高频金融时间序列统计特征

基于持续期模型对高频金融数据分析钱有程;王暘【摘要】本文意在研究高频金融数据具有的性质和特点以及时间序列持续期模型的适用性.利用中国石油2014年6月9日至6月18日8个交易日1分钟高频交易数据,用时间序列持续期模型进行分析,得到交易的相互依赖现象,说明股票交易期间的具有聚集效应.这说明短时间间隔伴随着短交易时间,长时间间隔伴随长交易时间.同时也说明股票交易具有间歇性频繁、平淡,也验证了持续期模型对研究高频数据的特性的合理性.【期刊名称】《吉林化工学院学报》【年(卷),期】2014(031)009【总页数】3页(P81-83)【关键词】持续期模型;Ljung-Box统计量;高频金融数据【作者】钱有程;王暘【作者单位】吉林化工学院理学院,吉林吉林132022;商务部国际贸易经济合作研究院,北京100710【正文语种】中文【中图分类】O212.1高频金融数据是指在细小的时间间隔上抽取的金融交易观测值.数据的获得与处理方法的发展，使得高频数据的获取成为现实，并且受到微观市场研究者的广泛关注［1］.Cho，Russell，Tiao，和 Tsay(2000)利用在台湾股市交易所中交易的340多只股票在一天中的每5分钟的收益率，研究设定日股价上下限的影响，发现了向股价上限趋近磁效应的显著证据［2］.同时，高频数据还有一些低频数据不会出现的独特特征.本文中，我们主要研究这些特殊的特征，考虑分析高频数据的方法，并且讨论所得结果的应用.本文利用持续期模型对中国石油2014年6月9日至6月18日8个交易日1分钟高频交易数据进行分析及其应用.1 高频数据及其模型高频数据具有一些低频数据不会出现的独特特征，从而，对于这些数据的分析给金融经济学家统计学家提出了新的挑战.1.1 非同步交易不同的股票有着不同的交易频率，交易并不是同时发生的;即便是同一种股票，其交易强度也是一小时一小时地、一天一天的变化的.对于日序列，股价指的是其收盘价格.如果我们假定日收益率序列在24小时里是等间隔的往往是不正确的.实践证明，即使是在真实的收益率序列是前后独立的时候，这种假定可以导致股票收益率可预测性的错误的结论.对于股票日收益率，非同步交易可以导致股票收益率之间的一步延迟交叉相关，组合收益率的1步延迟序列相关，以及在某些情形下，单只股票收益率序列的负序列相关.1.2 买卖报价差以标价Pb购买，以更高的叫价Pa卖出(对公众来说，Pb是卖出价格，Pa是买入价格).1.3 交易数据的经验特征不等间隔的时间区间:交易(如交易所里面的股票交易)不是在等间隔的时间区间上发生的.日周期或者日模式的存在:在正常交易条件下，交易活动能够展示周期模式，交易之间的时间持续期亦呈现日循环模式.此外高频数据还具有一秒钟多重交易的特性.1.4 持续期模型持续期模型是研究交易之间的间隔.较长的持续期预示着较少的交易活动，反过来表明了一个没有新消息的时期.日内交易展示了一些日模式.因此，我们集中讨论调整的时间持续期我们运用简单的二次函数与示性变量来处理日交易活动中确定的组成部分.1.5 ACD模型自回归条件持续期(ACD)模型利用GARCH模型的实现来研究方程(1)中调整的时间持续期的动态结构.为了记号的简便，定义xi=.2 对中国石油数据的实证分析数据来源于证券之星网站的分钟行情，从2014年6月9日至2008年6月18日8个交易日内的中国石油股票的1 min高频交易数据，合计共1933个交易数据.如果每天中国石油的股票价格变动0.02元，即1 d内只要中国石油前后交易价格超过0.02元，我们就认为一次交易发生了.经过这样的截断后，得到511笔交易数据.然后利用Xi=ti－ti－1，对511笔计算交易之间交易的时间间隔，交易的时间间隔的均值是3.788 6 s，标准差3.953 4，最小值 1 min，最大值是 29 min.然后计算交易的时间间隔的自相关系数和偏相关系数:前二十阶自相关系数依次为1.0000，0.1275，－0.001 8，0.026 1，0.004 6，－ 0.020 7，0.075 2，0.093 9，0.023 3，－0.019 1，－0.032 9，－0.057 8，－ 0.022 8，0.002 8，－0.004 8，－ 0.063 3，－0.054 2，－0.042 2 0.082 7，0.041 0，－0.069 0，以及滞后15阶的Ljung-Box统计量为Ljung-Box(15)=630.696 6［3］.由 Engle 的 ACD 模型的定义，股票的交易持续期间的相互关系通过条件期望ψi=E(xi|xi－1，…，x1)来完成刻化，其中Ψi可表示为Ψi－1和 xi－1的线性函数，通过检验“标准化”的持续期间εi=xi/Ψi的线性相关性，我们从模型的角度看数据是否具有聚集现象［4］.由于自回归条件持续期(ACD)模型利用GARCH模型的思想，采用最简单的ACD(1，1)模型，因此利用 Matlab金融工具箱中的估计GARCH模型参数的方法估计式(1.21)中的参数ω，γ1，ω1.表1 是中国石油 ACD(1，1)模型的参数估计结果.表1 中国石油ACD(1，1)模型的参数估计结果参数估计值标准误差 Z 204 3 v1 0.030 058 0.302 43 10.803 w1统计量w 0.265 3 0.473 76 1.0.881 8 0.048 536 36.333 2因此，对(1.21)式的估计结果为Ψi=0.265 3+0.03xi－1+0.881 8Ψi－1，之后，利用ε′i=xi/Ψ′i求出标准持续期，图1和图2分别为调整持续期和标准持续期的时间图.图3和图4分别为调整持续期和标准持续期的自相关函数图.图1 调整持续期图2 标准持续期图3 持续期序列样本图4 εi的样本ACF通过检验“标准化”的持续期间ε′i=xi/Ψ′i的自相关性，我们从模型的角度来看数据是否具有聚集现象.表2是中国石油波动率GARCH参数结果.表2 中国石油的收益率GARCH(1，1)模型的参数估计结果收益率方程系数估计值标准误差 Z 统计量α0 0.192 14 0.045 087 4.261 5 0.011 022 0.000 8225 213.399 7 α1 0.364 89 0.104 01 3.508 2 β1由此，可得收益率方程的估计为=0.011+0.365+图5 对数收益率图6 对数收益率ACF3 结论利用Ljung-Box统计量来检验与的相关性.在延迟l5阶的情况下，中石油持续期间的相关性检验统计量的值为630.696 6，远远大于5%水平的临界值25，拒绝15阶自相关系数都为0的原假设，说明持续期间xi存在显著的自相关性.而在延迟15阶的情况下，中石油的相关性检验统计量的值为573.614 7，同样大于5% 水平的临界值25，无法拒绝前15阶自相关系数都为0的原假设.这说明ACD模型很好地解释了交易持续期间的相互依赖现象［5］.说明我国股市中，明股票交易具有间歇性频繁、平淡，同时也验证了持续期模型在研究高频数据方面特性的合理性. 参考文献:【相关文献】［1］ Ruey S.Tsay(著)，潘家柱(译).金融时间序列分析［M］.北京:机械工业出版社，2006. ［2］张小涛，祝涛.针对高频数据的中国股市磁吸效应研究［J］.重庆理工大学学报:自然科学，2014，28(1):123-127.［3］屈博，魏平.基于高频数据的我国股票市场弱式有效性检验［J］.中国物价，2014(1):76-78. ［4］常宁，徐国祥.金融高频数据分析的现状与问题研究［J］.财经研究，2004，30(3):31-39. ［5］余臻，王苏生，李育补.基于高频数据的股指期货和ETF指数套利研究［J］.华北电力大学学报:社会科学版，2014(2):40-46.。

