余弦定理优秀课件

边.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1

D.−

B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）

A.


B.


C.

D.


跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )

2ac cos C a2 b2 c2
2ab
问题10：余弦定理可以解决什么样的问题？
三、 定理应用
1、解三角形的概念：
一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边 a, b, c 叫做三角形的6
个元素. 已知三角形的几个（3个及以上）元素，求其他元素的过程叫做解三 角形.
在 ABC中,CA=2,CB=5, ACB 60o ,求AB.
§6.4.3(1)余弦定理
一、 情境引入
如图：在A,B两地之间隔着一个山丘，现要 修一条隧道穿过山丘，测量人员在C点测得
CA=2km,CB=5km，ACB 60o .请问，
你能求出隧道AB的长度吗？
问题1：将这个实际问题转化为数学问题应该怎么描述？
A
在 ABC中,CA=2,CB=5,ACB 60o,求AB.
问题9：余弦定理和勾股定理有什么联系？ 勾股定理是余弦定理特殊情况，余弦定理是勾股定理的推广.
二、 新知探究 4、余弦定理的推论
c2 a2 b2 2abcosC b2 a2 c2 2ac cosB a2 b2 c2 2bc cos A
推论：
b2 c2 a2 cos A
2bc cos B a2 c2 b2
当c 3时，cos A b2 c2 a2 - 1 ，0o A 180 o , A 120 o ,C 30o
2bc
2
当c 6时，cos A b2 c2 a2 1 ，0o A 180 o , A 60o ,C 90o
2bc
2
综上所述，A 120 o , C 30o，c 3或 A 60o ,C 90o，c 6.
已知三角形的两边 a, b及其夹角 C，求第三边 c. A
①用向量表示几何元素

情境引入
A
C B
余弦定理（一）
学习目标
• 能通过向量法推导余弦定理；
• 掌握余弦定理的两种表现形式；
•通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边” 及“边、边、边”问题。
情境引入
C A
?
B
用正弦定理不能直接求出A , B两处的距离 这是一个已知三角形两边a和b,和两边的 夹角C，求出第三边c的问题.
归我纳们小身结边的事
B
B
C
A
南江环城路施工时需要在赵碧崖处开凿一条山地隧道， 需要计算隧道长度，请问你有何方法。
例题讲解
例 1：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，
C＝82°28′，解这个三角形.
解： 由 得 ∵
∴ ∴
c2=a2＋b2－2abcosC,
c≈4.297.
BcAo＝≈s3A19＝8°0°, b－2＋2(Abcc2＋－Ca)2＝≈508.7°773，2′.sCcinAbBAaaA3si9cn或C 1401.6299
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
勾股定理与余弦定理有何关系？
令C＝900 c2 a2 b2 勾股定理
新课探究
a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2ca cosB c2 a2 b2 2abcosC
aD
B
在 RtABD 中
AB2 AD2 BD2
( ACsin C)2 (CB CD)2
AC2 sin 2 C CB 2 2CB AC cosC AC2 cos2 C
AC2 CB 2 2CB AC cosC
c2 a2 b2 2abcosC

2．在解三角形的过程中，求某一个角有时既可以用余 弦定理，也可以用正弦定理，两种方案有什么利弊呢？
提示：用余弦定理求角时，运算量较大，但角与余弦 值是一一对应的，无须讨论；而用正弦定理求角时，运算 量较小，但由于在区间(0，π)上角与正弦值不是一一对应 的，一般情况下一个正弦值可对应两个角，往往要依据角 的范围讨论解的情况．
新知初探
1．余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减 去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即
2．余弦定理的推论 余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的 关系，它的另一种表达形式是 b2＋c2－a2 cosA＝_____________ ， 2bc
a2＋c2－b2 2ac cosB＝_____________ ， a2＋b2－c2 2ab cosC＝_____________.
类型二 [例2]
判断三角形的形状 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc且
sinA＝2sinBcosC，试确定△ABC的形状． [分析] 首先根据条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，利
用余弦定理求出一个角，再利用另一个条件，得到另外两 个角的关系，即可判断．
[解]
∵(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，
须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定
2 2 2 a > b ＋ c 理的特例．角A为钝角⇔_____________，角A为直角⇔ 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c a < b ＋ c ____________，角A为锐角⇔____________.
3．利用余弦定理可解决的两类问题 余弦定理的每一个等式中都包含四个不同的量，它们 分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入 等式，便可求出第四个量来． 利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：