余弦定理优秀课件

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余弦定理ppt课件

边.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1

D.−

B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）

A.

B.

C.

D.

跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )

余弦定理课件全文

2ac cos C a2 b2 c2
2ab
问题10：余弦定理可以解决什么样的问题？
三、定理应用
1、解三角形的概念：
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的6
个元素. 已知三角形的几个（3个及以上）元素，求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中,CA=2,CB=5, ACB 60o ,求AB.
§6.4.3(1)余弦定理
一、情境引入
如图：在A,B两地之间隔着一个山丘，现要修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得
CA=2km,CB=5km，ACB 60o .请问，
你能求出隧道AB的长度吗？
问题1：将这个实际问题转化为数学问题应该怎么描述？
A
在 ABC中,CA=2,CB=5,ACB 60o,求AB.
问题9：余弦定理和勾股定理有什么联系？勾股定理是余弦定理特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.
二、新知探究 4、余弦定理的推论
c2 a2 b2 2abcosC b2 a2 c2 2ac cosB a2 b2 c2 2bc cos A
推论：
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
当c 3时，cos A b2 c2 a2 - 1 ，0o A 180 o , A 120 o ,C 30o
2bc
2
当c 6时，cos A b2 c2 a2 1 ，0o A 180 o , A 60o ,C 90o
2bc
2
综上所述，A 120 o , C 30o，c 3或 A 60o ,C 90o，c 6.
已知三角形的两边 a, b及其夹角 C，求第三边 c. A
①用向量表示几何元素

余弦定理公开课课件精选全文

情境引入
A
C B
余弦定理（一）
学习目标
• 能通过向量法推导余弦定理；
• 掌握余弦定理的两种表现形式；
•通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边” 及“边、边、边”问题。
情境引入
C A
?
B
用正弦定理不能直接求出A , B两处的距离这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.
归我纳们小身结边的事
B
B
C
A
南江环城路施工时需要在赵碧崖处开凿一条山地隧道，需要计算隧道长度，请问你有何方法。
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解：由得 ∵
∴ ∴
c2=a2＋b2－2abcosC,
c≈4.297.
BcAo＝≈s3A19＝8°0°, b－2＋2(Abcc2＋－Ca)2＝≈508.7°773，2′.sCcinAbBAaaA3si9cn或C 1401.6299
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
勾股定理与余弦定理有何关系？
令C＝900 c2 a2 b2 勾股定理
新课探究
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
aD
B
在 RtABD 中
AB2 AD2 BD2
( ACsin C)2 (CB CD)2
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC

余弦定理(55张PPT)

2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：

1.1.2 余弦定理 (共36张PPT)

当C为锐角时，a2 b2 c2 ; 当C为钝角时，a2 b2 c2 .
证明：当C为锐角时，cosC 0,由余弦定理，得 c2 a2 b2 2bccosC a2 b2，即 a2 b2 c2
同理可证，当C为钝角时，a2 b2 c2 .
数学应用：
例3.如图所示，有两条直线AB和CD 相交成80 °角，交点
数学建构
总结：利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角 (2)已知两边和它们的夹角，
求第三边和其它两个角
数学应用：
例1. 如图，在△ABC中，已知a=5，b=4，
∠C=120°，求c.
A
c
解：由余弦定理，得
b 120
C
a
B
c2 a2 b2 2abcos120
因此 c 52 42 254(12) 61
B
80° P A 122 13.52 21213.5cos80
O
16.4(km)
D
数学应用：
例4.在长江某渡口处，江水以５km/h的速度向东流。一渡船在江南岸的Ａ码头出发，预定
要在0.1h后到达江北岸Ｂ码头，设ＡＮ为正北方向，已知Ｂ码头在Ａ码头的北偏东１５°，
并与Ａ码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米／小时？（角度精确到
N
D
B
答：渡船按北偏西９．４ °的
方向，并以１１．７km/h的
速度航行．
15 A
C
数学应用：
例5.在ΔABC中，已知s inA 2sinBcosC,
试判断该三角形的形状. 解：由正弦定理和余弦定理，得
sin A a
a2 b2 c2
, cos C

余弦定理PPT优秀课件

∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为等腰三角形。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225

余弦定理(公开课)PPT

习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一，对于理解几何学中的其他定理和概念有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地理解三角形的性质和特点，更好地掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。

余弦定理PPT课件

c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
即：如图，在△ABC中，
设BC=a, AC=b, AB=c.
A
已知a, b和∠C，求边c？ b
c
C
aB
探索探究
联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？
用向量来研究这问题. A
即：如图，在△C ABC中， B
设BC=a, AC=b, AB=c.
巩经典固例知题识典型例题
例在△ABC中，a = 6，b = 7，c = 10，求△ABC 中的最大角和最小角（精确到1°）.
解由于a＜b＜c，所以C最大，A最小，由公式（1.12），有
cos C a2 b2 c2 62 72 102 0.1786，
2ab
267
所以 C ≈ 100°，
a2 b2 c2 2cbcos A． b2 a2 c2 2ac cos B，c2 a2 b2 2ab cosC．
可以证明，上述结论对于任意三角形都成立．于是得到余弦定理．
思考2：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C
1.3.2余弦定理
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
A C
B
复习引入
运用正弦定理能解怎样的三角形？
①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边A 与其中一边
的对角.
C B
情境设置
问题1：
如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角形全等的判定方法，这个三
A
角形是大小、形状完全确定的三角形. C

6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)

所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC

第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT

＝
6＋ 4
2 .
第六节正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一考点二考点三
利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解决三角形面积问题判断三角形的形状
第六节正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础细研考点·突破题型课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.

