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让我们了解一下数学建模竞赛的步骤吧

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让我们了解一下数学建模竞赛的步骤吧——建模是一种十分复杂的创造性劳动，现实世界中的事物形形色色，五花八门，不可能用一些条条框框规定出各种模型如何具体建立，这里只是大致归纳一下建模的一般步骤和原则：1）模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确题目的要求，收集各种必要的信息．2）模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题做必要的、合理的假设，使问题的主要特征凸现出来，忽略问题的次要方面。

3）模型构成：根据所做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系把问题化4）模型求解：利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题，此时往往还要作出进一步的简化或假设。

为数学问题，注意要尽量采用简单的数学工具。

5）模型分析：对所得到的解答进行分析，特别要注意当数据变化时所得结果是否稳定。

6）模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较，看是否符合实际，如果不够理想，应该修改、补充假设，或重新建模，不断完善。

7）模型应用：所建立的模型必须在实际应用中才能产生效益，在应用中不断改进和完善。

首先给同学们看一道我们较为感兴趣的题吧——购物时你注意到大包装的商品比小包装商品便宜这种现象了吗？譬如蓝天牙膏60克装的每支0.96元,150克装的每支2.15元,二者单位重量的价格比是1.17:1。

试构造合适的数学模型解释这个现象。

参考答案：大包装比小包装便宜的现象我们可以基于以下的假设来思考：1）包装一件该商品的成本是某一固定成本加上商品外盒表面积的包装成本，前者为一常数，后者与包装的表面积成正比。

2）假设我们考虑的商品是正方体。

而它的重量与体积成正比。

那么基于以上假设，设小包装的边长是a，大包装边长是2a，两者重量的比是1：8，在包装成本上，小包装=m+6a^2*k，大包装=m+24a^2*k，在m<24a^2*k/7的情况下，大包装的包装成本都会小于小包装。

对于其他形状的包装，都可以用类似的方法计算。

而m可以理解为固定成本，比如包装机的折旧费等等，k表示虽包装面积增加的单位成本，比如纸张和油墨费用等等。

再给同学们看一道简单的题吧——2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛（大专组）D题（抢渡长江）参考答案注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。

各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

设竞渡在平面区域进行, 且参赛者可看成质点沿游泳路线 (x(t), y(t)) 以速度前进，其中游速大小u不变。

要求参赛者在流速给定的情况下控制(t) 找到适当的路线以最短的时间 T 从起点 (0,0) 游到终点 (L, H)，如图1。

这是一个最优控制问题:(t)为连续函数, 则(t)等于常数时上述问题有最优解。

证明见:George Leitmann, The Calculus of Variations and Optimal Control, Plenum Press, 1981. pp. 130 – 135, p. 263, Exercise 15.13. （注：根据题意，该内容不要求同学知道。

）1. 设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，即令，而流速，其中u 和 v 为常数, 为游泳者和x 轴正向间的夹角。

于是游泳者的路线 (x(t), y(t)) 满足（1）T是到达终点的时刻。

令，如果 (1) 有解, 则（2）即游泳者的路径一定是连接起、终点的直线，且（3）若已知L, H, v, T, 由（3）可得（4）由（3）消去 T 得到（5）给定L, H, u , v的值，z满足二次方程（6）（6）的解为（7）方程有实根的条件为（8）为使（3）表示的T最小，由于当L, u, v 给定时, ，所以(7) 中z 取较大的根, 即取正号。

将（7）的z1代入（3）即得T，或可用已知量表为（9）以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和第一名成绩T=848 s 代入（4），得z= -0.641, 即q =117.50，u=1.54 m/s。

以H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s 和u=1.5 m/s代入（7），（3），得z= -0.527, 即q =1220，T=910s，即15分10秒。

2. 游泳者始终以和岸边垂直的方向（y轴正向）游, 即 z = 0, 由（3）得T =L/v≈529s, u= H/T≈2.19 m/s。

游泳者速度不可能这么快，因此永远游不到终点, 被冲到终点的下游去了。

注：男子 1500 米自由泳世界记录为 14分41秒66, 其平均速度为1.7 m/s。

式（8）给出了能够成功到达终点的选手的速度，对于2002年的数据，H = 1160 m, L = 1000 m, v= 1.89 m/s，需要u >1.43 m/s。

假设 1934 年竞渡的直线距离为5000 m, 垂直距离仍为H = 1160 m, 则L=4864 m, 仍设v= 1.89 m/s，则游泳者的速度只要满足 u >0.44 m/s，就可以选到合适的角度游到终点。

