吃水深度为4m,安全间隙为1.5m,该船在2:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3m的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?80160第八板块 必修4 第一章 三角函数 第三章 三角恒等变换单元质量检测参考答案三、解答题:16. 解析:sin sin sin ,cos cos cos ,βγαβγα+=-+=-22(sin sin )(cos cos )1,βγβγ+++=122cos()1,cos()2βγβγ+-=-= 17.解析: (Ⅰ) 2116080T ππ==; (Ⅱ) 180f T==(次); (Ⅲ)列表如下:(Ⅳ) 此人的收缩压和舒张压在血压计上的读数为140 mm Hg 和90 mm Hg .均高于相应的x标准值.18.解析:（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x xx x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）解法一：因为π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数，在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．解法二：作函数π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭长度为一个周期的区间π9π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的图象如右图所示：由图象得函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的3π14f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 19.解析:（I ）a x x x f ++=ωωsin 2cos 2)(.)4sin(22a x ++=πω.由题意知，.8,242πωππω==+得（II ）a x x f ++=48sin(22)(ππ， ].49,45[48],16,8[ππππ∈+∴∈x x由图象可知，当,349sin 22,)(,16,4948=+==+a x f x x ππππ由最大时即 得.1=a20.解析:由条件知tan α、tan β是方程x 2－4px －2＝1的两根. ∴⎩⎨⎧-==+3tan tan 4tan tan βαβαp∴tan （α＋β）＝p p=--)3(14.∴原式＝2cos2αcos2β＋tan （α＋β）sin2（α＋β）＋2sin 2（α－β）＝cos2（α＋β）＋cos2（α－β）＋2sin 2（α＋β）＋2sin 2（α－β） ＝cos2（α＋β）＋cos2(α－β)＋［1－cos2(α＋β))＋［1－cos2(α－β)］＝2 21.分析：(1)考察数据,可选用正弦函数,再利用待定系数法求解; (2)在涉及三角不等式时,可利用图象求解.（用《几何画板》演示港口水位变化情况）观察问题中给出的数据可以看出，港口的水深（用《Excel 用光滑曲线连接．从曲线的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如sin()y A x h ωϕ=++的函数来刻画，其中x 是时间，y 是水深，根据数据可以具体确定A ，ω，ϕ，h 的值．在得到函数解析式以后，我们计算出每一个整点时水深的近似值，或计算出水深为某个指解析: (Ⅰ)可设所求函数为()sin f x A x k ω=+,由已知数据求得2.5,5A k ==,26T ππω==, 故() 2.5sin 56f x x π=+. 在整点时的水深为: 1:00, 5:00,13:00,17:00,为6.3m; 2:00,4:00,14:00,16:00为7.2m; 7:00,11:00,19:00,23:00为3.7m; 8:00,10:00,20:00,22:00为2.8m. (Ⅱ)由2.5sin5 5.56x π+≥,得sin0.26x π≥,画出 2.5sin6y x π=的图象(如图所示),由图象可得0.4 5.6x ≤≤或12.417.6x ≤≤.故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港,在港口能呆5.2h.(Ⅲ)若224x ≤≤,x 时刻的吃水深度为()40.3(2)h x x =--, 由()() 1.5f x h x ≥+,得sin0.440.126x x π≥-.画出sin6y x π=和0.440.12y x =-的图象(如图所示),由图象可知,当 6.7x =时,即6:42时,该船必颀停止卸货,驶向较深的水域.。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试最新高考信息卷文 科 数 学（八）注意事项：、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数34i 2i 5a z -=+-的实部与虚部之和为1，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．4D ．3【答案】A【解析】由题意可得，()()()2i 234i34i 34i 2i 5555a a a a z +++---=+=+=-，因为实部与虚部之和为1，2341255a a a +-∴+=⇒=，实数a 的值为2，故选A ． 2．下列说法错误的是（ ）A ．“若2x ≠，则2560x x -+≠”的逆否命题是“若2560x x -+=，则2x =”B ．“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件C ．“x ∀∈R ，2560x x -+≠”的否定是“0x ∃∈R，200560x x -+=”卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号D ．命题：“在锐角ABC △中，sin cos A B <”为真命题 【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项A 正确；由2560x x -+>得3x >或2x <，∴“3x >”是“2560x x -+>”的充分不必要条件，故B 正确；因为全称命题的否定是特称命题，所以C 正确；锐角ABC △中，ππ022π2A B A B +>⇒>>->，sin sin cos π2A B B⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭，∴D 错误，故选D ．3．“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”其意思是：有一个正方形的池塘，池塘的边长为一丈，有一颗芦苇生长在池塘的正中央．露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，芦苇有多长？其中一丈为十尺．若从该芦苇上随机取一点，则该点取自水上的概率为（ ）A ．1213B ．113C ．314D ．213【答案】B【解析】设水深为x 尺，根据勾股定理可得()22215x x +=+，解得12x =，可得水深12尺，芦苇长13尺，根据几何概型概率公式可得，从该芦苇上随机取一点，该点取自水上的概率为113P =，故选B ． 4．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．43C ．163D ．8【答案】A【解析】三视图还原为三棱锥A BCD -，如图所示，由三视图可知：4BC =，2AO CO BO DO ====，AB AC BD CD AD =====，平面ABC ⊥平面BCD ，AO ⊥平面BCD ，则三棱锥A BCD -的体积为118422323A BCDV-=⨯⨯⨯⨯=，故选A ． 5．已知双曲线的两个焦点为()10F、)2F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF =⋅，122MF MF ⋅=，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（ ）A ．3B ．13C ．12D ．1【答案】 D【解析】120MF MF ⋅=，12MF MF ∴⊥，221240MF MF ∴+=，()212MF MF ∴-2211222402236MF MF MF MF =-⋅+=-⨯=，12263MF MF a a ∴-==⇒=，又c =，22222119x b c a y ⇒=-=⇒-=，其渐近线方程为13y x=±， ∴焦点到它的一条渐近线的距离为1d ==，故选D ．6．