2018最新北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 疑难规律方法

1 椭圆的定义在解题中的妙用椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的简单性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1 线段|AB |＝4，|PA |＋|PB |＝6，M 是AB 的中点，当P 点在同一平面内运动时，PM 的长度的最小值是( )A ．2 B. 2 C. 5 D ．5解析 由于|PA |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故由椭圆定义知P 点的轨迹是以M 为原点，A 、B 为焦点的椭圆，且a ＝3，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝ 5.于是PM 的长度的最小值是b ＝ 5.答案 C2．求动点坐标例2 椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2距离之积最大的点的坐标是________． 解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫1022＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10，|PF 1|＝|PF 2|， 解得|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为P (±3,0)．答案 (±3,0)点评 由椭圆的定义可得“|PF 1|＋|PF 2|＝10”，即两个正数|PF 1|，|PF 2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF 1|，|PF 2|积的最大值，结合图形可得所求点P 的坐标．3．求焦点三角形面积例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 由已知得a ＝2，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②将②代入①，得|PF 1|＝65. 所以S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120° ＝12×65×2×32＝353，即△PF 1F 2的面积是353. 点评 在△PF 1F 2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF 1|，|PF 2|的方程组，消去|PF 2|可求|PF 1|.从以上问题，我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解.2 解抛物线问题的五个技巧1．设而不求，整体处理例1 已知抛物线y 2＝－8x 的弦PQ 被点A (－1,1)平分，求弦PQ 所在的直线方程．解 设弦PQ 的两个端点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有y 21＝－8x 1，y 22＝－8x 2.两式相减，得y 21－y 22＝－8(x 1－x 2)，即(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝－8(x 1－x 2)．∵A 是PQ 的中点，∴y 1＋y 2＝2，即y 1－y 2＝－4(x 1－x 2)．∴y 1－y 2x 1－x 2＝－4，k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4. 故弦PQ 所在的直线的方程为y －1＝－4(x ＋1)，即4x ＋y ＋3＝0.2．巧用定义求最值例2 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上移动，记AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离．解 如图，AA ′⊥l ，MN ⊥l ，BB ′⊥l ，l 为抛物线y 2＝x 的准线，由抛物线方程y 2＝x ，知2p ＝1，p 2＝14.设点M 到y 轴的距离为d ，d ＝|MN |－14. 由抛物线的定义，知|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|.因为AA ′，BB ′，MN 都垂直于准线，所以AA ′∥MN ∥BB ′，所以MN 是梯形AA ′B ′B 的中位线．于是|MN |＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|AF |＋|BF |)． 若AB 不过焦点，则由三角形的性质，得|AF |＋|BF |>|AB |；若AB 过焦点F ，则|MN |＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |＝32. 所以当AB 过F 时|MN |最小，此时d 也最小，d ＝|MN |－14＝32－14＝54. 故点M 到y 轴的最短距离为54. 3．巧设抛物线的方程例3 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，且被直线y ＝x ＋1所截得的弦长为10，求此抛物线的方程．解 设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝ax ，y ＝x ＋1.消去y ，整理得x 2＋(2－a )x ＋1＝0.设所截得的弦的两个端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个实根．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝a －2，x 1x 2＝1. 由弦长公式，知2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10，即(a －2)2－4＝5，解得a ＝－1或a ＝5.所以所求抛物线的方程为y 2＝－x 或y 2＝5x .4．巧设弦所在的直线的方程例4 过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2.证明 当直线的斜率为0时，直线不会与抛物线有两个交点．因为抛物线的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以可设过焦点的直线方程为x －p 2＝my ， 即x ＝my ＋p 2，代入y 2＝2px ， 得y 2－2pmy －p 2＝0.由根与系数的关系，得y 1y 2＝－p 2.5．巧设抛物线上的点的坐标例5 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)上一定点P (P 在x 轴上方)作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点．当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，证明直线AB 的斜率是非零常数．证明 设P ⎝⎛⎭⎫y 202p ，y 0，A ⎝⎛⎭⎫y 212p ，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222p ，y 2， 由k PA ＝－k PB ，得y 1－y 0y 212p －y 202p ＝－y 2－y 0y 222p －y 202p. 整理，得y 1＋y 2＝－2y 0.k AB ＝y 2－y 1y 222p －y 212p＝2p y 1＋y 2＝－p y 0(y 0≠0)． 所以直线AB 的斜率是非零常数．