专题37 直线与圆、圆与圆的位置关系(题型专练)-2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍 Word版含解析

人教A版（2019）选择性必修第一册《2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系》提升训练一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）若a2+b2=43c2，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为()A. 2B. 1C. 34D. 122.（5分）方程(a−1)x−y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线与圆(x+1)2+y2=25的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定3.（5分）两内切圆的半径长是方程x2+px+q=0的两根，已知两圆的圆心距为1，其中一圆的半径为3，则p+q=()A. 2或4B. 4C. 1或5D. 54.（5分）若圆P的半径为1，且经过坐标原点，过圆心P作圆(x−4)2+(y−3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为()A. √3B. 2√3C. 2D. 45.（5分）直线4x−3y=0被圆(x−1)2+(y−3)2=10所截得的弦长为()A. 3B. 3√2C. 6D. 6√26.（5分）以直线ax−y−3−a=0(a∈R)经过的定点为圆心，2为半径的圆的方程是()A. x2+y2−2x+6y+6=0B. x2+y2+2x−6y+6=0C. x2+y2+6x−2y+6=0D. x2+y2−6x+2y+6=07.（5分）圆x2+y2−2x−8y+13=0截直线ax+y−1=0所得的弦长为2√3，则a=()A. −43B. −34C. √3D. 28.（5分）已知A(−4,0)，B(0,4)，点C是圆x2+y2=2上任意一点，则ΔABC面积的最大值为()A. 8B. 4√2C. 12D. 6√2二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知圆C1：(x+1)2+y2=1和圆C2：(x−4)2+y2=4，过圆C2上任意一点P作圆C1的两条切线，设两切点分别为A，B，则()A. 线段AB的长度大于√2B. 线段AB的长度小于√3C. 当直线AP与圆C2相切时，原点O到直线AP的距离为65D. 当直线AP平分圆C2的周长时，原点O到直线AB的距离为4510.（5分）已知圆O与直线l1：y=2x−4和l2：y=2x+6共有两个公共点，则圆O的方程可以是()A. (x−1)2+(y−3)2=5B. (x−1)2+(y−2)2=5C. (x−1)2+(y+3)2=25D. (x−1)2+(y−10)2=2511.（5分）已知圆C：x2+y2−4x=0和一点M(3,0)()A. 点M在圆C外面B. 过点M的圆C的最短弦所在直线方程是x=3C. 过点M作倾斜角为150∘的直线l被圆C所截得的弦长为√15D. 过点N(−2,0)作斜率为k的直线与圆C有公共点，则k∈[−√33,√3 3]12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x2+(y−1)2=4，过点P(x0,y0)存在直线l被圆C截得的弦长为2√3，则下列点P的坐标满足条件的是()A. (0,0)B. (0,1)C. (12,1) D. (2,0)13.（5分）已知圆C：(x−2)2+(y−2)2=25，直线l：3x−4y+m=0.圆C上恰有3个点到直线l的距离为3.则m的值为()A. −13B. −8C. 12D. 17三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）(1)已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−a+4)2=1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°.则实数a的取值范围为________.(2)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2−8x+15=0，若直线y=kx−2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________15.（5分）已知M(3,0)是圆x2+y2−8x−2y+10=0内一点，则过点M最长的弦所在的直线方程是______．16.（5分）过点(1,0)且与直线x-√2y+3=0平行的直线l被圆(x-6)2+(y-√2)2=12所截得的弦长为________.17.（5分）若直线l:ax+by−5=0(ab>0)恒过圆C：(x−3)2+(y−2)2=25的圆心，则3a +2b的最小值为__________.18.（5分）在面直角坐系Oy中，圆C程为(x−22+(−3)2=9，若过点M03)的线与交于PQ点(其中点P第二象)且∠PM=2∠PQO，则点Q的横坐标为 ______ ．四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知直线l1:x−y−2=0与圆C:x2+y2−2x+6y=0交于A,B两点，直线l2过点(1,−3)且l2//l1，l2与圆C交于M,N两点.求由点A,B,M,N构成四边形的面积.20.（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1：x2+y2−mx−14y+60=0，三个点A(2,4)、B、C均在圆O1上，(1)求该圆的圆心O1的坐标；(2)若OA →=BC →，求直线BC 的方程；(3)设点T(0,t)满足四边形TABC 是平行四边形，求实数t 的取值范围． 21.（12分）已知圆C ：x 2+8x +y 2=0，直线l ：mx +y +2m =0.