交集、并集、补集、全集

交集、并集、补集、全集

一、学习内容：

1.理解交集、并集、全集与补集的概念。

2.熟悉交集、并集、补集的性质，熟练进行交、并、补的运算

二、例题

第一阶梯

例1、什么叫集合A、B的交集？并集？

答案：

交集：A∩B={x | x∈A , 且x∈B}

并集：A∪B={x | x∈A , 或x∈B}

说明：

上面用描述法给出的交集、并集的定义，要特别注意逻辑联结词"且"、"或"的准确意义，在交集中

用"且"在并集中用"或交、并运算有下列推论：

例2、什么叫全集？补集？

答案：

在研究集合与集合的关系时，相对于所研究的问题，存在一个集合I，使得问题中的所有集合都是I的

子集，我们就把集合I看作全集，全集通常用I表示。

补集： 。

说明： 全集和补集都是相对的概念。全集相对于所研究的问题，我们可以适当地选取全集，而补集又相对于

全集而言。如果全集改设了，那么补集也随之而改变。为了简化问题可以巧设全集或改设全集，"选

取全集"成为解题的巧妙方法。

补运算有下列推论：①；②；③。

例3、(1)求证： ， 。

(2)画出下列集合图（用阴影表示）：

① ； ②； ③；

④ 。

提示：

(1)证明两个集合M和P相等可分两步完成：第一步证明"由x∈MT x∈P"；第二步证明"由x∈P

Tx∈M "。

(2)利用（1）的结果画③、④。

答案：

说明：

(1)中的两个等式是集合的运算定律，很容易记住它，解题时可以 应用它。这个证明较难，通常不作

要求。

但其证明是对交、并、补运算及子集的很好练习。

(2)中的四个集合图也是集合的图示法的很好练习。图(1)叫做"左月牙"，图2叫做"右月牙"。画图3、

图4时要利用集合的两个运算律来画。

第二阶梯 例1、已知A={x | 2x4＋5x3－3x2=0}，B={x | x2＋2|x|－15=0}，求A∩B，A∪B。

[提示]

先用列举法化简集合A和B。

[答案]

由2x4＋5x3－3x2=0得x=0，或2x2＋5x－3=0，

∴x=0，或x=－3，或x=，

∴A={－3，0， }

由x2＋2|x|－15=0得|x|=3或|x|=－5，

∴x= ±3，即得B={－3，3}。

∴A∩B={－3}，A∪B={－3，0， ，3}

例2、设全集I={2，3，a2＋2a－3} , A={2 , |2a－1|} , ={5} , 求实数a的值。

答案：

说明：

例3、设全集I={1，2，3，…9}，={3，8}， ={2，5}，={1，2，3，5，6，7，8}， 求集合A，B。

[答案]

说明：

例4、设A={x | x>5或x<－1} , B={x | a≤x≤a＋3}，试问实数a为何值时，

(1) A∩B=φ；(2) A∩B≠φ；(3) AB。

答案：

说明：

数形结合在集合中有两个方法：一是画集合图，如例3；二是利用坐标系，如本例画数轴（数轴是

一维的坐标系）。这两个方法总括为集合的图示法，即寻求集合与图形的对应，找到直觉。从而把

抽象的集合问题具体化和形象化

此外，本题之（二）的解法是补集法，省去了多少烦恼！

第三阶梯：

例1、设全集I={(x , y) | x , y∈R}，集合M={(x , y) | }，N={(x ,

y) |y=3x－2}，那

么 等于（ ）。

(A) φ (B) (2 , 4) (C) {(2 ,

4)} (D) N

提示：

先等价化简集合M，再用坐标平面内的点集理解集合M与N的关系。

答案： ，

∴M={(x , y)| y=3x－2，且x≠2}，

∴N=M∪{(2 , 4)}

∴={(2 , 4)}，故选（C）。

说明：

本题是数形结合法的范例，用点集来理解抽象的集合M、N的关系就十分清晰、直观。解题的关键是

分清M和N的关系，当找到N=M∪{(2 , 4)}时，问题便迎刃而解。此外，注意单元素集合{(2,4)}和元素

（2, 4）不同，所以选（B）是错误的。

例2、据统计我校高中一年级的100名学生中，爱好体育的学生有75人，爱好文艺的学生有56人，试问文

艺、体育都爱好的学生最多有多少人？最少有多少人？

提示：

利用集合图列出各种爱好者的人数间的函数关系。

答案：

设A={爱好体育的学生}，B={爱好文艺的学生}，

则A∩B={文艺、体育都爱好的学生}，

A∪B={爱好文艺或爱好体育的学生}。

我们把有限集合M的元素个数记作card(M)，card(A)=75，

card(B)=56，card(A∩B)=y , card(A∪B)=x。于是由集合图（图7）

得 x=75＋56－y (75≤x≤100)

