高等代数小论文选题

高等代数实践小论文代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线性方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。

发展到这个阶段，就叫做高等代数。

高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。

《高等代数I 》主要介绍了多项式、行列式、矩阵以及线性方程组的相关知识并建立了联系。

其相关具有代表性的习题如下：1.设a,b 为两个不相等的常数，则多项式f(x)被(x-a)(x-b)除所得余式为_____.解答：设r(x)=cx+d,其中∂(r(x))<2.f(x)=(x-a)(x-b)g(x)+cx+d,f(a)=ca+d,f(b)=cb+d,联立可解得c=f (a )−f(b)a−b ,d=f(a)-a f (a )−f(b)a−b 故r(x)= f (a )−f(b)a−b x + f(a)-a f (a )−f(b)a−b .Thoughts of mine:已知除式为2次则可由余式的次数小于除式得到余式的次数，进而带入已知数求解。

2.设f(x)=3x 4-41x 3-53x 2-101x+7,求f(15).解答：由余数定理,f(15)即为f(x)除以15所得的余数.做综合除法可得f(15)=67.Thoughts of mine:余数定理即可得此时的值,没有必要将15代入求解.3.求f(x)=x 7+2x 6-6x 5-8x 4+17x 3+6x 2-20x+8的根.解答:f ’(x)= 7x 6+12x 5-30x 4-32x 3+51x 2+12x-20.则(f(x),f ’(x))= x 5+x 4-5x 3-x 2+8x-4.f(x)((f (x ),f ′(x ))=x 2+x-2=(x+2)(x-1). 根据f(x)的常数项可以得到,f(x)=(x +2)3(x −1)4.故f(x)的根为1,-2.Thoughts of mine:对于有些多项式来说,单看公因子判别是否为有理根的情况很多且很复杂,先去掉次数的方法相对容易.4.已知f(x)=x 3+a x 2+bx+c,a,b,c ∈Z.求证:若ac+bc 为奇数,则f(x)无整数根.证:假设f(x)有整数根α,则有α|c.由于(a+b)c 为奇数,故a+b,c 均为奇数,故α也为奇数.则x-α|f(x),设f(x)=(x-α)q(x),其中q(x)为整系数多项式.f(1)=(1-α)q(1)=1+a+b+c,而1+a+b+c 为奇数,但1-α为偶数,矛盾. 故f(x)无整数根.Thoughts of mine:奇偶矛盾是反证法常用的一种矛盾,不管是次数矛盾还是根的奇偶都容易得到,也就容易推出矛盾.5.已知x+y+z=0,xyz ≠0,,求x 2yz +y 2xz +z 2xy 的值.解答: x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz .令f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3,首项为x 3.故f(x,y,z)=σ13+a σ1σ2+b σ3,其中σ1= x+y+z=0.故f(x,y,z)=x 3+y 3+z 3=-6=-2b,故b=3.则x 2yz +y 2xz +z 2xy =x 3+y 3+z 3xyz =3σ3σ3=3.Thoughts of mine:表成初等对称多项式可以解决很多对称多项式的求值问题或求方程组的解的问题.例如：解方程组{x +y +z =2,(x −y)2+(y −z)2+(z −x)2=14,x 2y 2z +x 2yz 2+xy 2z 2=2.解答:σ1=x+y+z=2=-a 1,对方程组作加减变换,可得x 2+y 2+z 2-(xy+xz+yz)=7,xyz(xy+yz+xz)=2,x 2+y 2+z 2+2(xy+xz+yz)=4,故xy+xz+yz=σ2=-1=a 2,xyz=σ3=-2=-a 3.故x,y,z 为方程f(x)=x 3-2x 2-x+2的三个根,易得x=1为一个有理根. 用综合除法可得f(x)=(x-1)(x+1)(x-2),故f(x)的三个根为1,-1,2.6.已知5阶行列式5123452221127312451112243150D ==.求414243A A A ++ 和4445A A +.解答:设x=414243A A A ++,y=4445A A +则D 5=414243A A A +++2（4445A A +）=x+2y=27,若将第四行换成与第二行相同的数字,则有D′5=|1 2 3 4 52 2 2 1 13 1 24 52 2 2 1 14 3 15 1|=0,则D′5=2x+y=0.联立可解得x=-9,y=18.Thoughts of mine:因为A ij 为代数余子式,故可看成按某一行全为1或2展开即行列式的值.类似地,还有| 2 1 5 41 2 3 1−1 0 2 3 3 1 0 −1|,求M 13-M 23-2M 43的值.简解: M 13-M 23-2M 43=1∙A 13+1∙A 23+0∙A 33+2∙A 43=| 2 1 1 41 2 1 1−1 0 0 33 1 2 −1|,即将第三列元素换为代数余子式前的系数.7.求行列式的值:|1 1 1a b c a 3 b 3 c 3|.解答：|A |=| 1 1 1 1a b c y a 2 b 2 c 2 y2a 3 b 3 c 3 y 3|,原行列式的值即为该行列式求值后y 2的系数的相反数.显然，|A |是Vandermonde 行列式, |A |=(y-a)(y-b)(y-c)(b-a)(c-a)(c-b), 由根与系数的关系可得y 2的系数为-(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b),故所求原行列式的值为(a+b+c)(b-a)(c-a)(c-b)= a 2+ b 2+c 2.Thoughts of mine:与Vandermonde 行列式类似的情形可转化为Vandermonde 行列式,根据根与系数的关系求解.8. R 是实数域，对任意正整数m n ≥，证明：在n R 中存在m 个向量12,,,m ααα，使其中任意n 个向量线性无关.解答:令α1=(1,1,1,⋯,1),α2=(1,2,22,⋯,2n−1),⋯,αm =(1,m,m 2,⋯,m n−1),将其排成列矩阵,A=[1⋯1⋮⋱⋮1 ⋯m n−1],任意取其中n 列都可能到一个方阵,且这个方阵取行列式为Vandermonde 行列式.由于1,2,⋯,m 各不相等,故|A |≠0,即其中任意n 个向量线性无关.Thoughts of mine:Vandermonde 行列式的值易求得,且容易构造,所以取特殊情况构造时可以选择Vandermonde 行列式.9. 百鸡术：母鸡每只5钱，公鸡每只3钱，小鸡3只1钱，百钱买百鸡，各买几何？解答：设买母鸡、公鸡、小鸡数分别为x,y,z.则可得线性方程组和约束条件:{x +y +z =100,5x +3y +13z =100且100≥x ,y,z ≥0,3|z.A̅=[1 1 11005 3 13100]→[1 0 −43−1000 1 73200],故{x=43z−100,y=−73z+200根据约束条件z=75,78,81,84,故可以得到四组解{x=0,y=25,z=75.{x=4,y=18,z=78.{x=8,y=11,z=81.{x=12,y=4,z=84.Thoughts of mine:可用线性方程组解决实际问题,但应注意的是,在用线性方程组解决实际问题时要注意实际问题的约束条件.类似的还有, 将军点兵，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问兵几何？（求在500至1000范围内的解）10.已知A是方阵,A2-A-2E=0,则A−1=_______,(A+2E)−1=__________.解答：A2-AE-2E=0，A(A-E)=2E,所以A−1=A−E2.(A+2E)(A-3E)=-4E,所以(A+2E)−1=-A−3E4.Thoughts of mine:求A−1需要对已知的式子进行变形,得到A A−1=E,从而得到所求结果.。

