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摆动法测量转动惯量

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.专业资料 图4-1单摆原理实验4 用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解； 3．学习用作图法处理、分析数据。

二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1（单摆球的质量为m ）当球的半径远小于摆长l 时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：01212=+θθSin lg dt d (4-1) 式中t 为时间，g 为重力加速度，l 为摆长。

当1θ（rad ）很小时，11sin θθ≈ (4-2)则（4-1）式可简化为：– 60 – Ⅲ 基础物理实验图4-2 物理摆(复摆)01212=+θθlg dt d （4-3） 令 lg =21ω (4-4) （4-3）式的解为： )sin(1101αωθθ+=t （4-5 )式中10θ，α由初值条件所决定。

周期 gl T π21= （4-6） 2．物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。

如图4-2，设物理摆的质心为C ，质量为M ，悬点为O ，绕O 点在铅直面转动的转动惯量为0J ，OC 距离为h ，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为 θθsin 220Mgh dtd J -= (4-7) 令 02J Mgh =ω （4-8） 仿单摆，在θ很小时，（4-7）式的解为：)sin(αωθθ+=t (4-9)MghJ T 02π= (4-10)专业资料设摆体沿过质心C 的转动惯量为C J ，由平行轴定理可知：20Mh J J C += (4-11)将（4-11）代入（4-10）可得：gh Mgh J T C +=π2 （4-12） (4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T 和（4-13）式右端各参变量之间的关系。

实验就是围绕（4-12）式而展开的。

因为对任何C J 都有C J ∝M ，因此（4-13）式的T 与M 无关，仅与M 的分布相关。

令2Ma J =，a 称为回转半径，则有 gh gh a T +=2 （4-13） ①一次法测重力加速度g由（4-12）式可得出 MhMh J g C )(422+=π （4-14） 测出（4-14）右端各量即可得g ；摆动周期T ，用数字计时器直接测出，M 可用天平称出，C 点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，C J 可以计算出。

②二次法测g一次法测g 虽然简明，但有很大的局限性，特别是对于不规则物理摆，C J 就难以确定，为此采用如下“二次法”测g ：当M 及其分布（C 点）确定以后，改变h 值，作两次测T 的实验，运用（4-13）式于是有1212214Mgh Mh J T C +=π 2222224Mgh Mh J T C +=π 即 0442122211=--Mh J T Mgh C ππ (4-15)0442222222=--Mh J T Mgh C ππ (4-16) 联立解（4-15）、（4-16）式，可得出222211222124T h T h h h g --⋅=π （4-17）这样就消去了C J ，所以（4-17）测g 就有着广泛的适用性。

从（4-17）式，更可十分明确地看到T 与M 的无关性。

虽然，任意两组（1h ,1T ），（2h ,2T ）实测值，都可以由（4-17）式算出g ；但是，对于一个确定的“物理摆”选取怎样的两组（h ,T ）数据，使能得出最精确的g 的实测结果呢？为此必须研究T （h ）关系：将（4-12）式平方，于是可得出gh Mgh J T C +=224π （4-18）.专业资料从此式可以看出T 2与h 的关系大体为一变形的双曲线型图线：当h 趋于0时T →∞，当h →∞，T 亦趋于∞；可见在h 的某一处一定有一个凹形极小值。

为此，对（4-18）作一次求导并令其为0；即由,0=dhdT 可得 012=+-g MghJ C （4-19） 22Ma J Mh C == （4-20）即移动摆轴所增加的转动惯量恰为质心处的转动惯量，即h = a 处所相应的T 为极小值（为什么？）。

（注意：体会称a 为回转半径的含义） 将（4-13）式取二次导数为研究T （h ）关系特在0.6m 长的扁平摆杆上，间隔2cm 均匀钻出直径为1cm 的28个孔以作为O 点的Hi 值（i= ±1，±2，±3，……±14）于是可得出如图4-3所示的图4-3 摆动周期T 与摆轴离中心距离h 的关系曲线。