即 y=131－x (75≤x≤100)

∴31≤y≤56。 答：文艺、体育都爱好的学生最多有56人，最少有31人。

说明：

关于有限集合的并、交的元素个数的问题，用图解法解决具有无比的优越性。

一般地，对于任意两个有限集合A , B有

card(A∪B)=card(A)＋card(B)－card(A∩B).

其道理可由图8看出来。

对于任意的三个有限集合A，B，C，有

card(A∪B∪C)

=card(A)＋card(B)+card(C)－ card(A∩B)－

card(B∩C)－ card(C∩A)＋ card(A∩B∩C)

其道理可由图9看出来。

三、练习题

A组

一、选择题

(1．已知全集I={0,－1 ,－2 ,－3 ,－4}，集合M={0,1,－2}，N ={0,－3,－4}，则=

A.{0} B.{－3，－4} C.{－1，－2} D. φ

(2．设全集为R，集合M={x | f(x)=0}，P={x | g(x)=0}，S={x | h(x)=0}，则方程 的解集是（ ）

A. M∩P∩N B.M∩P C.M∩P∩S D.M∩P∩

(3．已知集合P、M满足P∩M={1，2}，P∪M={1，2，3，4，5}，全集I=N，则(P∪M)∩( )为（ ）

A.{1，2，3} B.{2，3，4} C.{3，4，5} D.{1，4，5}

(4．设I是全集，集合P、Q满足P∈Q，则下面结论中错误的是

A.P∪Q=Q B. C. D.

(5．满足{1，2}∪M={1，2，3}的所有集合M有（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D. 4个

二、填空题

1、设A={梯形}，B={平行四边形}，C={矩形}，D={菱形}，E={正方形}，则(A∩B) ∪(B∩C)∪(D∪E)=

.

2、设x,y∈R，集合A={(x,y)|4x－y－3=0},B={(x,y)|2x－3y＋11=0} , 则A∩B=

.

3、全集I={1，2，3，4}，子集A和B满足： ={1}，A∩B={3}， ={2}，则A= 。

4、集合A={1，x2}，且 ={1，3，x}，则实数x的取值范围是 。

5、某班48名学生中，有13人爱打篮球又爱唱歌，有29人不爱唱歌，有16人不爱打篮球。则不爱打篮球

又不爱唱歌的学生数为 。

答案：

一、选择题 1—5 B，D，C，D，D

二、填空题

1、D

2、{(2 , 5)}

3、{3 , 4}

4、{0 , － , }

5、10

B组

一、选择题

1．集合{1，2，3}的子集共有（ ）

A．7个 B．8个 C．6个 D．5个

2．下列命题或记法中正确的是（ ）

A．R+∈R B．Z- {x|x0,x∈Z}

C．空集是任何集合的真子集 D．

3．同时满足{1}A{1，2，3，4，5}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

4．设A={x|1

A． B． C． D． 5．六个关系式：（1）{a,b}={b,a};(2){a,b}{b,a}；（3）；（4）{0}=；（5）{0}；

（6）0∈{0}。其中正确的个数为（ ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个及3个以下

6．集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，P={y|y=3l+1,l∈Z}，S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是（ ）

A．SPM B．S=PM C．SP=M D．SP=M

二、填空题

7．已知集合P={x|x2=1},集合Q={x|ax=1},若QP，那么a的值是________。

8．设S={x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A={x|x是平行四边形}，则CsA=________.

9．求满足条件{x|x2+1=0,x∈R}的集合M的个数。

答案：

一、1．B 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C

二、7．0、或—1 8．{x|x是梯形}

9．{x|x2+1=0,x∈R}=，又{x|x2-1=0,x∈R}={-1,1},其非空子集为{-1}，{1}，{-1，1}。

所以满足条件{x|x2+1=0,x∈R}M{x|x2-1=0}的集合M共3个.