人教A版高中数学必修2：1.2.2 空间几何体的三视图(1)

§1.2 空间几何体的三视图和直观图

§1.2.1 中心投影与平行投影

§1.2.2 空间几何体的三视图

（一）导入新课思路1.能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？

我们常用三视图和直观图表示空间几何体，三视图是观察者从三个不同位置观察同一个几何体而画出的图形；直观图是观察者站在某一点观察几何体而画出的图形.三视图和直观图在工程建设、机械制造以及日常生活中具有重要意义.本节我们将在学习投影知识的基础上，学习空间几何体的三视图.

教师指出课题：投影和三视图. 思路2.

“横看成岭侧成峰”，这说明从不同的角度看同一物体视觉的效果可能不同，要比较真实地反映出物体的结构特征，我们可从多角度观看物体，这堂课我们主要学习空间几何体的三视图.在初中，我们已经学习了正方体、长方体、圆柱、圆锥、球的三视图（正视图、侧视图、俯视图），你能画出空间几何体的三视

图吗？教师点出课题：投影和三视图.

（二）推进新课、新知探究、提出问题

①如图1所示的五个图片是我国民间艺术皮影戏中的部分片断，请同学们考虑它们是怎样得到的?

图1 ②通过观察和自己的认识,你是怎样来理解投影的含义的?

③请同学们观察图2的投影过程，它们的投影过程有什么不同？

图2

④图2（2）（3）都是平行投影，它们有什么区别？⑤观察图3，与投影面平行的平面图形，分别在平行投影和中心投影下的影子和原图形的形状、大小

有什么区别？

图3 活动：①教师介绍中国的民间艺术皮影戏，学生观察图片.

②从投影的形成过程来定义. ③从投影方向上来区别这三种投影. ④根据投影线与投影面是否垂直来区别.

⑤观察图3并归纳总结它们各自的特点. 讨论结果：①这种现象我们把它称为是投影.

②由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影幕. ③图2（1）的投影线交于一点，我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影；图2（2）和（3）

1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

[学习目标] 1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2.了解柱、

锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决

有关实际问题.

知识点一 多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.

知识点二 旋转体的表面积 名称 图形 公式 圆柱 底面积：S

底＝2πr2

侧面积：S

侧＝2πrl

表面积：S＝2πrl＋2πr2

圆锥

底面积：S

底＝πr2

侧面积：S

侧＝πrl

表面积：S＝πrl＋πr2

圆台

上底面面积：S

上底＝πr′2

下底面面积：S

下底＝πr2

侧面积：S

侧＝πl(r＋r′)

表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

思考 求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，要求的关键量是什么？

答 求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键

是求其母线长与上、下底面的半径.

知识点三 体积公式

1.柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.

2.锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13Sh.

3.台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝1

3(S′＋S′S＋S)h.

思考 简单组合体分割成几个几何体，其表面积如何变化？其体积呢？

答 表面积变大了，体积不变.

题型一 空间几何体的表面积

例1 圆台的母线长为8 cm，母线与底面成60°角，轴截面两条对角线互相垂直，求圆台的

表面积.

解 如图所示的是圆台的轴截面ABB

1A

1，其中∠A

1AB＝60°，过A

1作

A

1H⊥AB于H，则O

1O＝A

1H＝A

1A·sin 60°＝43(cm)，

AH＝A

1A·cos 60°＝4(cm)，

即r

2－r

1＝AH＝4.①

设A

1B与AB

1的交点为M，

则A

1M＝B

1M.

又∵A

1B⊥AB

1，

∴∠A

1MO

1＝∠B

1MO

1＝45°.

∴O

1M＝O

1A

§1.2.2 空间几何体的三视图

1、 教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修二》（人教A

版）第一章第二节第二课《§1.2.2空间几何体的三视图》。三视图是

空间几何体的一种表示形式，是立体几何的基础之一。学好三视图为学

习直观图奠定基础，同时有利于培养学生空间想象能力，几何直观能力

的，有利于培养学生学习立体几何的兴趣。由于三视图与人们的实际生

活有着紧密的联系，对指导人们从事社会生产、生活具有十分重要的意

义，所以这一内容也成了近几年新课程高考的一个热点。2、 学生学习情况分析

学生在义务教育阶段已经学习过三视图的基本作法，但只要求能作

简单几何体的三视图，如长方体、正方体以及一些正方体的组合等，主

要停留在形的认识上，而对于三视图的概念还不清晰。学生在义务教育

阶段只接触了从空间几何体到三视图的单向转化，还无法准确将三视图

还原成实物模型。

对于三视图的学习，先用诗句“横看成岭侧成峰”创设情境，引入

新课。接着用汽车设计图纸作引入复习回顾三视图，让学生体会作三视

图刻画空间几何体的必要性，然后简单复习长方体的三视图，在学生原

有知识的基础上进行新知识的建构，引出三视图的作图方法与规范要

求。三、设计思想

参照《新课程实施标准》，在本课的教学中我努力实践以下两点：

１、教学中，通过对实物模型及多媒体课件所呈现的空间几何体

（由简单到复杂，逐步变化）的整体观察，帮助学生认识其结构特征，

巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习和理解。采用多媒体的教学

手段，加强直观性和启发性，增大课堂容量，提高课堂效率。

２、本节课是以理论是为实践服务的宗旨掌握数学知识、交流合作

的模式发展数学能力、自主探究的方式解决数学问题为教学模式，学生

在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、通过自己的观察，想象，

思考，实践，主动发现规律、获得知识，体验成功。四、教学目标

（一）知识与技能：：①在初中学习的基础上，巩固和提高有关三视图的学习和理解，进

1.2

空间几何体的三视图和直观图



1.2.1中心投影与平行投影

1、下列几种关于投影的说法不正确的是（ ）

A．平行投影的投影线是互相平行的 B．中心投影的投影线是互相垂直的

C．线段上的点在中心投影下仍然在线段上 D．平行的直线在中心投影中不平行

【变式1】有下列说法：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交直线；③几何体在平行投影和中心投影下有不同的表现形式，其中正确命题有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

2、下列光线所形成的投影不是中心投影的是（ ）

A．太阳光线 B．台灯的光线 C．手电筒的光线 D．路灯的光线

【变式2】哪个实例不是中心投影（ ）

A．工程图纸 B．小孔成像 C．相片 D．人的视觉

3、有一边与平面平行的矩形在此平面内的射影是（ ）

A．平行四边形 B．矩形 C．矩形或一条线段 D．以上答案都不对

4、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ）

A．两条平行直线 B．一点和一条直线 C．两条相交直线 D．两个点

5、给下列几种关于投影的说法，正确的是（ ）

A．矩形的平行投影一定是矩形 B．平行直线的平行投影仍是平行直线

C．垂直于投影面的直线或线段的正投影是点 D．中心投影的投影线是互相平行的

6、如果一个三角形的平行投影仍然是一个三角形，则下列结论正确的是（ ）

A．原三角形的内心的平行投影还是投影三角形的内心

B．原三角形的重心的平行投影还是投影三角形的重心

C．原三角形的垂心的平行投影还是投影三角形的垂心