已知函数()1sin 2222f x x x =+，把函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得到的曲线向左平移π6各单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的对称中心是（ ） A ．2π,0π6k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z B ．2π,0π2k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C ．π,0π2k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z D ．π,0π4k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z 【答案】C【解析】()1sin 2cos 222f x x x =+，()sin π23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，sin 23πy x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭图象的横坐标伸长到原来的2倍，可得πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6各单位长度，可得sin cos 2πy x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭的图象，()cos g x x ∴=，函数()g x 的对称中心为π,0π2k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选C ． 7．秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输人n ，x 的值分別为4，5，则输出ν的值为（ ）A ．211B ．100C ．1048D ．1055【答案】D【解析】执行程序框图，输入4n =，5x =，则1v =，3i =，0i ≥，进入循环， 得1538v =⨯+=，312i =-=；0i ≥，故进入循环，得85242v =⨯+=，211i =-=； 0i ≥，故进入循环，得4251211v =⨯+=，110i =-=；0i ≥，故进入循环，得211501055v =⨯+=，011i =-=-，此时，不满足0i ≥，故结束循环，输出1055v =，故选D ．8．在ABC △中，120A ∠=︒，3AB AC -⋅=，点G 是ABC △的重心，则AG 的最小值是（ ）A ．23B．3C．3D ．53【答案】B【解析】设BC 的中点为D ，因为点G 是ABC △的重心，所以()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，再令AB c=，AC b=，则cos12036AB AC bc bc ⋅=⋅︒=-⇒=，()()()22222111226269993AG AB AB AC AC c bbc ∴=+⋅+=+-≥-=，6AG ∴≥，当且仅当b c ==B ．9．已知函数()()2,,,df x a b c d ax bx c =∈++R 的图象如图所示，则下列说法与图象符合的是（ ）A ．0,a >，0b >，0c <，0d >B ．0a <，0b >，0c <，0d >C ．0a <，0b >，0c >，0d >D ．0a >，0b <，0c >，0d >【答案】B【解析】由图象可知，1x ≠且5x ≠，20ax bx c ++≠，可知20ax bx c ++=的两根为1，5，由韦达定理得126bx x a +=-=，125c x x a ⋅==，a ∴，b 异号，a ，c 同号，又()00df c=<，c ∴，d 异号，只有选项B 符合题意，故选B ．10．在ABC △中，已知2224a b c S +-=（S 为ABC △的面积），若c =2a -的取值范围是（）A ．(B ．()1,0-C ．(-D ．(【答案】C【解析】222222144sin 2sin 2a b c S a b c ab C ab C+-=⇒+-=⨯=222sin 2a b c C ab +-⇒=，cos si πn 4C C C ∴=⇒=， 2sin sin sin a b c A B C====，2sin a A ∴=，2sin b B =，又23π2sin 2sin2sin 2sin 224a b A B A B A A ⎛⎫-=-⨯==- ⎪⎝⎭sin cos π4A A A ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， π3π04442ππA A <<⇒-<-<，π14A ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，1a ∴-<-<C ． 11．当n 为正整数时，定义函数()N n 表示n 的最大奇因数．如()33N =，()105N =，，()()()()()1232nS n N N N N =++++，则()5S =（ ）A ．342B ．345C ．341D ．346【答案】A 【解析】()()2N n N n =，()2121N n n -=-，而()()()()()123...2n S n N N N N =++++，()()()()()()()()135...2124...2n nS n N N N N N N N ⎡⎤∴=++++-++++⎣⎦， ()()()()()1135...21123...2n n S n N N N N -⎡⎤∴=++++-+++++⎣⎦， ()()()()()11212121422n nn S n S n n S n S n -+-∴=⨯+-≥⇒--=，又()()()112112S N N =+=+=，()()()()()()()()()234515443...2144445S S S S S S S S S ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴-=-+-++-=+++⇒⎣⎦⎣⎦⎣⎦23424444=++++342=，故选A ．12a =（）A ．2-B ．12-C ．1-D ．12-或1- 【答案】A【解析】有唯一零点，设2x t -=，()()()12e 222tt t g t a g t ---=-+=，∴()g t 为偶函数，又()y g t =与2y a =有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，22a a ∴-=，解得2a =-或1a =（舍去），故选A ．第Ⅱ卷卷包括必考题和选考题两部分。

板块命题点专练（八）n 1n A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：选 C ∵数列{2a 1a n }为递减数列，a 1a n ＝a 1＝a 1dn ＋a 1(a 1－d )，等式右边为关于n 的一次函数，∴a 1d <0．2．(2014·全国卷Ⅱ)数列 {a n }满足 a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1 ＝________．解析：将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12．答案：123．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22．过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14． 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫22n ，故a 7＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14．答案：14n 10100A ．100 B ．99 C ．98D ．97解析：选C 法一：∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3．又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98．故选C ． 法二：∵{a n }是等差数列，∴S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝27，∴a 5＝3．在等差数列{a n }中，a 5，a 10，a 15，…，a 100成等差数列，且公差d ′＝a 10－a 5＝8－3＝5． 故a 100＝a 5＋(20－1)×5＝98．故选C ．2．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：选A ∵a 1＋a 5＝2a 3，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3， ∴a 3＝1， ∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A ．