(1)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=2√14，求直线l 的方程. (2)已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由.22.（12分）已知圆C ：x 2+y 2−4x +ay +1=0(a ∈R )，过定点P(0,1)作斜率为−1的直线交圆C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点． (1)求实数a 的值；(2)从圆外一点M 向圆C 引一条切线，切点为N ，且有MN =√2MP ，求MN 的最小值． 23.（12分）在位于城市A 南偏西60°相距100海里的B 处，一股台风沿着正东方向袭来，风速为120海里/小时，台风影响的半径为r(r >50)海里： (1)若r =70，求台风影响城市A 持续的时间(精确到1分钟)？ (2)若台风影响城市A 持续的时间不超过1小时，求r 的取值范围．答案和解析1.【答案】B;【解析】解：因为a 2+b 2=43c 2，圆x 2+y 2=1， 所以圆心O(0,0)到直线ax +by +c =0的距离d =√a 2+b2=√32， 所以直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为l =2√r 2−d 2=2×12=1. 故选：B.利用圆的性质及弦长公式即求．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．2.【答案】C; 【解析】该题考查直线过定点问题，考查直线与圆位置关系的判定，是基础题． 求出直线所过定点，再由定点在圆内得答案．解：由(a −1)x −y +2a +1=0，得a(x +2)−x −y +1=0， 联立{x +2=0−x −y +1=0，解得{x =−2y =3．∴直线(a −1)x −y +2a +1=0过定点(−2,3)， ∵(−2+1)2+32=10<25，∴点(−2,3)在圆(x +1)2+y 2=25的内部，则直线(a −1)x −y +2a +1=0与圆(x +1)2+y 2=25的位置关系是相交． 故选：C ．3.【答案】C;【解析】解：根据题意，设两个圆的半径为R ，r ，且R =3， 则有|R −r|=1，解可得r =2或4，又由R 、r 是方程x 2+px +q =0的两根，则{R +r =−p Rr =q ，当r =2时，p =−5，q =6，此时p +q =1， 当r =4时，p =−7，q =12，此时p +q =5， 故p +q =1或5， 故选：C ．根据题意，设两个圆的半径为R ，r ，且R =3，由圆心距求出r 的值，结合一元二次方程根与系数的关系分析可得答案．此题主要考查圆与圆的位置关系，涉及一元二次方程根与系数的关系，属于基础题．4.【答案】B;【解析】解：由圆P的半径为1，且经过坐标原点，可得圆心P的轨迹为x2+y2=1，又圆C：(x−4)2+(y−3)2=4，其圆心C(4,3)，半径r=2，过点P作圆C：(x−4)2+(y−3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|=√|PC|2−4，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|−1=√9+16−1=4，则|PQ|的最小值为√16−4=2√3．故选：B．由已知可得P的轨迹，画出图形，求得|PC|的最小值，则答案可求．该题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查直线与圆相交的弦长.先根据圆的方程求得圆的圆心坐标和半径，进而利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离，进而利用勾股定理求得被截的弦的一半，则弦长可求.=1，解：因为圆心到直线的距离为d=|4×1−3×3|5所以l=2√r2−d2=2√10−1=6，故选C.6.【答案】A;【解析】解：由题可知，直线过定点(1,−3)，所以圆方程为(x−1)2+(y+3)2=4，即x2+y2−2x+6y+6=0.故选：A.求出圆的圆心，然后写出圆的方程即可．此题主要考查直线系方程的应用，圆的方程的求法，是基础题．7.【答案】A;【解析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解答该题的关键．解：圆的方程可化为(x−1)2+(y−4)2=4，则由垂径定理可得点到直线距离为√22−(√3)2=1，圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：d=√a2+1=1，化简可得(a+3)2=a2+1，解得a=−43.故选A.8.【答案】C;【解析】解：根据题意，A(−4,0)，B(0,4)，则直线AB的方程为x−y−4=0，且|AB|=√16+16=4√2，圆x2+y2=2的圆心为O，其坐标为(0,0)，半径r=√2，则O到直线AB的距离d=√1+1=2√2，要求ΔABC面积的最大值，则点C到直线AB的距离最大，又由点C是圆x2+y2=2上任意一点，则C到直线AB距离的最大值为d+r=2√2+√2=3√2，故ΔABC面积的最大值为12×3√2×4√2=12；故选：C．根据题意，由A、B的坐标求出直线AB的方程以及|AB|的值，由圆的方程分析圆心的坐标以及圆的半径，分析可得要求ΔABC面积的最大值，则点C到直线AB的距离最大，由点与圆的位置关系分析可得C到直线AB距离的最大值，计算即可得答案．该题考查点到直线的距离公式的应用，涉及三角形面积的计算，属于基础题．9.【答案】AD;【解析】解：如图示：C 1(−1,0)，C 2(4,0)，根据直角三角形的等面积方法可得，|AB|=2⋅|PA|⋅|AC 1||PC 1|=2⋅√|PC 1|2−1|PC 1|=2√1−1|PC 12，由于|PC 1|∈[3,7]， 故2√1−1|PC 1|2∈[4√23,8√37]， 由于4√23>√2,8√37>√3，故A 正确，B 错误；当直线AP 与圆C 2相切时，由题意可知AP 斜率存在， 故设AP 方程为y =kx +m ， 则有|−k+m|√1+k 2=1,|4k+m|√1+k 2=2，即|4k +m|=2|k −m|，即2k =−3m 或6k =m ，设原点O 到直线AP 的距离为d ，则d =|m|√1+k2=|m||k−m|， 当2k =−3m 时，d =25；当6k =m 时，d =65，故C 错误； 当直线AP 平分圆C 2的周长时，即直线AP 过点C 2(4,0)，AP 斜率存在，设直线AP 方程为y =t(x −4)，即tx −y −4t =0， 则|−t−4t|√1+t 2=1，即|5t|√1+t 2=1,|t|√1+t 2=15，故原点O 到直线AP 的距离为d ′，则d ′=|4t|√1+t2=45，故D 正确； 故选：AD.