河北省清河县清河中学高一数学《等差数列》课件

03 走 近 教 材 - 等 差 数 列 的 定 义
如果一个数列从第__2__项起，每一项与它的__前__一__项__的差等于 _同__一__常__数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个__常__数__叫做等差数列的 __公__差__，通常用字母_d___表示．
04 思 维 启 发
1．等差数列的定义的理解 (1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，没法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． (2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． (3)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数 列不能称为等差数列．
(1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差从而可求等差数列中 的任一项；
(3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判定某数是否为 数列中的项及是第几项．
08 自 主 练 习
1为．( 在数)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，则a101的值
自主学习 新知突破 合作探究 课堂互动 高效测评 知能提升 课后作业 全面提升
01 目 标 导 航
1．了解等差数列与二元一次方程、一次函数的联系． 2．理解等差数列的概念． 3．掌控等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识 并能运用．
02 入 门 答 疑
视察以下这四个数列： 0,5,10,15,20，… 48,53,58,63 18,15.5,13,10.5,8,5.5 10 072,10 144,10 216,10 288,10 360 [问题] 这些数列有什么共同特点呢？ [提示] 以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数(即：每个都 具有相邻两项差为同一个常数的特点)．

a9
a3
6dd
a9
a3 6
1
a12 a39d990
2.已知递减等差数列{an}的前三项和为18，前三项 的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该 数列的项吗？ [思路探索] 本题主要考查等差数列的通项公式及等 差数列的基本运算．
解 依题意得aa11＋·a2a·a2＋ 3＝a63＝ 6，18，
观察归纳
姚明罚球个数的数列： 6000，6500，7000，7500，8000，8500，9000
运动鞋尺码的数列
2 21,2 3 ,2 31,2 4 ,2 41,2 5 ,2 51,2 6
2
2
2
2
观察：以上数列有什么共同特点？
从第 2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
等差数列定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项 与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列 的公差，通常用字母d表示。
(1) {an}中， an＝3－2n； (2) {an}中， an＝n2－n. 解 对任意n∈N*，
(1)∵an＋1－an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2，是同一常数， ∴数列{an}是等差数列． (2)∵an＋1－an＝(n＋1)2－(n＋1)－(n2－n)＝2n，不是同一 常数，
∴数列{an}不是等差数列．
全
a3a2da3
a4a3da4
a a2 1 d 2da1dd
aa31 d3d
归 纳
归纳得: an a1(n1)d 法
当n=1时，上式还成立
通项公式：ana1(n1)d.
等差数列的通项公式（推导二）
a2 a1 d

已知正数数列{an}和{bn}满足：对任意 n(n∈N＋)，an， bn，an＋1 成等差数列，且 an＋1＝ bn·bn＋1. (1)求证：数列{ bn}是等差数列． (2)设 a1＝1，a2＝2，求{an}和{bn}的通项公式．
第(1)问可利用等式 2bn＝an＋an＋1，把 an，an＋1 用 bn－1， bn，bn＋1 代换，然后整理．再进行判断；解答本题第(2)问， 可利用第(1)问的结论，先求 bn，再求 bn 和 an.
等差数列的性质
1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规 律．
2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用． 4．掌握等差中项的概念与应用.
1．灵活应用等差数列的性质，求数列中的项 (或通项)(重点，难点)
2．利用等差中项及性质设元或列方程解题(重 点)
3．常与函数、方程结合命题，三种题型均可 出现，多为中低档题.
[策略点睛]
[规范作答] (1)方法一：设等差数列的等差中项为a，公差为d， 则这三个数分别为a－d，a，a＋d，
依题意，3a＝6且a(a－d)(a＋d)＝－24， 所以a＝2，代入a(a－d)(a＋d)＝－24， 化6,2，－2. 方法二：设首项为a，公差为d，这三个数分别为a，a＋d，a
事实上，am＋(n－m)d＝a1＋(m－1)d＋(n－m)d ＝a1＋(n－1)d＝an.
2．等差数列的公差与斜率的关系 (1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图像是一条直线，斜率 k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)． 当 k＝0 时，对于常数函数 f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率． d＝amm－－ann其实就是斜率公式，并且当{an}是常数列时， d＝0，公式也仍然成立．

。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析

列{an}的通项公式。
三、巩固通项公式 an=a1+(n－1)d (n∈N*)
（一）求通项an
若已知一个等差数列的首项a1和公差d，即可求出an 例如：①a1=1, d=2, 则 an=1+(n－1)·2=2n－1
②已知等差数列8，5，2，…求 an及a20
解：∴∵aan1==88+,(dn=－5－1)·8(=－－3)3=－3n+11

