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实际问题与二元一次方程组(二)(提高)知识讲解.doc

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精品初中数学讲义（带详细答案）
实际问题与二元一次方程组（二）（提高）知识讲解
责编：某老师
【学习目标】
1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；
2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．
【要点梳理】
要点一、常见的一些等量关系（二）
1. 行程问题
速度×时间=路程.
顺水速度=静水速度+水流速度.
逆水速度=静水速度-水流速度.
2．存贷款问题
利息=本金×利率×期数.
本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .
年利率＝月利率×12.

月利率＝年利率×121.
3.数字问题
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一
个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．
4．方案问题
在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、
到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳
方案．
要点二、实际问题与二元一次方程组
1.列方程组解应用题的基本思路


2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤
设：用两个字母表示问题中的两个未知数；
列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；
解：解方程组，求出未知数的值；
验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；
答：写出答案．
要点诠释：
精品初中数学讲义（带详细答案）
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的
结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
【典型例题】
类型一、行程问题
【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143 例7】

1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就
会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙
两地间的距离.

【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+2460）＝两地距离，

75×（规定时间－2460）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离．
【答案与解析】
解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得：

解得：
答：甲乙两地间的距离为140千米.
【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追
及、相向、同向等关键词．
举一反三：
【变式】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身
过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度．
【答案】
解：设火车速度为x m/s，火车长度为y m．根据题意，得：

601000401000xyxy①
②

解得: 20200xy
答：火车速度是20m/s，火车的长度是200m．

类型二、存贷款问题

245060247060xyxy
















12
5
140xy

精品初中数学讲义（带详细答案）
2.（2015春•高新区期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年
需付出4.4万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公
司甲、乙两种贷款的数额分别为多少？
【答案与解析】
解：设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元、y万元，

由题意得

解得：，
答：该公司甲、乙两种贷款的数额分别为20万元、30万元．
【总结升华】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程组求解．
举一反三：
【变式】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关
系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到
8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（ ）．
A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】B
类型三、数字问题

3.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在
另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？
【思路点拨】在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．两个等量关系为：10×一个加数+
另一个加数=242；一个加数+10×另一个加数=341．
【答案与解析】
解：设原来的两个数分别为x和y，则：

1024210341xyxy




，

解得2132xy．
答：原来两个加数分别是21，32．
【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．
举一反三：
【变式】（2015春•万州区校级月考）一个两位数十位上的数字是个位上的数字为2倍，若
交换十位与个位上的数字，则所得新两位数与原数的和为99，则这个两位数是 ．
【答案】63．
解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，依题意有

，

解得，
精品初中数学讲义（带详细答案）
10y+x=60+3=63．
答：这个两位数是63．
类型四、方案选择问题

4.（2016•徐州）小丽购买学习用品的收据如表，因污损导致部分数据无法识别，根据
下表，解决下列问题：
（1）小丽买了自动铅笔、记号笔各几支？
（2）若小丽再次购买软皮笔记本和自动铅笔两种文具，共花费15元，则有哪几种不同的购
买方案？
商品名 单价（元） 数量（个） 金额（元）
签字笔 3 2 6
自动铅笔 1.5 ● ●
记号笔 4 ● ●
软皮笔记本 ● 2 9
圆规 3.5 1 ●
合计 8 28
【思路点拨】（1）利用总的购买数量为8，进而得出等式，再利用总金额为28元得出等式
组成方程组求出答案；
（2）根据题意设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据共花费15元得出等式

m+1.5n=15，进而得出二元一次方程的解．
【答案与解析】
解：（1）设小丽购买自动铅笔x支，记号笔y支，根据题意可得：

，

解得：，
答：小丽购买自动铅笔1支，记号笔2支；
（2）设小丽购买软皮笔记本m本，自动铅笔n支，根据题意可得：

m+1.5n=15，
∵m，n为正整数，
∴或或，
答：共3种方案：1本软皮笔记本与7支记号笔；2本软皮笔记本与4支记号笔；3本
软皮笔记本与1支记号笔．
【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用，根据题意结合表格
中数据得出正确等量关系是解题关键．

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144 例5】
举一反三：
【变式】联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑
每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元
精品初中数学讲义（带详细答案）
钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买
方案供该校选择，并说明理由.
【答案】
解：设从该公司购进A型电脑x台， B型电脑y台， C型电脑z台，则可分3种情况考虑：
①只购进A型电脑和B型电脑，

不符合题意，舍去，此方案不可取.
②只购进A型电脑和C型电脑，

符合题意，此方案可取.
③只购进B型电脑和C型电脑，

符合题意，此方案可取.
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方
案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.

