2001-2015年天津市大学生数学竞赛试题合集

2001 年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类）
一 填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）
1.
函数
f
(x)
e2x 1 ，
x
x 0；在（-∞，+∞）上连续，则 a =
a cos x x2，x 0，
2。
2. 设函数 y = y(x) 由方程 e x y cos(xy) 0 所确定，则 d y x0 d x 。
（B） lim f [( x)] A x x0
（C） lim f [(x)] 不存在； x x0
（D） A、B、C 均不正确。
2. 设 f (x) sin x sin(x 2 ) d x ， g(x) x3 x 4 ，则当 x 0 时，（ A ） 0
（A） f (x) 与 g(x) 为同阶但非等价无穷小；
（A）与 s 和 t 有关；
（B）与 s、t 及 x 有关；
（C）与 s 有关，与 t 无关；
（D）与 t 有关，与 s 无关。
5.
设 u (x，y)
在平面有界闭区域 D 上具有二阶连续偏导数，且满足 2u xy
2u 0 及 x 2
2u y 2
0 ，则
（ B ）。 （A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域 D 的边界上； （C）u (x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域 D 的内部，最大值点在区域 D 的边界上。
4 3
x
。
六、在具有已知周长 2p 的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题 7 分）
解：设三角形的三条边长分别为 x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积 S 的平方为
S 2 p( p x)( p y)( p z)
则本题即要求在条件 x + y + z = 2p 之下 S 达到的最大值。它等价于在相同的条件下 S2 达到最大值。
3. 由曲线 y x3 x 2 2x 与 x 轴所围成的图形的面积 A =
37
。
12
4. 设 E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则 cos x sin x d x E
x2
5．设 L 是顺时针方向的椭圆
y2
1，其周长为 l
，则
xy x 2 4y 2 d s 4l
x 1 ex
0
1 dx
0 1 ex
1
dx
0 1 ex
命： e x
t，则d x
1 d t ，于是
t
0
x ex 1 ex
2
dx
1 d t 1 t(1 t)
1 1 d t ln t
1 t t 1
1 t
ln 2
1
五、设函数
u(x,
y)
的所有二阶偏导数都连续，
2u x 2
2u y 2
设
f (x, y) S 2 p( p x)( p y)(x y p) ，
问题转化成求 f (x, y) 在
D (x, y) 0 x p,0 y p, p x y 2 p
上的最大值。其中 D 中的第 3 个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有 x + y >
以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。
１
x2
cos x e 2
三、求极限 lim
。（本题 6 分）
x0 x 2[2x ln(1 2x)]
解： cos x 1 x 2 x 4 o(x 4 ) ； 2! 4!
x2
e2
1 x2 2
1 2!
x2 2
2
在 x = 1 处（ D ） （A）不可导；
（C）可导，且 f (1) b ；
（B）可导，且 f (1) a ； （D）可导，且 f (1) ab 。
s
4. 设 f (x) 为连续函数，且 f (x) 不恒为零，I=t t f (tx) d x ，其中 s > 0，t > 0，则 I 的值（ C ） 0
（B） f (x) 与 g(x) 为等价无穷小；
（C） f (x) 是比 g(x) 更高阶的无穷小；
（D） f (x) 是比 g(x) 更低阶的无穷小。
3. 设函数 f (x) 对任意 x 都满足 f (x 1) af (x) ，且 f '(0) b ，其中 a、b 均为非零常数，则 f (x)
o(x4 )
1
x2 2
x4 8
o(x4 ) ；
ln(1 2 x) 2 x 1 (2 x) 2 o( x 2 ) 2 x 2 x 2 o( x 2 ) ； 2
由此得到：
x2
cos x e 2 lim
1 lim
x2 2!
x4 4!
o
(x
4
)
1
x2 2
x4 8
o
(x
4
)
x0 x 2[2x ln(1 2x)] x0
u11 ''(x,2x) 2u12 ''(x,2x) 2x ，
u'2
(x,2x)
1 x2 2
两边对
x
求导，得到
u21 ''(x,2x) 2u22 ''(x,2x) x 。
以上两式与已知
2u x 2
2u y 2
联立，又二阶导数连续，所以 u12 ''
u21 ' ' ，故
２
u11
'
'
( x，2 x)
且u ( x,2 x)
x
，
u'1
(x,2x)
x2
，求
u11 ''(x，2x) 。（本题 6 分） 解： u(x,2x) x 两边对 x 求导，得到
u'1 (x,2x) 2u'2 (x,2x) 1
代入 u'1 (x,2x) x 2 ，求得
u'2
(x,2x)
1 x2 2
，
u'1 (x,2x) x 2 两边对 x 求导，得到
4
L
8
。
3
。
二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确
选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）
1.
若
lim
x x0
(x)
u0
且
lim
uu0
来自百度文库f (u)
A ，则（
D
）
（A） lim f [(x)] 存在； x x0
x2 2x 2x 2x2 o(x2 )
1 x4 o(x4 )
lim 12
1
。
x0 2x 4 o(x 4 ) 24
x ex
四、计算
d x 。（本题 6 分）
0 1 ex 2
解：
x ex 0 1 ex
dx
2
x ex 0 1 ex
dx
2
0
x
d
1
1 e
x