3 巧用抛物线的焦点弦如图所示，AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，过A 、M 、B 分别向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1、M 1、B 1，则有以下重要结论：(1)以AB 为直径的圆必与准线相切；(2)|AB |＝2(x 0＋p 2)(焦点弦长与中点坐标的关系)； (3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ；(4)A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2； (5)A 1F ⊥B 1F ；(6)A 、O 、B 1三点共线；(7)1|FA |＋1|FB |＝2p . 证明 当直线AB 的斜率不存在，即与x 轴垂直时，|FA |＝|FB |＝p ，∴1|FA |＋1|FB |＝1p ＋1p ＝2p. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，并代入y 2＝2px ， ∴⎝⎛⎭⎫kx －kp 22＝2px ，即k 2x 2－p (2＋k 2)x ＋k 2p 24＝0. 设A (x A ，y A )、B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝p (k 2＋2)k 2，x A x B ＝p 24. ∵|FA |＝x A ＋p 2，|FB |＝x B ＋p 2， ∴|FA |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ，|FA |·|FB |＝⎝⎛⎭⎫x A ＋p 2⎝⎛⎭⎫x B ＋p 2 ＝x A x B ＋p 2(x A ＋x B )＋p 24＝p 2(x A ＋x B ＋p )． ∴|FA |＋|FB |＝|FA |·|FB |·2p ，即1|FA |＋1|FB |＝2p . 点评 该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB ⊥x 轴的情况．例 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|＝________.解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)．由FA →＋FB →＋FC →＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0，即x 1＋x 2＋x 3＝3，|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋x 2＋x 3＋32p ＝6. 答案 64 解析几何中的定值与最值问题解法辨析1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口．例1 已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，OA →＋OB →与a ＝(3，－1)共线．设M 为椭圆上任意一点，且OM →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，求证：λ2＋μ2为定值．证明 ∵M 是椭圆上任意一点，若M 与A 重合，则OM →＝OA →，此时λ＝1，μ＝0，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为N (x 0，y 0)， ∴⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2x 0a 2y 0， 又∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1， ∴y 0＝－b 2a 2x 0. ∴直线ON 的方向向量为ON →＝⎝⎛⎭⎫1，－b 2a 2，∵ON →∥a ，∴13＝b 2a 2. ∵a 2＝3b 2，∴椭圆方程为x 2＋3y 2＝3b 2，又直线方程为y ＝x －c . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －c ，x 2＋3y 2＝3b 2， 得4x 2－6cx ＋3c 2－3b 2＝0.∵x 1＋x 2＝32c ，x 1x 2＝3c 2－3b 24＝38c 2.又设M (x ，y )，则由OM →＝λOA →＋μOB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λx 1＋μx 2，y ＝λy 1＋μy 2，代入椭圆方程整理得λ2(x 21＋3y 21)＋μ2(x 22＋3y 22)＋2λμ(x 1x 2＋3y 1y 2)＝3b 2.又∵x 21＋3y 21＝3b 2，x 22＋3y 22＝3b 2， x 1x 2＋3y 1y 2＝4x 1x 2－3c (x 1＋x 2)＋3c 2＝32c 2－92c 2＋3c 2＝0， ∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值．例2 已知抛物线y 2＝2px (p >0)上有两个动点A 、B 及一个定点M (x 0，y 0)，F 是抛物线的焦点，且|AF |、|MF |、|BF |成等差数列．求证：线段AB 的垂直平分线经过定点(x 0＋p,0)． 证明 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由抛物线定义，知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，|MF |＝x 0＋p 2. 因为|AF |、|MF |、|BF |成等差数列，所以2|MF |＝|AF |＋|BF |，即x 0＝x 1＋x 22. 设AB 的中点为(x 0，t )，t ＝y 1＋y 22. 则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 2y 212p －y 222p＝2p y 1＋y 2＝p t . 所以线段AB 的垂直平分线方程为y －t ＝－t p (x －x 0)，即t [x －(x 0＋p )]＋py ＝0.所以线段AB 的垂直平分线过定点(x 0＋p,0)．2．最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解，非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值．例3 已知F 是双曲线x 29－y 216＝1的左焦点，A (2,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析 设右焦点为F ′，由题意可知F ′坐标为(5,0)，根据双曲线的定义，|PF |－|PF ′|＝6， ∴|PF |＋|PA |＝6＋|PF ′|＋|PA |，∴要使|PF |＋|PA |最小，只需|PF ′|＋|PA |最小即可，|PF ′|＋|PA |最小需P 、F ′、A 三点共线，最小值即6＋|F ′A |＝6＋9＋16＝11. 答案 11点评 “化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法．例4 已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ≥0，y ＝0，x <0. (2)如图，由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1＝1＋⎝⎛⎭⎫2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2)＋1 ＝8＋4⎝⎛⎭⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2k 2·1k 2＝16. 当且仅当k 2＝1k2， 即k ＝±1时，AD →·EB →取得最小值16.5 圆锥曲线中存在探索型问题的解法存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．下面仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助同学们复习．1．常数存在型问题例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称？请说明理由．分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. 