高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例教案精讲 新人教A版必修1

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[读教材·填要点]

函数模型的应用

(1)用已知的函数模型刻画实际问题；

(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测，其基本过程如图所示：

[小问题·大思维]

1．在实际问题中常用的函数模型如下表所示，你能写出它们对应的解析式吗？

提示：

函数模型 解析式

正比例函数模型 2 f(x)＝kx(k为常数，k≠0)

一次函数模型

二次函数模型

f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b>0，b≠1)

对数函数模型

幂函数模型

提示：f(x)＝kx(k为常数，k≠0) 反比例函数模型

f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型

f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a>0，a≠1)

f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)

2．在利用上述函数模型解决问题时，函数的定义域除了使函数解析式有意义之外，还需注意什么？

提示：实际问题有意义．例如：“非负”，“取整”，“上、下限”等．

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已知函数模型的应用题

[例1] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示．

(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)；

(2)规定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg，时间单位：天)

[自主解答] (1)由图1可得，市场售价与时间的函数关系为f(t)＝ 300－t，0≤t≤200，2t－300，200

由图2可得，种植成本与时间的函数关系为

g(t)＝1200(t－150)2＋100,0≤t≤300.

(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意，得h(t)＝

f(t)－g(t)，即 4 h(t)＝ －1200t2＋12t＋1752，0≤t≤200，－1200t2＋72t－1 0252，200

当0≤t≤200时，配方整理，得

h(t)＝－1200(t－50)2＋100，

所以，当t＝50时，h(t)取得区间[0,200]上的最大值100；

当200

h(t)＝－1200(t－350)2＋100，

所以，当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上的最大值87.5.

综上，由100>87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50, 即从二月一日开始的第50天，上市的西红柿纯收益最大．

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求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

图表中的第一步：实际问题――→分析、联想抽象、转化建立函数模型，这一步应从审题开始，通过分析和抽象找出题设与结论的数学关系，进一步转化为函数问题来求解，即建立合理的数学模型，因此，这一步称之为数学转化；第二步：建立函数模型――→数学推演数学结果，这一步就 5 是采用数学的方法，解决函数模型所表述的数学问题．因此，这一步称之为数学解决；第三步：数学结果――→反译实际结果，这一步就是将数学结论转化为实际问题的结论．

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1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

高峰时间段用电价格表

高峰月用电量(单位：千瓦时) 高峰电价(单位：元/千瓦时)

50及以下的部分 0.568

超过50至200的部分 0.598

超过200的部分 0.668

低谷时间段用电价格表

低谷月用电量(单位：千瓦时) 低谷电价(单位：元/千瓦时)

50及以下的部分 0.288

超过50至200的部分 0.318

超过200的部分 0.388

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．

解析：高峰时间段200千瓦时的用电电费为：

50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)；

低谷时间段100千瓦时的用电电费为：

50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)． 6 合计：148.4(元)．

答案：148.4

指数函数、对数函数及幂函数模型

[例2] 某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年收回本金和利息；另一种是年利率9%，按复利计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？并求比另一种投资5年可多得利息多少元？

[解] 本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150万元．

本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5≈153.86万元．

由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后多得利息3.86万元．

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指数函数、对数函数的应用常与增长率相结合进行考查.在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N·1＋px其中N为原来的基础数，p为增长率，x为时间的形式.另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、对数在很多问题中可转化应用.

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2．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：M＝lgA－lgA0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．

(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级．

(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？

解：(1)M＝lg A－lg A0＝lgAA0＝lg200.002＝4.

即这次地震的震级为4级．

(2) 5＝lg A5－lg A08＝lg A8－lg A0，

lgA8A5＝3，A8A5＝1 000.

即所求是1 000倍．

拟合函数模型的建立及应用 8

[例3] 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.

年序 最大积雪深度x/cm 灌溉面积y/hm2

1 15.2 28.6

2 10.4 21.1

3 21.2 40.5

4 18.6 36.6

5 26.4 49.8

6 23.4 45.0

7 13.5 29.2

8 16.7 34.1

9 24.0 45.8

10 19.1 36.9

(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象；

(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y＝f(x)，并画出图象；

(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？

[自主解答] (1)描点作图如图甲：

(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝ax＋b.

取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)， 9 代入y＝ax＋b，得 21.1＝10.4a＋b，45.8＝24.0a＋b，

用计算器可算得a≈1.8，b≈2.4.

这样，我们得到一个函数模型y＝1.8x＋2.4.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．

(3)由y＝1.8×25＋2.4，求得y＝47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.

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对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是： 1根据原始数据，绘出散点图. 2通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线. 3根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. 4利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据.

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3．某汽车公司曾在2013年初公告：2013年销量目标定为39.3万辆；且该公司董事长极力表示有信心完成这个销量目标．

2010年，某汽车年销量8万辆；

2011年，某汽车年销量18万辆；

2012年，某汽车年销量30万辆．

如果我们分别将2010,2011,2012,2013年定义为第一，二，三，四年，现在有两个函数模型：二次函数型f(x)＝

ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b≠1，b>0)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与第x年的关系？

解：建立年销量y(万辆)与第x年的函数，可知函数图象必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．

(1)构造二次函数型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

将点的坐标代入，可得 a＋b＋c＝8，4a＋2b＋c＝18，9a＋3b＋c＝30.解得 a＝1，b＝7，c＝0，

则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为4.7.

(2)构造指数函数型g(x)＝a·bx＋c，将点的坐标代入，

可得 ab＋c＝8，ab2＋c＝18，ab3＋c＝30，解得 a＝1253，b＝65，c＝－42，

则g(x)＝1253·(65)x－42，