根据圆的切线的几何性质可求得|AB|=2√1−1|PC 1|2，确定|PC 1|∈[3,7]，可求得√1−1|PC1|2∈[4√23,8√37]，即可判断A ，B ；当直线AP 与圆C 2相切时，设直线AP 的方程，利用和圆相切可得|4k +m|=2|k −m|，继而求得原点O 到直线AP 的距离，判断C ；当直线AP 平分圆C 2的周长时，直线AP 过点C 2(4,0)，设直线AP 方程，可得|t|√1+t2=15，由此求得原点O 到直线AP 的距离，判断D.此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．10.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查的是直线与圆的位置关系，关键是找出圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，属于中档题.根据各个选项给出的圆的方程，分别计算出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，即可找出符合条件的圆的方程．解：直线l1：y=2x−4和l2：y=2x+6化为一般式为：l1：2x−y−4=0和l2：2x−y+6=0，两直线平行，A：(x−1)2+(y−3)2=5，圆心为(1,3)，半径为√5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=√5，直线l1：2x−y−4=0与圆相切，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=√5，直线l2：2x−y+6=0与圆相切，共有两个公共点，故A正确；B:(x−1)2+(y−2)2=5，圆心为(1,2)，半径为√5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=4√55<√5，直线l1：2x−y−4=0与圆相交，有两个交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=6√55>√5，直线l2：2x−y+6=0与圆相离，无公共点，故B正确；C:(x−1)2+(y+3)2=25，圆心为(1,−3)，半径为5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=√55<5，直线l1：2x−y−4=0与圆相交，有两个交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=11√55<5，直线l2：2x−y+6=0与圆相交，有两个交点，故C错误；D:(x−1)2+(y−10)2=25，圆心为(1,10)，半径为5，圆心到直线l1：2x−y−4=0的距离为√5=12√55>5，直线l1：2x−y−4=0与圆相离，无交点，圆心到直线l2：2x−y+6=0的距离为√5=2√55<5，直线l2：2x−y+6=0与圆相交，有两个交点，故D正确.故选ABD.11.【答案】BCD;【解析】此题主要考查点与圆、直线与圆的位置关系，属于一般题.将点M坐标代入圆的方程即可判断A;利用过点M的圆C的最短弦与CM垂直即可判断B；利用弦长公式即可判断C；利用圆心到直线的距离小于等于半径即可判断D.解：对于A、因为32+02−4×3<0，所以点M在圆C内部，故A错误；对于B 、因为圆C 方程可化为(x −2)2+y 2=4，圆心为C(2,0)，半径为r =2， 由于过点M 的圆C 的最短弦与CM 垂直，又k CM =0，则该弦所在直线的斜率不存在， 故对应的方程为x =3，故B 正确； 对于C 、l 的方程为y =−√33x +√3，即√3x +3y −3√3=0， 圆心C 到l 的距离为d =√3−3√3|√(√3)2+32=12，故弦长为2√r 2−d 2=2√22−(12)2=√15，故C 正确；对于D 、因为过点N(−2,0)作斜率为k 的直线方程为y =kx +2k ，即kx −y +2k =0， 因为直线与圆C 有公共点，则√k 2+(−1)2⩽2，解得k ∈[−√33,√33]，故D 正确， 故选BCD .12.【答案】AD; 【解析】此题主要考查直线与圆相交，属基础题目， 利用弦心距、半弦长、半径满足勾股关系得解.解：圆C 的方程为x 2+(y −1)2 = 4， ∴圆心C(0,1)，半径为2，由题意过点P 存在直线l 被圆C 截得的弦长为2√3， 设圆心C 到直线l 的距离为d ， 则d 2=r 2−(2√32)2，d 2=4−3=1，则点P 到点C 的距离不小于1，∴满足条件的点P 的坐标 (0,0)或 (2,0)， 故选AD .13.【答案】BC;【解析】解：圆C ：(x −2)2+(y −2)2=25的圆心为C(2,2)，半径r =5， 因为圆C 上恰有3个点到直线l 的距离为3. 所以圆心C 到直线l 的距离为r −3=2， 所以√32+42=2，整理得|m −2|=10，解得m =12或m =−8. 故选：BC.根据圆的性质，得到圆心到直线l 的距离等于2，由点到直线的距离公式求解即可． 此题主要考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．14.【答案】(1)[2−√22,2+√22] (2)43; 【解析】(1)此题主要考查了轨迹思想以及圆与圆的位置关系的应用．其中条件“∠APB =60°”就是用来确定点P 的轨迹的，一方面，根据点满足∠APB =60°，从而得到点P 在动圆x 2+y 2=4上，，另一方面，P 也在圆M 上，从而将所求解的问题转化为研究圆与圆的位置关系的问题，通过它们的位置关系，就可以求出变量a 的取值范围．