依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22， 即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，①又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0，∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2＝2，解得a ＝32， ∴k AB ＝32，而k l ＝2， ∴k AB ·k l ＝32×2＝3≠－1.故不存在满足题意的实数a .2．点存在型问题例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原点O ，椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在．解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，设圆心的坐标是(－p ，p ) (p >0)，则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2，∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)椭圆x 2a 2＋y 29＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10， 由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，∴椭圆右焦点为F (4,0)．假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，则有⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16，且m 2＋n 2≠0， 解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125，故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.3．直线存在型问题例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m 1＋3k 2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk. ∵AP ⊥MN ，∴3k 2－m ＋13mk＝－1k (k ≠0)， 故m ＝－3k 2＋12. 由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)＝9(1＋3k 2)·(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0.故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .6 圆锥曲线中的易错点剖析1．忽视定义中的条件而致误例1 平面内一点M 到两定点F 1(0，－4)，F 2(0,4)的距离之和为8，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．直线D ．线段错解 根据椭圆的定义，点M 的轨迹为椭圆，故选A.错因分析 在椭圆的定义中，点M 到两定点F 1，F 2的距离之和必须大于两定点的距离，即|MF 1|＋|MF 2|>|F 1F 2|，亦即2a >2c .而本题中|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的轨迹不是椭圆，而是线段F 1F 2.正解 因为点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是线段F 1F 2. 答案 D2．忽视标准方程的特征而致误例2 设抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．错解 抛物线y ＝mx 2 (m ≠0)的准线方程为y ＝－m 4. 又与直线y ＝1的距离为3的直线为y ＝－2或y ＝4.故－m 4＝－2或－m 4＝4. ∴m ＝8或m ＝－16.所以抛物线的标准方程为y ＝8x 2或y ＝－16x 2.错因分析 错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x 2＝1m y 的形式，再求解．正解 由于y ＝mx 2 (m ≠0)可化为x 2＝1m y ，其准线方程为y ＝－14m. 由题意知－14m ＝－2或－14m＝4， 解得m ＝18或m ＝－116. 则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y .3．涉及弦长问题时，忽视判别式Δ>0这一隐含条件而失分例3 正方形ABCD 的A ，B 两点在抛物线y ＝x 2上，另两点C ，D 在直线y ＝x －4上，求正方形的边长．错解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x 2⇒x 2－x －b ＝0， |AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )．∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2， ∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0， 解得b ＝2或b ＝6，∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.错因分析 在考虑直线AB 与抛物线相交时，必须有方程x 2－x －b ＝0的判别式Δ>0，以此来限制b 的取舍．正解 ∵AB 与直线y ＝x －4平行，∴设AB 的直线方程为y ＝x ＋b ，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，y ＝x2⇒x 2－x －b ＝0， |AB |2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2(1＋4b )．∵AB 与直线y ＝x －4间的距离为d ＝|b ＋4|2， ∴2(1＋4b )＝(b ＋4)22，即b 2－8b ＋12＝0， 解得b ＝2或b ＝6，∵Δ＝1＋4b >0，∴b >－14. ∴b ＝2或b ＝6都满足Δ>0，∴b ＝2或b ＝6.∴|AB |＝32或|AB |＝5 2.。

2.2抛物线的简单性质[学习目标] 1.通过图形理解抛物线的对称性、范围、顶点等简单性质.2.掌握抛物线的四种位置及相应的焦点坐标和准线方程.3.能够运用一元二次方程的根的性质解决直线与抛物线的位置关系等问题．知识点一抛物线的简单性质知识点二焦点弦直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋p2，|BF|＝x2＋p2，故|AB|＝x1＋x2＋p.知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的对称轴平行或重合，此时直线与抛物线有一个公共点．题型一抛物线的简单性质例1过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．答案322解析 由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2.设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty消去x 得y 2－4ty －4＝0.∴y 1y 2＝－4.∴y 2＝－2，x 2＝12，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.反思与感悟 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程． 解 (1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－12.∴抛物线的标准方程为x 2＝－12y .