2020届河北省衡水中学高三下学期一调考试数学文科试题(解析版)

2019—2020学年度第二学期一调考试

高三年级数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意，请将正确答案的序号填涂到答题卡上）

1.已知复数3aizai（其中aR，i为虚数单位），若复数z的共轭复数的虚部为12，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

【答案】A

【解析】

【详解】分析：先化简复数z，根据z的共轭复数的虚部为12求出复数z，再根据复数的几何意义确定复数在复平面内对应的点的位置．

详解：由题意得()(3)131(3)3(3)(3)1010aiaiiaaizaaiii，

∴ 131(3)1010aaiz，

又复数z的共轭复数的虚部为12，

∴31102a，解得2a．

∴5122zi，

∴复数z在复平面内对应的点位于第一象限．

故选A．

点睛：本题以复数的运算为基础，考查复数的基本概念和复数的几何意义，解题的关键是根据复数z的共轭复数的虚部为12求得实数2a，由此得到复数z，然后再根据复数对应的点的坐标确定其所在的象限．

2.已知全集2,340,{|22}URAxxxBxx ，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（ ）

A. 4{|}2xx B. {|2xx或4}x C. {|21}xx D. {|12}xx

【答案】D

【解析】

2|340UCAxxx[1,4] ,所以阴影部分所表示的集合为()[1,4][2,2][1,2]UCAB ,选D.

3.已知 abcR、、，则“240bac”是“函数2()fxaxbxc的图象恒在x轴上方”的( )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

分别研究由“240bac”推出“函数2()fxaxbxc的图象恒在x轴上方”和由“函数2()fxaxbxc的图象恒在x轴上方”推出“240bac”，得到答案.

【详解】当240bac时，

函数2()fxaxbxc图象与x轴没有交点，

当0a时，fx图像恒在x轴下方，所以是不充分条件；

当函数2()fxaxbxc的图象恒在x轴上方，

取0,0abc，满足要求，此时240bac，

因此不一定能得到240bac，所以是不必要条件；

故选D项.

【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题.

4.明朝数学家程大位将“孙子定理”（也称“中国剩余定理”）编成易于上口的《孙子歌诀》：三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，除百零五便得知．已知正整数n被3除余2,被5除余3，被7除余4，求n的最小值．按此歌诀得算法如图，则输出n的结果为（ ）

A. 53 B. 54 C. 158 D. 263

【答案】A

【解析】

按程序框图知n的初值为263，代入循环结构，第一次循环158n，第二次循环53,53105n，推出循环，n 的输出值为53 ，故选A.

5.斗拱是中国古典建筑最富装饰性的构件之一，并为中国所特有，图一图二是斗拱实物图，图三是斗拱构件之一的“斗”的几何体，本图中的斗是由棱台与长方体形凹槽（长方体去掉一个小长方体）组成.若棱台两底面面积分别是2400cm，2900cm，高为9cm，长方体形凹槽的体积为34300cm，斗的密度是30.70/gcm.那么这个斗的质量是（ ）注：台体体积公式是13VSSSSh.

A. 3990g B. 3010g C. 7000g D. 6300g

【答案】C

【解析】

【分析】

根据台体的体积公式求得台体体积,再加上长方体形凹槽的体积得这个斗的体积,然后乘以这个斗的密度可得这个斗的质量.

【详解】根据棱台的体积公式可得棱台的体积为1(400400900900)9570033cm ,

所以这个斗的质量为57004300100003cm,

所以这个斗的质量为100000.707000g.

故选:C.

【点睛】本题考查了棱台的体积公式,属于基础题.

6.在ABC中，22223sinabcabC，则ABC的形状是 ( )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

由余弦定理可知2222cosabcabC，与已知条件相加，得到cos3C的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos13C，从而得到C的大小，判断出ABC的形状，得到答案.

【详解】由余弦定理可知2222cosabcabC，

22223sinabcabC

两式相加，得到22cos3sin2cos3ababCCabC

所以222cos1322ababCabab，当且仅当ab时，等号成立，

而cos1,13C

所以cos13C，

因为0,C，所以2,333C

所以03C，即3C，又ab，

所以ABC是等边三角形，

故选D项.

【点睛】本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于中档题.

7.已知双曲线22221(0,0)xyabab的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线左支上一点，ABP为等腰三角形且其外接圆的半径为5a，则该双曲线的离心率为（ ）

A. 155 B. 154 C. 153 D. 152

【答案】C

【解析】

【详解】由题意知等腰ABP中，||2ABAPa，设ABPAPB，则12FAP，其中必为锐角．

∵ABP外接圆的半径为5a，

∴225sinaa，

∴5sin5，25cos5，

∴25254253sin22,cos22()155555．

设点P的坐标为(,)xy，则118(cos2),sin255aaxaAPyAP，

故点P的坐标为118(,)55aa．

由点P在双曲线上得2222118()()551aaab，整理得2223ba，

∴221513cbeaa．选C．

点睛：

本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和要点，从所要

求的离心率出发，寻找双曲线中,ac之间的数量关系，其中通过解三角形得到点P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得,ab间的关系，最后根据离心率的定义可得所求．

8.已知1a，设函数()2xfxax的零点为m，()log2agxxx的零点为n，则11mn的取值范围是（ ）

A. (2,) B. 7,2 C. (4,) D. 9,2

【答案】A

【解析】

【分析】

把函数零点转化为两个函数交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数之间的关系求出m,n之间的关系，根据两者之和是定值，利用均值不等式即得解.

【详解】函数()2xfxax的零点为函数xya与2yx图像的交点A的横坐标，函数()log2agxxx的零点为函数logayx与2yx图像的交点B的横坐标

10,0amnQ

由于指数函数与对数函数互为反函数，

其图像关于yx对称，

直线2yx与yx垂直

故两直线的交点(1,1)即是A，B的中点，

2,0,0mnmn

111111()()(2)(22)2222mnnmnmmnmnmnmn

当且仅当：1mn时等号成立

而mn，故112mn

故选：A

【点睛】本题考查了函数零点与均值不等式综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题.

9.已知函数31sinfxxxx，若2122fafa，则实数a的取值范围是( )

A. 3[1,]2 B. 3[,1]2 C. 1[1]2， D. 1[,1]2

【答案】C

【解析】

【分析】

构造函数1gxfx，证明gx是奇函数，单调递增，再将所求的不等式转化成关于函数gx相关形式，利用gx的性质，解出不等式，得到答案.

【详解】因为31sinfxxxx

设31singxfxxxx，定义域xR

3singxxxxgx，所以gx为奇函数，

231cos0gxxx，

所以gx单调递增，

不等式2122fafa

21121fafa

212ggaa

212ggaa

2a12a

解得112x

故选C项.

【点睛】本题考查构造函数解不等式，函数的性质的应用，属于中档题.

10.在ABCV中，ADAB，3,BCBDuuuruuur||1ADuuur，则ACADuuuruuur的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意转化(3)ACADABBDADuuuruuuruuuruuuruuur，利用数量积的分配律即得解.