数值分析上机题目详解

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第一章

一、题目

设NNjS2j211，其精确值为)11123(21NN。

1) 编制按从大到小的顺序11131121222NSN，计算SN的通用程序。

2) 编制按从小到大的顺序1211)1(111222NNSN，计算SN的通用程序。

3) 按两种顺序分别计算64210,10,10SSS,并指出有效位数。（编制程序时用单精度）

4) 通过本次上机题，你明白了什么？

二、通用程序

N=input('Please Input an N (N>1):');

AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2);

Sn1=single(0);

for a=2:N;

Sn1=Sn1+1/(a^2-1);

end

Sn2=single(0);

for a=2:N;

Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1);

end

fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N);

fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue);

fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1);

fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2);

disp('____________________________________________________')

三、结果

从结果可以看出有效位数是6位。

感想：可以得出，算法对误差的传播有一定的影响，在计算时选一种好的算法可以使结果更为精确。从以上的结果可以看到从大到小的顺序导致大数吃小数的现象，容易产生较大的误差，求和运算从小数到大数所得到的结果才比较准确。

第二章

一、题目

（1）给定初值0x及容许误差，编制Newton法解方程f(x)=0的通用程序。

（2）给定方程03)(3xxxf,易知其有三个根3,0，3321xxx

a) 由Newton方法的局部收敛性可知存在,0当),(0x时，Newton迭代序列收敛于根x2*。试确定尽可能大的。

b)试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0x时Newton序列的收敛性以及收敛于哪一个根。

（3）通过本上机题，你明白了什么？

二、通用程序

1、定义函数和导函数

%% 定义函数f(x)

function Fx=fx(x)

Fx=x^3/3-x;

----------------------------------

%% 定义导函数df(x)

function Fx=dfx(x)

Fx=x^2-1;

2、寻找最大的

clear

flag=1;

k=1;

x0=0;

while flag==1

delta=k*10^-6;

x0=delta;

k=k+1;

m=0; flag1=1;

while flag1==1 && m<=10^3

x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);

if abs(x1-x0)<10^-6 flag1=0;

end

m=m+1;

x0=x1;

end

if flag1==1||abs(x0)>=10^-6 flag=0;

end

fprintf('The maximun delta is %f\n',delta);

3、Newton法求方程的根

clear

ef=10^-6; %% 给定容许误差10^-6

k=0;

x0=input('Please input initial value Xo:');

disp('k Xk');

fprintf('0 %f\n',x0);

flag=1;

while flag==1 && k<=10^3

x1=x0-fx(x0)/dfx(x0);

if abs(x1-x0)

flag=0;

end

k=k+1;

x0=x1;

fprintf('%d %f\n',k,x0);

end 三、结果

寻找最大的δ值：

在题目给出的不同区间内进行牛顿迭代：

综上所述：首先得到最大的δ值为0.774597。在各区间任意取初值进行迭代得到(-∞,-1)区间收敛于-1.73205，(-1,-δ)区间局部收敛于0，(-δ,δ)区间收敛于0,(δ,1)区间类似于(-1,δ)区间，收敛于0，(1,∞)收敛于1.73205。

感想：通过本上机题，了解到用Newton法求多根方程的根时，迭代序列收敛于某一个根有一定的区间限制。如果不清楚这个限制随意取值的话，会出现在一个区间上局部收敛于不同的根的情况。如下面的迭代：

第三章

一、题目

列主元Gauss消去法对于某电路的分析，归结为求解线性方程组RIV。其中3113000100001335901100000931100000000107930000900030577050000074730000000030410000005002720009000229R

15,27,23,0,20,12,7,7,10TTV

（1）编制解n阶线性方程组Axb的列主元高斯消去法的通用程序；

（2）用所编程序线性方程组RIV，并打印出解向量，保留5位有效数；

二、通用程序

%% 列主元Gauss消去法求解线性方程组%%

%%参数输入

n=input('Please input the order of matrix A: n='); %输入线性方程组阶数n

b=zeros(1,n);

A=input('Input matrix A (such as a 2 order matrix:[1 2;3,4]) :');

b(1,:)=input('Input the column vector b:'); %输入行向量b

b=b';

C=[A,b]; %得到增广矩阵

%%列主元消去得上三角矩阵

for i=1:n-1 [maximum,index]=max(abs(C(i:n,i)));

index=index+i-1;

T=C(index,:);

C(index,:)=C(i,:);

C(i,:)=T;

for k=i+1:n %%列主元消去

if C(k,i)~=0

C(k,:)=C(k,:)-C(k,i)/C(i,i)*C(i,:);

end

end end

%% 回代求解 %%

x=zeros(n,1);

x(n)=C(n,n+1)/C(n,n);

for i=n-1:-1:1

x(i)=(C(i,n+1)-C(i,i+1:n)*x(i+1:n,1))/C(i,i);

end

A=C(1:n,1:n); %消元后得到的上三角矩阵

disp('The upper teianguular matrix is:')

for k=1:n

fprintf('%f ',A(k,:));

fprintf('\n');

end

disp('Solution of the equations:');

fprintf('%.5g\n',x); %以5位有效数字输出结果

三、求解结果

执行程序，输入矩阵A（即题中的矩阵R）和列向量b(即题中的V)：

由上述结果得：

感想：本题用Gauss列主元的方法求出了线性方程组的解，并且精确到5位有效数字。可以看到结果是很精确而且正确的，对于解决立体电路问题的方程求解是一种非常方便快速且精确的方法。总的来说，Guass列主元消去法是一种大大减少了计算步骤和时间的方法。