故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12y .准线方程为x ＝－1或y ＝18.题型二 抛物线的焦点弦问题例2 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．解 由题意知焦点F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <52p ，不满足题意．所以直线AB 的斜率存在，设为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2，k ≠0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0. 由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2pk，y 1y 2＝－p 2. 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2·(y 1－y 2)2＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2＝52p ， 解得k ＝±2.所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －p 2 或y ＝－2⎝⎛⎭⎫x －p2. 反思与感悟 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解． (2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪训练2 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝3，又F ⎝⎛⎭⎫32，0. 所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p . 所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知 |AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.题型三 直线与抛物线的位置关系例3 已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，直线l 与抛物线C 有： (1)一个公共点； (2)两个公共点； (3)没有公共点．解 将直线l 和抛物线C 的方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝4x ，消去y ，得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*)当k ＝0时，方程(*)只有一个解，为x ＝14，此时y ＝1.∴直线l 与抛物线C 只有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1，此时直线l 平行于x 轴． 当k ≠0时，方程(*)为一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2，①当Δ>0，即k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点，此时直线l 与抛物线C 相交；②当Δ＝0，即k ＝1时，直线l 与抛物线C 有一个公共点，此时直线l 与抛物线C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点，此时直线l 与抛物线C 相离． 综上所述，(1)当k ＝1或k ＝0时，直线l 与抛物线C 有一个公共点； (2)当k <1且k ≠0时，直线l 与抛物线C 有两个公共点； (3)当k >1时，直线l 与抛物线C 没有公共点．反思与感悟 直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况．跟踪训练3 在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由. 解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t . 所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.1．以x 轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为( ) A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝8x 或y 2＝－8xD ．x 2＝8y 或x 2＝－8y 答案 C解析 设抛物线y 2＝2px 或y 2＝－2px (p >0)，依题意得x ＝p2，代入y 2＝2px 或y 2＝－2px ，得|y |＝p ，∴2|y |＝2p ＝8，p ＝4.2．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为( ) A ．(14，±24)B ．(18，±24)C ．(14，24)D ．(18，24)答案 B解析 由题意知，点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离，因此点P 在线段OF 的垂直平分线上，而F (14，0)，所以点P 的横坐标为18，代入抛物线方程得y ＝±24，故点P 的坐标为(18，±24)，故选B.3．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短，则该点坐标为( ) A ．(1,2) B ．(0,0) C ．(12，1) D ．(1,4)答案 C解析 因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交，设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m .则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ⇒4x 2－4x －m ＝0.① 设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0， 即Δ＝16＋16m ＝0，∴m ＝－1. 将m ＝－1代入①式，x ＝12，y ＝1，故所求点的坐标为(12，1)．4．经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( ) A ．6x －4y －3＝0 B ．3x －2y －3＝0 C ．2x ＋3y －2＝0 D ．2x ＋3y －1＝0答案 A解析 设直线l 的方程为3x －2y ＋c ＝0，抛物线y 2＝2x 的焦点F (12，0)，所以3×12－2×0＋c ＝0，所以c ＝－32，故直线l 的方程是6x －4y －3＝0.选A.5．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 －14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0， ∵直线与抛物线相切，∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0. ∴a ＝－14.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．2．直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用． 3．判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法：利用图像，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．(2)代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．相交：①有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ>0；②有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ＝0；相离：没有公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧A ≠0，Δ<0.直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．。

