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[Alevel数学]高数：复数平面的三类图像

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Alevel高数：复数平面的三类图像
在Alevel的Further Math中，和Complex number（复数）结合的非常紧密的一个知识点就是复数在Argand Diagram（阿甘特图）中的表示。

复数图形经常会和几何问题结合在一起出题，很多同学都觉得这类习题都比较抽象，但如果真正理解了复数图像的含义，其实并没有那么难。

在此之前，我们先讲解一下复数平面：
复数平面：
类似于x-y坐标系，复数平面也有两条轴，但横轴为实数轴（Real Axis），纵轴为虚数轴（Imaginary Axis），每个复数都有其实数部分x和虚数部分y（x+yi），也就对应了其横坐标为x，纵坐标为y。

复数的模和角：
在复数中，一个很重要的概念是复数的模（Modulus）和角（Argument），也即是复数对应的点，到平面原点的距离r，和到平面原点连线和实数轴正半轴的夹角θ。

三个最重要的复数图形，也都是由r和θ来表示的。

第一类图像：圆的图像：
表达式：|z - z1| = r 或是|z - (x1 + iy1)| = r
解释：z - z1或是z - (x1 + iy1)意为z到另外一点z1 (x1, y1) 的连线，加了绝对值符号意为距离为r，也就是说，z位于一个圆心是z1 (x1, y1)，半径为r的圆上。

第二类图像：垂直平分线：
表达式：|z − z1| = |z − z2|
解释：z1和z2是阿甘特图中的另外两个点，表达式意为z到这两个点的距离相等，那么满足条件的所有的点，必在z1和z2两点连线的垂直平分线上。

第三类图像：射线：
表达式：arg (z − z1) = θ
解释：arg符号代表角的意思，z- z1代表z和另外一点的连线，也就是两点连线成某一个角度，是一条以z1为出发点，和水平方向成θ角的射线。

以上就是关于复数平面中三类重点图像的介绍，如果你想了解更多相关知识和习题，请联系A+国际的老师进行咨询~。

合集下载

复数的几何表示 ppt课件

复数的几何表示 ppt课件


(3) Im(i z ) 4 设 z x iy, i z x (1 y)i, Im(i z ) 1 y 4,
所求曲线方程为 y 3.
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21
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原点 z 0的球面,
球面上一点S 与原点重合, 通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一点 N , 我们称 N 为北极, S 为南极.
z0

z1 k 2z2 1 k2
,


k z1 z2 1 k2
.
证 圆周 z z0 , 将 z0 和 代入,
z

z1
k2(z 1 k2

z2 )

k z1 z2 1 k2
z z1 k2(z z2 ) k z1 z2 ,
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18
两边同除以 z z2 ,
解 通过两点 ( x1, y1 ) 与 ( x2 , y2 )的直线的方程
x

y

x1 y1

t( t(
x2 y2

x1 ) y1 )
参数 t (, ),
所以它的复数形式的参数方程为
z z1 t(z2 z1) 参数 t (, ),
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16
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23
3. 扩充复平面的定义
包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面.
对于复数 来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意
义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处:
能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
复数的几何意义课件

复数的几何意义课件


这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.
沪教版高中数学高二下册 -13.2 复数的坐标表示-复数的几何意义课件(共22张PPT)

沪教版高中数学高二下册 -13.2 复数的坐标表示-复数的几何意义课件(共22张PPT)


复数的几何意义
复数 zabi,(a,b R )
有序实数对( a , b ) 直角坐标系中的点 Z (a , b )
y
b
Z : a bi
O
a
x
Caspar Wessel 1797年提出
复数的这种几何（图形）表示由挪威测量学家魏
赛尔（Wessel）提出并得到数学家高斯的认同.
复数的几何意义
建立直角坐标系来表示复数的 y
z z
| |
3 2
表示以原点为圆心, 以2和3为半径的两圆 所夹的圆环,含圆环的边界.
y
O
2
3x
例题讲解
例4、设 z C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么?
(1) | z | 2 (2) 2 | z |3 (3) |z|3,|Rez|2
解:根据复数模的几何意义可知
(3)如右图：
y
2 O
2
3x
课堂练习 1.已知复数 z a b i ,a ,b { 0 , 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , 8 ,9 }
复数的模：
复数 z 的模(或绝对值):即向量O Z 的模, 记作| z | 或 | a bi |,计算公式为: y
b
|z||abi|ra2b20
r
O
Z : a bi
a
x
注意到若 b 0 ,则 | z || a |(实数 a 的绝对值)
几何意义： 复数所对应的点到原点的距离
例题讲解 例3.计算下列复数的模:
5 、 5i、 34i、 0 、 34i、 34i、
复数的几何意义
复数 zabi,(a,b R )
y
b
Z : a bi
直角坐标系中的点 Z (a , b )
人教版高中数学必修2《复数的几何意义》PPT课件

人教版高中数学必修2《复数的几何意义》PPT课件


如图，设复平面内的点Z 表示复数z abi ，连接 OZ ， 显然向量 OZ 由点 Z 唯一确 定；反过来，点 Z 也可以由 向量OZ 唯一确定.
y
b
Z (a,b)
O
ax
如图，设复平面内的点Z 表示复数z abi ，连接 OZ ， 显然向量 OZ 由点 Z 唯一确 定；反过来，点 Z 也可以由 向量OZ 唯一确定.
复数的几何意义
高一年级 数学
复习回顾
我们引入新数 i，规定 i2 1
复数的代数形式：
复数的代数形式：
复 数 z a + b i (a,bR)
复数的代数形式：
复 数 z a + b i (a,bR)
实部
复数的代数形式：
复 数 z a + b i (a,bR)
实部 虚部
复数的代数形式：
有序实数对 (a,b) 复数 z abi
有序实数对 (a,b)
复数 z abi
复平面内的点Z (a,b)
有序实数对 (a,b)
复数 z abi
对应 复平面内的点Z(a,b)
找出复平面内的点所表示的复数： y 在复平面内，
原点 O(0,0)
1
O1
x
找出复平面内的点所表示的复数： y 在复平面内，
Z1(2,0)
1
x
虚轴上的点Z (0,1) 表示纯虚数i ；
Z (0,1) 2
2
点 Z3(2,3)
找出复平面内的点所表示的复数： y
在复平面内，
Z3(2,3)
原点 O(0,0) 表示实数0；
实轴上的点 Z1(2,0) 表示实数2；
1
(0,0)O
Z1(2,0)