函数图象中的存在性问题----因动点产生的平行四边形

因动点产生的平行四边形问题例 1 2013 年上海市松江区中考模拟第24 题如图 1 ，已知抛物线 y ＝－ x 2＋ bx ＋ c 经过 A(0, 1)、 B(4, 3)两点． （ 1）求抛物线的分析式； （ 2）求 tan ∠ ABO 的值；（ 3）过点 B 作 BC ⊥ x 轴，垂足为 C ，在对称轴的左边且平行于y 轴的直线交线段 AB 于点 N ，交抛物线于点 M ，若四边形 MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图 1动感体验请翻开几何画板文件名“13 松江 24”，拖动点 N 在直线 AB 上运动，能够体验到，以 M 、 N 、C 、B 为极点的平行四边形有4 个，切合 MN 在抛物线的对称轴的左边的平行四边形 MNCB 只有一个．请翻开超级画板文件名“ 13 松江 24”，拖动点 N 在直线 AB 上运动，能够体验到， MN 有 4 次时机等于 3，这说明以 M 、N 、 C 、 B 为极点的平行四边形有 4 个，而切合 MN 在抛物线的对称轴的左边的平行四边形 MNCB 只有一个．思路点拨1．第（ 2）题求∠ ABO 的正切值，要结构包含锐角∠ ABO 的角直角三角形．2．第（ 3）题解方程 MN ＝y M － y N ＝ BC ，而且查验 x 的值能否在对称轴左边．满分解答（ 1）将 A(0, 1)、 B(4, 3)分别代入 y ＝－ x 2＋ bx ＋ c ，得c 1,解得， c ＝ 1．16 4b c 3.所以抛物线的分析式是yx 2 9x 1．2（ 2）在 Rt △ BOC 中， OC ＝4， BC ＝ 3，所以 OB ＝ 5．如图 2，过点 A 作 AH ⊥ OB ，垂足为 H ．在 Rt △ AOH 中， OA ＝1，sin AOH sin OBC4，5所以AH OA sin AOH4 ． 图 25所以 OH3，BHOB OH22．55在 Rt △ ABH 中， tan ABOAH 4 22 2 ．BH 5511（ 3）直线 AB 的分析式为 y1 x 1．2设点 M 的坐标为 (x,x 29 x1) ，点 N 的坐标为 ( x, 1x 1)，22 那么 MN ( x29x 1) ( 1x 1)x 2 4x ．2 2当四边形 MNCB 是平行四边形时， MN ＝ BC ＝3． 解方程－ x 2＋ 4x ＝3，得 x ＝ 1 或 x ＝ 3．由于 x ＝ 3 在对称轴的右边（如图4），所以切合题意的点 M 的坐标为（如图 3）．图 3图 4考点伸展第（ 3 ）题假如改为：点 M 是抛物线上的一个点，直线 MN 平行于 y 轴交直线 AB 于 N ，假如 M 、N 、B 、C 为极点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．那么求点 M 的坐标要考虑两种状况：MN ＝ y M － y N 或 MN ＝ y N － y M ．由 y N M2，解方程 x 2－ 4x ＝ 3，得 x 27 （如图 5）． － y ＝ 4x － x所以切合题意的点 M 有 4 个：， (3,11) ， (27,57)，(27,5 7)．222图 5例 22012 年福州市中考第 21 题如图 1，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°， AC ＝ 6，BC ＝ 8，动点 P 从点 A 开始沿边 AC 向点 C 以每秒 1 个单位长 度的速度运动，动点Q 从点 C 开始沿边CB 向点 B 以每秒2 个单位长度的速度运动，过点P 作PD思路点拨依据1．菱形 PDBQ 一定切合两个条件，点 P 在∠ ABC 的均分线上，PQ// AB ，对应线段成比率求 CQ 的长，进而求出点 Q 的速度．PQ// AB ．