高中数学知识点补充

数学基本公式（补充）
1.))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=-
3223333)(b ab b a a b a +++=+ bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++
2.①)(x f 同时关于a x =与b x =对称)(b a <，则)(x f 的周期为)(2a b -
②)(x f 同时关于点)0,(a 与)0)(0,(≠b b 对称，则)(x f 的周期为)(2a b -
③)(x f 同时关于a x =对称同时关于点)0)(0,(≠b b 对称，则)(x f 的周期为)(4a b -
3. ①)(2)()2(x f y b x f x a f =⇔=+-关于点),(b a 对称
②)()(x b f x a f -=+，则)(x f y =关于2
b a x +=
对称 ③)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于)(21a b x -=对称 4.)0(02≠=++a c bx ax 两根为,,21x x
①两个不等正根⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆⇔0002121x x x x ②两个不等负根⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆⇔
0002
121x x x x ③一正根一负根021<⇔x x 5. ①命题的否定：否定命题的结论。

②否命题：否定命题的条件与结论。

6.“p 且"q 的否定为”p ⌝"或"q ⌝，p "或"q 否定为p ⌝"且"q ⌝
命题p ：B A x ⋂∈，则p ⌝：A x ∉或B x ∉
7. 二次函数在某区间上的最值问题含参数的有两类：
①定轴动区间:《走向高考》47P 易错点2（3）若函数342+-=x x y 在区间],0[m 上最小值1-，最大值3，则m 的取值范围是
②定区间动轴:《走向高考》49P 考例2已知3222+-=ax x y 在区间[]1,1-上的最小值为)(a f ，试
求)(a f 的解析式。

解：令32)2(2322)(2
22
+--=+-==a a x ax x y x g 当12
-<a 即2-<a 时，a g x g 25)1()(min +=-=
当121≤≤-a 即22≤≤-a 时，2
3)2()(2
min a a g x g -== 当12
>a 即2>a 时，a g x g 25)1()(min -== ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤---<+==2
,2522,232,25)()(2min a a a a a a a f x g 8. b a b a b ab a -=-=+-222)(2 例：12)12(1212)2(223222-=-=+⨯⨯-=-
9. 若集合A 是集合B 的真子集，A 称为“小”集合，B 称为“大”集合；
小是大的充分不必要条件； 大是小的必要不充分条件。

10.①指数函数 ②对数函数
a b c d <<<<<10 a b c d <<<<<10
在第一象限，底数越大，图象越远离x 轴 在第一象限，底数越大，图象越远离y 轴 这一性质可通过x 取1时，y 值的关系去理解 这一性质可通过y 取1时，x 值的关系去理解
11.①)(x f y -=与)(x f y =单调性相反 ②)
(1x f y =与)(x f y =单调性相反 ③)0(≠+=k b kx y ；当0>k 时，函数在R 上单调递增；当0<k 时，函数在R 上单调递减 ④)0(2
≠++=a c bx ax y 当0>a ；函数在]2,(a b -
-∞上单调递减，在),2[+∞-a
b 上单调递增 当0<a ； 函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-a
b 上单调递减 ⑤x k y =，当0>k 时，函数在)0,(-∞和),0(+∞递减； 当0<k 时，函数在)0,(-∞和),0(+∞递增
12. ①G 为ABC ∆重心=++⇔ ②锐角ABC ∆中，任意两内角和大于2
π
13.正弦定理应用：①已知一边和两角 ②已知两边和其中一边的对角
余弦定理应用：①已知三边 ②已知两边和它们的夹角
14. ①⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<)()(0
)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f ②⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>)()(0)(0)()()(2x g x f x f x g x g x f 或⎩⎨⎧≥<0)(0)(x f x g 15．①b a ab b a 110,<⇒>> ②b
a a
b b a 110,>⇒<> 16．求曲线方程的步骤：（1）建系设点 （2）列式化简 （3）检查有无多或漏点
求曲线方程的方法：（1）直接法 （2）定义法 （3）代入法 （4）消参法
17．圆与圆的位置关系：⊙1O 半径为1r ， ⊙2O 半径为2r （1r ≠2r ） ①21O O >1r +2r ⇔外离 ②21O O =1r +2r ⇔外切 ③21O O =21r r -⇔内切 ④21r r -<21O O <1r +2r ⇔相交 ⑤21O O <21r r -⇔内含
18.圆222r y x =+上一点A ),(00y x ，过点A 的切线方程为200r yy xx =+
19. ①P 为椭圆上的点，21,F F 为焦点，则 )22(221c a a PF PF >=+
② P 为双曲线上的点，21,F F 为焦点，则 )22(221c a a PF PF <±=- 20.双曲线122
22=-b
y a x ，焦点F )0,(c 到渐近线x a b y =的距离为b ， 过垂足A 作直线垂直于x 轴，则此直线为准线c
a x 2
= 21.如果已知两条渐近线为x m
n y ±=，此式两边平方，移项得02222=-y m x n ， 可设双曲线方程为)0())((≠=-+λλnx my nx my
22．抛物线)0(22
>=p px y 过焦点的直线与抛物线交于A ),(11y x B ),(22y x 两点，则 ①2
21p y y -= ②4221p x x = ③θθ(sin 22
P S ABC =∆为直线AB 的倾斜角） 23.异面直线的公垂线：有且只有一条。