在共轭的A ，B 二极小T 值点以上，沿任一T h 画一条直线，交图线于C ，D ，E ，F 四点；皆为等T 值点，错落的两对等T 值间的距离（h D +h E ）= h C + h F 被称为等值单摆长。

为理解这一点，将（4-17）式的T 1与T E （或T D ）对应，T 2与T F （或T C ）对应，h 1为与T 1对应的h E ，h 2为与T 2对应的h F ，并将(4-17)式改形为：)(2)(242122212122212h h T T h h T T g --+++=π （4-22） （4-22）与（4-17）的等同性同学们在课后去用代数关系式验证。

从（4-22）可知，当T 1 = T 2（=T ）时，即化为单摆形式的公式（4-6），故称（h E +h F ）、（h C +h D ）为等值单摆长。

从（4-20）式可知：OB =OA =a ；而a X 2 = h E + h 1从图4-3可知，A ，B 二共轭点为T （h ）的极小值点，若在它附近取二个h 值来计算g 则将引起较大的误差。

所以欲取得精确的g 的测量值，就只能取最大的F 点和相应的E 点来计算g 值。

因孔的非连续性，E 只能取T E 近乎于T F 的点代入（4-22）式。

还可取略大、略小的两组值都计算出再取平均。

A 或B 在实验上虽然不利于测量出较精确的g ，但运行在T B （或T A ）值下的摆，其性能最稳定。

③可倒摆为提高测g 的精度，历史上在对称结构的物理摆的摆杆上，加两个形体相同而密度不专业资料同的两个摆锤对称地放置。

于是质心C 点随即被改变，图4-3的图线也随之改变，特别是T C （即T 1），T F （即T 2）所相应的h C （即h 1），h F （即h 2）也随之改变。