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63D ．84解析：选B ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21， ∴3＋3q 2＋3q 4＝21．∴1＋q 2＋q 4＝7，解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42．4．(2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12解析：选B ∵{a n }的公差为1， ∴S 8＝8a 1＋8×8－12×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6．又∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192．5．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1．∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1．又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n．答案：－1n6．(2016·全国乙卷)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0．(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14．(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因此{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12． 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1．7．(2016·全国甲卷)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝，求数列{b n }的前10项和，其中表示不超过x 的最大整数，如＝0，＝2. 解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35.当n＝1,2,3时，1≤2n＋35＜2，b n＝1；当n＝4,5时，2≤2n＋35＜3，b n＝2；当n＝6,7,8时，3≤2n＋35＜4，b n＝3；当n＝9,10时，4≤2n＋35＜5，b n＝4.所以数列{b n}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24. 8．(2015·全国卷Ⅰ)S n为数列{a n}的前n项和．已知a n>0，a2n＋2a n＝4S n＋3．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝1a n a n＋1，求数列{b n}的前n项和．解：(1)由a2n＋2a n＝4S n＋3，①可知a2n＋1＋2a n＋1＝4S n＋1＋3．②②－①，得a2n＋1－a2n＋2(a n＋1－a n)＝4a n＋1，即2(a n＋1＋a n)＝a2n＋1－a2n＝(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)．由a n>0，得a n＋1－a n＝2．又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3．所以{a n}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n＝2n＋1．(2)由a n＝2n＋1可知b n＝1a n a n＋1＝1n＋n＋＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－12n＋3．设数列{b n}的前n项和为T n，则T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n＋1－12n＋3＝nn＋．9．(2014·全国卷Ⅰ)已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设，a n a n＋1＝λS n－1，则a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1．两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1．由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ．(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1．由(1)知，a3＝λ＋1．令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4．故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2．因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．1．(2016·天津高考)已知{a n}是等比数列，前n项和为S n(n∈N*)，且a1－a2＝a3，S6＝63．(1)求{a n}的通项公式；(2)若对任意的n∈N*，b n是log2a n和log2a n＋1的等差中项，求数列{(－1)n b2n}的前2n项和．解：(1)设数列{a n}的公比为q．由已知，有1a1－1a1q＝2a1q2，解得q＝2或q＝－1．又由S6＝a1·1－q61－q＝63，知q≠－1，所以a1·1－261－2＝63，得a1＝1．所以a n＝2n－1．(2)由题意，得b n＝12(log2a n＋log2a n＋1)＝12(log22n－1＋log22n)＝n－12，即{b n}是首项为12，公差为1的等差数列．设数列{(－1)n b2n}的前n项和为T n，则T2n＝(－b21＋b22)＋(－b23＋b24)＋…＋(－b22n－1＋b22n) ＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝2n b1＋b2n2＝2n2．2．(2016·四川高考)已知数列{a n}的首项为1，S n为数列{a n}的前n项和，S n＋1＝qS n＋1，其中q ＞0，n ∈N *．(1)若a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝2，求e 21＋e 22＋…＋e 2n ．解：(1)由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1．又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1，n ∈N *都成立．所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝qn －1．由a 2，a 3，a 2＋a 3成等差数列，可得2a 3＝a 2＋a 2＋a 3，所以a 3＝2a 2，故q ＝2．所以a n ＝2n－1(n ∈N *)．(2)由(1)可知a n ＝qn －1，所以双曲线x 2－y 2a 2n ＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋qn －．由e 2＝1＋q 2＝2，解得q ＝3， 所以e 21＋e 22＋…＋e 2n ＝(1＋1)＋(1＋q 2)＋…＋ ＝n ＋＝n ＋q 2n －1q 2－1＝n ＋12(3n －1)．。