解：(1)因为圆M 上存在点P ，使经过点P 作圆O 的两条切线， 切点为A ，B ，使∠APB =60°，则∠APO =30°， 所以OP =2，即点P 在圆x 2+y 2=4上，又点P 在圆M 上，圆M 圆心为(a,a −4)，半径为1， 于是2−1⩽√a 2+(a −4)2⩽2+1， 即1⩽√a 2+(a −4)2⩽3， 解得实数a ∈[2−√22,2+√22]. 故答案为[2−√22,2+√22]. (2)此题主要考查根据圆和圆的位置关系求解参数的取值范围的问题．本题关键在于利用圆和圆有公共点建立关于k 的不等式，再利用直线上至少存在一点，从而将问题转化为不等式有解的问题．解：由题意知圆C 的方程可化为(x −4)2+y 2=1，则圆心C(4,0). 设直线上一点的坐标为(x,kx −2)， 则由题意得√(x −4)2+(kx −2)2⩽2， 整理得(k 2+1)x 2−(8+4k )x +16⩽0，此不等式有解的条件是Δ=(8+4k )2−64(k 2+1)⩾0， 解得0⩽k ⩽43，故最大值为43. 故答案为43.15.【答案】x-y-3=0;【解析】解：把圆的方程x 2+y 2−8x −2y +10=0化为标准方程得： (x −4)2+(y −1)2=7， 所以圆心坐标为(4,1)，又M(3,0)，根据题意可知：过点M 最长的弦为圆的直径， 则所求直线为过圆心和M 的直线，设为y =kx +b ， 把两点坐标代入得：{4k +b =13k +b =0，解得：{k =1b =−3，则过点M 最长的弦所在的直线方程是y =x −3，即x −y −3=0． 故答案为：x −y −3=0由M 为已知圆内一点，可知过M 最长的弦为过M 点的直径，故过点M 最长的弦所在的直线方程为点M 和圆心确定的直线方程，所以把圆的方程化为标准，找出圆心坐标，设出所求直线的方程，把M 和求出的圆心坐标代入即可确定出直线的方程．该题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会将圆的方程化为标准方程，会利用待定系数法求一次函数的解析式，根据题意得出所求直线为过圆心和M 的直线是本题的突破点．16.【答案】6; 【解析】此题主要考查直线的点斜式方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式. 【解析】解：设与直线x −√2y +3=0平行的直线方程为x −√2y +c =0， 将点(1,0)代入直线x −√2y +c =0得c =−1， 所以该直线方程为x −√2y −1=0，圆(x −6)2+(y −√2)2=12的圆心C 为(6,√2)，半径r =2√3， 所以点C 到直线x −√2y −1=0的距离为d =√2×√2−1√1+2=√3=√3，所以被截得的弦长为2√r 2−d 2=2×√12−3=6， 故答案为6.17.【答案】5 ; 【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，注意运用直线过圆心，考查乘1法和均值不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．求得圆的圆心，代入直线方程，可得3a +2b =5(a 、b >0)，即有3a +2b =15(3a +2b)(3a +2b )，计算、运用基本不等式，即可得到最小值．解：圆C ：(x −3)2+(y −2)2=25的圆心为(3,2)，由题意可得3a+2b=5(a、b>0)，则3a +2b=15(3a+2b)(3a+2b)=15(13+6ab+6ba)⩾15(13+2√6ab)=15(13+12)=5.当且仅当a=b=1时，取得最小值5.故答案为5.18.【答案】1;【解析】解：图所示，以MO=MQ=，解x=1，与圆的方(x−2)2+(y3)29联立，以点Q的横标为1．则点M(3)为圆，r=3为半径的圆方程为消y得：−4x+=0，x2+(−3)2=，据题意画出形，结图得出点Q在以点为心，3为半上，写出圆的方程，与圆C的方联立去y求得x的值即可．本题查了直线与圆的程应用问题，也考了化法与数形结合的应问题，是基题目．19.【答案】解：由题知，设直线l2:x−y+m=0，代入点(1,−3)得m=−4，即直线l2:x−y−4=0，∵圆C:x2+y2−2x+6y=0，化为(x−1)2+(y+3)2=10，∴圆心坐标为(1,−3)，半径为√10，则直线l2过圆心(1,−3)，所以|MN|=2√10，又圆心C(1,−3)到直线l1:x−y−2=0的距离为d=√2，∴|AB|=2√(√10)2−(√2)2=4√2，∵l 2//l 1 ∴l 1到l 2的距离√12+(−1)2=√2，∴由A,B,M,N 构成四边形为梯形，且面积S =12×(4√2+2√10)×√2=4+2√5.;【解析】此题主要考查两条直线平行的判定，点到直线的距离公式，两平行直线间的距离，直线与圆的位置关系及判定，属于中档题．先由直线l 2过点(1,−3)且l 2//l 1，求出l 2的方程，再分别求出弦长|AB |，|MN |，及两平行线间的距离，即可求由A,B,M,N 构成梯形的面积.20.【答案】解：(1)将A(2,4)代入圆O 1：x 2+y 2−mx −14y +60=0得4+16−2m −56+60=0，解得m =12， ∴O 1(6,7)，半径r =5．(2)∵OA →=BC →，∴k BC =k OA =2，且|BC |=|OA |=2√5， 设直线BC ：y =2x +b ，即2x −y +b =0， 圆心O 1到直线2x −y +b =0的距离d =√22+1=√5，由勾股定理得2√5=2√25−d 2，∴d 2=20，∴(5+b)25=20，∴5+b =±10，∴b =5或b =−15，所以直线BC 的方程为y =2x +5或y =2x −15． (3)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)， 所以{x 2=x 1−2y 2=y 1+t −4…①，因为点C 在圆O 1上，所以(x 2−6)2+(y 2−7)2=25…② 将①代入②，得(x 1−8)2+(y 1+t −11)2=25，于是点B 既在圆O 1上，又在圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上，从而圆(x −6)2+(y −7)2=25与圆(x −8)2+(y +t −11)2=25有公共点， 所以5−5⩽√(8−6)2+(11−t −7)2⩽5+5， 解得4−4√6⩽t ⩽4+4√6．