数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。

莆田学院毕业论文题目数学归纳法及其在图论中的应用学生姓名余晶晶学号510401425专业数学与应用数学班级数本054指导教师陈梅香二00九年五月十日目录0引言 (1)1数学归纳法的理论基础 (2)1.1数学归纳法的理论基础是Peano公理 (2)1.2第一数学归纳法 (2)2数学归纳法的基本步骤 (2)2.1n的取值 (2)2.2验证初值 (3)3数学归纳法的其他形式 (4)3.1第二数学归纳法 (4)3.2跳跃数学归纳法 (4)3.3反向数学归纳法 (6)3.4二重数学归纳法 (7)4数学归纳法原理在图论中的应用 (8)4.1对顶点数进行归纳证明 (8)4.2 对边数进行归纳证明 (9)4.3 对顶点集（或边集）的子集中的元素个数进行归纳证明 (9)4.4图论中其他与自然数有关命题的归纳证明 (10)结束语 (12)致谢 (13)参考文献 (13)数学归纳法及其在图论中的应用余晶晶（数学与应用数学指导老师：陈梅香）摘要：本文介绍了数学归纳法原理的两个基本步骤，以及由它的基本原理推导出的数学归纳法的其他四种形式，包括：第二数学归纳法、跳跃数学归纳法、反向数学归纳法、二重数学归纳法，并给出这四个数学归纳法及其应用，并应用数学归纳法、证明图论中的图的顶点数、边数、顶点集或边集、距离、途径等等各个方面与自然数n有关的命题。