3660004000100500xyxy




21.7557.75xy



3660002500100500xzxz




333xz



3640002500100500yzyz




729yz



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人教版七年级下册数学《实际问题与二元一次方程组—图形问题》课件

人教版七年级下册数学《实际问题与二元一次方程组—图形问题》课件


yy yyy
4x + 7y = 34 x
x
解得：xy
5 2
∴大长方形的长为:2x=10
y x
y x
宽为:x+y=5+2=7. ∴长方形的面积为：10×7=70c㎡
答：大长方形的面积是70c㎡
60
练一练： 8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形， 每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?（单位cm）
解:设小长方形地砖的长为x, 宽为y, 由题意,得 x+y=60 x=3y 解此方程组得： x =45, y=15.
三、组内合作、交流探索
【变式】一个长方形，长减少6，宽增加3，或长增加 4，宽减少1，面积都与原长方形的面积相等求原长方 形的长与宽。
三、组内合作、交流探索
例题4、把棱长为4的正方体分割成29个棱长为整数的正方体 （且没有剩余），求其中棱长为1的正方体的个数
课堂练习
1.如图，将矩形ABCD分割成一个灰色矩形和148个面积相等的小正 方形，若黑色矩形的长与宽的比是5：3，则AD：AB的值是 47：29.
长方形ABCD分割为两个小长方形，
长方形1和长方形2分别种甲、乙作物，
甲、乙单位面积产量的比是1:2.
A
B
目标：甲、乙两种作物的总产量的比是3:4
这里研究的实际上是长方形什的么面积分割 问 把一题个. 长方形分成两个小长方形有哪些分割方式？ 01 竖着画，把长分成两段，则 宽 不变
02 横着画，把宽分成两段，则 长 不变
分析：如图，设在黑色长方形的长上摆x个小正方形，宽上摆y个小 正 方 形 . 又 知 道 一 共 有 148 个 正 方 形 ， 所 以 2(x+y)=148–4 ； 再 根 据 “黑色矩形的长与宽的比为5：3”，得到x：y=5：3.可列出方程组 求解x，y的值，即可求出AD：AB=(x+2)：(y+2)=47：29.
初中数学_实际问题与二元一次方程组(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_实际问题与二元一次方程组(2)教学设计学情分析教材分析课后反思

学情分析【学生已有的知识结构】学生在小学阶段就已经涉及了简易方程的内容，学习了解方程和用方程解决一些简单的生活问题。

七年级上学期有详细学习了一元一次方程的求解未知数以及用一元一次方程方程解决实际问题等内容。

学生对方程的解法及其解决实际问题的认识与理解随着年龄的增长、生活经验的丰富、学习方法的积累而逐步加深．有了在具体环境中的体验. 在本章前三节学习了二元一次方程组的解法的前提下来学习，学生已有的知识为本节课的学习打下了较好的认知基础。

【学生学习的困难】由方程转变为方程组，对于学生来说是个跨越，不仅是理解上，求解未知数也与以前大不相同，有的同学一下子不适应，找不到门路，不理解方程与方程组知识因为未知数的个数发生变化的结果。

【教学方法与教学手段】在本节教学时，教师应根据学生的认知基础，设置恰当的学习过程，引导学生在理解的基础上掌握二元一次方程组解决实际问题的实质。

课堂教学使用易课智慧教学系统，用手机控制电脑，这样让老师走下讲台，走到学生中间，同时又能控制课件进度，特别是能够随机将学生的做题情况，展示在大屏幕上，及时进行纠正与点评，极大的提高了课堂效率。

