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《实数》知识点比较：
例1、求下列各数的算术平方根。
（1）100 （2）6449 （3）16
9
1 （4） （5）0 （6）
2 （7）()26-
例2、求下列各数的平方根。
（1）100 （2）6449 （3）16
9
1 （4） （5）0 （6）
2 （7）()26- 例3、求下列各数的立方根。
（1）1000 （2）278 （3）27
10
2 （4） （5）0 （6）2 （7）()36-
类型二：化简求值
例1、 求下列各式的值。 （1）22= （2）256
169
-= （3）0196.0= （4）2224-25-= （5）327--= （6）33512729+= 例2、求下列各式的值
（1）222-4-25）（+ （2）22
42.06-100001.0⨯+⨯）（
类型三：算术平方根的双重非负性⎩
⎨⎧≥≥00a a
一、 被开方数的非负性0≥a
例1、下列各式中，有意义的有哪些？
例2、若下列各式有意义，在后面横线上写出x 的取值范围。 （1）x _________ （2）x -5__________
例3、若x 、y 都是实数，且833+-+-=x x y ，求y 3x +的立方根。 二、 算术平方根的非负性
0≥a
例4、（1）21++a 的最小值是______,此时a 的取值是______。
（2）2-1+a 的最大值是______,此时a 的取值是______。
例5、若031x 2=+++y ，求2
y x ）（+的值。
例6、已知027y 33)2(222=-+-x ，求2
）（y x -的平方根。
类型四、
算术平方根：被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。
立方根：被开方数的小数点向右（左）每移动三位，立方根的小数点向右（左）移动一位。
例1、 观察：已知84.227.521284.2217.5==， 填空： ______52170______05217.0== 例2、 令858.46.23536.136.2==，则
①________00236.0_______;236== ②若__________,04858x ==x ③若153610a 6=⨯，求a 的值。 例3、若b ==337,a 15，则
____37000____,15.03==。
类型五、平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数。 例1、 一个非负数的两个平方根是 12-a 和5-a ，这个非负数是多少？
例2、 已知一个数的两个平方根分别是13+a 和11+a ，求这个数的立方根 类型六、解方程。
例1、求下列各式中的x 的值：
（1）2x =196； （2）010x 52=-； （3）0253362
=--）（x 。
（4）643=x （5）012583=+x （6）027)3(3=-+x 类型七：的根指数是2，指数2常常省略不写。 3
的根指数是3，指数3不可省略。
例1、若3121-a 5和+b 都是5的平方根，则________,==b a 。
例2、已知n m n m A -++=3是3++n m 的算术平方根，222n m +-+=n m B 是n 2m +的立方根，求A B -的立方根。 类型八、估值。
例1、 已知n m ,为两个连续的整数，且n <<11m 则n +m =_______。 例2、 已知y x ,为两个连续的整数，且y <+<15x ，则y x +=_______。 例3、估计68的立方根的大小在（ ）
A 、2与3之间
B 、3与4之间
C 、4与5之间
D 、5与6之间 例4、若5的整数部分是a ，小数部分是b ，则)5(-b a 的值是多少？ 例5、若139+与13-9的小数部分分别是a 与b ，试求b a 34+
类型九： a a =2
，
()
)0(2
≥=a a a ； a a =33
，()
a a =3
3
例1、下列判断错误的是( )
A 、若b a =，则b a =
B 、若3
3b a =，则b a =
C 、若3333b a =，则b a =
D 、若22b a =，则b a =
例2、如图实数 a 、b 对应数轴上的点A 和点B ,化简：
2222)()(a b a b a b +---+
提示：|a |＝⎩⎨⎧a （a ＞0），0（a ＝0），－a （a ＜0）.
类型八、平方运算与开平方运算互为逆运
算；
()
)0(2
≥=a a a
立方运算与开立方运算互为逆运算。
()
a a =3
3
例1、 若22=+x ，求52+x 的算术平方根。
例2、已知2-x 的平方根是±2，72++y x 的立方根是3，求22x y +的算术平方根。 类型九、
33
-a a -=（被开方数互为相反数，对应的立方根也互为相反数）
例1、若3x 2-1与32y 3-互为相反数，求
y
x
21+的值。 无理数（定义）：
无理数的特征: 1、圆周率π及含有π的数，例如：2π，7π；
2、带根号且开不尽方的，例如：，，，，6.433533--；
3、人造无理数（无限不循环小数），例如：……
实数（定义）： 【 与 是一一对应的】
实数：（分类）按定义： 按性质符号： 一、判断。
1.实数不是有理数就是无理数。 （ ）
2.无限小数都是无理数。 （ ）
3.无理数都是无限小数。 （ ）
4.带根号的数都是无理数。 （ ）
5.两个无理数之和一定是无理数。（ ）
6.有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数（ ）
7.实数与数轴上的点是一一对应的。 （ ）
8.无理数都是无限不循环小数。（ ）
类型一：实数的性质
在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同． 例1、分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)3
－64； (2)225； (3)11.
解：(1)∵3－64＝－4，∴3
－64的相反数是4，倒数是－14，绝对值是4；
（2） （3）
类型二：实数的运算
【一】 利用运算法则进行计算
例2、 计算下列各式的值：
(1)23－55－(3－55)； (2)|3－2|＋|1－2|＋|2－3|.
【二】 利用实数的性质结合数轴进行化简
