高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(第1课时)等比数列的概念及通项公式巩固提升(含解析)新人教

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2.4。

1 等比数列的概念及通项公式2。

4.1 等比数列的概念及通项公式（共 1 课时）一、知识与技能1。

了解现实生活中存在着一类特殊的数列;2.理解等比数列的概念，探索并掌握等比数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题；4.体会等比数列与指数函数的关系。

二、过程与方法1.采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动；3。

密切联系实际，激发学生学习的积极性。

三、情感态度与价值观1。

通过生活中的大量实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2。

通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系,激发学生学习的兴趣。

教学重、难点教学重点 1.等比数列的概念；2。

等比数列的通项公式。

教学难点1。

在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系。

教学准备多媒体课件教学过程导入新课师现实生活中,有许多成倍增长的实例.如,将一张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例子吗? 生一粒种子繁殖出第二代120粒种子，用第二代的120粒种子可以繁殖出第三代120×120粒种子，用第三代的120×120粒种子可以繁殖出第四代120×120×120粒种子,…师非常好的一个例子！现实生活中，我们会遇到许多这类的事例。

2017-2018年高中数学第二章数列2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通n项公式练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018年高中数学第二章数列2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通n项公式练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

4 第1课时等比数列的概念与通n项公式A级基础巩固一、选择题1．在数列｛a n｝中，对任意n∈N＊,都有a n＋1－2a n＝0，则错误!的值为( ) A.错误! B。

错误! C.错误! D．1解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，所以错误!＝错误!＝错误!。

答案：A2．公差不为0的等差数列的第2，3,6项构成等比数列，则公比是( ) A．1 B．2 C．3 D．4解析：设等差数列的第2项是a2，公差是d，则a3＝a2＋d,a6＝a2＋4d。

由等差数列的第2，3，6项构成等比数列，得(a2＋d）2＝a2（a2＋4d），则d＝2a2,公比q＝错误!＝错误!＝错误!＝3。

答案:C3．若正数a,b，c组成等比数列，则log2a,log2b,log2c一定是（）A．等差数列B．既是等差数列又是等比数列C．等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列解析：由题意得b2＝ac（a，b，c〉0），所以log2b2＝log2ac即2log2b＝log2a＋log2c，所以log2a，log2b，log2c成等差数列．答案：A4．已知a是1,2的等差中项，b是－1,－16的等比中项，则ab等于( ）A．6 B．－6 C．±6 D．±12解析：a＝错误!＝错误!，b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4，所以ab＝±6.答案：C5．(2016·四川卷）某公司为激励创新,计划逐步加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0。