因此，实数t 的取值范围是[4−4√6,4+4√6].;【解析】该题考查了直线与圆的关系，涉及了向量知识，弦心距公式，点到直线的距离公式等内容，属于中档题．(1)将A 点代入圆的方程可得m 的值，继而求出半径和圆心；(2)可设直线BC 方程为：y =2x +b ，可得圆心O 1(6,7)到直线BC 的距离，结合弦心距定理可得b 的值，求出直线方程；(3)设B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，得{x 2=x 1−2y 2=y 1+t −4，(x 1−8)2+(y 1+t −11)2=25，于是点B 既在圆O 1上，又在圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上，从而圆(x −6)2+(y −7)2=25与圆(x −8)2+(y +t −11)2=25上有公共点，即可求解．21.【答案】解：(1)由x 2+8x +y 2=0得(x +4)2+y 2=16， 因此圆C 的圆心C(−4,0)，半径r =4. 因为圆心C 到直线l 的距离d =√m 2+1=√m 2+1，而直线l 与圆C 相交于A ，B 两点， 所以|AB |=2√r 2−d 2=2√16−4m 2m 2+1.又因为|AB |=2√14，所以2√16−4m 2m 2+1=2√14，即4m 2m 2+1=2，解得m =±1，因此直线l 的方程为y =x +2或y =−x −2. (2)设P(x,y)，M(x 1,0)，N(x 2,0).因为点P 是圆C 上任意一点，而点P 的轨迹方程为x 2+y 2=−8x ， 所以x ∈[−8,0].若在x 轴上存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12成立， 即√(x−x 1)2+y 2√(x−x 2)2+y 2=12对x ∈[−8,0]恒成立， 即x 2+y 2+x 12−2x 1x x 2+y 2+x 22−2x 2x =14对x ∈[−8,0]恒成立，化简得−8x +x 12−2x 1x −8x +x 22−2x 2x =14对x ∈[−8,0]恒成立，即2(4x 1−x 2+12)x +(x 22−4x 12)=0对x ∈[−8,0]恒成立，因此&#x007B4x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0，解得&#x007B x 1=−6x 2=−12或&#x007B x 1=−2x 2=4， 所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为M(−6,0)，N(−12,0)或M(−2,0)，N(4,0).; 【解析】此题主要考查了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，直线与圆的位置关系及判定和圆方程的综合应用，属于较难题.(1)利用圆的标准方程得圆C 的圆心和半径，再利用点到直线的距离得直线l 与圆C 的相交弦长，再结合题目条件，计算得结论；(2)设P(x,y)，M(x 1,0)，N(x 2,0)，由点P 是圆C 上任意一点得x ∈[−8,0]，再利用若在x 轴上存在两个定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12成立，结合两点间的距离公式得2(4x 1−x 2+12)x +(x 22−4x 12)=0对x ∈[−8,0]恒成立，从而得&#x007B4x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0，从方程&#x007B 4x 1−x 2+12=0x 22−4x 12=0有解得满足题意的定点M ，N 存在，再求出点M ，N 的坐标.22.【答案】解：(1)由x2+y2−4x+ay+1=0(a∈R)得C(2,−a2)因为P为AB的中点，所以P在圆内且CP⊥AB.所以&#x007B 12+a×1+1<0−a2−12=1，解得a=−6.(2)由(1)得圆C：x2+y2−4x−6y+1=0,即(x−2)2+(y−3)2=12，所以圆心C(2,3)，半径r=2√3.设M点坐标为(x,y)，因为MN为圆C的切线，所以MN⊥CN，所以MN2= MC2−r2=MC2−12，又MN=√2MP，所以2M P2=MC2−12，则2x2+2(y−1)2=(x−2)2+(y−3)2−12，整理，得(x+2)2+(y+1)2=4.由于MN=√2MP，故MN取最小值，即MP取最小值，点P(0,1)到圆(x+2)2+(y+1)2=4的圆心距离d=√(0+2)2+(1+1)2=2√2，所以，MP的最小值为2√2−2，所以，MN的最小值为4−2√2.;【解析】此题主要考查了直线与圆相切，圆中的最值问题，属于中档题.(1)由圆的方程可得C(2,−a2)，由题意得P在圆内且CP⊥AB，即可求得实数a的值；(2)由(1)得圆C (x−2)2+(y−3)2=12，设M点坐标为(x,y)，结合题意得MN2=MC2−r2=MC2−12，从而有2M P2=MC2−12，可得MN取最小值，即MP取最小值，计算可得结果.23.【答案】解：（1）由题意，AB=70，AC=50，则BC=√4900−2500=20√6，∵风速为120海里/小时，∴台风影响城市A持续的时间为2×20√6120×60≈49分钟；（2）由题意，|BC|≤60，∴√r2−2500≤60，∵r＞5，∴5＜r≤10√61;【解析】(1)由题意，AB=70，AC=50，则BC=√4900−2500=20√6，根据风速为120海里/小时，即可得出结论；(2)若台风影响城市A持续的时间不超过1小时，|BC|⩽60，求r的取值范围．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

