1.二元函数极限概念分析
定义1 设函数f 在2D R ⊂上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<,
则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0
lim ()P P P D
f P A →∈=.
上述极限又称为二重极限.
2．二元函数极限的求法
2.1 利用二元函数的连续性
命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则
0000(,)(,)
lim
(,)(,)x y x y f x y f x y →=.
例1 求2
(,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2
(,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以
12
212
2lim (,)
lim(2)
12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+⨯⨯=
例2 求极限()()2
21,1,21
lim
y x y x +→．
解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即
()()221,1,21lim
y x y x +→=31
．
2.2 利用恒等变形法
将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求
00
x y →→
解：
00
x y →→
00
x y →→=
00
x y →→=
00
1.
4
x y →→==-例4 ()()
2
2
220,0,321
)31)(21(lim
y
x y x y x +-++→．
解： 原式()()
(
)
)
()
()
,0,02
211lim
231x y x
y →+=
+
()(
22
,0,0lim
x y →=
+
11022
=
+=．
2.3 利用等价无穷小代换
一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的
等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,)
1cos (,)2
u x y u x y -:；
[]ln 1(,)(,)u x y u x y +:；tan (,)(,)u x y u x y :；arcsin (,)(,)u x y u x y :；
arctan (,)(,)u x y u x y :
(,)
1u x y n
:
；(,)1(,)u x y e u x y -:；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用. 例5 求
00
x y →→
解： 当 0x →，0y →时，有0x y +→
1
1()2
x y +:
，所以
00
00
1
()
2
lim 1.2
x y x y x y x y →→→→+=+=
这个例子也可以用恒等变形法计算，如：
00
00
00
1.2
x y x y x y →→→→→→===
2.4 利用两个重要极限
(,)0sin (,)lim 1(,)
u x y u x y u x y →=，[]1
(,)(,)0lim 1(,)u x y u x y u x y e →+= 它们分别是一元函数中两个重要极限的推广.
例6 求极限 21lim(1)x x y
x y a
xy
+→∞
→+
.
解： 先把已知极限化为
2
2
()
1
1lim(1)lim (1)x x xy x y xy x y
x x y a
y a xy xy ++→∞→∞→→⎡⎤+=+⎢⎥⎣
⎦，而 211
lim
lim ,()(1)x x y a y a x y xy x y a
y x
→∞→∞→→==++ 当 ,x y a →∞→时1,
0xy xy →∞→，所以 1
lim(1).xy x y a
e xy →∞→+=
故原式=2()
11lim (1).
x xy x y xy x
y a a
xy e +→∞→⎡⎤
+⎢⎥⎣
⎦=
例7 求 0sin()
lim
x y a
xy x →→极限.
解： 因为
sin()sin()
.xy xy y x xy
=，当0,x y a →→时，0xy →，所以 sin()
1xy xy
→，再利用极限四则运算可得： 000sin()sin()sin()
lim
lim .lim .lim .x x y a xy y a y a
xy xy xy y y a x xy xy →→→→→→===·1=a .
这个例子也可以用等价无穷小代换计算，如： 当 0x →，y a →时，0xy → ，sin()xy xy :.
