2017创新导学案(人教版·文科数学)新课标高考总复习专项演练：第九章 平面解析几何9-6 Word版含解析

9-6A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A.5 B ．2 C. 3 D. 2【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率． 不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a . ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a 2b 2＝1，a ＝b ， ∴c ＝2a ，e ＝ca ＝ 2.故选D.【答案】 D2．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解． 由双曲线的渐近线y ＝bax 过点(2，3)，可得3＝ba×2.①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上， 可得a 2＋b 2＝7.② 由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1.【答案】 D3．(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )A.73 B.54C.43D.53【解析】 由渐近线过点(3，－4)可得ba 的值，利用a ，b ，c 之间的关系a 2＋b 2＝c 2可消去b 得a ，c 之间的关系，求出离心率e .由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169.又b 2＝c 2－a 2，∴c 2－a 2a 2＝169，即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53.【答案】 D4．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b a x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝－b ， ∴A (a ，－b )．由题意知右焦点到原点的距离为c ＝4，∴（a －4）2＋（－b ）2＝4，即(a －4)2＋b 2＝16. 而a 2＋b 2＝16，∴a ＝2，b ＝2 3. ∴双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.【答案】 A5．(2015·山东)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________．【解析】 先表示出直线的方程和点P 的坐标，再将点P 的坐标代入直线的方程可得关于a ，b ，c 的方程，化简可以求出离心率．如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l 的斜率为ba，又直线l 过右焦点F (c ，0)， 则直线l 的方程为y ＝ba(x －c )．因为点P 的横坐标为2a ，代入双曲线方程得4a 2a 2－y 2b 2＝1，化简得y ＝－3b 或y ＝3b (点P 在x 轴下方，故舍去)， 故点P 的坐标为(2a ，－3b )， 代入直线方程得－3b ＝ba (2a －c )，化简可得离心率e ＝ca ＝2＋ 3.【答案】 2＋ 36．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为____________；渐近线方程为____________．【解析】 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .【答案】 x 23－y 212＝1 y ＝±2x7．(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．【解析】 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，bm a ＋3b ，所以AB 的中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2m 9b 2－a 2，3b 2m9b 2－a 2.设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为|P A |＝|PB |，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2， 所以e ＝c a ＝52.【答案】528．(2015·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________．【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF . 由双曲线方程x 2－y 28＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3，0)，F 1(－3，0)．当点P 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 |PF |－|PF 1|＝2， 所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |. 因为|AF |＝32＋（66）2＝15为定值，所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图象可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝26x ＋66，x 2－y 28＝1，得y 2＋66y －96＝0，解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－12×6×26＝12 6. 【答案】 12 69．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上； (3)在(2)的条件下求△F 1MF 2的面积．【解析】 (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线， 可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)， 则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上， ∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)， ∴MF 1→·MF 2→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m ) ＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上． (3)S △F 1MF 2＝12×43×|m |＝6.10．已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点．(1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．【解析】 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3.②由①②得13<k 2<1，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟)11．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2【解析】 分别表示出e 1和e 2，利用作差法比较大小．由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝ 1＋⎝⎛⎭⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝（a ＋m ）2＋（b ＋m ）2（a ＋m ）2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2. 因为b ＋m a ＋m －b a ＝m （a －b ）a （a ＋m ），且a >0，b >0，m >0，a ≠b ，所以当a >b 时，m （a －b ）a （a ＋m ）>0，即b ＋m a ＋m >ba .又b ＋m a ＋m>0，ba >0，所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝⎛⎭⎫b a 2， 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2， 所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2， 即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m （a －b ）a （a ＋m ）<0，可推得e 2<e 1.综上，当a >b 时，e 1<e 2； 当a <b 时，e 1>e 2. 【答案】 D12．(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1，0)∪(0，1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】 根据双曲线的性质和两直线的位置关系求解． 由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a ，0)，F (c ，0)． 易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a （c －a ），∴k CD ＝a （a －c ）b 2.∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a （a －c ），∴k BD ＝－a （a －c ）b 2.∴l BD ：y －b 2a ＝－a （a －c ）b 2(x －c )，即y ＝－a （a －c ）b 2x ＋ac （a －c ）b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a （a －c ）b 2(x －c )，即y ＝a （a －c ）b 2x －ac （a －c ）b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2（a －c ）.∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪b 4a 2（a －c ）.∴b 4a 2（c －a ）<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a2<1.∴0<b a <1或－1<b a <0.【答案】 A13．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点，若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．【解析】 先求双曲线的渐近线方程，再结合图形求c 的最大值．所求的c 的最大值就是双曲线的一条渐近线x －y ＝0与直线x －y ＋1＝0的距离，此距离d ＝12＝22. 【答案】2214．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．【解析】 方法一：设出双曲线方程，然后利用双曲线过点(4，3)求解． ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，∴可设双曲线的方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.方法二：∵渐近线y ＝12x 过点(4，2)，而3<2，∴点(4，3)在渐近线y ＝12x 的下方，在y ＝－12x 的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知条件可得⎩⎨⎧b a ＝12，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.【答案】 x 24－y 2＝115．(2015·湖南)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点．若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．【解析】 根据题意建立a ，c 间的联系，再利用离心率公式计算． 不妨设F (－c ，0)，PF 的中点为(0，b )． 由中点坐标公式可知P (c ，2b )． 又点P 在双曲线上，则c 2a 2－4b 2b 2＝1，故c 2a 2＝5，即e ＝ca ＝ 5. 【答案】 516．已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，在第二象限内取双曲线上一点P ，连接BP 交椭圆于点M ，连接P A 并延长交椭圆于点N ，若BM →＝MP →，求四边形ANBM 的面积．【解析】 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则根据题意知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2a ＝45，2a 2＋b 2＝234，解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程为x 225－y 29＝1.(2)由(1)得A (－5，0)，B (5，0)，|AB |＝10， 设M (x 0，y 0)，则由BM →＝MP →得M 为BP 的中点， 所以P 点坐标为(2x 0－5，2y 0)． 将M 、P 坐标代入椭圆和双曲线方程，得⎩⎨⎧x 2025＋y 209＝1，（2x 0－5）225－4y209＝1，消去y 0，得2x 20－5x 0－25＝0.解之，得x 0＝－52或x 0＝5(舍去)．∴y 0＝332.由此可得M ⎝⎛⎭⎫－52，332，∴P (－10，33)．当P 为(－10，33)时，直线P A 的方程是y ＝33－10＋5(x ＋5)，即y ＝－335(x ＋5)，代入x 225＋y 29＝1，得2x 2＋15x ＋25＝0.∴x ＝－52或－5(舍去)，∴x N ＝－52，x N ＝x M ，MN ⊥x 轴．∴S 四边形ANBM ＝2S △AMB ＝2×12×10×332＝15 3.。