1．多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.柱、锥、台和球的表面积和体积【知识拓展】1．与体积有关的几个结论(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( × ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( × )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( √ ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( × )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( × )1．(教材改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cm D.32cm 答案 B解析 S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π， ∴r 2＝4，∴r ＝2 cm.2．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为 S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.3．(2016·全国甲卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( ) A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 答案 A解析 由题意可知正方体的棱长为2，其体对角线23即为球的直径，所以球的表面积为4πR 2＝(2R )2π＝12π，故选A.4．《九章算术》商功章有题：一圆柱形谷仓，高1丈3尺313寸，容纳米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛为容积单位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，则圆柱底面圆周长约为( ) A ．1丈3尺 B ．5丈4尺 C ．9丈2尺 D ．48丈6尺 答案 B解析 设圆柱底面半径为r 尺，高为h 尺，依题意，圆柱体积为V ＝πr 2h ＝2 000×1.62≈3×r 2×13.33，所以r 2≈81，即r ≈9，所以圆柱底面圆周长为2πr ≈54,54尺＝5丈4尺，即圆柱底面圆周长约为5丈4尺，故选B.5.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为1，P 为侧棱B 1B 上的一点，则四棱锥P －ACC 1A 1的体积为______．答案 23解析 设点P 到平面ABC ，平面A 1B 1C 1的距离分别为h 1，h 2，则棱柱的高为h ＝h 1＋h 2，又记S ＝S △ABC ＝111A B C S ∆，则三棱柱的体积为V ＝Sh ＝1.而从三棱柱中去掉四棱锥P －ACC 1A 1的剩余体积为V ′＝V P －ABC ＋111P A B C V -＝13Sh 1＋13Sh 2＝13S (h 1＋h 2)＝13，从而11P ACC A V -＝V －V ′＝1－13＝23.题型一 求空间几何体的表面积例1 (1)(2016·淮北模拟)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A ．21＋ 3B ．18＋ 3C ．21D ．18(2)一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________． 答案 (1)A (2)12解析 (1)由几何体的三视图可知，该几何体的直观图如图所示，因此该几何体的表面积为 6×(4－12)＋2×34×(2)2＝21＋ 3.故选A.(2)设正六棱锥的高为h ，侧面的斜高为h ′. 由题意，得13×6×12×2×3×h ＝23，∴h ＝1，∴斜高h ′＝12＋(3)2＝2， ∴S 侧＝6×12×2×2＝12.思维升华 空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．(2016·大连模拟)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．答案 26解析 该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4,1,2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S长方体表－2S半圆柱底－S圆柱轴截面＋S半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.题型二 求空间几何体的体积命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积例2 (2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26π D ．1＋26π 答案 C解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为正四棱锥，它的底面边长为1，高为1，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C. 命题点2 求简单几何体的体积例3 (2016·江苏改编)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1，下部的形状是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O 1O 是正四棱锥的高PO 1的4倍．若AB ＝6 m ，PO 1＝2 m ，则仓库的容积为________m 3.答案 312解析 由PO 1＝2 m ，知O 1O ＝4PO 1＝8 m ．因为A 1B 1＝AB ＝6 m ，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积V 锥＝13·A 1B 21·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)； 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)．所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝24＋288＝312(m 3)． 思维升华 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解． (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．(1)(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的主视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．(2)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1 D.32答案 (1)33(2)C 解析 (1)由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由主视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h ＝1，则体积V ＝13Sh ＝13×(12×23×1)×1＝33.(2)在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，11DB C S ∆＝12×2×3＝ 3.又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ， 平面BB 1C 1C ∩平面ABC ＝BC ， AD ⊥BC ，AD 平面ABC ， ∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1底面上的高． ∴11A B DC V -三棱锥＝1311DB C S ∆·AD ＝13×3×3＝1.题型三 与球有关的切、接问题例4 已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( ) A.3172B ．210 C.132 D ．310答案 C解析 如图所示，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M . 又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝(52)2＋62＝132. 引申探究1．已知棱长为4的正方体，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？解 由题意可知，此正方体的体对角线长即为其外接球的直径，正方体的棱长即为其内切球的直径．设该正方体外接球的半径为R ，内切球的半径为r . 又正方体的棱长为4，故其体对角线长为43， 从而V 外接球＝43πR 3＝43π×(23)3＝323π，V 内切球＝43πr 3＝43π×23＝32π3.2．已知棱长为a 的正四面体，则此正四面体的表面积S 1与其内切球的表面积S 2的比值为多少？解 正四面体的表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径r 为正四面体高的14，即r ＝14·63a＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2πa 26＝63π. 3．