专题46 直线与圆、圆与圆的位置关系【热点聚焦与扩展】高考对圆的方程的考查，一般是以小题的形式出现，也有与向量、圆锥曲线等相结合的问题．纵观近几年的高考试题，主要考查以下几个方面：一是考查圆的方程，要求利用待定系数法求出圆的方程，并结合圆的几何性质解决相关问题；二是考查直线与圆的位置关系，高考要求能熟练地解决圆的切线问题，弦长问题是高考热点，其中利用由圆心距、半径与半弦长构成的直角三角形，是求弦长问题的关键．三是判断圆与圆的位置关系，确定公共弦所在的直线方程.近几年多与圆锥曲线问题综合考查.本专题通过例题说明关于直线与圆、圆与圆的位置关系问题的解法与技巧. 1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=3、圆的一般方程：圆方程为220x y Dx Ey F ++++= （1）22,x y 的系数相同 （2）方程中无xy 项（3）对于,,D E F 的取值要求：2240D E F +->4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则： ① 当r d >时，直线与圆相交 ② 当r d =时，直线与圆相切 ③ 当r d <时，直线与圆相离（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数.设直线：0Ax By C ++=，圆：220x y Dx Ey F ++++=，则：22Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去y 可得关于x 的一元二次方程，考虑其判别式的符号 ① 0∆>，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ② 0∆=，方程组有一组解，所以直线与圆相切③ 0∆<，方程组无解，所以直线与圆相离 5、直线与圆相交：弦长计算公式：2222AB AM r d ==- 6、直线与圆相切：（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径（2）圆上点的切线结论：① 圆222x y r +=上点()00,P x y 处的切线方程为200x x y y r +=② 圆()()222x a y b r -+-=上点()00,P x y 处的切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程.（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线） 7、与圆相关的最值问题（1）已知圆C 及圆外一定点P ，设圆C 的半径为r 则圆上点到P 点距离的最小值为PM PC r =-，最大值为PN PC r =+（即连结PC 并延长，M 为PC 与圆的交点，N 为PC 延长线与圆的交点.MCNP（2）已知圆C 及圆内一定点P ，则过P 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN .CPAB（3）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的最小值为C l PM d r -=-，距离的最大值为C l PN d r -=+（过圆心C 作l 的垂线，垂足为P ，CP 与圆C 交于M ，其反向延长线交圆C 于NlMCN（4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM .lCPM8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆12,O O 的半径为12,r r ，12OO d = ① 12d r r >+⇒12,O O 外离 ② 12d r r =+⇒12,O O 外切③ 1212r r d r r -<<+⇒12,O O 相交④ 12d r r =-⇒12,O O 内切 ⑤ 12d r r <-⇒12,O O 内含（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系.但只能判断交点的个数.例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定【经典例题】例1.【2016高考山东】已知圆M ：2220(0)x y ay a 截直线0x y 所得线段的长度是2M与圆N ：22(1)1x y （-1）的位置关系是（ ）（A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）相离 【答案】B 【解析】 试题分析：由2220x y ay +-=（0a >）得()222x y a a +-=（0a >），所以圆M 的圆心为()0,a ，半径为1r a =，因为圆M 截直线0x y +=所得线段的长度是22，所以222222211a ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭，解得2a =，圆N 的圆心为()1,1，半径为21r =，所以()()2201212MN =-+-=，123r r +=，121r r -=，因为1212r r r r -<MN <+，所以圆M 与圆N 相交，故选B ．例2.【2018届湖北省华师一附中调研】已知圆C ： ()()2224x a y -+-=（0a >）及直线l ： 30x y -+=，当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a = （ ） A. 2 B. 22- C. 21- D. 21+ 【答案】C【解析】由题意，得()2213411a ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，解得21a =±-，又因为0a >，所以21a =-；故选C.例3.【2018届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷（一）】已知两点(),0A a ， (),0B a -（0a >），若曲线2223230x y x y +--+=上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则正实数a 的取值范围为（ ）A. (]0,3B. []1,3C. []2,3D. []1,2 【答案】B例4.已知直线()():21440l m x m y m ++-+-=上总存在点M ，使得过M 点作的圆C ：222430x y x y ++-+=的两条切线互相垂直，则实数m 的取值范围是（ ）A. 1m ≤或2m ≥B. 28m ≤≤C. 210m -≤≤D. 2m ≤-或8m ≥ 【答案】C【解析】如图，设切点分别为A，B．连接AC，BC，MC，由90AMB MAC MBC∠=∠=∠=︒及MA MB=知，四边形MACB为正方形，故222MC=+=，若直线l上总存在点M使得过点M的两条切线互相垂直，只需圆心()12-，到直线l的距离()()2222244221m m mdm m--+-+-=≤++-，即28200m m--≤，∴210m-≤≤，故选C．例5.过点()2,1作圆()()22124x y-+-=的弦，其中最短的弦长为 .【答案】22.yxOPBADC点睛：数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.例6．【2016高考新课标3】已知直线l：330mx y m++=与圆2212x y+=交于,A B两点，过,A B分别做l的垂线与x轴交于,C D两点，若23AB=||CD=__________________.【答案】4【解析】因为||23AB =，且圆的半径为23，所以圆心(0,0)到直线330mx y m ++-=的距离为22||()32AB R -=，则由2|33|31m m -=+，解得3m =-，代入直线l 的方程，得323y x =+，所以直线l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，||||4cos30AB CD ==︒．例7．已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【答案】3460x y -+=,245. 【解析】将两圆方程相减得相交弦的方程为：3460x y -+=.将221:2610C x y x y ++-+=配方得： 22(1)(3)9x y ++-=，圆心到公共弦的距离为2231269534d --+==+.所以弦长为29122429()2555-=⨯=. 例8. 求过点()3,1M 的圆22(1)(2)4C x y ：－＋－＝的切线方程 【答案】x 3＝，3450x y --=.点睛：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线． 例9. 已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=. ①若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；②设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程； ③设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】①3460x y +-=或2x =；②22(2)4x y -+=；③不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB .【解析】①设直线l 的斜率为k （k 存在）， 则方程为0(2)y k x -=-. 即02=--k y kx 又圆C 的圆心为(3,2)-，半径3r =， 由232211k k k +-=+， 解得34k =-.所以直线方程为3(2)4y x =--， 即 3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件 ②由于5CP =，而弦心距22()52MN d r =-=， 所以d =5CP =.即20a ->，解得0a <． 则实数a 的取值范围是(,0)-∞.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心(3, 2)C -必在2l 上． 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =． 由于1(, 0)2∉-∞，故不存在实数a ，使得过点(2, 0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ． 例10. 已知半径为2，圆心在直线2y x =-+上的圆C.（Ⅰ）当圆C 经过点A （2,2）且与y 轴相切时，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知E(1，1),F(1，-3),若圆C 上存在点Q ，使2232QF QE -=,求圆心的横坐标a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）22(2)4x y -+=；（Ⅱ）31a -≤≤【解析】试题分析：（Ⅰ）因为原心在直线2y x =-+上故可设原心为(),2a a -+，则可根据圆心和圆上的点的距离为半径列出方程。