先求出点P 运动的时间t ，再2．研究点M 的路径，能够先取两个极端值画线段，再考证这条线段能否是点M 的路径．满分解答（ 1） QB ＝8－ 2t ， PD ＝．（ 2）如图 3，作∠ ABC 的均分线交 CA 于 P ，过点 P 作 PQ// AB 交 BC 于 Q ，那么四边形 PDBQ 是菱形．过点 P 作 PE ⊥ AB ，垂足为 E ，那么 BE ＝ BC ＝ 8．在 Rt △ ABC 中 ， AC ＝ 6 ， BC ＝8，所以AB ＝10．图 3在 Rt △ APE 中， cosAAE2 3，所以．APt 510当 PQ// AB 时，CQCP ，即 CQ 632．所以点 Q 的运动速度为3210 16 ． 3．解得CQCBCA8699 3 15（ 3）以 C 为原点成立直角坐标系．如图 4 ，当 t ＝ 0 时， PQ 的中点就是 AC 的中点 E(3， 0)． 如图 5 ，当 t ＝ 4 时， PQ 的中点就是 PB 的中点 F(1， 4)． 直线 EF 的分析式是 y ＝－ 2x ＋6．如图 6 ，PQ 的中点 M 的坐标能够表示为（，t ）．经考证，点M （， t ）在直线 EF 上．所以 PQ的中点 M 的运动路径长就是线段EF的长， EF＝．图4图5图6考点伸展第（ 3 ）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当 t ＝ 2 时， PQ 的中点为 (2， 2)．设点 M 的运动路径的分析式为y＝ ax2＋ bx＋ c，代入 E(3，0)、 F(1， 4)和(2， 2)，9a 3b c 0,得a b c 4, 解得 a＝0， b＝－ 2， c＝ 6．4a 2b c 2.所以点M 的运动路径的分析式为y＝－ 2x＋6．例 32012 年烟台市中考第26 题如图 1 ，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的三个极点 B(1, 0)、 C(3, 0)、 D(3, 4)．以 A 为极点的抛物线 y ＝ ax2＋ bx＋ c 过点 C．动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 向点 B 运动，同时动点 Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向点 D 运动．点 P、Q 的运动速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t 秒．过点 P 作 PE⊥ AB 交 AC 于点 E．（1）直接写出点 A 的坐标，并求出抛物线的分析式；（2）过点 E 作 EF⊥ AD 于 F，交抛物线于点 G，当 t 为什么值时，△ ACG的面积最大最大值为多少（3）在动点 P、Q 运动的过程中，当 t 为什么值时，在矩形 ABCD内（包含界限）存在点 H，使以 C、Q、E、 H 为极点的四边形为菱形请直接写出t 的值．图 1动感体验请翻开几何画板文件名“12 烟台 26”，拖动点 P 在 AB 上运动，能够体验到，当 P 在 AB 的中点时，△ACG 的面积最大．察看右图，我们结构了和△ CEQ 中心对称的△ FQE 和△ ECH ′，能够体验到，线段EQ 的垂直均分线能够经过点C 和 F ，线段 CE 的垂直均分线能够经过点 Q 和 H ′，所以以 C 、Q 、E 、H 为极点的菱形有 2 个．请翻开超级画板文件名 “ 12 烟台 26”，拖动点 P 在 AB 上运动， 能够体验到， 当 P 在 AB 的中点时，即 t=2 ，△ ACG 的面积获得最大值 1．察看 CQ ，EQ ，EC 的值，发现以 C 、Q 、E 、H 为极点的菱形有 2 个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种正确地点。