1．1椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？思考2在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?梳理类型一 求椭圆的标准方程命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程 例2 求经过(2，－2)和⎝⎛⎭⎫－1，142两点的椭圆的标准方程．反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答．跟踪训练2 求经过A (0,2)和B (12，3)两点的椭圆的标准方程．类型二 椭圆方程中参数的取值范围例3 “方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )A ．1<m <32B ．1<m <2C ．2<m <3D ．1<m <3反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 已知x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆．求α的取值范围．类型三 椭圆定义的应用例4 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在例4中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长． 跟踪训练4已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．答案精析问题导学 知识点一思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键． 思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长． 梳理 常数(大于|F 1F 2|) 知识点二思考1 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2. 思考2 只有当2a >|F 1F 2|时，动点M 的轨迹才是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件的点不存在． 梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2 题型探究例1 解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.① 又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ， 代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2， ∴a 2＝8.又∵焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2， ∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋(15)29＋λ＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.例2 解 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.跟踪训练2 解 当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＝1，(12)2a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋(12)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例3 A [要使方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2， ∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，故选A.]跟踪训练3 解 x 2sin α＋y 2cos α＝1， 可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π4. 例4 解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，①教育学习+K12教育学习+K12 由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－43－12. 引申探究 解 由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练4 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32， 即△PF 1F 2的面积是32.当堂训练1．D 2.B 3.C 4.y 216＋x 2＝1 5.48。

1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系，解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用.3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质，以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.题型一数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.例1双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为() A.(1,3) B.(1,3]C.(3，＋∞)D.[3，＋∞)答案 B解析 如图所示，由|PF 1|＝2|PF 2|知P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 又|PF 1|＝2|PF 2|， ∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 在△F 1PF 2中， 由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝54－c 24a 2＝54－e 24，∵0<∠F 1PF 2≤π，且当点P 是双曲线的顶点时，∠F 1PF 2＝π， ∴－1≤cos ∠F 1PF 2<1， ∴－1≤54－e 24<1，由e >1，解得1<e ≤3.故选B.跟踪训练1 抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，若|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( ) A.x 1，x 2，x 3成等差数列 B.y 1，y 2，y 3成等差数列 C.x 1，x 3，x 2成等差数列 D.y 1，y 3，y 2成等差数列 答案 A解析 如图，过A ，B ，C 分别作准线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，C ′，由抛物线定义知：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |， ∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|.又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2(x 2＋p 2)＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3，∴选A.题型二 分类讨论思想分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y ＝±34x ，求此双曲线的离心率.