求数列通项公式的种方法 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）
总述：一．利用递推关系式求数列通项的7种方法：
累加法、 累乘法、 待定系数法、 倒数变换法、 由和求通项 定义法
（根据各班情况适当讲）
二。基本数列：等差数列、等比数列。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法
1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
n n n n ---=-+-+
+-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n n a n =+-
解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得
11
121
3333
n n n n n a a +++=++， 则
11121
3333
n n n n n a a +++-=+，故 11223
211
223
2111122122()()()(
)33333333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此11
(13)2(1)211
3133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--⨯， 则21133.322
n n n a n =⨯⨯+⨯-
练习1.已知数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公
式. 答案：12
+-n n
练习2.已知数列
}
{n a 满足31=a ，
)
2()1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公
式. 答案：裂项求和
n a n 1
2-
=
评注：已知a a =1,)
(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函
数、指数函数、分式函数，求通项
n
a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法
1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。 2．若
1()n n a f n a +=，则31212
(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==⋅∏ 例4.设{}n a 是首项为1的正项数列，且
()0
112
21=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2，
3，…），则它的通项公式是n a =________.
解：已知等式可化为：
[]0
)1()(11=-++++n n n n na a n a a
0>n a (*
N n ∈)∴(n+1)01
=-+n n na a , 即11+=
+n n
a a n
n ∴2≥n 时，n n a a n n 1
1
-=
- ∴
112211a a a
a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋅=
--- =121121⋅⋅--⋅- n n n
n =n 1. 评注：本题是关于n
a 和
1
+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求
根公式）得到
n
a 与
1
+n a 的更为明显的关系式，从而求出n
a .
练习.已知11(1),1n n n a na a ++==,求数列{n a }的通项公式.
