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求函数值域方法及习题

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求函数值域的方法（1）直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≥}； 当a<0时，值域为{ab ac y y 4)4(|2-≤} （2）配方法：如果y=f(x)是二次函数或是可以化为二次函数的函数，则可以用配方法求值域.【例1】求下列函数的值域：（1）y=x 2-4x+5； （2）y=x 2-4x+5，x ∈[1,4]； (3) y=x 2+2x+4, x ∈[0,+∞)（4）y=-x 4+2x 2+3； （5）y=221224x x x x+---； (6) y=4x +2x+1（7）y=2229(log )log 4x x -+； （8）y=sin 2x-sinx+94（3）基本不等式法：利用平均不等式求值域转化成型如：)0(>+=k xkx y ，用公式来求值域；【例2】求下列函数的值域： （1）y=1x x +,（x>0）； （2）y=41x x +,（x ≠0）； （3）y=9x x+,（0＜x ≤2)；（4）y=x(6-x)； （5）y=212(4)4xx x ≥+,（4）不等式性质法【例3】求下列函数的值域：（1）y=262x +； （2）y=22241022x x x x ++++； （3）y=62sin 1x -（4） （2）y=13()4(1)2x x -+≤-； （3）y=2211log ()()42x x +>（5）逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型如：),(,n m x dcx bax y ∈++=或将求函数的值域转化为求它的反函数的值域. 【例4】求下列函数的值域：（1）y=11x x e e -+； （2）y=2sin 3sin xx+； （3）y=222x x +；（法一）反函数法：（法二）分离变量法：（6）函数单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域. 【例5】求下列函数的值域：（1）y=x 3+arcsinx ； （2）y=1x xa a -(正常数a ≠1,x ≥1)；（3）y=412log (1)x +； （4）y=241()3x x-（7）换元法（代数换元法）：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 【例6】（1）y x =+2）y x = 【解】（1）设0t =≥，则21x t =-，∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．说明：总结y ax b =++2y ax b =+2y ax b =++（2）三角换元法：∵21011x x -≥⇒-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，则cos sin )4y πααα=+=+∵[0,]απ∈，∴5[,]444πππα+∈，∴sin()[42πα+∈-)[4πα+∈-，∴原函数的值域为[-． （8）几何法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域；图像法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域 【例7】（1）已知224x y +=，求函数u=3x+4y 的值域； （2）（3）对于圆x 2+(y-1)2=1上任一点P （x ，y ），不等式x+y+m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围；（4）求函数|1||4|y x x =-++的值域. 解：（2）设，则yxk y kx ==.问题转化为直线y=kx 与圆(x-2)2+y 2=1有公共点时，斜率的取值范围问题。

现在只要求出k 的最大和最小值即可。

k k 大小，==-3333∴∈-⎡⎣⎢⎤⎦⎥k 3333， （3）[]x y P x y 2211102+-===+⎧⎨⎩∈()cos sin 上任一点可写成，θθθπy1O 2 x代入得x y m ++≥010+++≥sin cos θθm ，m m ≥---≥-+-sin cos sin()θθθπ1241-⋅+--24121sin ()θπ的最大值为。

∴≥-++≥m x y m 210时，不等式恒成立。

（4）数形结合法：23(4)|1||4|5(41)23(1)x x y x x x x x --≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩，∴5y ≥，∴函数值域为[5,)+∞．（9）最值法：【例7】求下列函数的值域： 拓展【例1】求函数f(x)=2,(0,1]1axx ax ∈+的值域：【例2】求函数f(x)=21ax bx ++的值域是[-1，9]，求实数a 、b 值.Ⅲ. 小结1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用； 2．求值域时要务必注意定义域的制约；3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论； 4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。

5．对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ,⑴若定义域为R 时，①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值ab ac y 4)4(2min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值b ac y )4(2max -= ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x 0是否属于区间[a,b]①若0x ∈[a,b],则)(0x f 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值②若0x ∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值(3)若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；(4)当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论Ⅳ. 巩固练习夯实基础 【题组一】 1．函数y=231x x ++的值域是 ； []2112.求函数，在，上的最大及最小值。

y x x=+3．函数y=63cos 1x +的值域是 ；4．函数+1的值域是 ；5．函数y=22221(log )log 3([,4])2x x x -+∈的值域是 ；6．函数y=221()3x x+的值域是7．已知：点P （x ，y ）是圆x 2+y 2=9上的动点。