金融资产收益率时间序列的主要统计特征
金融资产收益率的时间序列具有以下主要统计特征：
1. 平均值（Mean）：资产收益率的平均值反映了资产预期的平均收益水平。

它可以帮助投资者了解资产的长期表现和潜在收益。

2. 标准差（Standard Deviation）：资产收益率的标准差是衡量收益波动性的指标。

较高的标准差表示资产收益波动较大，风险较高。

标准差可以帮助投资者评估资产的风险水平。

3. 偏度（Skewness）：资产收益率的偏度描述了收益率分布的不对称性。

正偏表示高收益的机会较多，负偏表示低收益的机会较多。

偏度可以帮助投资者了解收益率分布的偏斜程度。

4. 峰度（Kurtosis）：资产收益率的峰度描述了收益率分布的尾部厚度。

高峰度表示尾部风险较大，低峰度表示尾部风险较小。

峰度可以帮助投资者了解资产收益率的风险特征。

5. 自相关性（Autocorrelation）：资产收益率的自相关性表示收益率与其过去值之间的相关程度。

自相关性可以帮助投资者了解资产收益的趋势和预测未来收益率。

6. 百分位数（Percentiles）：资产收益率的百分位数可以帮助投资者了解特定收益水平的概率。

例如，第25百分位数表示有25％的可能性收益率低于该值。

这些统计特征可以通过统计学方法和计算工具来计算和分析，帮助投资者评估资产的风险和收益特征，并作出相应的投资决策。

金融时间序列数据建模与研究金融领域的数据分析越来越受到重视，时间序列数据建模与研究成为了金融数据分析的重要工具。

本文将介绍金融时间序列数据的特点、建模方法以及相关研究进展。

一、金融时间序列数据的特点金融时间序列数据是指随着时间推移而获取的金融数据，具有以下几个特点：1. 非平稳性：金融时间序列数据往往具有趋势和季节性，不符合平稳性的假设。

在建模过程中需要采取相应的处理方法，例如差分和对数转换等。

2. 波动性聚集性：金融时间序列数据中存在波动性的聚集现象。

这意味着金融市场存在一段时间的高度波动和一段时间的低度波动，这种现象被称为“波动性聚集”。

3. 长尾分布：金融时间序列数据中的极端事件发生的概率较高，其分布往往呈现长尾分布。

在建模时需要考虑如何合理地处理极端事件的影响。

二、金融时间序列数据建模方法针对金融时间序列数据的特点，研究者提出了多种建模方法，以尽可能准确地抓取数据背后的规律。

以下是几种常用的建模方法：1. 自回归移动平均模型（ARMA）：ARMA模型是一种基于线性时间序列的模型，通过对序列的自回归和移动平均进行建模，进而对未来的值进行预测。

