高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教案 新人教a版必修1

3．2.2 函数模型的应用实例

[学习目标] 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题．

[预习导引]

1．解决函数应用问题的基本步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．

这些步骤用框图表示如图：

2．数学模型

就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．

解决学生疑难点

要点一 用已知函数模型解决问题

例1 通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式： f(x)＝ －0.1x2＋2.6x＋43，0＜x≤10，59，10＜x≤16，－3x＋107，16＜x≤30.

(1)开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？

(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？

(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

解 (1)当0＜x≤10时，

f(x)＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1(x－13)2＋59.9.

故f(x)在(0,10]上单调递增，最大值为

f(10)＝－0.1×(－3)2＋59.9＝59；

当16＜x≤30时，f(x)单调递减，

f(x)＜－3×16＋107＝59.

因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min.

(2)f(5)＝－0.1×(5－13)2＋59.9＝59.9－6.4＝53.5，

f(20)＝－3×20＋107＝47＜53.5＝f(5)．

因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些．

(3)当0＜x≤10时，令f(x)＝55，

则－0.1×(x－13)2＝－4.9，(x－13)2＝49.

所以x＝20或x＝6.但0＜x≤10，

故x＝6.

当16＜x≤30时，令f(x)＝55，则－3x＋107＝55.

所以x＝17 13.

因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为

17 13－6＝11 13＜13(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题．

规律方法 解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．

解决此类型函数应用题的基本步骤是：

第一步：阅读理解，审清题意．

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景．在此基础上，分析出已知是什么，所求是什么，并从中提炼出相应的数学问题． 第二步：根据所给模型，列出函数关系式．

根据问题的已知条件和数量关系，建立函数关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题．

第三步：利用数学的方法将得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．

第四步：再将所得结论转译成具体问题的解答．

跟踪演练1 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为：y＝112 800x3－380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米．当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

解 当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5(小时)，要耗油112 800×403－380×40＋8×2.5＝28.75(升)，即当汽车以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油28.75升．

要点二 建立函数模型解决实际问题

例2 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；

(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)

解 (1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，

再由已知得 200a＋b＝0，20a＋b＝60，

解得 a＝－13，b＝2003.

故函数v(x)的表达式为

v(x)＝ 60，0≤x≤20，13－x，20≤x≤200.

(2)依题意并由(1)可得 f(x)＝ 60x，0≤x≤20，13x－x，20≤x≤200.

当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；

当20≤x≤200时，f(x)＝13x(200－x)

＝－13x2＋2003x＝－13(x2－200x)

＝－13(x－100)2＋10 0003，

所以当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003.

综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，

即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．

规律方法 根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示．

跟踪演练2 某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(亿元)和N(亿元)，它们与投资额t(亿元)的关系有经验公式：M＝13 t，N＝16t，今该公司将用3亿元投资这两个项目，若设甲项目投资x亿元，投资这两个项目所获得的总利润为y亿元．

(1)写出y关于x的函数表达式；

(2)求总利润y的最大值．

解 (1)当甲项目投资x亿元时，获得利润为M＝13x(亿元)，此时乙项目投资(3－x)亿元，获得利润为N＝16(3－x)(亿元)，则有y＝13x＋16(3－x)，x∈[0,3]．

(2)令x＝t，t∈[0，3]，则x＝t2，

此时y＝13t＋16(3－t2)＝－16(t－1)2＋23. ∵t∈[0，3]，∴当t＝1，即x＝1时，y有最大值为23.

即总利润y的最大值是23亿元．

1.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是(

)

A．310元 B．300元

C．390元 D．280元

答案 B

解析 由图象知，该一次函数过(1,800)，(2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300(x≥0)，当x＝0时，y＝300.

2．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用20分钟返回家里，下面图形中能表示小明的父亲离开家的时间与距离之间的关系的是(

)

答案 D

3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )

A．y＝2x B．y＝2x－1

C．y＝2x D．y＝2x＋1

答案 D

解析 分裂一次后由2个变成2×2＝22个，分裂两次后4×2＝23个，……，分裂x次后y＝2x＋1个． 4．长为3，宽为2的矩形，当长增加x，宽减少x2时，面积达到最大，此时x的值为________．

答案 12

解析 S＝(3＋x)(2－x2)＝－x22＋x2＋6

＝－12(x－12)2＋498，

∴x＝12时，Smax＝498.

1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：

(1)利用给定的函数模型解决实际问题；

(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；

(3)建立拟合函数模型解决实际问题．

2．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．

3．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化．

一、基础达标

1．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了a km，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了b km(b＜a)，当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为(

)

答案 C

解析 由题意可知，s是关于时间t的一次函数，所以其图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．

2．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表： 运送距离

x(km) 0＜x≤

500 500＜x≤

1 000 1 000＜x≤

1 500 …

邮资y(元) 5.00 6.00 7.00 …

如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )

A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元

答案 C

解析 由题意可知，当x＝1 200时，y＝7.00元．

3．某机器总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为( )

A．30 B．40 C．50 D．60

答案 C

解析 设安排生产x台，则获得利润

f(x)＝25x－y＝－x2＋100x

＝－(x－50)2＋2 500.

故当x＝50台时，获利润最大．

4．根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝

cx，x＜A，cA，x≥A(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是( )

A．75,25 B．75,16

C．60,25 D．60,16

答案 D

解析 由题意知，组装第A件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c＝60.将c＝60代入cA＝15，得A＝16.

5．某工厂生产某产品x吨所需费用为P元，而卖出x吨的价格为每吨Q元，已知P＝1 000＋5x＋110x2，Q＝a＋xb，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨的价格为40元，则有( )

A．a＝45，b＝－30 B．a＝30，b＝－45

C．a＝－30，b＝45 D．a＝－45，b＝－30

答案 A