24. ①菱形的对角线互相垂直且平分各个内角。

②矩形的对角线长相等。

③ABC Rt ∆中,A 为直角，BC AD ⊥，
则BC BD AB ∙=2,CB CD AC ∙=2,DC BD AD ∙=2
④n 边形内角和=0180)2(⨯-n
⑤正方形ABCD 中，E 为AD 中点，F 为DC 中点，则AF BE ⊥
25.正方体棱长为a ①正方体内切球直径a =2R 1 ②正方体外接球直径a 3 =2R 2
③正方体棱切球直径a 2 =2R 3
26. 长方体（包括正四棱柱、正方体）的外接球直径等于长方体的对角线长。

27.正四面体（棱长为a ）外接球半径R ，内切球半径r ，则R ：r =3：1
PO ⊥面ABC ，CO =a a 333223=⨯，a CO a PO 3
622=-= 28．A 、B 在同一纬线上，⊙1O 半径为r ,球半径为R,求球心角AOB ∠。

解：如图1OO ⊥面AB 1O ,r B O A O ==11,R OB OA ==
B AO 1∠为A 、B 两点的经度差，点A 的纬度为AO O AO
C 1∠=∠ 29.)()()(lim )()(lim 0'0
00000x f x x x f x f x a x f x a x f x x x =--=∆-∆+→→∆ 30.在（b a ,）内可导的函数)(x f
①)(x f 在（b a ,）上递增0)('≥⇔x f 且0)('=x f 的点只有有限个。

②)(x f 在（b a ,）上递减0)('≤⇔x f 且0)('=x f 的点只有有限个。

31.导数)('x f y =与原函数)(x f y =的关系：①0)('=x f 恒成立⇔)(x f 为常数函数
② 0)('>x f )(x f ⇒为增函数 ;0)('<x f )(x f ⇒为减函数
32.)0()(23>+++=a d cx bx ax x f 与x 轴交点个数问题 c bx ax x f ++=23)(2/
∴（1）0≤∆时，0)('≥x f 恒成立，则)(x f 在R 上递增，所以)(x f 与x 轴有且只有一个交点。

（2）0>∆时，0)('=x f 有两个不同实数根21x x <
①)(1x f )(,0)(2x f y x f =<∙图像与x 轴有三个交点。

②)(1x f )(,0)(2x f y x f ==∙图像与x 轴有两个交点。

③)(1x f )(,0)(2x f y x f =>∙图像与x 轴有一个交点。