2. 广义自回归条件异方差模型（GARCH）：GARCH模型在ARMA模型的基础上引入了条件异方差性，用于描述金融时间序列数据的波动性。

它在建模股票收益率等金融指标时具有广泛应用。

3. 强化学习方法：强化学习是指通过试错和反馈机制来优化策略的一种机器学习方法。

在金融领域，强化学习可以应用于股票交易、资产配置等问题，以寻找最优的决策策略。

三、金融时间序列数据建模的研究进展金融时间序列数据建模是一个不断发展的研究领域，近年来取得了一些重要的研究成果。

以下是几个研究进展的方向：1. 非线性建模：传统的线性模型无法很好地捕捉金融时间序列数据中的非线性关系。

因此，研究者致力于发展各种非线性模型，例如神经网络模型和支持向量机模型等。

2. 高频数据建模：随着金融市场交易速度的提升，高频数据成为了研究的热点。

金融数据中的时间序列特征提取方法研究金融数据中的时间序列特征提取方法研究时间序列是金融数据中的一种重要形式，其包含了随时间变化的一系列数据点。

金融时间序列通常由经济指标、股票价格、利率等变量组成，对金融市场进行分析和预测具有重要意义。

为了从金融时间序列中提取有用的信息，研究者们开发了各种时间序列特征提取方法。

1. 基本统计特征提取方法基本统计特征提取方法是最常见的时间序列特征提取方法之一。

它包括了平均值、方差、最大值、最小值、偏度、峰度等统计量的计算。

这些统计特征可以反映时间序列的中心趋势、稳定性和分布形态，对于了解时间序列数据的基本情况非常有用。

2. 频域特征提取方法频域特征提取方法通过将时间序列转换到频域中进行分析，可以揭示时间序列中的周期性和振荡特征。

常见的频域特征提取方法包括傅里叶变换、小波变换和自相关函数。

这些方法可以提取出时间序列的频谱特征，如频率、功率谱密度、频带能量等，有助于分析时间序列的周期性和频率特征。

3. 基于时间窗口的特征提取方法基于时间窗口的特征提取方法将时间序列分成若干个连续的时间窗口，然后对每个时间窗口中的数据进行特征提取。

这种方法可以捕捉时间序列的局部模式，并且对于非平稳时间序列的特征提取更为适用。

常见的基于时间窗口的特征提取方法包括滑动窗口统计特征、滑动窗口自相关和建模等。

4. 基于机器学习的特征提取方法近年来，机器学习算法在金融领域的应用日益广泛。

机器学习方法可以自动学习时间序列的特征表示，并且在许多金融预测任务中取得了优异的效果。

常见的基于机器学习的特征提取方法包括基于深度学习的神经网络、支持向量机和随机森林等。

这些方法可以从时间序列中提取出经过学习的高级特征，具有更好的数据表示能力。

总结起来，金融数据中的时间序列特征可以通过基本统计特征、频域特征、基于时间窗口的特征和基于机器学习的特征提取方法进行提取。

这些特征可以帮助我们从金融时间序列中提取有用的信息，揭示时间序列的规律和潜在的关联性，对金融市场的分析和预测具有重要意义。

金融时间序列分析课程属性：公共基础/通识教育/学科基础/专业知识/工作技能，课程性质：必修、选修一、课程介绍1.课程描述：金融时间序列分析课程主要讲述时间序列分析方法在金融领域的应用，运用计量模型研究金融数据的特征，对金融市场主要指标进行分析、拟合及预测。

本课程针对高年级金融学专业学生开设，课程内容包括：金融时间序列数据统计特征、线性平稳时间序列模型、波动率模型、非平稳时间序列模型、向量自回归模型等。

通过课程学习，要求学生掌握金融时间序列数据的统计特征，金融计量的建模思想，能够利用这些理论方法并借助计算机软件对实际问题进行建模和分析，进而提升对数理金融知识的综合运用能力。

2.设计思路：本课程针对高年级金融学专业学生开设，旨在提升学生对于金融市场相关理论、统计建模及计算机软件的综合运用能力。

课程内容的选取基于“学生掌握了概率统计及计量经济学相关内容”。

课程内容包括理论介绍及案例分析，两个层面内容相辅相成。

理论层面主要介绍金融数据统计特征、平稳及非平稳时间序列模型、波动率模型、向量自回归模型等；案例分析主要针对上述几大模块结合真实金融数据，向学生展示如何通过R软件对实际问题进行分析。

3. 课程与其他课程的关系：先修课程：高等数学，线性代数，概率统计，计量经济学；并行课程：金融工程，金融风险管理。

本课程与利息理论，金融工程，金融风险管理以及投资学构成数理金融课程群，内容和要求各有侧重，联系密切。

二、课程目标通过本门课程的学习，学生将增进对金融市场的了解，学会运用金融计量模型对金融数据进行拟合及预测，结合金融学理论对金融市场相关现象进行解释。

本门课程将提升学生对金融学理论知识、统计建模、计算机软件的综合运用能力。

三、学习要求要完成所有的课程任务，学生必须：（1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论和随堂练习。

本课程将包含较多的随堂练习、讨论、小组作业展示等课堂活动，课堂表现和出勤率是成绩考核的组成部分。

统计学在金融市场中的高频数据分析技术随着信息技术的快速发展，金融市场的交易数据以高频率产生，对投资者和交易员来说，如何从海量的数据中准确地获取有效信息并做出正确的决策变得尤为重要。

统计学作为一种重要的分析工具，为金融市场提供了高频数据分析技术，帮助投资者和交易员更好地理解市场行为、进行风险管理和优化投资组合。

一、高频数据的定义及特点高频数据是指以秒级或更短时间间隔记录的金融市场数据，主要包括股票、期货、外汇等交易品种的价格、成交量、订单簿等信息。

相比传统的日线或分钟线数据，高频数据具有以下特点：1. 高精度：高频数据能够提供更准确、更详细的市场情况，尤其是对于价格变动的瞬时反应能力更强，可以帮助投资者及时把握市场机会。