已知侧棱和底面边长都是32的正四棱锥，则其外接球的半径是多少？ 解 依题意得，该正四棱锥的底面对角线的长为32×2＝6，高为(32)2－(12×6)2＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心，其外接球的半径为3.思维升华 空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( )A.81π4 B ．16π C ．9π D.27π4 答案 A解析 如图，设球心为O ，半径为r ，则在Rt △AOF 中，(4－r )2＋(2)2＝r 2， 解得r ＝94，∴该球的表面积为4πr 2＝4π×(94)2＝814π.15．巧用补形法解决立体几何问题典例 (2016·青岛模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝8，BC ＝10，AC ＝6，DB ⊥平面ABC ，且AE ∥FC ∥BD ，BD ＝3，FC ＝4，AE ＝5，则此几何体的体积为________．思想方法指导 解答本题时可用“补形法”完成．“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”，将不规则的几何体补成规则的几何体等． 解析 用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AA ′＝BB ′＝CC ′＝8，所以V 几何体＝12V 三棱柱＝12×S △ABC ×AA ′＝12×24×8＝96.答案 961．(2016·合肥质检)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2答案 D解析 由三视图可得该几何体是平放的直三棱柱，该直三棱柱的底面是腰长为2的等腰直角三角形、侧棱长为4，所以表面积为12×2×2×2＋4×2×2＋4×22＝20＋82，故选D.2．(2016·大同模拟)一个几何体的三视图如图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A.(4＋π)33B.(8＋π)36C.(8＋π)33D ．(4＋π) 3答案 B解析 由三视图可知该几何体是由一个半圆锥和一个四棱锥组成的，其中半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，它们的高均为 3.则V ＝13·⎝⎛⎭⎫12π＋4·3＝(8＋π)36.故选B.3．(2015·山东)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π 答案 C解析 过点C 作CE 垂直AD 所在直线于点E ，梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB 的长为底面圆半径，线段BC 为母线的圆柱挖去以线段CE 的长为底面圆半径，ED 为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π·AB 2·BC －13·π·CE 2·DE＝π×12×2－13π×12×1＝5π3，故选C.4．(2015·安微)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2答案 B解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.5．(2016·湖北优质高中联考)甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V 1，V 2，则V 1∶V 2等于( )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶π 答案 B解析 由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V 1＝43π，V 2＝13π×22×3＝4π，所以V 1∶V 2＝1∶3.故选B.6．(2015·课标全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛 答案 B解析 由题意知米堆的底面半径为163尺，体积V ＝13×14πR 2·h ＝3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．7．(2016·北京)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．答案 32解析 由三视图知该四棱柱为直四棱柱， 底面积S ＝(1＋2)×12＝32，高h ＝1，所以四棱柱体积V ＝S ·h ＝32×1＝32.8．(2016·新疆乌鲁木齐地区二诊)已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是________． 答案 7π解析 (图略)在四面体ABCD 中， 取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE . ∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2， ∴AE ⊥CD ，BE ⊥CD . 在Rt △AED 中，CD ＝6， ∴AE ＝102.同理BE ＝102. 取AB 的中点为F ，连接EF .由AE ＝BE ，得EF ⊥AB .在Rt △EF A 中， ∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1.取EF 的中点为O ，连接OA ， 则OF ＝12.在Rt △OF A 中，OA ＝72.∵OA ＝OB ＝OC ＝OD ， ∴该四面体的外接球的半径是72， ∴外接球的表面积是7π.9. (2016·三门峡陕州中学对抗赛)如图所示，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.则三棱锥P －ABC 体积的最大值为________．答案 13解析 V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ，当△ABC 的面积最大时，三棱锥P －ABC 体积达到最大值．当CO ⊥AB 时，△ABC 的面积最大，最大值为12×2×1＝1，此时V P －ABC ＝13PO ·S △ABC ＝13.10．(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案 3π解析 方法一 由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，所以V＝34×π×12×4＝3π. 方法二 由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的14，直观图如图(1)所示，我们可用两个大小与形状完全相同的该几何体补成一个半径为1，高为6的圆柱，如图(2)所示，则所求几何体的体积为V ＝12×π×12×6＝3π.11．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体NBCM 的体积． (1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT .因为AT 平面P AB ，MN 平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)解 因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体NBCM 的体积V NBCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.12.(2016·湖北七校联考)如图所示，在空间几何体ADE －BCF 中，四边形ABCD 是梯形，四边形CDEF 是矩形，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ＝DE ＝2，EF ＝4，M 是线段AE 上的动点．(1)试确定点M 的位置，使AC ∥平面MDF ，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF 将几何体ADE －BCF 分成两部分，求空间几何体M －DEF 与空间几何体ADM －BCF 的体积之比．解 (1)当M 是线段AE 的中点时，AC ∥平面MDF . 理由如下：连接CE 交DF 于点N ，连接MN .因为M ，N 分别是AE ，CE 的中点，所以MN ∥AC .又因为MN 平面MDF ，AC平面MDF ，所以AC ∥平面MDF .(2)将几何体ADE －BCF 补成三棱柱ADE －B ′CF ，如图所示，三棱柱ADE －B ′CF 的体积为 V ＝S △ADE ·CD ＝12×2×2×4＝8，则几何体ADE －BCF 的体积 V ADE －BCF ＝V ADE －B ′CF －V F －BB ′C ＝8－13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×2＝203. 因为三棱锥M －DEF 的体积 V M －DEF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×1＝43，所以V ADM－BCF＝203－43＝163，所以两几何体的体积之比为43∶163＝1∶4.。