但曲线的形状依归。

所以，用此时的T （=T F =T C ）和h 1（=h C ），h 2（=h F ）按（4-22）式来计算出g 。

当然，由于摆杆孔的非连续性，所以仅能用T C ≈T F 的实测值，这时（4-22）式的右端的第2项仅具很小的值。

所以（T 1–T 2）很小，而（h 1–h 2）较大。

所以实验须先在重铁锤的摆杆的下端测出T 1后，将摆倒置过来，从远端测出大于T 1的值然后逐渐减h 2直至T 2小于T 1为止。

将加有二摆锤的摆叫作可倒摆（或称为开特氏摆）；（4-22）式就称为可倒摆计算式。

摆锤用两个而不是用一个，而且形体作成相同，是因为倒置以后在摆动过程中，摆的空气阻尼等对摆的运动的影响可消除。

由物理摆的理论可知，可倒摆（开特摆）仅是物理摆的特例。

④锤移效应a ．加锤摆的摆动周期T m设原摆为一带刻度的摆杆。

摆的质量为M ，质心为C （设为坐标原点），摆心为O ，CO 距离为h ，质心C 处与摆心O 处沿OZ 轴的转动惯量为C J 、O J 。

以上条件皆固定不变。

然– 66 – Ⅲ 基础物理实验 图4-4 加锤摆后再加一个圆柱形的摆锤，锤的回转半径为r ，质量为m ；正轴与上述各轴平行。

锤移动沿CO 方向为+X 。

置锤于X 处，如图4-4所示。

摆的总质量为 M ′m M += (4-23)质心变为C ′，由一次矩平衡原理可得出 )/(m M X m C C +⋅=' (4-24)所以新的摆长h ′=h –C C ')/(m M X m h +⋅- (4-25)由平行轴定理，可得J 0′2222)(X h m mr Mh Ma -+++= (4-26)设重力加速度g 已知（不变），则带锤的摆动方程式仿（4-7）、（4-10）式为：（动量矩定理）θθsin )]/([)(0⋅+⋅-⋅⋅+-='m M X m h g m M J (4-27) ⅰ.加锤摆的周期公式 T m 为：)()()(][22222x mM m h g m M x h m mr Mh Ma T m +-⋅⋅+-+++=π （4-28） 在研究锤移效应时，令（固定不变）：222mr mh Ma C ++= (4-29)专业资料g m M k ⋅+=)( (4-30)所以有 )()(22x mM m h k x h m C T m +-⋅-+=π （4-31） 此式的特点：▲它与无锤摆的形式相似，即原T （h ）关系与现在T m （X ）关系相似，（此时h 为固定常数）▲由于X 的取向等原因，所以T m （X ）相当于图4-3曲线的左叶，T m （X ）的渐近线为0=+-X mM m h ，即h m m M X ++=时，T m →∞ 而X 的负向则为，X →－∞，T m →＋∞注：h mm M X +>，则T m 为复数（无意义） ▲它也存在着极（小）值所以应由 0)(=dXX dT m （4-32） dX df df dTm dX dTm ⋅= 令 )()(2X Xm m h k X h m c f +--+= 所以有 0)()())()((2212=+--+⋅⋅+--+-X MM m h k X h m c dX d X m M m h k X h m c π令 2)(X h m C U -+=, X mM h V +-=, 代入 2)(vX du v dX dv u dX v u d -⋅= 可得 0)()()]([)1()](2)[(2=+-+-⨯-+--⨯-+-X mM m h m M m X h m C X h m X m M m h （4-33） 0)2()1()22()(22=+-+++-⋅-⋅+-mX mhX mh c m M m mX mh X m M m h ])(2[22222mM mh c m mh mhX X m M X m ++-+-⋅+= 0 X = m M m m M mh c m mh m M m mh mh +⋅++-⨯+⨯-±222222])(2[4)2(2 分子，分母都除以2m （根号除以4m 2）得m M mm M mh c m mh m M h h X +++-⨯+-±=])(2[1222mmh c m m M mh h m M h m M )]()(2[)()(2222+-+-+±+= mh m mc h m M mh h m Mmh Mh h m M 222222222222)(+---++±+= mh M mc h m M 22)(+±+= （4-34） 所以X 一定有解，T 有极值T （X ）专业资料如前所述，T （X ）函数与T （h ）函数的性状是一样的，所以此极值也一定是极小；（以求22dx Td 来判定，略去）ⅱ.零质量摆锤的周期（公式）T m 0将m=0 代入公式（4-28），可得)0()0()(0]0[2220X aM h g M X h Mh J T C m +-⋅⋅+-⨯+++==π hg M Mh J C ⋅⋅+=22π h T gh gh a =+=22π (4-35) T h 意义就是与X 平行的，值为T h 的T （X ）函数线。

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用三线摆测量转动惯量

用三线摆测量转动惯量

用三线摆测转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的量度，它与刚体的质量分布和转轴的位置有关。

对于形状简单的均匀刚体，测出其外形尺寸和质量，就可以计算其转动惯量。

对于形状复杂、质量分布不均匀的刚体，通常利用转动实验来测定其转动惯量。

为了便于与理论计算值比较，实验中的被测刚体均采用形状规则的刚体。

一、实验目的1． 加深对转动惯量概念和平行轴定理等的理解； 2． 了解用三线摆测转动惯量的原理和方法； 3． 掌握周期等量的测量方法 二、实验仪器DHTC-1A 三线摆实验仪、DHTC-3B 多功能计时器、水准仪、卷尺、游标卡尺、物理天平及待测物体等。

三、实验原理 一、三线摆介绍图1是三线摆示意图。

上、下圆盘 均处于水平，悬挂在横梁上。

横梁由立 柱和底座（图中未画出）支承着。

三根 对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

拨 动转动杆就可以使上圆盘小幅度转动， 从而带动下圆盘绕中心轴OO ＇作扭摆 运动。

当下圆盘的摆角θ很小，并且忽 略空气摩擦阻力和悬线扭力的影响时， 根据能量守恒定律或者刚体转动定律都 可以推出下圆盘绕中心轴OO ＇的转动惯量0J 为（1） 式中，m 0为下圆盘的质量；r 和R 分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；H 0为平衡时上下圆盘间的垂直距离；T 0为下圆盘的摆动周期，g 为重力加速度。