专题08 动点产生的平行四边形教学重难点1.理解平行四边形的性质和判定；2.能应用平行四边形的性质和判定进行相关计算和证明；3.培养学生能在点的运动过程中寻找平行四边形，继而解决相关问题；4.培养学生分类讨论的能力，能应用分类讨论思想解决相关问题；5.体验运动过程，培养学生动态数学思维能力。

【备注】：1.根据后面两个图让学生回顾平行四边形的性质和判定，为后面的例题讲解做好准备；2.部分地方引导学生填空，让学生自己回顾。

时间大概5分钟。

平行四边形的性质：平行四边形的判定：【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。

1.（2019·辽宁中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝﹣34x +3的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于B 点，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A ，B 两点，在第一象限的抛物线上取一点D ，过点D 作DC ⊥x 轴于点C ，交直线AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式（2）是否存在点D ，使得⊥BDE 和⊥ACE 相似？若存在，请求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，F 是第一象限内抛物线上的动点（不与点D 重合），点G 是线段AB 上的动点．连接DF ，FG ，当四边形DEGF 是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G 的坐标． 【整体分析】（1）根据334y x =-+，求出A ，B 的坐标，再代入抛物线解析式中即可求得抛物线解析式；（2）⊥BDE 和⊥ACE 相似，要分两种情况进行讨论： ⊥⊥BDE⊥⊥ACE ，求得13(4D ，3)；⊥⊥DBE⊥⊥ACE ，求得23(12D ，50)9； （3）由DEGF 是平行四边形，可得DE⊥FG ，DE=FG ，设213(,3)4D m m m -++，3(,3)4E m m -+，213(,3)4F n n n -++，3(,3)4G n n -+，根据平行四边形周长公式可得：DEGF 周长=23892()48m --+，由此可求得点G 的坐标． 【满分解答】（1）在334y x =-+中，令0x =，得3y =，令0y =，得4x =，(4,0)A ∴，(0,3)B ，将(4,0)A ，(0,3)B 分别代入抛物线2y x bx c =-++中，得：24403b c c ⎧-++=⎨=⎩，解得：1343b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的函数表达式为：21334y x x =-++． （2）存在．如图1，过点B 作BH CD ⊥于H ，设(,0)C t ，则213(,3)4D t t t -++，3(,3)4E t t -+，(,3)H t ；334EC t ∴=-+，4AC t =-，BH t =，2134DH t t =-+，24DE t t =-+BDE ∆∵和ACE ∆相似，BED AEC ∠=∠BDE ACE ∴∆∆∽或DBE ACE ∆∆∽⊥当BDE ACE ∆∆∽时，90BDE ACE ∠=∠=︒，∴BD AC DE CE=，即：BD CE AC DE =g g 23(3)(4)(4)4t t t t t ∴-+=-⨯-+，解得：10t =（舍去），24t =（舍去），3134t =，13(4D ∴，3)⊥当DBE ACE ∆∆∽时，BDE CAE ∠=∠ BH CD ⊥Q90BHD ∴∠=︒，∴tan tan BH CEBDE CAE DH AC=∠=∠=，即：BH AC CE DH =g g 2313(4)(3)()44t t t t t ∴-=-+-+，解得：10t =（舍)，24t =（舍)，32312t =，23(12D ∴，50)9； 综上所述，点D 的坐标为13(4，3)或23(12，50)9；（3）如图3，Q 四边形DEGF 是平行四边形 //DE FG ∴，DE FG =设213(,3)4D m m m -++，3(,3)4E m m -+，213(,3)4F n n n -++，3(,3)4G n n -+，则：24DE m m =-+，24FG n n =-+，2244m m n n ∴-+=-+，即：()(4)0m n m n -+-=，0m n -≠Q 40m n ∴+-=，即：4m n +=过点G 作GK CD ⊥于K ，则//GK AC EGK BAO ∴∠=∠∴cos cos GK AOEGK BAO EG AB=∠=∠=，即：GK AB AO EG =g g 5()4n m EG ∴-=，即：5()4EG n m =-DEGF ∴周长2253892()2[(4)()]2()448DE EG m m n m m =+=-++-=--+20-<Q ，∴当34m =时，DEGF ∴Y 周长最大值898=， 13(4G ∴，9)16【点睛】此题考查二次函数综合题，综合难度较大，解答关键在于结合函数图形进行计算，再利用待定系数法求解析式，配合辅助线利用相似三角形的性质进行解答.2.如图，在平面直角坐标系中，直线b kx y +=分别与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，⊙P 经过点A 、点B （圆心P 在x 轴负半轴上），已知AB=10，425=AP 。

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【巩固训练】
1.（2019·甘肃）如图，已知二次函数 y x2 bx c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0) 、 B(3,0) ，与 y 轴 交于点 C ． （1）求二次函数的解析式； （2）若点 P 为抛物线上的一点，点 F 为对称轴上的一点，且以点 A 、 B 、 P 、 F 为顶点的四边形 为平行四边形，求点 P 的坐标；
例 4.如图，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 y 轴交于点 C(0，4)，与 x 轴交于点 A 和点 B，其中 点 A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴 x＝1 与抛物线交于点 D，与直线 BC 交于点 E.
(1)求抛物线的函数表达式． (2)若点 F 是直线 BC 上方的抛物线上的一个动点，是否存在点 F 使四边形 ABFC 的面积为 17？ 若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． (3)平行于 DE 的一条动直线 l 与直线 BC 相交于点 P，与抛物线相交于点 Q，若以点 D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的坐标．
2 即： m 2 2 ，解得： m 2 ，故点 P(2, 1) ；
2 故：点 P(4,3) 或 (0,3) 或 (2, 1) ；
2.解：（1）将点
A
、
D
的坐标代入直线表达式得：
k 5k
n n
0 6
，解得：
k n
1 1
，故直线
l
的表达式为：
y
x
1
，
将点 A 、 D 的坐标代入抛物线表达式，
坐标为(2，－3)．
例 3 解：(1)设抛物线的顶点为 E，根据题意，得 E(2，3)．
设抛物线的函数表达式为 y＝a(x－2)2＋3，
将(4，0)代入，得 0＝4a＋3，即 a＝－3， 4