1．直线与平面垂直 (1)定义如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面α垂直． (2)判定定理与性质定理2.平面与平面垂直 (1)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理【知识拓展】 重要结论：(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥α.( × )(2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)直线a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b .( √ ) (4)若α⊥β，a ⊥β⇒a ∥α.( × )(5)若直线a ⊥平面α，直线b ∥α，则直线a 与b 垂直．( √ )1．(教材改编)下列命题中不正确的是( )A ．如果平面α⊥平面β，且直线l ∥平面α，则直线l ⊥平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ 答案 A解析 根据面面垂直的性质，知A 不正确，直线l 可能平行平面β，也可能在平面β内． 2．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若α⊥β，因为α∩β＝m ，b ⊂β，b ⊥m ，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b ⊥α，又a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则()A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案 C解析A中，由m⊥n, n∥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；B中，由m∥β，β⊥α，可得m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；C中，由m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α，可得m与α相交或m⊂α或m∥α，错误．4．(2016·深圳模拟)在正四面体ABCD中，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，下面的结论不正确的是()A．BC∥平面AGFB．EG⊥平面ABFC．平面AEF⊥平面BCDD．平面ABF⊥平面BCD答案 C解析易知点A在平面BCD上的射影在底面的中心，而中心不在EF上，所以平面AEF⊥平面BCD错误，选C.5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若P A＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若P A⊥PB，PB⊥PC，PC⊥P A，则点O是△ABC的________心．答案(1)外(2)垂解析(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，P A＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.∵PC⊥P A，PB⊥PC，P A∩PB＝P，∴PC ⊥平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴PC ⊥AB ， 又AB ⊥PO ，PO ∩PC ＝P ， ∴AB ⊥平面PGC ， 又CG ⊂平面PGC ，∴AB ⊥CG ，即CG 为△ABC 边AB 上的高． 同理可证BD ，AH 为△ABC 底边上的高， 即O 为△ABC 的垂心．题型一 直线与平面垂直的判定与性质例1 (2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝54，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．OD ′＝10.证明：D ′H ⊥平面ABCD .证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CFCD ，故AC ∥EF .因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.于是D ′H 2＋OH 2＝32＋12＝10＝D ′O 2，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，且OH ，EF ⊂平面ABCD ， 所以D ′H ⊥平面ABCD .思维升华 证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；③面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；④面面垂直的性质．(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证：(1)DE∥平面AA1C1C；(2)BC1⊥AB1.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.题型二平面与平面垂直的判定与性质例2如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD . 方法二 连接CF . 因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，P A ⊂平面P AD ，所以EF∥平面P AD.因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面P AD.又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面P AD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥P A.又因为AB⊥P A，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.所以AB⊥平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.引申探究1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面P AC.证明因为AB⊥P A，AB⊥AC，且P A∩AC＝A，所以AB⊥平面P AC.又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，所以MN⊥平面P AC.又MN⊂平面EMN，所以平面EMN⊥平面P AC.2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面P AC.证明因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，所以EF∥P A，FG∥AC，又EF⊄平面P AC，P A⊂平面P AC，所以EF∥平面P AC.同理，FG∥平面P AC.又EF∩FG＝F，所以平面EFG∥平面P AC.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，∴DE∥A1C1，又∵DE⊄平面A1C1F，A1C1⊂平面A1C1F，∴DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C1F.题型三直线、平面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥P—ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5.(1)设M是PC上的一点，求证：平面MBD⊥平面P AD；(2)求四棱锥P—ABCD的体积．(1)证明在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2，∴AD ⊥BD .又∵平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥平面P AD . 