第五章 数列第4课时 数列的求和
第六章 (对应学生用书(文)、(理)76～78页
)
1. 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n≥1)，则该数列的通项a n ＝________． 答案：a n ＝2n －1
解析：由已知{a n }为等差数列，d ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴ a n ＝2n －1.
2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n (n∈N *
)，则该数列的通项公式a n ＝________． 答案：a n ＝1n
解析：a n a 1＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝1n .
3. (必修5P 44习题2(2)改编) 20
n =å
（1+2 n ）=________．
答案：441 解析：
20
n =å
(1＋2n)＝1＋(1＋2×1)＋(1＋2×2)＋…＋(1＋2×20)＝21＋
2×20（1＋20）
2
＝441.
4. (必修5P 60复习题8(1)改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1
n （n ＋1）
，则S 4＝
________．
答案：45
解析：a n ＝
1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴ S 4＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝4
5
.
5. (必修5P 51例3改编) 数列112，214，318，41
16
，…的前n 项和是 __________．
答案：S n ＝n （n ＋1）2＋1－1
2
n
解析：S n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12
2＋…＋12n ＝
n （n ＋1）2＋12⎣⎢
⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n （n ＋1）2＋1－12
n
.
1. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n .
2. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1
a n
＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项a n .
3. (1) a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2.
(2) 等差数列前n 项和S n ＝
n （a 1＋a n ）
2
，推导方法：倒序相加法． (3) 等比数列前n 项和S n ＝⎪⎨⎪
⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.
推导方法：错位相减法．
4. 常见数列的前n 项和： (1) 1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）
2；
(2) 2＋4＋6＋…＋2n ＝n(n ＋1)；
(3) 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2
；
(4) 12＋22＋32＋…＋n 2
＝n （n ＋1）（2n ＋1）6
．
5. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4) 倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 6. 常见的拆项公式有：
(1) 1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
；
(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1；
(3) 1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；
(4)
1a ＋b
＝
1
a －
b
(a －b).
题型1 求简单数列的通项公式 例1 求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1；
(2) a 1＝1，a n ＋1＝2n
a n .
解：(1) a n ＝n 2
(2) a n ＝2n （n －1）
2
变式训练
求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2a n
2＋a n ；
(3) a 1＝2，a n ＋1＝a 2
n .
解：(1) a n ＝2n －1 (2) a n ＝2n ＋1 (3) a n ＝22n －1
题型2 分组转化求和
例2 求下面数列的前n 项和： 112，314，518，71
16
， … 解：S n ＝112＋314＋518＋7116＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n －1）＋12n
＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋1
8＋ (12)
＝n[1＋（2n －1）]2＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－12＝n 2－12
n ＋1.
备选变式（教师专享）
已知a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧5n ＋1，n 为奇数，
2n
2，n 为偶数.
(1) 求数列{a n }的前10项和S 10；
(2) 求数列{a n }的前2k 项和S 2k .
解：(1) S 10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22＋23＋24＋25
) ＝5（6＋46）2＋2（1－25
）1－2
＝192.
(2) 由题意知数列{a n }的前2k 项中，k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，
k 个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列．∴ S 2k ＝[6＋16＋…＋(10k －4)]＋(2＋2
2