(游5000米很多人可以做到)3. 如图2，H分为H=H1+H2+H3 3段，H1= H3=200 m, H2=760 m, v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s, 游泳者的速度仍为常数u=1.5 m/s, 有v1，v3< u, v2> u, 相应的游泳方向q1，q2为常数。

路线为ABCD, AB平行CD。

L分为L=L1+L2+L3, L1=L3, 据（8），对于v2> u, L2应满足（10）因为v1< u, 故对L1无要求。

对于确定的L1，L2，仍可用1中的公式计算游泳的方向和时间。

为确定使总的时间最小的路线ABCD, 注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，由 (9) 知所需要的总时间为（11）求L2使T最小。

编程计算可得：L2= 806.33 m时T = 904.02s ≈ 15 分 4 秒。

将得到的 L2= 806 m，L1==L3= 97 m代入（7）可得q1=1260，q2=1180，即最佳的方向。

也可以用枚举法作近似计算：将L2从760 m到1000 m每20 m一段划分，相应的L1，L3从120 m到0 m每10 m1, 3, 2 和T1, T3, T2分别为3段中游泳的方向和时间，而T=T1+ T2+ T3 为总的时间。

L1, L3 (m) T1, T3 (s) 1, 3 ( 0 ) L2 (m) T2 (s) 2 ( 0 ) T (s)0 670.03 168.52 1000.00 509.07 95.57 1849.1210.00 525.87 165.31 980.00 510.85 97.34 1562.5920.00 419.90 161.49 960.00 513.26 99.19 1353.0630.00 344.10 157.20 940.00 516.39 101.13 1204.5940.00 290.02 152.63 920.00 520.38 103.18 1100.4150.00 250.95 147.91 900.00 525.41 105.35 1027.3060.00 222.22 143.13 880.00 531.72 107.66 976.1670.00 200.73 138.38 860.00 539.65 110.14 941.1180.00 184.40 133.69 840.00 549.73 112.83 918.5290.00 171.84 129.11 820.00 562.79 115.81 906.47100.00 162.10 124.66 800.00 580.37 119.19 904.58110.00 154.52 120.36 780.00 605.97 123.27 915.01120.00 148.62 116.21 760.00 652.68 129.08 949.91可知L1=L3=100(m)，L2 =800(m) 时T=904.58(s)最小，即成绩为15分5秒，相应的游泳方1=3=124.6602=119.190。

4. H仍分为3段，对于流速连续变化的第1段H1=200 m，方程（1）变为（12）其中v（=2.28m/s）为常数, 仍设游泳者的速度大小和方向均不随时间变化，及，若(1) 有解，则（13）是一条抛物线。

类似于1中的作法得到，给定L, H, u , v的值，z满足二次方程（14）取绝对值较小的根，为（15）有实根的条件为（16）将（15）的z代入（13）得第1段的时间（17）因u>v/2，由（16）对L1无要求。

对于第2段H2=760 m，仍用（9），（10），应有L2> 870 m，且第2段的时间（18）注意到 L1=L3= ( L -L2)/2，T1=T3, 得总的时间为（19）将给定的L, H1, H2, u和v=2.28 m/s代入（15），（17），（18），（19），求L2使T 最小。

编程计算可得：L2= 922.9 m时T =892.5s ≈ 14 分53 秒。

将L2= 923 m，L1==L3= 38.5 m分别代入（7）和（15）可得q1=127.70，q2=114.50，即最佳的方向。

类似3，也可以用枚举法作近似计算：将L2从880 m到1000 m每20 m一段划分，相应的L1，L3从60 m到0 m每10 m一段划分，编程计算得下表。

L1, L3 (m) T1, T3 (s) 1, 3 ( 0 ) L2 (m) T2 (s) 2 ( 0 ) T (s)0 205.15 139.46 1000.00 522.45 104.12 932.7610.00 193.76 136.52 980.00 528.33 106.46 915.8520.00 183.58 133.42 960.00 535.89 109.01 903.0530.00 174.56 130.20 940.00 545.80 111.83 894.9340.00 166.67 126.87 920.00 559.23 115.04 892.5650.00 159.83 123.47 900.00 578.72 118.90 898.3960.00 153.98 120.02 880.00 613.18 124.28 921.15可知L1=L3=40，L2 =920时T=892.56(s)最小，即14分53秒， q1=q3=126.870，q2=115.040。