求x+y 的最大值。

8．函数y =的值域是 [0,2]9．函数221xx y =+的值域为(0,1)．10若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a=2． 11．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域（11. 解法1：将函数化为分段函数形式：⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤--<+-=)2(12)21(3)1(12x x x x x y ，画出它的图象，由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}解法2：（几何法或图象法）∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点-1，2的距离之和，∴易见y 的最小值是3，∴函数的值域是[3，+∞] 如图12．求函数x x y -+=142的值域 解：(换元法)设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==4)1(224222+--=++-=t t t ∵t ≥0 ∴y ≤4 13．某宾馆有相同标准的床位100张根据经验，当该宾馆每张床的床价不超过10元时，床位可以全部租出；当床价高于10元时，每提高一元，将有3张床位空闲为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是①为方便结算，床位应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租收入必须高于支出，而且高出得越多越好，若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的支出费用后的收入），(1)把y 表示为x 的函数，并求出定义域；(2)试确定该宾馆床价定为多少时，既符合上述条件，又能使净收入最多？ 2．(1)100575(10)[100(10)3]57510x x y x x x -≤⎧=⎨--⨯->⎩=2100575(610,)3130575(1038,x x x N x x x x N-≤≤∈⎧⎨-+-<≤∈⎩(2)当x£10时，y£425;当x>10,则当x=22时，y有最大值约833元【题组二】1．若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-25/4,-4],则m的取值范围是 [3/2,3] 3．求下列函数的值域(1)y=(1-x2)/(1+x2); (2)y=(1-2sinx)/(1+sinx) (1) (0,1); (2) [-1/2,+¥] 4．已知1/2£t£1,则2/t–t单调性求最值)5．函数y= –x2–2ax(0£x£1)的最大值是a2,那么实数a求二次函数的最值)6．在区间[1/2,2]上函数f(x)=x2+px+q与g(x)=2x+1/x2在同一点取得相同的最小值，那么f(x)在区间[1/2,2]上的最大值是 4 ，平均值不等式求最值7．函数x=在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a= 2y a8．已知函数()21x f x =-，2()1g x x =-，构造函数()F x ，定义如下：当|()|()f x g x ≥时，()|()|F x f x =，当|()|()f x g x <时，()()F x f x =-，那么()F x （ B ）()A 有最小值0，无最大值 ()B 有最小值1-，无最大值 ()C 有最大值1，无最小值 ()D 无最小值，也无最大值9. 函数的值域是131-=xy ( D ) (A) (-)1,-∞ (B) (,0)(0,)-∞+∞ (C) (-1,+)∞ (D) (-,1)(0,)∞-+∞10. 函数)2(log log 2x x y x +=的值域是 （ D ）A ．]1,(--∞ (B)),3[+∞ (C)]3,1[- (D)),3[]1,(+∞⋃--∞11. 函数2y =的值域为 。

5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.223x x y +-= 的值域是______________.)+∞13．函数)1(11)(x x x f --=的最大值是（ D ）A ．54 B ．45 C ．43 D ．34 14．函数1222--=x xy 的值域为 （ B ）A ．（,2][1,)-∞--+∞B ．(,2)(1,)-∞--+∞C ．}{R y y y ∈-≠,1D ．}{R y y y ∈-≠,215．函数x x y 1-=在]2,1[上的值域是_______________[0,3]216. 下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是 （ D ）A ．151+=-x y B ．xy 21-= C ．1)21(-=x y D ．x y -=1)31(17. 已知函数322+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ D ）A 、[ 1，+∞]B 、[0，2]C 、（-∞，2）D 、[1，2]18. （04津）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=（A ）A. 42B.22 C.41 D.21。

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求值域的方法大全及习题

求值域的方法大全及习题

求值域方法常用求值域方法(1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例，反比例，一次函数,指数函数，对数函数，等等, 其值域可通过观察直接得到。

例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域.例2、 求函数x 3y -=的值域。

【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域.例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。

例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y .(配方法、换元法)例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。

（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。

（配方法) 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域。

2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值。

4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值。

5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域。

6、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。

（3)、换元法：(三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。

函数定义域、值域、解析式习题及答案

函数定义域、值域、解析式习题及答案

函数定义域、值域、解析式习题及答案一、求函数的定义域1、求下列函数的定义域：⑴ $y=\frac{x^2-2x-15}{x+3}-\frac{3}{x-1}$先求分母的取值范围，$x+3\neq 0$，$x\neq -3$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。

然后考虑分子的取值范围，$x^2-2x-15$的值域为$(-\infty,-16]\cup [3,\infty)$，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$，$4-x^2$的值域为$[-4,\infty)$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-3)\cup (-3,1)\cup (1,3)\cup (3,\infty)$。

