新课标全国卷导数压轴题和答案

2010-2015年新课标全国Ⅰ卷导数压轴题

1、（2015年第21题）已知函数31(),()ln 4f x x ax g x x =++

=- (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线

(2)用{}min ,m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{

()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数 解：（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =，0()0f x '=， 即30020

10430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩，解得013,24x a ==.因此，当34a =时，x 轴是曲线()y f x =的切线. （Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<，

∴()h x 在（1，+∞）无零点.

当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04

f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h f

g g ===, 故x =1是()

h x 的零点； 若54a <-，则5(1)04

f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h f

g f ==<,故x =1不是()

h x 的零点. 当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.

(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，

故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4

f a =+， 所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.

(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0

1）单调递增， 故当x

()f x

取的最小值，最小值为f

14+.

若f ＞0，即34

-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.

若f =0，即34

a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；

若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344

a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-

时，()f x 在（0,1）有一个零点. 综上，当34a >-或54

a <-时，()h x 由一个零点； 当34a =-或54

a =-时，()h x 有两个零点； 当5344

a -<<-时，()h x 有三个零点. 2、（2014年第21题）设函数1

()ln x x

be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点(1，(1)f )处的切线方程为(1)2y e x =-+.

(1)求a ，b ；

(2)证明：()1f x >.

21．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b x

e x －1. 由题意可得

f (1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2.

(2)证明：由(1)知，f (x )＝e x ln x ＋2x e x －1，从而f (x )>1等价于x ln x >x e －x －2e

. 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，

所以当x ⎪⎭⎫ ⎝⎛

∈e 1,0时，g ′(x )<0；当x ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+∞∈,1e 时，g ′(x )>0. 故g (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0上单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 上单调递增，

从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为e e g 1)1(-=

设函数h (x )＝x e －x －2e

，则h ′(x )＝e －x (1－x )． 所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0.

故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，

从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e

. 因为g min (x )＝)1(e

g ＝h (1)＝h max (x )，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1.

3、（2013年第21题）已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )，若曲线y ＝f (x )和

曲线y ＝g (x )都过点P (0，2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x +2

（1）求a ，b ，c ，d 的值

（2）若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围.

4、（2012年第21题）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e

f x x -'=-+； (1)求()f x 的解析式及单调区间；

(2)若21()2

f x x ax b ≥++，求(1)a b +的最大值.

5、（2011年第21题）已知函数ln ()1a x b f x x x

=++，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为230x y +-=。

(1)求a ，b 的值；

(2)如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x

>

+-，求k 的取值范围 解：（Ⅰ）由ln ()1a x b f x x x =++，得22221ln 1ln '()(1)(1)x x b x x x b x f x a a x x x x x +-+-=⋅-=⋅-++， ∵曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线方程为230x y +-=，

∴(1)111'(1)22

f b f a b ==⎧⎪⎨=-=-⎪⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩。 （Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）知ln 1()1x f x x x

=++，∴22ln 1(1)(1)()()[2ln ]11x k k x f x x x x x x ---+=+--， 考虑函数2(1)(1)()2ln k x h x x x --=+（0x >），则22

(1)(1)2'()k x x h x x -++=。