2012广东高考数学理科试题及答案
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欢迎共阅 2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 设i为虚数单位，则复数56ii
A．65iB．65iC．65iD．65i
2. 设集合1,2,3,4,5,6,1,2,4UM，则UCM
A．UB．1,3,5C．3,5,6D．2,4,6
3.
若向量(2,3),(4,7)BACA，则BC
A．(2,4)B．(2,4)C．(6,10)D．(6,10)
4. 下列函数中，在区间(0,
)上为增函数的是
A．ln(2)yxB．1yxC．12xyD．1yxx
5. 已知变量,xy满足约束条件211yxyxy，则3zxy的最大值为
A．12B．11C．3D．1
6. 某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12B．45
C．57D．81
7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是
A．49B．13
C．29D．19
8. 对任意两个非零向量α,β，定义αβαβ=ββ,若向量a,b满足||||0ab，a,b的夹角(0,)4，且ab和ba都在集合|2nnZ中，则ab=
A．12B．1C．32D．52
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
欢迎共阅 （一）必做题（9~13题）
9. 不等式|2|||1xx的解集为。
10.261()xx的展开式中3x的系数为。（用数字作答）
11.已知递增的等差数列na满足21321,4aaa，则na。
12.曲线33yxx在点(1,3)处的切线方程
为。
13.执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线1C和2C参数方程分别为()xttyt为参数和2cos()2sinxy为参数，则曲线1C和2C的交点坐标为。
15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为1，,,ABC为圆周上的三点，满足30ABC，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数()2cos()6fxx（其中0,xR）的最小正周期为10
1）求的值；
2）设56516,[0,],(5),(5)235617ff，求cos()的值。
17.（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。
1）求图中x的值；
2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。
18.（本小题满分13分）
如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD平面，点E在线段PC上，PCBDE平面
欢迎共阅 （1）证明：BDPAC平面
（2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。
19．（本小题满分14分）
设数列na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,aaa成等差数列。
（1）求1a的值；
（2）求数列na的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaa。
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点(,)Mmn，使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,AB，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。
21.（本小题满分14分）
设1a，集合2|0,|23(1)60AxRxBxRxaxax，DAB
（1）求集合D（用区间表示）；
（2）求函数32()23(1)6fxxaxax在D内的极值点。
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案：
1—8:DCAABCDB
注：第8题解析：因为||2coscos||2abaabbbb，||coscos1||babbaaaa
且ab和ba都在集合{|}2nnZ中，
所以，||1cos||2bbaa，||1||2cosba，所以2||cos2cos2||aabb
所以222ab，故有1ab
欢迎共阅 9.]21,(（写成集合形式也给分1|2xx）10.2011.21n
12.210xy13.814.(1,1)15.3
第9题注解：
|2|||1xx|x-(-2)|-|x-0|1即数轴上到-2的点与到0点距离只差小于1的点的集合。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数()2cos()6fxx（其中0,xR）的最小正周期为10
（1）求的值；
（2）设56516,[0,],(5),(5)235617ff，求cos()的值。
解：（1）由题意210，解得15。
（2）由题62cos()25162cos17，即3sin58cos17，又,[0,]2，可得4cos515sin17，
所以48315cos()coscossinsin5175171385。
17.（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。
（1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望。
解：（1）由题意：(0.0540.010.0063)101x，解得0.018x；
（2）80~90分有500.018109人；90~100分有500.006103人。
所有可能的取值为0,1,2
故129101222222212E。
18.（本小题满分13分）
如图5，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PAABCD平面，点E在线段PC上，PCBDE平面
（1）证明：BDPAC平面
欢迎共阅 （2）若1,2PAAD，求二面角BPCA的正切值。
（1）证明：∵PAABCD平面，∴PABD；∵PCBDE平面，∴PCBD。
又PAPCP，∴BDPAC平面。
（2）解：设,ACBD交于O，连结OE，由题, PCBEPCOE，所以BEO即为二面角BPCA的平面角。
由（1）知，BDAC，所以四边形ABCD为正方形，
易得2212, 1832OCACPCPAAC。
由（1）知90OECPAC又OCEPCA，有OECPAC，
故OEOCPAPC，23OCOEPAPC。在RtBOE中，tan3OBBEOOE。
所以二面角BPCA的正切值为3
19．（本小题满分14分）
设数列na的前n项和为nS，满足1*1221,nnnSanN，且123,5,aaa成等差数列。
（1）求1a的值；
（2）求数列na的通项公式；
（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaa。
解：（1）由题21231232132212()212(5)aaaaaaaa，解得1231519aaa，故11.a
（2）当1n时，11a；
当2n时，11221nnnSa①1221nnnSa②
由①-②得：122nnnnaaa，整理得111332, 1(1)222nnnnnnnaaaa，
故1(2)2nnan为公比为32的等比数列，
首项为229124a，故29331()()2422nnnna，
32nnna，经验证当1n时，1132a
综上*32()nnnanN。
（3）当3n时
又因为2522(21)a，所以，2(1),2nannn。
欢迎共阅 所以，11111()2(1)21nannnn
所以，12311111111111131(1)1(1).2234122naaaannn
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为23e，且椭圆C上的点到(0,2)Q的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点(,)Mmn，使得直线:1lmxny与圆22:1Oxy相交于不同的两点,AB，且AOB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOB的面积；若不存在，请说明理由。
解：（1）由222233cecaa，所以222213baca
设(,)Pxy是椭圆C上任意一点，则22221xyab，所以222222(1)3yxaayb
当33133aa，即3a时，1y时，||PQ有最大值263a，
可得3a，所以1,2bc；
②当313a，即03a时，33ya时，||PQ有最大值23(2)33a，可得
3a，舍去。
所以1,2bc故椭圆C的方程为：221.32xy
（2）因为(,)Mmn在椭圆C上，所以22132mn，22332mn
设11(,)Axy，22(,)Bxy，由2211mxnyxy，得2222()210mnxmxn
所以，222222222144()(1)4(1)4(2)02mmnnnmnnn，可得24n
并且：12222mxxmn，212221nxxmn