2. 高频率：相较于传统数据，高频数据以更快的速度更新，投资者能够更及时地获取市场动态。

高频数据的快速更新速度也带来了更多的噪音，需要使用统计学方法进行有效的数据处理和分析。

3. 数据量大：由于高频数据的记录频率高，数据量大、速度快，需要强大的计算和储存能力来处理和存储这些数据。

二、高频数据分析的方法为了从大量的高频数据中提取信息、分析市场行为并进行决策，统计学提供了一系列的方法和技术。

以下是几种常见的高频数据分析技术：1. 均值回归模型：均值回归模型是一种基于时间序列的统计模型，通过对高频数据的历史价格变动进行分析，寻找价格异常波动的规律，根据均值回归的思想进行交易决策。

2. 协整分析：协整分析是一种通过寻找两个或多个变量之间的长期稳定关系的方法。

在金融市场中，通过协整分析可以找到股票、期货等资产之间的稳定关系，进而构建配对交易策略。

3. 时间序列模型：时间序列模型可以帮助投资者对高频数据进行建模和预测。

常用的时间序列模型包括ARMA、ARIMA、GARCH等，通过对历史数据进行拟合和预测，帮助投资者获取市场趋势和价格波动的信息。

4. 非参数检验：非参数检验是一种能够克服数据分布假设限制的统计方法，通过对高频数据的非参数分析，可以更准确地发现市场的非线性特征和异常情况。

统计学在金融市场中的高频数据分析方法在金融市场中，高频数据分析是一项关键的任务。

通过对高频数据的分析，可以帮助投资者和交易员更好地理解市场的变化和趋势，并作出准确的投资决策。

统计学是一种强大的工具，可以用于分析金融市场中的高频数据。

本文将介绍一些统计学在金融市场中的高频数据分析方法。

一、高频数据介绍高频数据是指在很短的时间内采集的数据，通常以秒为单位。

这些数据包括股票、期货、外汇等金融市场中的价格、成交量等信息。

相比于低频数据，高频数据更加精细和敏感，可以更好地反映市场的瞬时波动。

二、统计学在高频数据分析中的应用1. 时间序列分析时间序列分析是统计学中的一个重要方法，在高频数据分析中也得到了广泛的应用。

通过对时间序列数据进行建模和预测，可以揭示出市场的周期性、趋势性以及季节性等特征，为投资者提供决策依据。

常用的时间序列分析方法包括ARMA模型、ARIMA模型等。

2. 波动性分析波动性是金融市场中的一个重要指标，可以帮助投资者评估资产的风险水平。

在高频数据分析中，可以使用统计学方法对波动性进行测量和分析。

常见的波动性测量方法包括历史波动率、隐含波动率等。

3. 高频数据处理由于高频数据的精细性，往往会出现数据问题，如缺失数据、异常数据等。

统计学提供了一些方法来处理这些问题，例如插值法、滤波法等。

通过对高频数据进行处理，可以提高数据的准确性和可靠性。

4. 事件研究事件研究是一种常用的方法，用于研究特定事件对金融市场的影响。

在高频数据分析中，可以使用事件研究方法来分析特定事件对市场的影响程度和持续时间。

通过事件研究，可以帮助投资者更好地把握市场的变化和机会。

5. 机器学习算法机器学习是一种利用统计学习方法来构建模型和预测的技术。

在高频数据分析中，可以使用机器学习算法来挖掘数据中的模式和规律。

常见的机器学习算法包括支持向量机、随机森林等。

通过机器学习算法的应用，可以提高对高频数据的理解和预测能力。

三、案例分析为了更好地说明统计学在金融市场中的高频数据分析方法，我们以股票市场为例进行案例分析。

金融资产收益率时间序列的主要统计特征引言：金融资产收益率时间序列是研究金融市场波动性、风险和预测的重要工具。

了解金融资产收益率时间序列的主要统计特征有助于投资者和研究人员更好地理解和分析市场的动态。

本文将介绍金融资产收益率时间序列的主要统计特征，并说明其意义和应用。

一、均值均值是金融资产收益率时间序列的一个重要统计特征。

均值反映了资产收益率的平均水平。

通过计算均值，我们可以了解资产的预期收益情况。

均值可以帮助投资者判断市场的盈利能力。

二、方差方差是金融资产收益率时间序列的另一个重要统计特征。

方差反映了资产收益率的离散程度。

方差越大，资产收益率的波动性越高，风险也就越大。

方差可以帮助投资者评估资产的风险水平。

三、偏度偏度是金融资产收益率时间序列的一个衡量分布偏斜程度的统计特征。

偏度为正表示收益率分布右偏，为负表示左偏。

偏度越大，说明资产收益率分布的偏斜程度越大。

偏度可以帮助投资者判断收益率分布的形态。

四、峰度峰度是金融资产收益率时间序列的一个衡量分布峰态的统计特征。

峰度反映了收益率分布的尖峰程度。

峰度大于3表示分布比正态分布更尖峭，峰度小于3表示分布比正态分布更平坦。

峰度可以帮助投资者了解资产收益率分布的形态。

五、自相关性自相关性是金融资产收益率时间序列的一个重要特征。

自相关性反映了资产收益率之间的相关关系。

通过计算自相关系数，我们可以了解资产收益率的相关性和相关程度。

自相关性可以帮助投资者构建相关投资组合。

六、单位根检验单位根检验是金融资产收益率时间序列的一个重要统计方法。

单位根检验可以用来判断时间序列是否平稳。

平稳的时间序列具有稳定的均值和方差，更易于进行建模和预测。

单位根检验可以帮助投资者选择合适的模型和预测方法。

七、ARCH效应ARCH效应是金融资产收益率时间序列的一个重要现象。

ARCH效应指的是金融资产收益率的波动性会随着时间发生变化。

ARCH效应可以帮助投资者识别市场的风险溢价和投资机会。

金融市场的高频数据分析近年来，随着信息技术的快速发展和金融市场的日益复杂化，高频数据在金融市场中扮演着越来越重要的角色。

高频数据分析是指对市场中以秒级或毫秒级为单位的交易数据进行收集、处理和分析的过程。

通过对高频数据的深入分析，金融从业者可以更好地理解市场行为和价格波动的来源，从而制定更准确的交易策略。

一、高频数据的特点高频数据与传统的日内和日度数据相比，具有以下几个显著特点：1. 高频性：高频数据是以秒级或毫秒级为单位进行记录的，可以实时获取市场中的交易信息，反映市场的瞬时情况。