第1课时 等比数列的概念与通项公式A 级 基础巩固一、选择题1．已知{a n }是等比数列，a 3＝2，a 6＝14，则公比q ＝( D )A ．－12B ．－2C ．2D ．12[解析] 由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2a 1q 5＝14，∵a 1≠0，q ≠0，∴q 3＝18，∴q ＝12.故选D ．2．数列m ，m ，m ，…一定( C ) A ．是等差数列，但不是等比数列 B ．是等比数列，但不是等差数列 C ．是等差数列，但不一定是等比数列 D ．既是等差数列，又是等比数列[解析] 当m ＝0时，数列是等差数列，但不是等比数列．当m ≠0时，数列既是等差数列，又是等比数列．故选C ．3．(2019·湖南武冈二中高二月考)在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( B )A ．±4B ．4C ．±14D ．14[解析] 由题意，得a 4＝a 1q 3＝18×23＝1，a 8＝a 1q 7＝18×27＝16，∴a 4与a 8的等比中项为a 6＝4.4．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为( C )A ．na (1－b %)B ．a (1－nb %)C ．a (1－b %)nD ．a [1－(b %)n][解析] 依题意可知第一年后的价值为a (1－b %)，第二年后的价值为a (1－b %)2，依此类推形成首项为a (1－b %)，公比为1－b %的等比数列，则可知n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n.故选C ．5．(2019·山东菏泽一中高二月考)已知等比数列{a n }的公比为q ，若a 2，a 5的等差中项为4，a 5，a 8的等差中项为82，则log 12q 的值为( A )A ．－12B ．12C ．－2D ．2[解析] 由已知得⎩⎨⎧a 2＋a 5＝8a 5＋a 8＝162，∴⎩⎨⎧a 1q ＋a 1q 4＝8a 1q 4＋a 1q 7＝162，解得q ＝2，∴log 12 q ＝log 122＝log 2－1212 ＝－12.6．一个各项均为正数的等比数列，其任何项都是后面两项的和，则其公比是( D ) A ．52B ．1－52C ．255D ．5－12[解析] 由已知得a n ＝a n ＋1＋a n ＋2， 即a 1qn －1＝a 1q n ＋a 1qn ＋1，∴q 2＋q ＝1，解得q ＝－1±52.又q >0，∴q ＝5－12. 二、填空题7．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是2[解析] 设该直角三角形的三边分别为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12. 较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.8．已知等比数列前3项为12，－14，18，则其第8项是__－1256__.[解析] ∵a 1＝12，a 2＝a 1q ＝12q ＝－14，∴q ＝－12，∴a 8＝a 1q 7＝12×(－12)7＝－1256.三、解答题9．(2019·山东菏泽一中高二月考)已知数列{a n }为等比数列，a n ＞0，a 1＝2,2a 2＋a 3＝30.(1)求a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝b n ＋a n ，b 1＝a 2，求b 5. [解析] (1)设公比为q ，由题意得2a 1q ＋a 1q 2＝30， ∴4q ＋2q 2＝30， ∴q 2＋2q －15＝0， ∴q ＝3或－5. ∵a n ＞0，∴q ＝3. ∴a n ＝a 1qn －1＝2·3n －1.(2)∵b 1＝a 2，∴b 1＝6.又b n ＋1＝b n ＋a n ，∴b n ＋1＝b n ＋2·3n －1.∴b 2＝b 1＋2×30＝6＋2＝8，b 3＝b 2＋2×31＝8＋6＝14， b 4＝b 3＋2×32＝14＋18＝32， b 5＝b 4＋2×33＝32＋54＝86.10．(2018·全国卷Ⅰ文，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2()n ＋1a n ，设b n ＝a nn. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．[解析] (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1， 所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.B 级 素养提升一、选择题1．已知{a n }是公比为q (q ≠1)的等比数列，a n >0，m ＝a 5＋a 6，k ＝a 4＋a 7，则m 与k 的大小关系是( C )A ．m >kB ．m ＝kC ．m <kD ．m 与k 的大小随q 的值而变化 [解析] m －k ＝(a 5＋a 6)－(a 4＋a 7) ＝(a 5－a 4)－(a 7－a 6) ＝a 4(q －1)－a 6(q －1) ＝(q －1)(a 4－a 6) ＝(q －1)·a 4·(1－q 2)＝－a 4(1＋q )(1－q )2<0(∵a n >0，q ≠1)．2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为( C )A ． 2B ．4C ．2D ．12[解析] ∵a 1、a 3、a 7为等比数列{b n }中的连续三项， ∴a 23＝a 1·a 7，设{a n }的公差为d ，则d ≠0， ∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，∴a 1＝2d ，∴公比q ＝a 3a 1＝4d2d＝2，故选C ．3．已知a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都大于零的等比数列，公比q ≠1，则( A ) A ．a 1＋a 8>a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8<a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5D ．a 1＋a 8与a 4＋a 5大小不定[解析] 由条件知，(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)＝a 1(1＋q 7－q 3－q 4)＝a 1[(1－q 3)＋q 4(q 3－1)]＝a 1(1－q 3)(1－q 4)＝a 1(1－q )(1＋q ＋q 2)·(1－q 2)(1＋q 2) ＝a 1(1－q )2(1＋q )(1＋q 2)(1＋q ＋q 2)． ∵q >0且q ≠1，a 1>0， ∴(a 1＋a 8)－(a 4＋a 5)>0， ∴a 1＋a 8>a 4＋a 5.4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( D )A ．1 C ．3D ．98[解析] 按题意要求，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列填表如图，故a ＝12，b ＝38，c ＝4，则a ＋b ＋c ＝8.故选D ．二、填空题5．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金13，第3关收税金14，第4关收税金15，第5关收税金16，5关所收税金之和，恰好1斤重，设这个人原本持金为x ，按此规律通关第8关”，则第8关需收税金为__172__x .[解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13(1－12)x ＝12×3x ；第3关收税金：14(1－12－16)x ＝13×4x ；…，可得第8关收税金：18×9x ，即172x .6．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝__2n －1__.[解析] 设等比数列的公比为q (q >0)， 由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，所以a 1＝1q －1. a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q >0)， 而－1q 2＋1q ＝－(1q －12)2＋14，①当q ＝2时①式有最大值14，所以当q ＝2时a 3有最小值4. 此时a 1＝1q －1＝12－1＝1. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.故答案为2n －1.三、解答题7．等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3、a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .[解析] (1)设{a n }的公比为q ， 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1qn －1＝2n.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32， 设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d ＝8b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n .8．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由已知，有a 1＋a 2＝4a 1＋2，∴a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3. 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2) ＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )， 即b n ＋1＝2b n .因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列． (2)由(1)知等比数列{b n }中，b 1＝3，公比q ＝2， 所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1.于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14.所以a n ＝(3n －1)·2n －2.。