在教学过程中，学生的学法以自主学习与合作归纳为主；教师采用启发式、归纳总结式教法组织教学．效果分析本节课学习目标是：1．掌握用方程组解决问题的一般步骤；2．体会列表工具在梳理数据上的巨大作用；3．掌握基本的数量关系，并能应用到方程组解决问题中。

在课堂问答中，学生能够跟上思路，较好的完成了学习任务。

下面是两名优生和两名待优生随堂做的练习，从做题上看，同学们都掌握了该题目的做法，个别学生在步骤和书写上有待提高。

教材分析《实际问题与二元一次方程组2》是七年级下册10.4节列方程组解应用题第二课时内容。

教材的安排，是在学生在七年级上学期学习了一元一次方程和本册第10章前3节学习了二元一次方程组及二元一次方程组的解法后安排的内容。

学习本节课与前面的内容有着不可分割的联系。

二元一次方程组知识点

二元一次方程组知识点

二元一次方程组知识点1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

3、二元一次方程组的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解，二元一次方程有无数个解。

4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

5、代入消元法解二元一次方程组：（1）基本思路：未知数又多变少。

（2）消元法的基本方法：将二元一次方程组转化为一元一次方程。

（3）代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这个方法叫做代入消元法，简称代入法。

（4）代入法解二元一次方程组的一般步骤：1、从方程组中选出一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如y）用含另一个未知数（例如x）的代数式表示出来，即写成y=ax+b的形式，即“变”2、将y=ax+b代入到另一个方程中，消去y，得到一个关于x的一元一次方程，即“代”。

3、解出这个一元一次方程，求出x的值，即“解”。

4、把求得的x值代入y=ax+b中求出y的值，即“回代”5、把x、y的值用｛联立起来即“联”6、加减消元法解二元一次方程组（1）两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

（2）用加减消元法解二元一次方程组的解1、方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数幼不相等，那么就用适当的数乘方程两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等，即“乘”。

2、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数、得到一个一元一次方程，即“加减”。

3、解这个一元一次方程，求得一个未煮熟的值，即“解”。

人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—工程问题说课稿

人教版数学七年级下册8.3实际问题与二元一次方程组—工程问题说课稿

3.解题步骤：逐步讲解解决工程问题的步骤，强调关键点和注意事项；
4.课堂示范：在黑板上展示解题过程，让学生跟随教师的思路，加深对知识点的理解。
（三）巩固练习
为了1.课堂练习：设计具有代表性的工程问题习题，让学生独立完成，检验学生对知识点的掌握程度；
3.教师反馈：根据学生的课堂表现和练习情况，给予针对性的反馈和建议，帮助学生找到提高的方向。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.工程问题习题：布置一定数量的工程问题习题，目的是巩固所学知识，提高解题能力；
2.实践报告：要求学生完成课后实践活动，并撰写实践报告，目的是培养学生的实际操作能力和总结反思能力；
5.定期进行课堂小结，让学生总结所学知识，巩固学习成果。
三、教学方法与手段
（一）教学策略
我将采用探究式教学法和情境教学法作为主要教学方法。探究式教学法鼓励学生在教师的引导下，通过自主探究、合作交流等方式主动发现问题、解决问题，从而培养学生的自主学习能力和合作精神。情境教学法则是通过创设具体、生动、有趣的教学情境，让学生在实际情境中感受数学知识的应用，提高学生的学习兴趣和实际操作能力。选择这些方法的理论依据是建构主义学习理论，该理论认为学习是学习者主动建构知识的过程，而情境和合作是知识建构的重要条件。
3.预习任务：布置下一节课的预习任务，让学生提前了解下节课的知识点，为课堂学习做好准备。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将遵循清晰、简洁、结构化的原则。板书布局分为左、中、右三个部分：左侧列出关键概念和公式，中间展示解题步骤和案例分析，右侧用于记录学生的思考过程和答案。
1.主要内容：包括工程问题的定义、二元一次方程组的表示、解题步骤和注意事项；
（二）学习障碍