2. 大量性：每天金融市场产生大量的高频数据，包括交易价格、交易量、委托挂单等信息，数据量庞大。

3. 噪声性：由于市场中存在大量的噪声交易和非理性行为，高频数据中会包含很多无关信息或异常数据，需要通过合理的数据处理方法进行过滤。

4. 异质性：高频数据来自不同的交易所、证券品种和交易策略，数据来源和特征具有一定的异质性，需要在分析和建模时考虑。

二、高频数据的应用1. 交易策略开发：高频数据可以帮助金融从业者寻找市场中的交易机会。

通过对高频数据进行统计和量化分析，可以发现各种市场因子和价格波动的规律，进而构建有效的交易策略。

2. 风险管理：金融市场的波动性常常会带来潜在的风险。

通过对高频数据的分析，可以更好地识别市场中的潜在风险，并采取相应的风险管理策略，降低投资组合的风险暴露。

3. 金融监管与合规：高频数据是金融监管与合规工作中的重要数据源。

监管机构可以通过对高频数据的监测和分析，及时发现潜在的市场操纵、内幕交易等违法行为，维护金融市场的公平和透明。

4. 量化研究：高频数据为量化研究提供了更全面、更精细的数据基础。

研究人员可以通过对高频数据的分析，探寻金融市场的内在规律，进一步改进量化模型和算法。

三、高频数据分析的方法高频数据分析需要运用各种统计学和计量经济学的方法。

以下是一些常用的方法：1. 价格模型：通过对高频数据中的价格序列进行建模，可以揭示价格的动态变化规律，并预测未来的价格走势。

第1章金融时间序列及其特征金融时间序列分析考虑的是资产价值随时间演变的理论与实践.它是一个带有高度经验性的学科,但也像其他科学领域一样,理论是形成分析推断的基础.然而,金融时间序列分析有一个区别于其他时间序列分析的主要特点：金融理论及其经验的时间序列都包含不确定因素.例如,资产波动率有各种不同的定义,对一个股票收益率序列,波动率是不能直接观察到的.正因为带有不确定性,统计的理论和方法在金融时间序列分析中起重要作用.本书的目的是提供一些金融时间序列的知识,介绍一些对分析金融时间序列有用的统计工具,从而使读者获得各种经济计量方法在金融中应用的经验 .第1章引入资产收益率的基本概念,并简要介绍本书所讨论的一些过程 .第2章回顾了一些线性时间序列分析中的基本概念,如平稳性、自相关函数,引入了一些简单的线性模型来处理序列的序列相关性,并讨论了带时间序列误差、季节性、单位根非平稳性和长记忆过程的回归模型.当存在条件异方差性和序列相关时,该章给出了协方差阵相合估计的方法 .第3章着重讨论了条件异方差性(资产收益率的条件方差)的建模,讨论了新近发展起来的用来描述资产收益率的波动率随时间演变的各种经济计量模型.该章还讨论了波动率建模的其他方法,包括使用高频交易数据和一项资产的日最高价格和日最低价格进行建模 .第4章讨论了金融时间序列中的非线性性,引入了能区别非线性序列与线性序列的检验统计量,并讨论了几个非线性模型.该章还介绍了非参数估计方法和神经网络,并且展示了非线性模型在金融中的各种应用 .第5章考虑的是高频金融数据的分析,市场微观结构的影响及高频金融的应用,阐明了不同步(或不同时)的交易和买卖价格间的跳跃可能带来股票收益的序列相关性.该章还研究了不同交易之间持续时间的动态规律和一些分析交易数据的计量经济模型 .第6章引入了连续时间扩散模型和伊滕(Ito)引理,导出了Black-Scholes期权定价公式,并应用一个简单的跳跃扩散模型来刻画期权市场常见的一些特征 .第7章讨论了极值理论、厚尾分布及其在金融风险管理中的应用.该章还特别讨论了计算金融头寸风险值(VaR)及金融头寸的预期赤字的各种方法 .第8章着重讨论多元时间序列分析和简单的多元模型,重点在于分析时间序列之间的交叉延迟关系.该章还介绍了协整、一些协整检验以及门限协整,并用协整的概念来研究金融市场中的套利机会,包括配对交易 .第9章讨论了简化多元时间序列动态结构的方法和降低维数的方法,并介绍和演示了3种因子模型来分析多个资产的收益率 .第10章介绍了多元波动率模型,其中包括带时变相关系数的模型,同时还讨论了怎样对一个条件协方差阵进行重新参数化,使之满足正定性的限制,并降低波动率建模的复杂性 .第11章介绍了状态空间模型和卡尔曼滤波,还讨论了状态空间模型和本书中所讨论的其他计量经济模型之间的关系.该章还给出了在金融方面应用的几个例子.最后 ,第12章介绍了统计文献中一些新近发展起来的马尔可夫链蒙特卡罗方法,并把这些方法应用于各种金融研究的问题,如随机波动率模型和马尔可夫转换模型的估计.本书着重强调应用和实证分析.每章都有实际例子,很多时候经济计量模型的发展是由金融时间序列的实证特征来推动的.必要时,本书还提供了用来分析数据的计算机程序和命令.在某些案例中,程序已在附录中给出.书中各章的练习题也要用到很多实际数据.1.1资产收益率多数金融研究针对的是资产收益率而不是资产价格. Campbell, Lo和MacKinlay (1997)给出了使用收益率的两个主要理由：第一,对普通的投资者来说,资产收益率完全体现了该资产的投资机会 ,且与其投资规模无关 ;第二 ,收益率序列比价格序列更容易处理,因为前者有更好的统计性质.然而,资产收益率有多种定义.设 P t 是资产在 t 时刻的价格 .下面给出全书中要用到的一些收益率的定义 .暂时假定资产不支付分红. 