① 从第2项起，每一项与前一项差都等于1
3，0，－3，－6，……；
② 从第2项起，每一项与前一项差都等于－3
下面是全国统一鞋号中成年女鞋的各种
（表示鞋长、单位是cm）
21，21 1 ，22，22 1 ，23，231 ，24，24 1 ，25 ; ③
1 从第2项起，每一项与前一项差都等于 2
一张梯2子
六、作业：
P118 1, 2, 4, 5, 另：已知两个等差数列5，7，9，…和
3, 6， 9，…共有100项。 求这两个数列相同项的个数。
谢谢！ 学妹给我打电话，说她又换工作了，这次是销售。电话里，她絮絮叨叨说着一年多来工作上的不如意，她说工作一点都不开心，找不到半点成就感。 末了，她问我：学姐，为什么想 找一份 自己热 爱的工 作这么 难呢？ 我问她上一份工作干了多久，她 说不到 三个月 ，做的 还是行 政助理 的工作 ，工作 内容枯 燥乏味 不说， 还特别 容易得 罪人， 实在不 是自己 的理想 型。 我又问了她前几份工作辞职的原 因，结 果都是 大同小 异，不 是因为 工作乏 味，就 是同事 不好相 处，再 者就是 薪水太 低，发 展前景 堪忧。 粗略估计，这姑娘毕业不到一年 ，工作 却已经 换了四 五份， 还跨了 三个行 业。 但即使如此频繁的跳槽，她也仍 然没有 找不到 自己满

等差数列课件 ppt
contents
目录
• 等差数列的定义 • 等差数列的性质 • 等差数列的通项公式 • 等差数列的求和公式 • 等差数列的应用 • 等差数列的习题与解析
01
CATALOGUE
等差数列的定义
等差数列的文字定义
总结词
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项的差是一 个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的数字排列，其中任意两个相邻项之间 的差是一个固定的值，这个值被称为公差。在等差数列中， 首项和末项是固定的，而其他项则可以通过首项、末项和公 差进行计算。
等差数列的数学公式定义
总结词
等差数列的数学公式可以用来表 示任意一项的值。
详细描述
等差数列的数学公式是 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公差 ，n 是项数。这个公式可以帮助 我们快速计算出等差数列中的任 意一项。
04
CATALOGUE
等差数列的求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，通过累加法推 导得出求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的通项公式，通过代数 运算推导得出求和公式。
公式应用
应用场景一
计算等差数列的和，例如计算 1+2+3+...+n的和。
应用场景二
解决与等差数列相关的实际问题，例 如计算存款的本金和利息之和。
，公差是多少？
进阶习题
进阶习题1
进阶习题2
题目：已知一个等差数列的前三项依次为 a-d, a, a+d，如果该数列的第2008项为 2008，那么它的第10项是什么？

计算复利下的本息和
对于复利储蓄，每年获得的利息会加入本金继续生息，因此也可以利用等差数列模型进 行计算。
物品堆放问题求解
堆放物品总数计算
在物品堆放问题中，每层物品数 量相同且逐层递增或递减，可以 利用等差数列求和公式计算堆放 的总数量。
求解堆放高度
当知道每层物品的高度和数量时 ，可以利用等差数列的性质求解 堆放的总高度。
利用一次函数的性质，可以研究等差数列的单调性、最 值等问题。
在平面几何中应用举例
等差数列在平面几何中可用于描述点 的坐标、线段的长度等。
利用等差数列的通项公式和前n项和 公式，可以解决平面几何中的一些问 题，如求点的坐标、线段的长度、图 形的面积等。
通过等差数列的性质，可以推导平面 几何中的一些定理和公式，如等差数 列求和公式与梯形面积公式的联系。
通项公式
an=a1+(n-1)d。其中，an表示第n项，a1表示首 项，d表示公差，n表示项数。
等差中项与等差数列关系
等差中项
在三个数a、G、b依次组成等差数列的前提下，G叫做的等差 中项。
等差中项与等差数列关系
若三个数a、G、b依次组成等差数列，则G是a和b的等差中 项，且2G=a+b（等差中项的二倍等于前项与后项之和）。
其他实际问题应用举例
01
计算运动员比赛成绩
在一些体育比赛中，如跳远、跳高等，运动员的成绩按照一定规则进行
排列，形成等差数列，可以利用等差数列的性质进行计算和分析。
02
求解交通拥堵问题
在交通拥堵问题中，车辆按照一定规律进行排列和行驶，也可以利用等
差数列模型进行分析和求解。
03
计算工程问题中的总量和进度
与其他数学知识点综合应用