阿克苏地区的重力加速度为9.8015ms -2。

将质量为m 的待测刚体放在下圆盘上，并使它的质心位于中心轴OO ＇上。

图1 三线摆示意图 200200T H 4gRr m J π=测出此时的摆动周期T 和上下圆盘间的垂直距离H ，则待测刚体和下圆盘对中心轴的总转动惯量J 1为2201T H4gRr )m m (J π+= （2）待测刚体对中心轴的转动惯量J 与J 0和J 1的关系为J= J 1－J 0 （3）利用三线摆可以验证平行轴定理。

平行轴定理指出：如果一刚体对通过质心的某一转轴的转动惯量为J c ，则这刚体对平行于该轴、且相距为d 的另一转轴的转动惯量J x 为J x =J c +md 2 （4） 式中，m 为刚体的质量。

三线摆法测定物体的转动惯量

三线摆法测定物体的转动惯量

三线摆法测试物体的转动惯量【一】实验目的1. 学会用三线摆测定物体的转动惯量。

2. 学会用累积放大法测量周期运动的周期。

3. 验证转动惯量的平行轴定理。

【二】实验仪器及使用方法三线摆、水准仪、停表、米尺、游标卡尺、物理天平以及待测物体等。

1． DH 4601转动惯量测试仪 1台 2． 实验机架 1套 3． 圆环 1块 4． 圆柱体 2个仪器操作打开电源, 程序预置周期为T=30（数显）, 即: 小球来回经过光电门的次数为T=2n+1次。

据具体要求, 若要设置50次, 先按“置数”开锁, 再按上调（或下调）改变周期T, 再按“置数”锁定, 此时, 即可按执行键开始计时, 信号灯不停闪烁, 即为计时状态, 当物体经过光电门的周期次数达到设定值, 数显将显示具体时间, 单位“秒”。

须再执行“50”周期时, 无须重设置, 只要按“返回”即可回到上次刚执行的周期数“50”, 再按“执行”键, 便可以第二次计时。

（当断电再开机时, 程序从头预置30次周期, 须重复上述步骤）【三】实验原理图1是三线摆实验装置的示意图。

上、下圆盘均处于水平, 悬挂在横梁上。

三个对称分布的等长悬线将两圆盘相连。

上圆盘固定, 下圆盘可绕中心轴作扭摆运动。

当下盘转动角度很小, 且略去空气阻力时, 扭摆的运动可近似看作简谐运动。

根据能量守恒定律和刚体转动定律均可以导出物体绕中心轴的转动惯量(推导过程见本实验附录)。

2002004T H gRr m I π=（4-1） 式中各物理量的意义如下: 为下盘的质量；、分别为上下悬点离各自圆盘中心的距离；为平衡时上下盘间的垂直距离；为下盘作简谐运动的周期, 为重力加速度（在杭州地区）。

将质量为的待测物体放在下盘上, 并使待测刚体的转轴与轴重合。

测出此时摆运动周期和上下圆盘间的垂直距离。

同理可求得待测刚体和下圆盘对中心转轴轴的总转动惯量为： 212014)(T HgRr m m I π+=（4-2） 如不计因重量变化而引起悬线伸长, 则有。

三线摆测物体转动惯量实验报告-资料类

三线摆测物体转动惯量实验报告-资料类

三线摆测物体转动惯量实验报告－资料类关键信息项：1、实验目的：＿___________________________2、实验原理：＿___________________________3、实验仪器：＿___________________________4、实验步骤：＿___________________________5、实验数据：＿___________________________6、数据处理：＿___________________________7、误差分析：＿___________________________8、实验结论：＿___________________________11 实验目的本实验旨在通过三线摆法测量物体的转动惯量，加深对转动惯量概念的理解，掌握测量转动惯量的基本方法和实验技能。