单期简单收益率若从第 t − 1天到第 t 天 (一个周期)持有某种资产,则简单毛收益率为1+ R t = P t或 P t = P t −1 (1 + R t ) . (1.1)P t −1对应的单期简单净收益率或称简单收益率为P t Pt − P t −1R t = − 1= . (1.2)P t −1 P t −1多期简单收益率若从第 t − k 天到第 t 天这 k 个周期内持有某种资产 ,则 k-期简单毛收益率为P t Pt P t −1 P t −k+11+ R t [k]= = × ×· ··×P t −k P t −1 P t −2 P t −k=(1 + R t )(1 + R t −1) ··· (1 + R t −k+1)k −1= � (1 + R t −j ) .j=0这样, k-期简单毛收益率就是其所包含的这 k 个单期简单毛收益率的乘积 ,称为复合收益率 . k-期简单净收益率是 R t [k]=(P t − P t −k ) /P t −k .1.1资产收益率在实际中 ,确切的时间区间对讨论和比较收益率是非常重要的 (例如是月收益率还是年收益率 ).若时间区间没有给出 ,那么就隐含地假定时间区间为 1年.如果持有资产的期限为 k 年,则 (平均的)年化收益率定义为1/kk −1年化的{R t [k]} = (1+ R t −j ) − 1.j=0⎤⎦⎡⎣这是由它所包含的这 k 个单期简单毛收益率的几何平均得到的 ,可以用下式计算：⎤⎦年化的{R t [k]} = exp k1 k −1ln(1 + R t −j ) − 1,j=0⎡⎣其中 exp(x)表示指数函数, ln(x)是正数 x 的自然对数.因为计算算术平均值比计算几何平均值容易 ,并且单期收益率一般很小 ,我们可以用一阶泰勒 (Taylor)展开来近似年度化的收益率,得到k −1年化的{R t [k]}≈k1 R t −j . (1.3)j=0然而,在有些应用中, (1.3)式近似的精度可能不够.连续复合在引进连续复合收益率之前 ,我们讨论一下复合的效果 .假定银行存款的年利率为 10%,最初存款为 1美元 .如果该银行每年支付一次利息 ,那么 1年之后存款的净值变为 1美元 ×(1 + 0.1) = 1.1美元 .如果该银行半年付息一次 ,6个月的利息率是 10%/2 = 5%,第 1年之后净值是 1美元 × (1 + 0.1/2)2=1.102 5美元 .一般地,如果银行 1年付息 m 次,那么每次支付的利息率为 10%/m,1年后存款的净值变成 1 × (1 + 0.1/m)m美元 .表 1-1给出了年利率为 10%时一些常用的时间间隔下存款 1美元的结果 .特别地 ,净值趋于 1.1052美元 ≈ exp(0.1)美元 ,这个值就是连续复合的结果.于是,我们可以清楚地看到复合的效果.一般地,连续复合的资产净值 A 为A = C exp (r × n) , (1.4)其中 r 是年利率, C 是初始资本, n 是年数①.由 (1.4)式,我们有C = A exp (−r × n) , (1.5)叫作 n 年后价值为 A 的资产的现值 ,这里我们假定连续复合的年利率为 r.1-1复合效果的演示：期限为 1年,年利率为 10%类型支付次数每期的利率净值一年 1 0.1 $1.100 00半年 2 0.05 $1.102 50季度 4 0.025 $1.103 81月 12 0.008 3 $1.104 71周 52 0.1/52 $1.105 06天 365 0.1/365 $1.105 16连续地 ∞ $1.105 17连续复合收益率资产的简单毛收益率的自然对数称为连续复合收益率或对数收益率 (log-return)Pt�r t = ln(1+ R t )=ln = p t − p t −1, (1.6)P t −1其中 p t = ln P t .与简单净收益率 R t 相比 ,连续复合收益率 r t 有一些优点 .首先 ,对多期收益率,我们有r t [k]= ln(1+ R t [k]) = ln[(1+ R t)(1 + R t−1) ···(1 + R t−k+1)] = ln(1+ R t) + ln(1 + R t−1)+ ···+ln(1 + R t−k+1) = r t + r t−1 + ···+ r t−k+1.这样,连续复合多期收益率就是它所包含的连续复合单期收益率之和.其次,对数收益率具有更容易处理的统计性质.资产组合收益率若一个资产组合由N个资产组成,则该资产组合的简单净收益率是它所包含的各个资产的简单净收益率的加权平均,其中每个资产所占的权重是该资产的价值占资产组合总价值的百分比.设p是一个资产组合,它在资产i上的权重为w i,那N么p在t时刻的简单收益率R p,t = w i R it,其中R it是资产i的简单收益率.i=1 然而,资产组合的连续复合收益率没有上述方便的性质.如果简单收益率R itN的绝对值都很小,则我们有r p,t ≈w i r it,其中r p,t是该组合在t时刻的连续复合i=1收益率.这种近似经常被用来研究资产组合的收益率.分红支付如果一个资产周期性地支付分红,我们必须修改资产收益率的定义.设D t是一个资产在第t −1天和第t天之间的分红, P t是该资产在第t个周期末的价格.这样,分红并没有包含在P t中.