注问题3中v1= v3=1.47 m/s，v2= 2.11m/s 及问题4中v=2.28 m/s的确定，是考虑到使平均流速仍保持报载的1.89 m/s。

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数学建模的基本步骤与技巧知识点总结

数学建模的基本步骤与技巧知识点总结

数学建模的基本步骤与技巧知识点总结数学建模作为一门重要的学科，旨在通过数学模型来解决实际问题。

在进行数学建模时，遵循一定的基本步骤和技巧是非常关键的。

本文将对数学建模的基本步骤和技巧进行总结，并给出相关示例。

一、问题理解与分析在数学建模的过程中，首先需要对问题进行深入的理解与分析。

这包括确定问题的背景、目标和约束条件，梳理问题的各个要素和关系，并进行充分的背景调查和文献研究。

只有对问题有全面的了解，才能制定出合适的数学模型。

例如，假设我们要研究某城市的交通流量问题。

首先，我们需要了解该城市的道路网络、车辆分布、交通规则等基本情况。

其次，我们要分析问题的具体目标，比如最大程度减少交通拥堵。

最后，要考虑到这个问题的各种约束条件，如交通信号灯、车辆的最大速度限制等。

二、建立数学模型在问题理解与分析的基础上，需要根据问题的特点和要求，建立合适的数学模型。

数学模型是对实际问题进行抽象和数学描述的工具，可以是符号模型、几何模型、图论模型等。

例如，对于交通流量问题，我们可以采用网络流模型来描述道路网络、车辆和交通流量之间的关系。

我们可以用节点表示路口或车站，用边表示道路或线路，用变量表示车辆数量或交通流量。

三、模型求解在建立数学模型之后，需要选择和应用合适的数学方法来求解模型。

根据具体问题的特点，可以采用数值计算、优化算法、随机模拟等方法。

例如，为了解决交通流量问题，我们可以借助图论的最短路径算法来确定最佳路线，或者使用线性规划方法来优化交通信号灯的配时方案。

四、模型验证与分析在模型求解之后，需要对模型的结果进行验证和分析。

这包括评估模型的有效性和可靠性，分析结果的合理性和可行性，并对敏感性进行检验。

为了验证交通流量模型的有效性，我们可以通过实际的交通数据来验证模型的预测结果，并与现有的交通规划方案进行比较。

如果模型的预测结果与实际情况基本一致，则说明模型是有效的。

五、结果呈现与报告撰写最后，在完成数学建模的过程后，需要将结果进行呈现和报告撰写。

数学建模的基本步骤及方法

数学建模的基本步骤及方法

数学建模的基本步骤及方法数学建模是一种应用数学的方法，通过对实际问题进行抽象和建立数学模型，以求解问题或进行预测和模拟。

它在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。

本文将介绍数学建模的基本步骤及方法。

一、问题理解与建模目标确定在进行数学建模之前，首先需要对问题进行全面的理解，并明确建模的目标。

了解问题的背景、限制条件和需求，明确要解决的主要问题。

确定建模目标是指明建模的最终目的，如是否需要进行预测，求解最优解或模拟系统行为等。

二、问题假设与参数设定在建立数学模型时，为了简化问题和计算，我们常常需要进行一些假设。

假设可以是对某些变量的约束条件，或对系统行为的特定假设。

另外，还需要确定模型中的参数，即直接影响模型行为和计算结果的变量值。

三、模型构建与分析模型构建是指根据问题的特性和建模目标，选择适当的数学方法和公式，将问题转化为数学表达式。

常用的数学方法包括微积分、线性代数、随机过程等。

模型构建后，需要对模型进行分析，检验模型的可行性和有效性，评估模型与实际问题的拟合程度。

四、模型求解与结果验证模型的求解是指通过计算或优化方法，求得模型的解析解或数值解。

求解的方法多种多样，如数值计算、优化算法、模拟仿真等。

求解后，需要对结果进行验证，比较模型求解的结果与实际情况的差异，并分析产生差异的原因。

五、结果分析与报告撰写对模型的结果进行分析是数学建模的重要环节。

通过对结果的解释和分析，了解模型对问题的预测、优化或模拟效果。

在分析过程中，需要注意结果的合理性和稳定性，以及对结果的可靠性和可解释性进行评估。

最后，撰写模型报告，将整个建模过程和结果进行系统化的呈现和总结，并提出进一步改进的建议。

六、模型验证与应用模型验证是指将建立好的数学模型应用于实际问题，并进行实验验证和应用效果评估。

