集合与简易逻辑高三总结
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概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结
集合与简易逻辑
1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。
（答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点(2,3)U P A C B ∈⋂的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合
}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”
，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B ⋂=∅时，你是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，你是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
如集合{|10}A x ax =-=，{}
2|320B x x x =-+=，且A B B = ，则实数a ＝______.（答：10,1,2
a =；A B B A B ⋃=⇔⊆） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个。
（答：7）
4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =⇔⊆ ； ⑵A B B B A ⋂=⇔⊆；⑶A B ⊆⇔ u u C A C B ⊇； ⑷u A C B A B ⋂=∅⇔⊆； ⑸u C A B U A B ⋃=⇔⊆； ⑹()U C A B ⋂
U U C A C B = ；⑺()U U U C A B C A C B ⋃=⋂.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若{}2A B ⋂=，
{}4U C A B ⋂=，{}1,5U U C A C B ⋂=，
则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义―抓住集合的代表元素。
如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如（1）设
集合{|M x y ==，
集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N ⋂=___（答：[2,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ→→==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ→→
==+，}R λ∈，则M N ⋂=_____（答：提示：M N =,)}2,2{(--）
6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。
如已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。
（答：3(3,)2
-,提示(1)0f ->或(1)0f >） 7.复合命题真假的判断。
“或命题”的真假特点是“有真即真，要假全假”；“且命题”
的真假特点是“有假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。
如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。
其中正确的是__________（答：⑴⑶）
8.四种命题及其相互关系。
若原命题是“若p 则q ”，则逆命题为“若q 则p ”；否命题为“若﹁p 则﹁q ” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p ”。
提醒：（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。
但原命题与逆命题、否命题都不等价；（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A B B A ⇒⇔⇒”判断其真假，这也是反证法的理论依据。
（5）哪些命题宜用反证法？如（1）“在△ABC 中，若∠C=900，则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为 （答：在ABC ∆中，若90C ∠≠
，则,A B ∠∠不都是锐角）；（2）已知函数2(),11
x x f x a a x -=+>+，证明方程0)(=x f 没有负数根。
9.充要条件。
关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。
从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。
如（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。
其中正确命题的序号是_______（答：①④）；
（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 。
若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1[0,]2）
（3）关于充要条件的几个结论：
①“定义域关于原点对称”是“函数为奇或偶函数”的必要不充分条件.
②在△ABC 中，A>B ⇔a>b B A sin sin >⇔.
③“|a |=|b |”是“b a =”的必要不充分条件
④“{a n }既是等差，又是等比数列”是“ {a n }是常数数列”的充分不必要条件.
⑤“方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0”是“该方程表示圆方程”的必要不充分条件.
⑥0()0f x '=是0x x =为极值点的非充分非必要条件.
10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形式，若0a >,则b x a >；若0a <,则b x a
<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥
时，x ∈∅。
如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3
1,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-） 11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。
如解关于x 的不等式：01)1(2<++-x a ax 。
（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，11x a <<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，11x a
<<） 12. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。
首先要讨论最高次项系数a 是否为0，
其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。
对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中
含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：（1）()()2
22210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)，特别地，若在[0,]2π
内有两个不等的实
根满足等式cos221x x k =+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）
13．二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程2
0ax bx c ++=的两个根即为二次不等式20(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数
2y ax bx c =++的图象与x 轴的交点的横坐标。
如（1）32
ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18
）；（2）若关于x 的不等式02<++c bx ax 的解集为()(),,m n -∞⋃+∞，其中0<<n m ，则关于x 的不等式02<+-a bx cx 的解集为________（答：11,,m n ⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；（3）不等式23210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：∅）。