因此, t时刻简单净收益率和连续复合收益率分别1.1资产收益率变为P t + D tR t = −1,r t = ln(P t + D t) −ln(P t−1).P t−1超额收益率一个资产在t时刻的超额收益率是该资产的收益率与某个参考资产的收益率之差.这个参考资产通常是无风险的,如美国短期国债的收益率.简单超额收益率和对数超额收益率分别定义为Z t = R t −R0t,z t = r t −r0t, (1.7)其中R0t和r0t分别是该参考资产的简单收益率和对数收益率.在金融文献中,超额收益率被认为是某个套利投资组合的赢利.在这个投资组合中,对某资产持多头头寸而对参考资产持空头头寸,且初始投资净值为0.注释多头金融头寸意味着持有某资产.空头头寸则指卖出不属于自己的资产.这需通过从已购买该资产的投资者那里借入资产来完成.在之后的某天,卖空者有义务买进和借入完全相同数量的股份偿还给借出者.因为偿还时要求的是相等数量股份,而不是相等数量的美元,卖空者会由于该资产价格的下跌而获利.如果在空头持续期间该资产有现金分红,则支付给做空买卖的买者.卖空者也必须从自己的资源里配备相应的现金分红来补偿借出者.换句话说,卖空者有义务支出所借资产的现金分红给借出者. �关系小结简单收益率R t与连续复合收益率r t的关系是r t = ln(1+ R t) ,R t =e r t − 1.如果收益率R t与r t是百分比,则�R t �r t = 100ln 1 + ,R t = 100(e r t/100 −1).100收益率的时间累加使得1+ R t [k] = (1+ R t)(1 + R t−1) ···(1 + R t−k+1) ,r t [k]= r t + r t−1 + ···+ r t−k+1.如果连续复合年利率为r,则资产的现值与资产的未来价值之间的关系为A = C exp (r ×n) ,C = A exp (−r ×n) .例 1.1若某项资产的月对数收益率为 4.46%,则相应的月简单收益率为100[exp(4.46/100)−1]=4.56%.同样,若某项资产在一个季度内的月对数收益率分别为 4.46%, −7.34%, 10.77%,则该资产的季度对数收益率为(4.46−7.34+10.77)%=7.89%.1.2收益率的分布性质要研究资产收益率,最好从它们的分布性质开始.目的是要理解不同资产、不同时间收益率的表现.考虑N个资产,持有这N个资产T个时间周期,如t = 1, ···,T .对每个资产i, r it表示它在t时刻的对数收益率.所要研究的对数收益率为{r it; i =1, ···,N; t =1, ···,T }.也可以考虑简单收益率{R it; i =1, ···,N; t = 1, ···,T }和对数超额收益率{ z it; i =1, ···,N; t =1, ···,T }.1.2.1统计分布及其矩的回顾我们简要地回顾一下统计分布的一些基本性质和随机变量的矩.设R k表示k维欧几里得空间, x∈R k表示x是R k中的点,考虑两个随机向量X =(X1, ···,X k)�和Y =(Y1, ···,Y q)�.令P (X ∈A, Y ∈B)表示X在子空间 A ⊂R k中且Y在子空间 B ⊂R q中的概率.本书的大部分场合,都假定这两个随机向量是连续的.联合分布函数F X,Y (x, y; θ)= P (X � x, Y � y; θ) ,是参数为θ的X与Y的联合分布,其中不等号“�”是分量对分量的运算. X和Y的规律由F X,Y (x, y; θ)刻画.如果X和Y的联合概率密度函数f x,y (x, y; θ)存在,则�x�y F X,Y (x, y; θ)= f x,y (w, z; θ)dzdw.−∞−∞这时, X和Y是连续型随机向量.边际分布X的边际分布是F X (x; θ)= F X,Y (x, ∞, ···, ∞; θ) .这样, X的边际分布可通过对Y求积分得到.同理, Y的边际分布也可类似得到.如果k = 1, X是一个一元随机变量,其分布函数为F X (x)= P (X � x; θ) ,称为X的累积分布函数(Cumulative Distribution Function, CDF).一个随机变量的CDF是非降的[即对x1 � x2有F X (x1) � F X (x2)],且有F X (−∞) = 0,1.2收益率的分布性质F X (∞) = 1.对给定的概率p,使p �F X (x p)成立的最小实数x p称为随机变量X的100 p-分位点,更具体地,x p = inf {x |p � F X (x) } .x本书中我们用CDF来计算检验统计量的p值.条件分布给定Y � y的条件下X的条件分布为P (X � x, Y � y; θ)F X|Y �y (x; θ)= .P (Y � y; θ)若所对应的概率密度函数存在,则给定Y = y的条件下, X的条件密度为f x,y (x, y; θ)f x|y (x; θ)= , (1.8)f y (y; θ)其中边际密度函数f y (y; θ)由下式得到∞�f y (y; θ)= f x,y (x, y; θ)dx.−∞由(1.8)式知,联合分布、边际分布和条件分布之间的关系为f x,y (x, y; θ)= f x|y (x; θ) ×f y (y; θ) . (1.9)上述等式关系在时间序列分析中经常用到(如在进行最大似然估计时).