解 当双曲线的焦点在x 轴上时，由已知可得b a ＝34，∵c 2＝a 2＋b 2，∴e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝2516， ∴双曲线的离心率e ＝54；同理，当焦点在y 轴上时，可求得离心率e ＝53.故双曲线的离心率为54或53.跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P (2，－6)； (2)椭圆过点P (3,0)，且e ＝63.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).由已知得a ＝2b .①∵椭圆过点P (2，－6)，∴4a 2＋36b 2＝1或36a 2＋4b 2＝1.②由①②得a 2＝148，b 2＝37或a 2＝52，b 2＝13. 故所求椭圆的标准方程为x 2148＋y 237＝1或y 252＋x 213＝1.(2)当焦点在x 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴a ＝3. 又c a ＝63，∴c ＝ 6.∴b 2＝a 2－c 2＝3. 此时椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当焦点在y 轴上时，∵椭圆过点P (3,0)，∴b ＝3. 又c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27. 此时椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.题型三 函数与方程思想圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.例3 设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a ＞3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ＝∠MAO ，求直线l 的斜率. 解 (1)设F (c ，0)，由1|OF |＋1|OA |＝3e|F A |，即1c ＋1a ＝3c a （a －c ），可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0.解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1，0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因为直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912（k 2＋1）.在△MAO 中，∠MOA ＝∠MAO ⇔|MA |＝|MO |， 即(x M －2)2＋y 2M ＝x 2M ＋y 2M ，化简得x M ＝1，即20k 2＋912（k 2＋1）＝1，解得k ＝－64或k ＝64. 所以直线l 的斜率为－64或64. 跟踪训练3 若双曲线x 2a 2－y 216＝1(a >0)的离心率为53，则a ＝________.答案 3解析 由离心率公式，有a 2＋16a 2＝⎝⎛⎭⎫532(a >0)，得a ＝3.故填3.题型四 转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.转化与化归思想在圆锥曲线中经常应用，如把直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为方程组的解的个数问题，把求参数的取值范围问题转化为解不等式(组)问题，把陌生的问题转化为熟悉的问题，需要注意转化的等价性.例4 已知点A (4，－2)，F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |＋|MF |取最小值时，点M 的坐标为( ) A.(0,0) B.(1，－22) C.(2，－4) D.(12，－2)答案 D解析 过点M 作准线l 的垂线，垂足为E ，由抛物线定义知|MF |＝|ME |. 当点M 在抛物线上移动时，|MF |＋|MA |的值在变化， 显然M 移到M ′，AM ′∥Ox 时，A ，M ，E 共线， 此时|ME |＋|MA |最小，把y ＝－2代入y 2＝8x ， 得x ＝12，∴M (12，－2).跟踪训练4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为2 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k ′，证明k ′k 为定值.②求直线AB 的斜率的最小值. (1)解 设椭圆的半焦距为c . 由题意知2a ＝4，2c ＝2 2. 所以a ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0). 由M (0，m )，可得P (x 0，2m )，Q (x 0，－2m ). 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝mx 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3mx 0. 此时k ′k ＝－3.所以k ′k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 直线P A 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2－4＝0， 由x 0x 1＝2m 2－42k 2＋1，可得x 1＝2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0＋m .同理x 2＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0，y 2＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m .所以x 2－x 1＝2（m 2－2）（18k 2＋1）x 0－2（m 2－2）（2k 2＋1）x 0＝－32k 2（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， y 2－y 1＝－6k （m 2－2）（18k 2＋1）x 0＋m －2k （m 2－2）（2k 2＋1）x 0－m＝－8k （6k 2＋1）（m 2－2）（18k 2＋1）（2k 2＋1）x 0， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝⎛⎭⎫6k ＋1k ， 由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0，所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”.∵P (x 0，2m )在椭圆x 24＋y 22＝1上，∴x 0＝4－8m 2，故此时2m －m 4－8m 2－0＝66， 即m ＝147，符合题意.所以直线AB 的斜率的最小值为62.1.圆锥曲线的定义是圆锥曲线问题的根本，利用圆锥曲线的定义解题是考查圆锥曲线的一个重要命题点.2.圆锥曲线的标准方程是用代数方法研究圆锥曲线的几何性质的基础，对圆锥曲线标准方程的考查方式有两种：一是在解答题中作为试题的入口进行考查；二是在选择题和填空题中结合圆锥曲线的简单几何性质进行考查.3.虽然考纲中没有直接要求关于直线与圆锥曲线相结合的知识，但直线与圆锥曲线是密不可分的，如双曲线的渐近线、抛物线的准线，圆锥曲线的对称轴等都是直线.考试不但不回避直线与圆锥曲线，而且在试题中进行重点考查，考查方式既可以是选择题、填空题，也可以是解答题.4.考纲对曲线与方程的要求是“了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系”，考试对曲线与方程的考查主要体现在以利用圆锥曲线的定义、待定系数法、直接法和代入法等方法求圆锥曲线的方程.5.对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用.。