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本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。
本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。
分数裂项
一、“裂差”型运算 将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即
1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)
n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
二、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
分数裂项计算
教学目标
知识点拨
（1）
11
a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
⨯⨯⨯
（2）
2222
a b a b a b
a b a b a b b a
+
=+=+
⨯⨯⨯
裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
【例 1】
11111
1223344556
++++=
⨯⨯⨯⨯⨯
。
【巩固】
111
...... 101111125960 +++
⨯⨯⨯
【巩固】
2222 109985443 ++++=⨯⨯⨯⨯
【例 2】1111 11212312100 ++++
++++++
公式的变式
1 122
1
+++=
⨯-
…n n n()
当n分别取1，2，3，……，100时，就有
1 1
2 12 1
12
2 23
1 123
2 34
1 1234
2 45
1 12100
2 100101
=
⨯
+=
⨯
++=
⨯
+++=
⨯
+++=
⨯
…
例题精讲
1
111211231
12100
2122232342991002100101
21121231341991001100101
211212131314199110011001101
211101
++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯=⨯-+-+-++-+-=⨯-……………()()() =⨯
==2100
101
200101
199101 求和公式推导：
S1=1+2+3+4+5
+ S1=5+4+3+2+1
【例 3】 111113355799101
++++=⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：111125133557
2325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭
【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008+++++⨯⨯⨯⨯⨯
【巩固】 计算：3245671255771111161622222929
++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
3×13×(12−15
)+⋯
【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288
+++++++⨯= 方法一：
=(12×4+14×6+16×8+18×10+110×12+112×14+114×16+116×18)×128 =12×(12−14+⋯+114−116+116−118)×128
方法二： =[18×(1+13+16+110+115+121+128+136)]×128 =16×(22+26+212+220+230+242+256+272) =16×(21×2+22×3+23×4+24×5+25×6+26×7+27×8+28×9) =16×2×(1−12+12−13+⋯+18−19
)
【巩固】 11111111612203042567290
+++++++=_______
【巩固】 11111113610152128
++++++= 一项隔一项来拆项
=1+12×(1−13)+16+13×(12−15)+115+14×(13−17)+128
【巩固】 计算：1111111112612203042567290
--------＝ =12−(12−13)−⋯(19−110
)
【巩固】 11111104088154238
++++= 。 =13×(12−15+15−18+⋯114−117
)