又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ，∵平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3. 在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ， ∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24.∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.思维升华 垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化． (2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．(2016·全国乙卷)如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .(1)证明：G 是AB 的中点；(2)作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积． (1)证明 因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD .因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，PD ，DE 都在平面PED 内， 所以AB ⊥平面PED ，又PG 在平面PED 内， 故AB ⊥PG .又由已知可得，P A ＝PB ，从而G 是AB 的中点．(2)解 在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影．理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC ，PC ∩P A ＝P ，PC 与P A 都在平面P AC 中，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影．连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心．由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故CD ＝23CG .由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ， 所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝13PC .由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6，可得DE ＝2，PE ＝2 2. 在等腰直角三角形EFP 中， 可得EF ＝PF ＝2，所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝43.17．立体几何证明问题中的转化思想典例 (12分)如图所示，M ，N ，K 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，C 1D 1的中点．求证：(1)AN∥平面A1MK；(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.思想方法指导(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．规范解答证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]∵A1K⊂平面A1MK，AN⊄平面A1MK，∴AN∥平面A1MK.[6分](2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.∵M，K分别为AB，C1D1的中点，∴BM∥C1K，BM＝C1K，∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，BC1⊂平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK，∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，要使n⊥β，则应增加的条件是() A．n⊂α且m∥n B．n∥αC．n⊂α且n⊥m D．n⊥α答案 C解析由面面垂直的性质定理知选C.2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β答案 D解析A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故选D.3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E答案 C解析A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于()A．A′C′B．BD C．A′D′D．AA′答案 B解析连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.5.如图所示，直线P A垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M 为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面P AC的距离等于线段BC的长．其中正确的是()A．①②B．①②③C．①D．②③答案 B解析对于①，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面P AC，又PC⊂平面P AC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥P A，∵P A⊂平面P AC，OM⊄平面P AC，∴OM∥平面P AC；对于③，由①知BC⊥平面P AC，∴线段BC的长即是点B到平面P AC的距离，故①②③都正确．6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△P AC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．答案AB、BC、AC AB解析∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面P AC，∴与AP垂直的直线是AB.7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DM⊥PC(或BM⊥PC等)解析由定理可知，BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.8.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案①②③解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，且P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，∴AF ⊥平面PBC ，∴AF ⊥PB ，又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF ，∴PB ⊥EF . 故①②③正确．9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有________个． 答案 2解析 若α，β换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥b ，且a ⊥γ⇒b ⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥β，且a ⊥b ⇒b ⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a ，b ，则命题化为“a ∥α，且b ⊥α⇒a ⊥b ”，此命题为真命题．10．(2016·四川)如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面P AD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面P AB ，并说明理由； (2)证明：平面P AB ⊥平面PBD .(1)解 取棱AD 的中点M (M ∈平面P AD )，点M 即为所求的一个点，理由如下： 连接BM ，CM .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥AM ，且BC ＝AM ，所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB . 又AB ⊂平面P AB ，CM ⊄平面P AB . 所以CM ∥平面P AB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点) (2)证明 由已知，P A ⊥AB ，P A ⊥CD . 因为AD ∥BC ，BC ＝CD ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以P A ⊥平面ABCD ， 从而P A ⊥BD .又BC ∥MD ，且BC ＝MD . 所以四边形BCDM 是平行四边形， 所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面P AB . 又BD ⊂平面PBD ， 所以平面P AB ⊥平面PBD .11．(2016·北京)如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，DC ⊥AC .(1)求证：DC ⊥平面P AC ； (2)求证：平面P AB ⊥平面P AC ；(3)设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得P A ∥平面CEF ？说明理由． (1)证明 ∵PC ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PC ⊥DC .又AC ⊥DC ，PC ∩AC ＝C ，PC ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，∴DC ⊥平面P AC . (2)证明 ∵AB ∥CD ，CD ⊥平面P AC ， ∴AB ⊥平面P AC ，又AB ⊂平面P AB ， ∴平面P AB ⊥平面P AC .(3)解 棱PB 上存在点F ，使得P A ∥平面CEF .证明如下：取PB 的中点F ，连接EF ，CE ，CF ，又∵E 为AB 的中点，∴EF 为△P AB 的中位线，∴EF ∥P A .又P A ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，∴P A ∥平面CEF .*12.(2016·山东)在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF ∥DB .(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC. 证明(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，如图，连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF.又EF∥DB，所以GI∥DB.在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，DB∩BC＝B，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.。

板块命题点专练（一）1．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( )A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B解析：选B 集合A＝{x|x＞2或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R，故选B.2．(2016·全国丙卷)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝( )A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：选C ∵集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，∴∁A B＝{0,2,6,10}．3．(2016·全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )A．B．(－∞，2]∪∪[3，＋∞)解析：选D 由题意知S＝{x|x≤2或x≥3}，则S∩T＝{x|0<x≤2或x≥3}．故选D.4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：选D 集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.5．(2012·全国卷)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6C．8 D．10解析：选D 列举得集合B＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．水秀中华A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A |x－2|<1⇔1<x<3.由于{x|1<x<2}是{x|1<x<3}的真子集，所以“1<x<2”是“|x－2|<1”的充分而不必要条件．2．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a 和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A.3．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：选C 当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．1.(2012·全国卷)下面是关于复数z＝－1＋i的四个命题：p1：|z|＝2, p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i, p4：z的虚部为－1.其中的真命题为( )A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：选C ∵复数z＝2－1＋i＝－1－i，∴|z|＝2，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．2．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )水秀中华水秀中华A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m >0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：选A如图，若a ＝A 1A ―→，b ＝AB ―→，c ＝B 1B ―→，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．(2013·湖北高考)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：选A 綈p ：甲没有降落在指定范围；綈q ：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p 或綈q 发生．即为(綈p )∨(綈q )．A ．∀n ∈N ，n 2>2nB ．∃n ∈N ，n 2≤2nC ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：选C 因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2>2n”的否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n”．2．(2016·浙江高考)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2水秀中华B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析：选D 由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2”．3．(2015·山东高考)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，t a n x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．解析：由题意，原命题等价于t a n x ≤m 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上恒成立，即y ＝t a n x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值小于或等于m ，又y ＝t a n x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值为1，所以m ≥1，即m 的最小值为1. 答案：1。