二阶导数的意义

二阶导数的意义
二阶导数就是对一阶导数再求导一次， 意义如下：
（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（如物理上的加速度等）
（2）函数的凹凸性。

（3）判断极大值极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。

当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

驻点和拐点的区别
在驻点处的单调性可能改变，而在拐点处凹凸性肯定改变。

拐点：二阶导数为零。

（且三阶导不为零）
驻点：一阶导数为零。

二阶导数为零时，一阶不一定为零；一阶导数为零时，二阶不一定为零。

（拐点不一定是驻点） （驻点也不一定是拐点）
一、用二阶导数判断极大值或极小值定理
设)(x f 在0x 二阶可导，且0)(,0)(00≠''='x f x f ．
(1) 若
0)(0<''x f ，则)(x f 在0x 取得极大值； (2) 若0)(0>''x f ，则)(x f 在0x 取得极小值．
例 试问a 为何值时，函数
x x a x f 3sin 31sin )(+=在3
π=x 处取得极
值？它是极大值还是极小值？求此极值．
解
x x a x f 3cos cos )(+='． 由假设知0)3(='π
f ，从而有012=-a ，即2=a ． 又当2=a 时，x x x f 3sin 3sin 2)(--=''，且
03)3(<-=''πf ，所以x x x f 3sin 31sin 2)(+=在3
π=x 处取得极大值，且极大值3)3(=π
f ． 例 求函数
593)(23+--=x x x x f 的极大值与极小值． 解 )(x f 在]4,2[-上连续，可导．令
0)3)(1(3963)(2=-+=--='x x x x x f ，
得 1-=x 和3=x ，
思考： )(x f 在1-=x 取得极大还是极小值？在3=x 取得极大还是极小值？ '()66f x x '=-
-1代入二阶导数表达式为-12，)(x f 在1-=x 取得极大值
3代入二阶导数表达式12，在3=x 取得极小值
二、函数图像凹凸定理
若)(x f 在),(b a 内二阶可导，则
曲线)(x f y =在),(b a 内的图像是凹曲线的充要条件是0)(≥''x f ，),(b a x ∈．
曲线)(x f y =在),(b a 内的图像是凸曲线的充要条件是0)(≤''x f ，),(b a x ∈。

几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I 上有''()0f x >恒成立，那么在区间I 上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

１. 曲线的凸性
对函数的单调性、极值、最大值与最小值进行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况．但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同．如图1—1中的曲线为向下凸， 图 1—1 图 1—2
定义 设)(x f y =在),(b a 内可导，若曲线)(x f y =位于其每点处切线的上方，则称它为在),(b a 内下凸(或上凹)；若曲线)(x f y =位于其每点处切线的下方，则称它在),(b a 内上凸(或下凹)．相应地，也称函数)(x f y =分别为),(b a 内的下凸函数和上凸函数(通常把上凸函数称为凸函数)．
根据函数图象判断：一般开口向下的二次函数是凸函数，开口向上的二次函数是凹函数。

在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。

直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。

比如y=-x^2,y=lnx 。

不过补充一下，中国数学界关于函数凹凸性定义和国外很多定义是反的。

Convex Function 在国内的数学书中指凹函数。

Concave Function 指凸函数。

在国内涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和国外的提法是一致的，也就是和单纯的数学教材是反的。

很头大的问题。

另外，国内各不同学科教材、辅导书的关于凹凸的说法也是相反的。

一般来说，可按如下方法准确说明：
1．f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V 型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸，有的简称凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A 型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹，有的简称凸）
凸/凹向原点这种说法一目了然。

上下凸的说法也没有歧义。

通常我们把函数f 的图象画在第1象限，站在x 坐标轴的角度,看上方的图象，f">0的函数是“凸”的；一代宗师Hardy 的Inequalities 书中就这么认为的。

但是，当大官是往往站在高处,看下去就是凹的；国人文字“凹”也对应f">0的函数图象。

我想：中国教育部的官员若下规定的话，必定与Hardy 相反。

从图1—1和图1—2明显看出，下凸曲线的斜率)(tan x f '=α(其中α为切线的倾角)随着x 的增大而增大，即)(x f '为单增函数；上凸曲线斜率)(x f '随着x 的增大而减小，也就是说，)(x f '为单减函数．但)(x f '的单调性可由二阶导数)(x f ''来判定，因此有下述定理．
定理 若)(x f 在),(b a 内二阶可导，则曲线)(x f y =在),(b a 内下凸(凹函数)的充要条件是 0)(≥''x f
),(b a x ∈．
例1 讨论高斯曲线2x e y -=的凸性．
解 22x xe y --='，2)12(22x e x y --=''．所以
当0122>-x ，即当21>
x 或21-<x 时0>''y ； 当0122<-x ，即当2121
<<-
x 时0<''y ． 因此在区间)21
,(-
-∞与),21(+∞内曲线下凸；在区间)21,21(-内曲线上凸．。