【最新考纲解读】【考点深度剖析】直线与圆，圆与圆的位置关系一直是高考考查的热点，主要考查：(1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断；(2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围；(3)利用相切或相交求圆的切线或弦长．【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(4)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )(6)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B 四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.( )【练一练】1．圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )A．相切B．相交但直线不过圆心C．相交过圆心 D．相离2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m 等于( )A ．21B ．19C ．9D ．－114．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－345．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________．【题根精选精析】考点1 直线与圆相切【1-1】设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为 ；【1-2】过点()3,2M 作圆22:4240O x y x y ++-+=的切线方程是 ． 【基础知识】1.直线与圆相切：直线与圆有且只有一个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离等于半径，即d r =；3.代数法：0∆=，方程组有一组不同的解.【思想方法】设圆的圆心为00(,)C x y 半径分别为r ，直线的方程为0Ax By C ++=.若直线与圆相切，则r ，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题.【温馨提醒】1.求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求直线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线．2.利用直线与圆相切，确定参数的值（范围），往往利用几何法较为简单.考点2 直线与圆相交及弦长【2-1】圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得弦长为 .【2-2】直线l 经过点(5,5)P ，且与圆22:25C x y +=相交，截得弦长为l 的方程． 【基础知识】1.直线与圆相交：直线与圆有两个公共点；2.几何法：圆心到直线的距离小于半径，即d r <；3.代数法：0∆>，方程组有两组不同的解.【思想方法】1. 如下图所示，涉及直线与圆相交及弦长的题，都在Rt AOB ∆中，利用勾股定理，得半径弦长及弦心距之间的关系式.2.弦长的计算：方法一、设圆的半径为R ，圆心到直线的距离为d ，则弦长l =. 方法二、设直线的斜率为k ，直线与圆的交点坐标为1122(,),(,)P x y Q x y ，则弦长1PQ x =--【温馨提醒】1.确定直线方程，往往依据斜率是否存在进行分类讨论，利用圆心到直线的距离求直线的斜率；2.利用圆心到直线的距离可列方程求解；3.利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离，是解答此类问题的常用方法．4.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.考点3 圆与圆的位置关系【3-1】若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ．【3-2】已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长． 【基础知识】设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >).(1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆.【思想方法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.【温馨提醒】比较两圆半径的和、差与两圆圆心距的大小可得两圆的位置关系；两圆方程相减即得公共弦方程；公共弦长要通过解直角三角形获得．考点4 直线、圆的位置关系的综合应用【4-1】设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是 ．【4-2】已知点(2,0)P 及圆C ：226440x y x y +-++=.①若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1，求直线l 的方程；②设过点P 的直线1l 与圆C 交于M 、N 两点，当4MN =时，求以线段MN 为直径的圆Q 的方程；③设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，是否存在实数a ，使得过点(2,0)P 的直线2l 垂直平分弦AB ？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 【基础知识】设两圆的圆心分别为1C 、2C ，圆心距为12d C C =，半径分别为R 、r (R r >).(1)两圆相离：无公共点；d R r >+，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；d R r =+，方程组有一组不同的解.(3)两圆相交：有两个公共点；R r d R r -<<+，方程组有两组不同的解.(4)两圆内切：有一公共点；d R r =-，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；0d R r ≤<-，方程组无解.特别地，0d =时，为两个同心圆.【思想方法】1.两圆公共弦的直线方程即为联立两圆方程消去二次项所得的二元一次方程；2.求两圆的公共弦长，往往在一个圆中，应用勾股定理求解.【温馨提醒】数形结合思想的应用，是解析几何的重要特征，解题过程中要通过分析题目的条件和结论，灵活的加以转化.【易错问题大揭秘】[失误与防范]1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．。