通过与实际数据和实验结果进行比较，验证模型的有效性和适用性。

若模型符合实际要求，则可以将其应用于类似问题的求解和预测。

数学建模的基本步骤与方法

数学建模的基本步骤与方法

数学建模的基本步骤与方法数学建模是利用数学方法和技巧对实际问题进行数学化描述和分析的一门学科。

它在现代科学和工程领域有着广泛的应用。

本文将介绍数学建模的基本步骤与方法。

一、问题的分析与理解在进行数学建模之前，首先要对问题进行充分的分析与理解。

这包括对问题的背景、目标和约束条件的明确，以及对问题所涉及的各个因素和变量的了解。

只有充分理解问题，才能设计合理的数学模型。

二、建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心步骤。

模型是对实际问题的一种抽象和简化，通过数学表达来描述问题的关系和规律。

建立数学模型的关键是要确定问题的输入、输出和中间变量，以及它们之间的函数关系或约束条件。

在建立数学模型时，可以使用各种数学方法和技巧。

例如，可以利用微分方程描述物理过程的变化，利用优化方法求解最优化问题，利用概率统计模型描述随机现象的规律等。

根据具体问题的特点和要求，选择合适的数学方法是十分重要的。

三、模型的求解与分析建立数学模型后，需要对模型进行求解和分析。

这包括利用数值方法或解析方法求解模型，得到问题的解析解或近似解。

在模型求解的过程中，可能需要编写计算程序、进行数值计算和统计分析等。

模型求解过程中，还需要对模型的解进行评估和分析。

例如，可以对模型的稳定性、收敛性、误差估计等进行分析，以确定模型的可行性和有效性。

四、模型的验证与应用在对模型进行求解和分析之后，需要对模型进行验证和应用。

验证是指将模型的结果与实际数据进行比较，以检验模型的准确性和可靠性。

如果模型的结果与实际数据吻合较好，说明模型是可信的。

模型的应用是指将模型的结果用于解决实际问题或做出决策。

根据模型的目标和应用场景，可以对模型的结果进行解释和解读，提出合理的建议和决策。

五、模型的改进与扩展建立数学模型是一个动态的过程，模型的改进与扩展是不可缺少的环节。

通过对模型的不断改进和扩展，可以提高模型的准确性和适用性，更好地描述和解决实际问题。

模型的改进与扩展可以从多个方面入手。

简述数学建模的一般步骤

简述数学建模的一般步骤

简述数学建模的一般步骤数学建模是将现实世界的问题表述为数学模型的过程。

通过数学建模，我们可以对问题进行分析和解决。

数学建模的一般步骤包括：1. 问题的描述：在建模之前，需要将问题清楚地表述出来，包括问题的背景、目标、约束条件等。

2. 确定模型的类型：数学建模涉及到许多不同的模型类型，如线性规划、非线性规划、动态规划等。

在确定模型类型之前，需要考虑问题的性质，包括是否存在约束条件、是否有限制条件、是否有时间因素等。

3. 建立数学模型：在确定了模型类型之后，就可以开始建立数学模型了。

这一步包括确定模型的变量、目标函数、约束条件等。

4. 求解模型：在建立完数学模型之后，就可以开始求解模型了。

这一步包括使用数学方法或计算机软件求解模型。

5. 结果的分析与验证：在求解出模型的最优解之后，还需要对结果进行分析，包括对结果的可解释性和可靠性进行评估。

这一步包括对结果的敏感性分析，以及对模型的假设进行验证。

6. 应用结果：最后，在确保结果可靠后，就可以将结果应用到实际问题中。

这一步可能包括根据结果制定决策、规划资源分配等。

数学建模是一个系统的过程，需要综合运用数学、统计、计算机科学等多种方面的知识。

它的目的在于通过数学模型的分析和求解，为解决实际问题提供有效的决策依据。

在进行数学建模时，需要注意的是，模型只是对现实世界的简化和抽象，并不能完全反映现实情况。

因此，在建模过程中，需要谨慎选择模型的假设条件，并对模型的结果进行适当的验证和分析。

总的来说，数学建模是一种有效的工具，能够帮助我们对现实世界的问题进行系统的分析和解决。

它的应用遍及各个领域，包括经济学、工程学、管理学等，为解决复杂问题提供了强有力的理论支持。

在实际进行数学建模时，还可以使用许多工具和方法，以提高建模的效率和准确性。

这些工具和方法包括：* 数学软件：通过使用数学软件，可以快速求解复杂的数学模型，并可视化结果。

常用的数学软件包括MATLAB、Maple、Mathematica等。