( m, n, p, q N * )
19
等差数列的性质
性质 1．an＝am＋ (n－m)d (m，n∈N*)． 性质 2．若 m＋n＝p＋q(m，n，q，p∈N*)，则 am＋an
＝ap＋aq. 特别地：若 m＋n＝2p (m，n，q∈N*)，则则am＋an ＝2ap.
性质3.在等差数列{a
n
}中，a m m
即a, b, c成等差 2b a c b是a与c的等差中项
数列an中，若对任意n N *, 都有
an
,
an1
,
an
成
2
等
差
，
则
该
数
列
是
等差
数
列.
探究二 等差中项的应用
【例 1】（1） 与 的等差中项是
（4）三个数成等差数列，和为 12，积为 48 ，则这三个数为
.
.
变式：在等差数列an 中，若 m n p q ，求证：am an a p aq
(2)若a1 a2 a3 7, a4 a5 a6 3， 则a10 a11 a12
(3)方程 x2 52 x m x252 x n 0的四个根
组成一个首项为 23的等差数列，则 m n ；
【思维拓展】: 数列{an}, a1 5, an 3an1 3n 1
例3 （1）求等差数列8,5,2，…的第20项；
（2）等差数列-5，-9，-13，…的第 几项是-401？ （3）等差数列-5，-9，-13，…，321的项数？
变式二：首项为-24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是？
例4 等差数列 an 中，已知 a5 10, a12 31 （1）求 an; （2）判断数列的单调性； （3）若an 100 ，求 n的最小值；

等差为负数的等差数列
当公差d<0时，数列为递减数列，通项公式为 $a_n = a_1 + (n1)d$。
特殊情况
当 $a_1 = 0$ 时，无论公差d取何值，数列均为非负数列。
03
等差数列的求和公式
等差数列求和公式的推导
公式推导
通过等差数列的性质，将等差数列的项进行分组求和，再利用等差 数列的性质简化求和过程，推导出等差数列的求和公式。
实例演示
以数列 3, 7, 11, 15, ... 为例，第 一项 $a_1 = 3$，公差 $d = 4$ ，代入公式得到通项 $a_n = 3 + (n-1) times 4 = 4n - 1$。
等差数列通项公式的应用
求任意项的值
根据通项公式，我们可以求出任意一 项的值，例如第10项 $a_{10} = a_1 + 9d$。
等差数列与函数
等差数列可以看作一种特殊的函数，其图像为直线。理解等差数 列与函数的关系有助于加深对两者概念的理解。
等差数列与几何
在几何学中，等差数列的概念可以应用于图形构造，如等分线段、 等分面积等。
等差数列与三角函数
等差数列的项可以表示为三角函数的值，这为解决一些数学问题提 供了新的思路。
等差数列在实际生活中的应用
等差为0的等差数列
01
对于公差为0的等差数列，其求和公式为Sn = n * a1。
等差为常数的等差数列
02
对于公差为常数的等差数列，可以利用等差数列求和公式进行
求解。
等差数列的变种
03
对于一些特殊的等差数列，如等比数列、等积数列等，需要采
用其他方法进行求解。
04
等差数列的综合应用

等差与等比的综合应用
在解决某些数学问题时，可能需要综合考虑等差数列和等比数列的知识点，利 用它们的性质进行推导和计算。
等差数列的变种形式
线性递增与线性递减数列
线性递增数列是指每一项都比前一项大一个固定值的数列；线性递减数列是指每 一项都比前一项小一个固定值的数列。这两种数列都可以视为等差数列的特殊情 况。
现代应用领域
等差数列不仅在数学领域有广泛应用，还在物理、工程、经济等领域有实际应用价值。例 如，在物理学中的周期性现象、工程中的材料设计、经济学中的数据分析等方面，都可以 看到等差数列的身影。
THANKS
感谢观看
等差数列的通项公式
通项公式的推导
根据等差数列的定义和性质，可 以推导出通项公式a_n=a+(n-1)d 。
通项公式的应用
通项公式可以用于计算等差数列 中的任意一项，也可以用于判断 一个数列是否为等差数列。
02
等差数列的求和
等差数列求和公式
公式定义
等差数列求和公式是用于计算等差数列前n项和的公式， 其公式为Sn=n/2 * (a1+an)或者Sn=d/2 * n^2 + (a1 d/2) * n，其中a1是首项，an是第n项，d是公差，n是项 数。
高中数学22《等差数列 》课件1必修
目 录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的求和 • 等差数列的应用 • 等差数列的拓展知识
01
等差数列的定义与性质
等差数列的定义
等差数列的定义
一个数列，从第二项开始，每一项与它的前一项的差都等于同一 个常数，这个数列就叫做等差数列。
等差数列的英文表示
Arithmetic Progression，简称AP。