二次函数中平行四边形存在性问题与二次函数有关的存在性问题是初中数学中的热点问题之一，笔者在此也谈谈这类题型的基本思路和解题技巧.在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题:(l)已知三点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(下文出现时简称“三定一动”).(2)已知两个点的位置，在二次函数的图形上，或在坐标平面内找两个动点，使这四点构成平行四边形(下文简称“两定两动”).平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序.解决这类问题的关键是要掌握好基本思路和解题技巧.一、基本思路(1)分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同);(2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置);(3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)，可以把存在性问题的基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算”.二、解题攻略(1)如果为“三定一动”，要找出平行四边形第四个顶点，则符合条件的有3个点;这三个点的找法是以三个定点为顶点画三角形，过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生所要求的3个点.(2)如果为“两定两动”，要找出平行四边形第三、四个顶点，可将两个定点连成定线段， 将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论.三、解题技巧(1)若平行四边形的四个顶点都能用坐标来表示，则直接利用坐标系中平行四边形的基本特征:即对边平行且相等或对边水平距离相等和竖直距离相等列方程求解;(2)若平行四边形的四个顶点中某些点不能用坐标表示，则利用列方程组解图形交点的方法解决;(3)灵活运用平行四边形的中心对称性，可使问题变得简单，四、应用举例例1 如图1，已知抛物线223y x x =--+与X 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为P .若以A 、C 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标.思路 ①分清题型:根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“三定一动”题型. ②分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征; A 、C 、P 为定点，M 为坐标平面内一动点;确定位置的方法是:将以三个定点为顶点画APC ∆;过每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生的交点位置就是M 点.③利用几何特征计算:分析几何特征，建等式求解点M 坐标.图1 图2解 (1)确定位置:如图2.①以A 、C 、P 三个定点为顶点画APC ∆； ②过点A 作PC 的平行线，过点P 作AC 的平行线，过点C 作AP 的平行线;三条直线相交于1M ，2M ，3M .(2)代数法求解点M 的坐标；如图2，设点1(,)M m n ，利用平行四边形对边水平距离相等和竖直距离相等，可得043n -=-， 解得 1n =， 即1(4,1)M -.30(1)m --=--， 4m =-.同理，可得2(2,1)M --,3(2,7)M .综合知，点M 的坐标为: (4,1)-,(2,1)--,(2,7).例2 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过(4,0)A -，(0,4)B -，(2,0)C 三点. P 为抛物线上一动点，Q 为直线y x =-上一动点，若以O ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点Q 的横坐标.图3 图4思路 ①分清题型:根据题目要求，确定为平行四边形存在性问题中“两定两动”题型. ②分类讨论且作图:分析定点、动点，挖掘不变特征; O 、B 为定点. P 、Q 为坐标平面内两动点，确定位置的方法是:将两个定点连成定线段，将此线段按照作为平行四边形的边或对角线两种情形分类讨论.③利用几何特征计算：分析几何特征，建等式求解点Q 坐标.解 (1)确定位置.①以线段OB 为平行四边形的边，将线段OB 沿任意方向平移使得线段两端点分落在抛物线和直线y x =-上，如图3; .②以线段OB 为平行四边形对角线，将直线PQ 绕线段OB 中点旋转360︒寻找满足题意的动点，如图4.(2)代数法求解点Q 的坐标.设抛物线的解析式为(4)(2)y a x x =+-.把点B 的坐标代入上式，得12a =， 211(4)(2)422y x x x x ∴=+-=+-. ①如图3，当OB 为边时，OB // PQ ,且4OB PQ ==.设点Q 的横坐标为m ,则(,)Q m m -,21(,4)2P m m m +-, 21242QP m m =+-或21242QP m m =--+. 由212442m m +-=，得225m =-±(均符合题意); 由212442m m --+=，得4m =-或0m =(舍去).②如图4，当OB 为对角线时，记OB 的中点为D ,则(0,2)D -，且点D 为44P Q 的中点. 设点400(,)P x y ,4(,)Q n n -，由中点坐标公式，得022y n -=-, ∴ 0x n =-, 002x n +=, 04y n =-, 即点4P 的坐标(,4)n n --. ∵点4P 在抛物线上，214()()42n n n ∴-=-+--, 4n ∴=或0n = (舍去).综上知，点Q 的横坐标为2-+，2--4-，或4.以上求解的基本思路，实际也适用于求解等腰三角形、直角三角形、梯形和圆的存在性问题，具有普遍的应用价值.。