⑵ $y=1-\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{x^2-4}$先求分母的取值范围，$x^2-4\neq 0$，$x\neq \pm 2$；$x-1\neq 0$，$x\neq 1$。

然后考虑分子的取值范围，$2x-1$的值域为$(-\infty,\infty)$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

⑶ $y=x+1-\frac{1}{1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}}$先求分母的取值范围，$x-1\neq 0$，$x\neq 1$；$4-x^2\neq 0$，$x\neq \pm 2$。

然后考虑分母的值域，$1+\frac{1}{x-1}+\frac{2x-1}{4-x^2}>0$，即$\frac{2x-1}{x^2-4}>-\frac{1}{x-1}$。

因此，$y$的定义域为$(-\infty,-2)\cup (-2,1)\cup (1,2)\cup (2,\infty)$。

4）$f(x)=\frac{x-3}{x^2-2}$的定义域为$(-\infty,-\sqrt{2})\cup (-\sqrt{2},3)\cup (3,\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},\infty)$。

函数的值域求法练习题（含答案）

函数的值域求法练习题（含答案）

函数的值域求法练习题（一）基本知识点1、直接观察法：2、配方法3、换元法。

4、反函数法（或反表示法）。

5、反比例函数法。

6、数形结合法。

7、判别式法。

8、不等式法。

9、单调性法（二）经典例题1、（配方法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）当(0,2]x Î时，函数2()4(1)3f x ax a x =++-在2x =时取得最大值，则a 的取值范围是___（2）设函数2()2()g x x x R =-Î,()4,(),()(),().g x x x g x f x g x x x g x ++<ì=í-³î则()f x 值域是（ ）A.9,0(1,)4éù-+¥êúëûB.[)0,+¥C.9,4éö-+¥÷êëøD.9,0(2,)4éù-+¥êúëû（3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根的根,,则()()2211x y -+-的最小值是（小值是（）A.-1241 B.18 C.8 D.432、（换元法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）211y x x =++- （2）249y x x =++-（3）21y x x =-- （4）11y x x =+--（5）24y x x =-+-3、(反函数法或反反解函数法）求下列函数的值域求下列函数的值域（1）313xxy =+ （2）2sin 11cos y q q-=+4、(数形结合法)求下列函数的值域求下列函数的值域 （1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求2y x +及2y x -的取值范围的取值范围（2）|1||4|y x x =-++ （3）2261345y x x x x =-++++（4）求4242()36131f x x x x x x =--+--+的最大值。

函数求值域的经典方法总结(附小练习)

函数求值域的经典方法总结(附小练习)

函数求值域的经典方法总结（附小练习）【解题必备】求函数值域的基本方法1．利用常见函数的值域： 一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R .2．分离常数法： 将形如cx d y ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为：()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b -+的取值范围，从而确定函数的值域.3．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()(0)f x ax b cx d ac =+++≠，可以令(0)t cx d t =+≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax =(0)b cx d ac +++≠可以化为2()a t d y t b c -=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制．4．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域．5．基本不等式法： 利用基本不等式2a b ab +≥(a >0，b >0)求最值．若“和定”，则“积最大”，即已知a ＋b ＝s ，则ab ≤22()24a b s +=，ab 有最大值24s ，当a ＝b 时取等号；若“积定”，则“和最小”，即已知ab ＝t ，则a b +≥22ab t =，a ＋b 有最小值2t ，当a ＝b 时取等号．应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”．6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域．7．导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数单调性，进而根据单调性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.1．函数211y x =+的值域是 A ．(),1-∞- B ．()0,+∞ C ．[)1,+∞D ．(]0,1 2．若函数()(0,1)x f x a a a a =->≠的定义域和值域都是[]0,1，则711log log 1114a a += A ．2-B ．1-C ．0D ．11．【答案】D【解析】由题意：函数211y x =+，211x +≥，21011x ∴<≤+，即函数211y x =+的值域为(]0,1．故选：D ．2．【答案】B【解析】由指数函数的单调性可得，()(0,1)x f x a a a a =->≠是单调递增函数或者是单调递减函数， 因为()10f =，所以()f x 为[]0,1上的递减函数， 所以()011f a =-=，解得2a =， 2log ∴ 27log 11+ 22117111log log 11411142⎛⎫=⨯==- ⎪⎝⎭，故选B ．【名师点睛】本题考查了函数的定义域、值域，函数的单调性以及对数的运算法则，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属中档题．。