2.4.1《等比数列的概念及通项公式》【教学目标】必备知识：掌握等比数列的定义、等比中项，通项公式及相关应用．关键能力：通过对等差数列内容的复习小结，使学生对等比数列的知识结构进行主动建构，从而培养学生类比能力，归纳问题、解决问题的能力，提高逻辑推理与抽象概括的能力．核心素养：通过学生对等比数列性质的讨论，培养学生敢于猜想，乐于探究的精神，有利于提高学生的数学抽象、直观想象的能力，并在学习过程中形成持续学习数学的兴趣，培养学生数据分析、数学建模、逻辑推理、计算能力，增强学好数学的自信心！【重点难点】重点:等比数列的定义和通项公式；难点:灵活应用等比数列的定义和通项公式。

一、知识梳理1.等比数列的定义一般地，如果一个数列从起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母q (0q)表示.2.等比数列定义的符号语言:练习：判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项和公比, 如果不是，说明理由。

(1)2，4，16，64，… (2)16，8，4，2，0…(3)b, b, b, b, … (4)2，-2，2，-2，…(5)1, 3, 9, 27, ... (6)-2，-4，-8，-16…思考：q>0时，等比数列的项的正负有什么规律？q<0时，等比数列的项的正负又有什么规律？3.等比中项如果在a与b之间插入一个数G，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b 的等比中项.这三个数满足关系式.思考：在上述定义中，a 、b 的符号有什么特点？你能用a 与b 表示G 吗？4.等比数列的通项公式思考：等比数列的通项公式的推导已知等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q （q ≠0），则等比数列{a n }的通项公式为 ，【方法导练】题型一：等比数列通项公式的应用例1：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.例2：在等比数列}{n a 中，..,,).(n a q a n 求824111=-=-=题型二：等比中项的应用例3：已知三个数a,2a+2,3a+3成等比数列，求a.例4：若-1,a,b,c,-9成等比数列，求b,ac.巩固练习：在等比数列}{n a 中，..,n a a a a 求3202423=+=归纳小结【课堂总结】 .,,).(7522782a a a 求==。

[课时作业][A 组 基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是() A ．a ≠1 B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2.又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( )A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12， ∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －1 8．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式． 证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？ 解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组 能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8. 6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2.∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0.∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2， 且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －， ∴a n ＝312n －－1.。

2.4等比数列(1)课前预习 ● 温故知新学前温习1．等差数列的定义:从 起，每一项与其前一项的差 的数列，称为 .2．等差数列的通项公式： ，是关于n 的 .3．指数型函数 .新课感知1．等比数列的定义如果一个数列从 起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母 表示．2．等比数列的递推公式与通项公式递推公式通项公式3.等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成 ，那么G 叫做a ，b 的等比中项，这三个数满足关系式 .课堂学习 ● 互动探究知识精讲1．对等比数列的概念的理解(1)每一项与它前一项的比是同一个常数，即q a a a a a a a a a a n n ==⋯====-145342312(2)n ≥，具备任意性；同时概念给出了等比 数列任意相邻两项的递推关系：)1()2(11≥=≥=+-n q a a n q a a nn n n 或， (2)每一项与它前一项的比是同一个常数，强调的是同一个；(3)对于公比q ，它是每一项与它前一项的比，是有序的，也正是这种有序才决定q 的确定性；(4)公比q ≠0这是必然的，也就是不存在q ＝0的等比数列．还可以理解为在等比数列中，不可能存在数值为0的项．(5)由等比中项的定义可知：G a ＝b G⇒G 2＝ab ⇒G ＝±ab.这表明：只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为相反数．异号的两数没有等比中项．反之，当0aGb ≠时，若G 2＝ab ，则G a ＝b G ，即a ，G ，b 成等比数列．2．对等比数列通项公式的理解(1)通项公式的推导方法①归纳法（见课本）②累乘法： 由等比数列的定义得到：312412321,,,,,,n n n n a a a a a q q q q q a a a a a ---===⋯==将这1n -个式子等号两边分别相乘，可得到1111=n n n n a q a a q a --=即。