专题37 直线与圆、圆与圆的位置关系1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想.热点题型一直线与圆的位置关系例1、(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ）A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是（)A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2C．0＜m＜1 D．m＜1解析：（1）由点M在圆外,得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝错误!＜1，则直线与圆O相交.【提分秘籍】判断直线与圆的位置关系常见的方法（1）几何法:利用d与r的关系。

(2）代数法:联立方程随之后利用Δ判断.（3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交。

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【举一反三】若圆x2＋y2＝r2(r＞0）上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )A．(错误!＋1,＋∞）B．(错误!－1，错误!＋1）C．(0, 错误!－1）D．（0，错误!＋1)解析:计算得圆心到直线l的距离为错误!＝错误!＞1，如图。

直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1.答案：A热点题型二圆的切线与弦长问题例2、(1）过点（3,1）作圆（x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A,B，则直线AB的方程为( )A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0(2)过点（3，1）作圆（x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________.【提分秘籍】圆的切线与弦长问题的解题策略（1）处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形。

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考点36 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.(2019·全国卷Ⅱ理科·T4)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R ,L 2点到月球的距离为r ,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:M 1(R+r )2+M 2r 2=(R +r )M 1R 3.设α=r R ,由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为 ( ) A.√M 2M 1R B.√M 22M 1R C.√3M 2M 13R D.√M23M 13R 【命题意图】本题主要考查函数模型及其应用.【解析】选D .由题可知11+2r R +r 2R 2M 1+R 2r 2M 2=(1+r R )M 1,把α=r R 代入得:1(1+α)2M 1+1α2M 2=(1+α)M 1, M 2α2=[(1+α)-1(1+α)2]M 1=(1+α)3-1(1+α)2M 1 =α(α2+3α+3)(1+α)2M 1,由题中给出的3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3, 所以M 2M 1≈3r 3R 3,r 3≈M 23M 1R 3,r ≈√M 23M 13R. 二、填空题2.(2019·浙江高考·T12)已知圆C 的圆心坐标是(0,m ),半径长是r.若直线2x -y +3=0与圆相切于点A (-2,-1),则m = ,r = .【命题意图】本题主要考查圆的方程,直线与圆的位置关系.【解析】设圆的标准方程为x 2+(y -m )2=r 2,由题意可得{(-2)2+(-1-m )2=r 2,|-m+3|2+(-1)=r ,解得{m =-2,r =√5. 答案:-2 √53.(2019·江苏高考·T10)在平面直角坐标系xOy 中,P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点,则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 .【命题意图】主要考查基本不等式的运用,通过点到直线距离公式表示出距离,然后运用基本不等式求解即可.【解析】方法一:设P (x 0,x 0+4x 0)(x 0>0),由点到直线距离公式得d =|x 0+x 0+4x 0|√2≥2√8√2=4,当且仅当2x 0=4x 0时,即x 0=√2时,取“=”号. 方法二:当直线x +y =0平移到与曲线y =x +4x相切位置时,切点Q 即为到直线x +y =0的距离最小的点P.由y'=1-4x 2=-1,得x =√2(-√2舍),y =3√2,即切点Q(√2,3√2),则切点Q到直线x+y=0的距离为|√2+3√2|1+1=4.答案:4三、解答题4.(2019·全国卷Ⅰ文科·T21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径.(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.【命题意图】本题考查圆的方程的求解问题,圆锥曲线中的定点定值类问题.【解题指南】解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,进而验证定值符合所有情况,使得问题得解.【解析】(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又⊥,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故☉M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于⊥,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.5.(2019·江苏高考·T18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA.规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B 到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长.(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由.(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米).求当d最小时,P,Q两点间的距离.【命题意图】本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.【解析】方法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4 5 .所以PB=BDcos∠PBD =1245=15.因此道路PB 的长为15百米.(2)①若P 在D 处,由(1)可得E 在圆上,则线段BE 上的点(除B ,E 外)到点O 的距离均小于圆O 的半径,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连接AD ,由(1)知AD =√AE 2+ED 2=10,从而cos ∠BAD =AD 2+AB 2-BD 22AD ·AB =725>0,所以∠BAD 为锐角.所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此,Q 选在D 处也不满足规划要求.综上,P 和Q 均不能选在D 处.(3)先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时,线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径,点P 不符合规划要求;当∠OBP ≥90°时,对线段PB 上任意一点F ,OF ≥OB ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径,点P 符合规划要求.设P 1为l 上一点,且P 1B ⊥AB ,由(1)知,P 1B =15,此时P 1D =P 1B sin ∠P 1BD =P 1B cos ∠EBA =15×35=9;当∠OBP >90°时,在△PP 1B 中,PB >P 1B =15.由上可知,d ≥15.再讨论点Q 的位置.由(2)知,要使得QA ≥15,点Q 只有位于点C 的右侧,才能符合规划要求.当QA =15时,CQ =√QA 2-AC 2=√152-62=3√21.此时,线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上,当PB ⊥AB ,点Q 位于点C 右侧,且CQ =3√21时,d 最小,此时P ,Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+3√21. 因此,d 最小时,P ,Q 两点间的距离为(17+3√21)百米.方法二:(1)如图,过O 作OH ⊥l ,垂足为H.以O 为坐标原点,直线OH 为y 轴,建立平面直角坐标系.因为BD =12,AC =6,所以OH =9,直线l 的方程为y =9,点A ,B 的纵坐标分别为3,-3.因为AB 为圆O 的直径,AB =10,所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A (4,3),B (-4,-3),直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ,所以直线PB 的斜率为-43,直线PB 的方程为y =-43x -253.所以P (-13,9),PB =√(-13+4)2+(9+3)2=15. 因此道路PB 的长为15百米.(2)①若P 在D 处,取线段BD 上一点M (-4,0),则MO =4<5,所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处,连接AD ,由(1)知D (-4,9),又A (4,3),所以线段AD :y =-34x +6(-4≤x ≤4).在线段AD上取点M(3,154),因为OM=√32+(154)2<√32+42=5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ=√(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),得a=4+3√21,所以Q(4+3√21,9),此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3√21,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3√21-(-13)=17+3√21.因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3√21)百米.【题后反思】方法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.利用几何关系即可求得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.方法二:(1)建立平面直角坐标系,分别确定点P和点B的坐标,然后利用两点之间距离公式可得道路PB的长;(2)分类讨论P和Q中能否有一个点选在D处即可.(3)先讨论点P的位置,然后再讨论点Q的位置即可确定当d最小时,P,Q两点间的距离.。

直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。

专题37 直线与圆、圆与圆的位置关系1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系。

2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。

3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。

热点题型一直线与圆的位置关系例1、(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( ) A．相切 B．相交C．相离 D．不确定(2)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( ) A．－3＜m＜1 B．－4＜m＜2C．0＜m＜1 D．m＜1解析：(1)由点M在圆外，得a2＋b2＞1，∴圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝1a2＋b2＜1，则直线与圆O相交。

【提分秘籍】判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用d与r的关系。

(2)代数法：联立方程随之后利用Δ判断。

(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交。

上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题。

【举一反三】若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围为( )A．(2＋1，＋∞) B．(2－1， 2＋1)C．(0, 2－1) D．(0，2＋1)解析：计算得圆心到直线l的距离为22＝2＞1，如图。

直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离2＋1。

答案：A热点题型二圆的切线与弦长问题例2、(1)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为__________。

【提分秘籍】圆的切线与弦长问题的解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形。