1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)

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四 角三角形的射影定理

1．射影

(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．

(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．

(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．

2．射影定理

(1)文字语言：

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．

(2)图形语言：

如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，

则有CD2＝AD·BD，

AC2＝AD·AB，

BC2＝BD·AB.

射影定理的有关计算

如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若AD＝2 cm，DB＝6 cm，求CD，AC，BC的长．

在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．

∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．

∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．

∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．

故CD，AC，BC的长分别为23 cm,4 cm，43 cm.

(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条． 精心制作仅供参考 鼎尚出品

鼎尚出品 (2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．

1.如图，在△ABC中，AB＝m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，CD⊥AB于点D.求BD，CD的长．

解：设∠BAC的度数为x，

则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3，

得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.

因为∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，

所以x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°.

所以∠ABC＝60°，∠ACB＝90°.

因为AB＝m，

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知识·巧学

一、射影

所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-2，AB在AC上的射影是线段AC；BC在AC上的射影是点C；AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD，这样，Rt△ABC中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD、BD).

图1-4-2

二、直角三角形的射影定理

由于角之间的关系，图1-4-2中三个直角三角形具有相似关系，于是Rt△ABC的六条线段之间存在着比例关系.

△ACD∽△CBD,有BDCDCDAD，转化为等积式，即CD2=AD·BD；

△ACD∽△ABC,有ACADABAC，转化为等积式，即AC2=AB·AD；

△BCD∽△BAC,有BCBDBABC，转化为等积式,即BC2=BA·BD.

用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.

联想发散 这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是AB上的高.已知AD＝4，BD＝9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=AD·BD=4×9＝36.因为边长为正值，所以CD＝6,AC2=AD·AB=4×(4＋9)＝52.所以AC＝132.

我们还可以求出BC、AB,以及△ABC的面积等.

问题·探究

问题1 在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么AC2＋BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？

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鑫达捷 第4课时 直角三角形的射影定理1

习题1.4 (第22页)

1．解 ∵△ABC是直角三角形，CD是AB边上的高，

∴CD2＝AD·BD，

∴602＝25×BD，

∴BD＝144，

∴AB＝AD＋BD＝25＋144＝169.

又∵AC2＝AD·AB，∴AC＝25×169＝65.

又∵BC2＝BD·AB，

∴BC＝144×169＝156.

2．证明 ∵CD⊥AB，∴△ACD是直角三角形．

又∵∠BAC＝60°，∴∠ACD＝30°.∴AD＝12AC.

又∵BD＝AB－AD，

∴BD＝AB－12AC.

3．作法 (1)作一直线l，在l上截取线段AD＝b，BD＝a；

(2)过D作AB的垂线l′；

(3)以AB的中点O为圆心，OB的长为半径作弧，与l′交于点C，则CD即为所求．

证明：连接AC、BC、OC.

∵OC＝OB＝12AB，∴△ABC为直角三角形．

∵CD⊥AB，∴CD2＝AD·BD＝ab.

∴CD为线段a和b的比例中项．

1【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学1.4直角三角

形的射影定理课后知能检测新人教A版选修4-1

一、选择题

1．△ABC

中，∠ACB

＝90°，CD

⊥AB

于D

，AD

＝3，BD

＝2，则AC

∶BC

的值是()

A．3∶2B．9∶4

C.

3∶2

D.

2∶3

【解析】如图，在Rt△ACB

中，CD

⊥AB

，由射影定理知AC2

＝AD

·AB

，

BC2

＝BD

·AB

，

又∵AD

＝3，BD

＝2，∴AB

＝AD

＋BD

＝5，

∴AC2

＝3×5＝15，BC2

＝2×5＝10.

∴AC

BC

＝15

10

＝3

2，即AC

∶

BC

＝3∶2，

故选C.

【答案】C

2.如图1－4－7所示，在△ABC

中，∠ACB

＝90°，CD

⊥AB

，D

为垂足，若CD

＝6，AD

∶

DB

＝1∶2，则AD的值是()

图1－4－7

A．6B．32

C．18D．36

【解析】

由题意知AD

DB＝1

2，

AD

·DB

＝36，

∴AD2

＝18，

2∴AD

＝32.

【答案】B

3．在Rt△ABC

中，∠BAC

＝90°，AD

⊥BC

于点D

，若AC

AB＝3

4，则BDCD等于()

A.3

4B.4

3

C.169D.9

16

【解析】如图，由射影定理，得AC2

＝CD

·BC

，AB2

＝BD

·BC

，

∴AC2

AB2＝CD

BD＝(3

4)2

，

即CD

BD＝9

16，∴BD

CD＝16

9.

【答案】C

4．在Rt△ACB

中，∠ACB

＝90°，CD

⊥AB

于D

，若BD

：AD

＝1：4，则tan∠BCD的值是

()

A.1

4B.1

3

C.1

2D．2

【解析】如图，由射影定理得CD2＝AD

·BD

，

又∵BD

：AD

＝1：4，

令BD

＝x

，则AD

＝4x

(x

>0)．

∴CD2

＝AD

·BD

＝4x2

，∴CD

＝2x

，

在Rt△CDB

中，tan∠BCD

＝BD

CD＝x

2x＝1

2.

【答案】C

二、填空题

3图1－4－8

5．如图1－4－8，在矩形ABCD

中，AE

⊥BD

，OF

⊥AB

.DE

∶EB

＝1∶3，OF

＝a

，则对角线

BD

的长为________．

【解析】∵OF

＝a

，

∴AD

＝2a

，

∵AE

⊥BD

，

∴AD2