关键词：数学归纳法形式归纳假设基本步骤图论Abstract：This paper introduces the principle of mathematical induction of the two basic steps, as well as thebasic principles of it deduce the mathematical induction of the other four forms, including: Second mathematicalinduction, jumping mathematical induction , reverse mathematical induction, double mathematical induction,and gives the theorem of the four mathematical induction and its applications, and prove some proposition aboutnatural number n by mathematical induction in graph theory, such as the proposition about vertices of thegraph, edge, vertex set or edge set, distance, and so on in graph theory.Keywords: mathematical induction form inductive assumption basic step graph theory0引言（）的一种推理方法。

关于开题报告论证的说明时间：5月22日（周二）8:00-9:50地点：3-214 5月24日（周四）8:00-9:50地点：3-304每人报告时间：3-5分钟内容包括：选题的目的意义、研究问题的思路、解决的关键问题以及论文的总体结构。

提交时间：5月31日（周日）电子版（纸质的与论文一起交）数学1101-3班课程论文选题柴健2：矩阵是营养基础（自己命题）孔胜江2：分块矩阵的性质及应用（自己命题）郑海乐2、徐孝敬1、张朋3、孙伟3：《高等代数》课程学习感悟姚登明2、姜文豪3：《高等代数》中的。

方法莫家凤2：高等代数有关理论的等价命题胡立广2、郭永升2、张震宇1：高等代数理论在金融中的应用吴娜2、许青松2、韦若琳1：行列式计算方法综述王芬2、高雅1、葛静文1：关于向量组的极大无关组张志俊2、马凤巧2、洪丽珠1：. 线性方程组求解方法综述郑可欣2、胡玲2、郭莉1：向量的应用王腾2：矩阵多项式的性质及应用张建坤2、王晶2：关于分块矩阵廖西建2：分块矩阵的初等变换及应用沈冬雪2、李凌寒2、代华斌1：矩阵初等变换及应用罗潇2：矩阵变换的几何特征于湘宁2、蔺悦3、霍新勤3：二次型正定性及应用陈娣2、蔡雪2、马丽1：关于线性变换的若干问题王瑞珊2、齐海燕3：矩阵等价、合同、相似的关联性及应用、訾利平2：多项式不可约的判别方法及应用邓萍萍2、宋鹏1：二次型矩阵的性质与应用吴媛2：相似矩阵的若干应用张静贻2、边普顺2、杨晶晶1：高等代数理论在经济学中的应用宋依1、张立旺3：金融中的数学乔晓光1、杨鹏1：高等代数与解析几何的关联性刘梦娇1、曹蕾1：行列式理论的应用性研究王磊1、李懿3：反例在高等代数中的应用李亚军1、黄玢1、刘昕3：数学软件在高等代数中的应用朱飞天1、李琦3：矩阵运算在经济中的应用王晶1、吴楠1 、王彦清3：高等代数有关理论的应用实例吴桂雯1：关于欧式空间的若干问题段海龙1、徐敏3、浦桐桐3：哈密顿-凯莱定理及其应用逯孝东1、张越1 、刘学3：高等代数在生活中的应用张洁1、査欣欣3、郭晓军3：线性方程组的应用肖俊梓3、朱金云1、张冰清3：行列式理论的应用性研究朱洪彬3：范德蒙行列式的一些应用高浩霖3、孙英英3、杜金金3：分块矩阵的初等变换及应用蒙萌3、孟欢3：二次型的化简及应用柳向玲3、邵池3：线性变换的应用郭士宝3、李芹芹3：特征值与特征向量的应用李昊3：我眼中的高等代数胡先慧3：高等代数理论在营销的应用赵蕾3、吴碧凡3：多项式不可约的判别方法及应用黄俊豪3：矩阵标准型的思想及应用关于高等代数课程论文的说明基于社会对高等教育人才的能力要求及我校人才培养目标的宗旨，拟对数学类学科基础课《高等代数（下）》的考核方式进行调整，将原平时成绩：期末成绩=3：7调整为4：6，平时考核内容增加“课程论文”一项，所占分数为10分。