111 具体目标1111 熟悉三线摆的构造和使用方法。

1112 学会用三线摆测量圆盘和圆环的转动惯量。

1113 验证平行轴定理。

12 实验原理三线摆是通过扭转运动来测量物体转动惯量的装置。

当下盘扭转一个小角度时，其运动可近似看作简谐运动。

121 转动惯量的计算公式根据能量守恒定律，可推导出下盘转动惯量＄J_0$ 的计算公式为：＄J_0 ＝＼frac{m_0gRr^2}｛4\pi^2H}T_0^2$ ，其中＄m_0$ 为下盘质量，＄g$ 为重力加速度，＄R$ 为下盘悬点到盘心的距离，＄r$ 为上下盘之间的距离，＄H$ 为上下盘中心的垂直距离，＄T_0$ 为下盘的摆动周期。

122 待测物体的转动惯量放上待测物体后，系统的转动惯量为下盘和待测物体的转动惯量之和，即＄J ＝＼frac{（m_0 ＋ m)gRr^2}｛4\pi^2H}T^2$ ，则待测物体的转动惯量＄J_{x} ＝ J J_0$ 。

13 实验仪器三线摆实验仪、游标卡尺、米尺、秒表、待测物体（圆盘、圆环）。

131 三线摆实验仪由上下两个圆盘、三根等长的悬线组成，上盘可固定，下盘可绕中心轴扭转。

摆动法测量转动惯量

摆动法测量转动惯量

z 图4-1单摆原理 实验4 用复摆测量刚体的转动惯量一、实验目的1．学习掌握对长度和时间的较精确的测量；2．掌握重力加速度的方法，并加深对刚体转动理论的理解；3．学习用作图法处理、分析数据。

二、实验仪器JD-2物理摆、光电计时器等三、实验原理1.单摆如图4-1（单摆球的质量为m ）当球的半径远小于摆长l 时，应用动量矩定理，在角坐标系可得小球自由摆动的微分方程为：01212=+θθSin lg dt d (4-1) 式中t 为时间，g 为重力加速度，l 为摆长。

当1θ（rad ）很小时，11sin θθ≈ (4-2)则（4-1）式可简化为： 01212=+θθlg dt d （4-3） 令 lg =21ω (4-4) （4-3）式的解为：图4-2 物理摆(复摆))sin(1101αωθθ+=t （4-5 )式中10θ，α由初值条件所决定。

周期 gl T π21= （4-6） 2．物理摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆或物理摆。

如图4-2，设物理摆的质心为C ，质量为M ，悬点为O ，绕O 点在铅直面转动的转动惯量为0J ，OC 距离为h ，在重力作用下，由刚体绕定轴转动的转动定律可得微分方程为θθsin 220Mgh dtd J -= (4-7) 令 02J Mgh =ω （4-8） 仿单摆，在θ很小时，（4-7）式的解为：)sin(αωθθ+=t (4-9)Mgh J T 02π= (4-10) 设摆体沿过质心C 的转动惯量为C J ，由平行轴定理可知：20Mh J J C += (4-11)将（4-11）代入（4-10）可得：gh Mgh J T C +=π2 （4-12） (4-12)式就是物理摆的自由摆动周期T 和（4-13）式右端各参变量之间的关系。

实验就是围绕（4-12）式而展开的。

因为对任何C J 都有C J ∝M ，因此（4-13）式的T 与M 无关，仅与M 的分布相关。

z令2Ma J =，a 称为回转半径， 则有 gh gh a T +=2 （4-13） ①一次法测重力加速度g由（4-12）式可得出 MhMh J g C )(422+=π （4-14） 测出（4-14）右端各量即可得g ；摆动周期T ，用数字计时器直接测出，M 可用天平称出，C 点可用杠杆平衡原理等办法求出，对于形状等规则的摆，C J 可以计算出。