广东省东莞市高二数学上学期期末考试试题 理(B卷,扫描版)

- 1 - 东莞市2014-2015学年度第一学期高二理科数学期末考试试卷（B卷）

- 2 - - 3 - - 4 - 2014—2015学年度第一学期期末教学质量检查

高二理科数学（B卷）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案 C B A C C D A B B D

二、填空题

11. 2 12. 4 13．31 １４．[1,3]

三、解答题

15.解：（1）∵3cos,(0,)5BB且，

∴24sin1cos5BB，又35ac，…………………………………3分

∴114sin3514225ABCSacB.……………………………………6分

（2）由35ac，a=7，

得c=5，…………………………………………………………………7分

∴22232cos4925275325bacacB，

∴42b，…………………………………………………………………9分

∴2224932252cos222742abcCab……………………………10分

又(0,)C…………………………………………………………………11分

∴4C.……………………………………………………………………12分

16. 解：(1)由(4)()0xaxa得4axa.……………………1分

当1a时，14x，即p为真命题时，实数x的取值范围是14x……3分

由2430xx得13x.

所以q为真时实数x的取值范围是13x.…………………………5分

若pq为真，则13x，所以实数x的取值范围是1,3．……6分

(2) 设|4Axaxa，|13Bxx………………………8分

q是p的充分不必要条件，则BA…………………………………10分

所以0131434aaa，所以实数a的取值范围是3,14．………12分 - 5 - 17.解：设甲、乙两种蔬菜的种植面积分别为x，y亩，农场的总收益为z万元，则……1分

300,0.060.029,0,0,xyxyxy………① …………5分

目标函数为0.30.2zxy， ……………6分

不等式组①等价于300,3450,0,0,xyxyxy

可行域如图所示，……………………………9分

当目标函数对应的直线经过点M时，

目标函数z取最小值. ……………………………………………………10分

解方程组300,3450,xyxy

得M的坐标 75x，225y，……………………………………12分

所以max0.3750.222567.5z.………………………………13分

答：分别种植甲乙两种蔬菜75亩和225亩，可使农场的总收益最大，最大收益为67.5万元.

………………………………………………………………………………14分

18. 解：（1）连接1AD

1111DCBAABCD为四棱柱，11//DCCD 11DCCD

又M为AB的中点，1AM

AMCD//,AMCD

11//DCAM,11DCAM

11DAMC为平行四边形

11//MCAD………………4分

又111ADDAMC平面 111ADDAAD平面

111//ADDAAD平面………………6分

（2）方法一：11//BAAB 1111//DCBA xyOM500400300200100400300200100 - 6 - 共面与面1111DABCMCD

作ABCN,连接ND1

则NCD1即为所求二面角………………8分

在ABCD中，60,2,1DABABDC 23CN

在CNDRt1中，31CD,23CN 2151ND

5515321523cos11NDNCCND………………14分

方法二：作ABCP于p点

以C为原点，CD为x轴，CP为y轴，1CD为z轴建立空间坐标系，

)0,23,21(),3,0,0(),3,0,1(11MDC

)3,23,21(),0,0,1(111MDDC

设平面MDC11的法向量为),,(111zyxn

03232101111zyxx )1,2,0(1n

显然平面ABCD的法向量为)0,0,1(2n

5551,cos212121nnnnnn显然二面角为锐角，

所以平面MDC11和平面ABCD所成角的余弦值为55………………14分

- 7 - 19.

解：(1)当1n时，211112aSa；

……1分

当2n时，11()nnSanN

11()nnSanN，

两式相减得，12(2)nnaan，

……2分

又212aa，……３分

所以na是首项为1,公比为2的等比数列，……4分

所以12nna. ……6分

(2)由(1)知12nna，所以nn1n+1nnnnb==4a422，……７分

所以n234n+1123nT=...2222

n345n+1n+21123n1nT=...222222，…８分

两式相减得，

n234n+1n+211111nT=...2222222nn+2n+211(1)n1n+222=122212

所以nn+2n+2T12(或写成nnn1T1(1)22或nnn+11nT122…１０分

13223332231(1)(1)022222nnnnnnnnnnnnTTQ…１１分

1nnTT

nT是递增的，又134T

314nT …１４分

20．解：（1）法一：

由椭圆的定义可知

2212332||||(11)()422aMFMF

2a ……1分

由1c得3b……2分

故椭圆的方程是22143xy； ……3分

法二：

由已知得， - 8 - 222291411abab，……1分

得2243ab，……2分

故椭圆的方程是22143xy； ……3分

（2）椭圆的右焦点为2(1,0)F，分两种情况讨论如下：

1°当直线AB的斜率不存在时，AB:1x，则 CD:0y．此时||3AB，||4CD,

117||||12ABCD； ……5分

2°当直线AB的斜率存在时，设AB : (1)(0)ykxk，则 CD：1(1)yxk．

又设点1122(,),(,)AxyBxy．

联立方程组22(1),3412,ykxxy

消去y并化简得2222(43)84120kxkxk，

所以

2122843kxxk，

212241243kxxk

……7分

222121212||()()1||ABxxyykxx2212121()4kxxxx

4222226416(3)(43)1(43)kkkkk2212(1)43kk ……8分

由题知，直线CD的斜率为1k，同理可得2212(1)||43kCDk ……9分 xyF1F2DCBAO - 9 - 所以2211777||||12(1)12kABCDk为定值. ……10分

(3)解：由（II）知117||||12ABCD，

所以 912911||||(||||)()16716||||ABCDABCDABCD ……11分

9||1225||16()716||||CDABABCD9||1225||2116(2)716||||4CDABABCD， ……12分

当且仅当9||||16||||CDABABCD，即3||||4ABCD，即||3,||4ABCD时取等号 …13分

所以9||||16ABCD的最小值为214. ……14分