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a b c 不能，在正弦定理 sin A sin B sinC 中，已
知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边都有两个未知量。
那么，怎么解这个三角形呢？
[向量法]
学过向量之后，我们能用向量的方法 C 给予证明余弦定理。
已知AB,AC和它们的夹角A，求CB
CB AB AC 证明：
B中： cosC 2
2 2 2
13 练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 14 ,
求最大角的余弦值
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边, 找到最大角。
2 2 2abcosC c a b 解： 72 82 27813 9 14 c 3
2 2
a = b + c -2 b cco sA b = a + c -2 a cco sB
2 2 2
2
y
﹚
(0，0) (a,0)
x
几何法
余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。
当角C为锐角时 A 当角C为钝角时 A c b B D
C
b
a
A
c
B
b
C
c
a D
C
a
B
[几何法]
在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求a
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2 (cbcos A)2
b a
b sin
2
A
c
D
B
b cos A2bccos A b2c22bccos A
2
2A 2 2 c
2
2 2 2accos B a c 同理有： b
例1：若已知b=8,c=3,A= 60 ,能求a吗？
2 2 2bccos A a c 解： b
2

82 32 283cos60 49 a 7
思考：余弦定理还有别的用途吗？若已知a,b,c,可以求什么？
余弦定理的变形：
2 c a cos A b 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 cosC a b c 2ab
CB
2 2 2 2

AB AC AB AC 2 AB AC
AB
2 2
A
B

余弦定理
[复习回顾]
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 a b c
sin A sin B sinC
用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。
思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形，为什么？
AC 2 AB AC
Байду номын сангаас
COS
A
即 a2 b2 c2 2bccos A 同理，从

AC BC BA 2 从 AB CBCA 出发，证得 c2 a2 b 2abcosC
2 2 2
练习：一钝角三角形的边长为连续自然数，则这三边长为（ B ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、 3 ， 4 ， 5 D、 4 ， 5 ， 6 分析：要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A、C显然不满足
3 4 1 ，所以C是钝角 4 223 2 2 2 D中：cosC 4 5 6 1 ，所以C是锐角， 245 8 因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形
[解析法]
AB (b cosC a) (b sin C 0)
2 2
2 2 2
2
2
b cos C 2ab cosC a b sin C
2
a 2 b 2 2ab cosC 2 2 2 ∴c = a + b -2 a b co sC
同理：
(bcosC,bsinC)
解：由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 42 52 62 1 (1) cos C 0 2ab 2 45 8 C是锐角
（2）由（ 1 ）知：C是锐角，根据大边对大角， C是ABC中的最大角 ABC是锐角三角形
变式训练：
在△ABC中，若a 为（）
2
b c ，则△ABC的形状
28
,
解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 1 ）
2 2 2abcosC c a b 解： 2.7302 3.6962 22.7303.696cos8228
2
c 4.297
2 2 2 2 2 2 c a b 3.696 4.297 2.730 cos A 0.7767 23.6964.297 2bc A 2 思考: (1)还可怎样求角A？
由余弦定理若已知三边的比是 :2:1, 1 = -— cosA= 2 2×2×1 又怎么求？ ∴ A=120°
归纳：
（1）已知三边，求三个角（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。
利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？（2）判断△ABC的形状
32
B 180 A B 5830
(2)角A会有两解吗？
2 2 2 2 2 2 a cos B c b 7 6 10 0.178 2ac 276
C 180 A B 36
练一练：
1、已知△ABC的三边为求它的最大内角。、2、1，
,b=2,c=1
变一变：
则最大内角为∠A
解：不妨设三角形的三边分别为a= 12+22- ( )2
2
则有：b是最大边，那么B 是最大角
2 2 2 2 2 2 a cos B c b 3 7 8 1 2ac 237 7
[小结]
（1）余弦定理适用于任何三角形（2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边，进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
2 2
A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
判断三角形的形状
2 c a 推论：cos A b 2bc 2 2
C
b A
2 2 2
a
B
提炼：设a是最长的边，则
2 2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0 △ABC是锐角三角形 b c a 0 △ABC是直角三角形 b c a 0
c2 a2b22abcosC
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个等式成立的，课后请同学们自己证明。
余弦定理
2 2 2bccos A a b c 2 2 2 2accos B b a c 2 2 2 2abcosC c a b
2
用语言描述：三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
出发，证得b
2
a2 c2 2accos B
[解析法]
y
(bcosC,bsinC)
证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直 ﹚ x 于CB的直线为y轴， (0，0) (a,0) 建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为： C (0, 0) B (a, 0) A(b cos C , b sin C )
（3）由余弦定理可知：
A90 b 2 c 2 a 2 0 A90 b 2 c 2 a 2 0 A 90 b 2 c 2 a 2 0
运用
正余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？
角边角角角边边边角
正弦定理
余弦定理
边角边
边边边
[数学运用]
例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,C= 82 分析：已知两边和两边的夹角
2 2
例2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 求A，B，C（精确到1 ）
分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来解决问题 2 2 2 2 2 2 解： c a b 10 6 7 0.725 cos A
A 44
2bc
2106
B 100