最后, X与Y 是相互独立的随机向量当且仅当f x|y (x; θ)= f x (x; θ),这时f x,y (x, y; θ)= f x (x; θ) f y (y; θ).随机变量的矩一个连续型随机变量X的l阶矩定义为∞�m =E �X l� = x lf (x)dx,l−∞其中 “E ”表示期望 (expectation), f (x)是 X 的概率密度函数 .一阶矩称为 X 的均值 (mean)或期望 ,它度量的是分布的中心位置 ,记为 µx . X 的 l 阶中心矩定义为�∞m l =E �(X − µx )l �=(x − µx )lf (x)dx,−∞假定上式中积分存在 .二阶中心矩可度量 X 取值的变化程度 ,称为 X 的方差 (variance),记为 σx2 .方差的正平方根 σx 称为 X 的标准差 .一个正态分布由它的前两阶矩决定.对其他分布,可能要了解其更高阶矩.三阶中心矩度量 X 关于其均值的对称性 ,而四阶中心矩度量 X 的尾部 .在统计学中 ,标准化的三阶矩叫偏度 (skewness),标准化的四阶矩叫峰度 (kurtosis),它们分别用来描述随机变量的对称程度和尾部厚度 .具体地 , X 的偏度和峰度分别定义 为�(X − µx )3��(X − µx )4� S (x)=E ,K (x)=E .σ3 σ 4xx量 K (x) − 3叫作超额峰度 (excess kurtosis),因为正态分布的峰度 K (x) = 3.这样,一个正态随机变量的超额峰度为 0.若一个分布有正的超额峰度 ,则称此分布具有厚尾性 ,厚尾的含义是指该分布在其支撑 (support)的尾部有比正态分布更多的 “质量 ”.在实际中 ,这就意味着来自于这样一个分布的随机样本会有更多的极端值,故称这样的分布为尖峰的(leptokurtic).另外 ,一个具有负的超额峰度的分布是轻尾的 (例如,有限区间上的均匀分布),这样的分布称为低峰的.在应用中 ,我们可以用相应的样本偏度和样本峰度来估计偏度和峰度 .设 {x 1, ··· ,x T }是 X 的 T 个观察值,样本均值为1 Tµˆx = �x t , (1.10)Tt=1样本方差为t=1 在正态分布的假定下 , Sˆ(x)和 K ˆ(x)−3均渐近地服从均值为零、而方差分别为 6/T 和 24/T 的正态分布 [参见 Snedecor 和 Cochran(1980)，第 78页].我们可以用这些渐近性质来检验资产收益率是否具有正态性 .给定一个资产收益率序列 {r 1, ··· ,r T },要检验其偏度 ,即要考虑零假设 H 0 : S(r)=0对备择假设 H a : S(r)= 0.�由 (1.12)式所定义的样本偏度的 t-比统计量为 ˆ S(r) t = . �6/T决策规则如下：在显著性水平 α下,若 |t| >Z α/2,则拒绝零假设 ,其中 Z α/2是标准正态分布的100(α/2)上分位点 .另外一个方法是计算检验统计量 t 的 p 值,当且仅当 p 值小于 α时拒绝 H 0.1.2收益率的分布性质类似地 ,我们可以用假设检验 H 0 : K(r)− 3=0与 H a : K(r) − 3 = 0,�来检验收益率序列的超额峰度.检验统计量为 ˆK(r) − 3 t = , �24/T并且该统计量渐近标准正态分布 .决策规则为当且仅当检验统计量的 p 值小于显著性水平α时拒绝 H 0. Jarque 和 Bera(1987)结合了这两个先验检验 ,并利用了下述统计量S ˆ2(r)[K ˆ(r)− 3]2JB= + ,6/T 24/T 其中 ,该统计量的渐近分布是自由度为 2的 χ2分布 .如果 JB 统计量的 p 值小于显著性水平 α,则拒绝正态性的 H 0假设.例 1.2考虑表 1-2中所用的 IBM 股票的日简单收益率 .作为描述性统计量的一部分 ,收益率的样本偏度和峰度可以用各种统计软件包很容易地得到 .我们给出了实例中用到的 SCA 和 S-Plus 命令 ,其中 d-ibm3dx7008.txt 是数据文件名 .需要注意的是 ,在 SCA 中峰度指的是超额峰度 .输出ˆσ2 x=1 T − 1T � (x t − ˆµx )2 ,(1.11)t=1样本偏度为ˆS (x) =1 (T −1) ˆσ3 xT � t=1 (x t −ˆµx )3 ,(1.12)样本峰度为1 (T −�(x − ˆµ).结果中超额峰度很高,表明IBM股票的日简单收益率具有厚尾性.为了检验收益率分布的对称性,我们用检验统计量0.0614 0.061 4t = ==2.49,�6/9845 0.024 7该检验统计量的p值大约为0.013,表明在5%的显著性水平下, IBM股票的日简单收益率显著地右偏.表1-2几种股指和股票日或月简单收益率和对数收益率的描述性统计量aˆσ 2 x =1 T−1T� (x t −ˆµx)2 ,(1.11)t=1 样本偏度为ˆS (x) = 1 (T −1) ˆσ3 xT�t=1 (x t −ˆµx)3 ,(1.12)样本峰度为ˆK (x) = 1 (T −1) ˆσ4 xT�(x t −ˆµx)4 .(1.13)证券起始日期样本量均值标准差偏度超额峰度最小值最大值日简单收益率(%)SP 70/01/02 9845 0.029 1.056 −0.73 22.81 −20.4711.5。