数值分析第二次上机

题目：在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组等距节点对龙格函数22511)(xxf做多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及)(xf的图形

程序：

function y1=lagrange(x0,y0,x1)

n=length(x0);

syms x;

for k=1:n

l(k)=x/x;

for p=1:n

if p~=k

l(k)=l(k)*(x-x0(p))/(x0(k)-x0(p));

end

z=0;

for k=1:n

z=z+l(k)*y0(k);

end

y1=subs(z,x,x1);

程序：n=10时

n=10;

x0=-1:2/n:1;

y0=1./(1+25*x0.^2);

x=-1:.001:1;

y1=lagrange(x0,y0,x);

y=1./(1+25*x.^2);

plot(x,y,x,y1,'-.',x0,y0,'p');

legend('Runge Function','插值函数','插值节点');

title('n=10时的Lagrange插值的龙格现象');

xlabel('x');

ylabel('y');

结果：

程序：n=20时

n=20;

x0=-1:2/n:1;

y0=1./(1+25*x0.^2);

x=-1:.001:1;

y1=lagrange(x0,y0,x);

y=1./(1+25*x.^2);

plot(x,y,x,y1,'-.',x0,y0,'p');

legend('Runge Function','插值函数','插值节点');

title('n=20时的Lagrange插值的龙格现象');

xlabel('x');

ylabel('y');

结果：

数值分析上机题目详解

第一章

一、题目

设NNjS2j211，其精确值为)11123(21NN。

1) 编制按从大到小的顺序11131121222NSN，计算SN的通用程序。

2) 编制按从小到大的顺序1211)1(111222NNSN，计算SN的通用程序。

3) 按两种顺序分别计算64210,10,10SSS,并指出有效位数。（编制程序时用单精度）

4) 通过本次上机题，你明白了什么？

二、通用程序

N=input('Please Input an N (N>1):');

AccurateValue=single((0-1/(N+1)-1/N+3/2)/2);

Sn1=single(0);

for a=2:N;

Sn1=Sn1+1/(a^2-1);

end

Sn2=single(0);

for a=2:N;

Sn2=Sn2+1/((N-a+2)^2-1);

end

fprintf('The value of Sn (N=%d)\n',N);

fprintf('Accurate Calculation %f\n',AccurateValue);

fprintf('Caculate from large to small %f\n',Sn1);

fprintf('Caculate from small to large %f\n',Sn2);

disp('____________________________________________________')

三、结果

从结果可以看出有效位数是6位。

研究生数值分析上机试题及解答

1 东华大学研究生数值分析试题（上机部分）

A卷2008年12月时间：60分钟

班级学号机号姓名得分

注意：要求写出M函数（如果需要）、MATLAB命令和计算结果。

1. 求下列方程组在0<, <1中的解

sin2.0cos7.0cos2.0sin7.0

命令

fun=inline('[x(1)-0.7*sin(x(1))-0.2*cos(x(2)),x(2)-0.7*cos(x(1))+0.2*sin(x(2))]','x');

[x,f,h]=fsolve(fun,[0.5 0.5])

结果

=0.5265，=0.5079

2．已知函数y=f(x)的数据表如下

x 1.1

1.3 1.4 1.6

1.8

y 26 22 23 24 25

用数据表拟合函数y=a+bx2。

命令

>> fun=inline('c(1)+c(2)*x.^2','c','x');

>> x=[1.1 1.3 1.4 1.6 1.8];

>> y=[26 22 23 24 25];

>> c=lsqcurvefit(fun,[0 0],x,y)

结果

c =

23.7256 0.1287

3．求解下列微分方程组2(0)2013(0)1xxyxtyxyy

(结果只要求写出t=1时的解)

命令

>> fun=inline('[y(1)-2*y(2);3*y(1)+y(2)]','t','y');

>> [t,y]=ode45(fun,[0 1], [2 1])

结果

x(1)=-5.6020, y(1)=2.1563

4．用定步长Gauss积分法(课本123页)计算积分31eln(1)xxdx的近似值（等分数取4，每段取2个Gauss点）。

命令 2 fun=inline('exp(-x).*log(1+x)','x');

数值分析上机题

第 1 页数值分析上机题

写在前面：

五道上机题分别为：习题2、习题3、习题4、习题5和习题6。

所有程序均在matlab语言编写，并且在matlab2011a的环境下编译通过，每个编程题均写了一个函数保存为函数名相同的m文件。可在matlab命令窗口中输入函数名调用每个函数，查看程序运行结果。

习题2

20．（上机题）Newton迭代法

（1）给定初值0x及容许误差，编制Newton法解方程()0fx根的通用程序。

（2）给定方程3()/30fxxx，易知其有三个根13x，20x，33x。

1．由Newton方法的局部收敛性可知存在0，当0(,)x时，Newton迭代序列收敛于根2x。试确定尽可能大的。

2．试取若干初始值，观察当0(,1)x，(1,)，(,)，(,1)，(1,)时Newton序列是否收敛以及收敛于哪一个根。

（3）通过本上机题，你明白了什么？

*******************************************************************************

编程思路

Newton迭代法的基本原理如下：

)()(1kkkkxfxfxx

取初值0x，通过不断迭代求取满足误差的根。

M文件源代码：

function Nfun(x0,error);

k=1;

syms x

dy=subs(diff(x*x*x/3-x),x,x0);

x1=x0-(x0*x0*x0/3-x0)/dy;

while abs(x1-x0)>error

x0=x1;

dy=subs(diff(x*x*x/3-x),x,x0);

x1=x0-(x0*x0*x0/3-x0)/dy;

k=k+1; 数值分析上机题

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