概率论与数理统计-第二章习题附答案

概率论与数理统计-第二章习题附答案

习题2-2

1. 设A为任一随机事件, 且P(A)=p(0

定义随机变量

1,,0,AXA发生不发生.

写出随机变量X的分布律.

解

X 0

1

P 1-p

p

2. 已知随机变量X只能取-1,0,1,2四个值,

且取这四个值的相应概率依次为cccc167,85,43,21. 试确定常数c, 并计算条件概率}0|1{XXP.

解 由离散型随机变量的分布律的性质知，

13571,24816cccc

所以3716c.

所求概率为 P{X<1| X

0}=258167852121}0{}1{ccccXPXP.

3. 设随机变量X服从参数为2, p的二项分布, 随机变量Y服从参数为3, p的二项分布, 若{PX≥51}9, 求{PY≥1}.

解 注意p{x=k}=kknknCpq,由题设5{9PX≥21}1{0}1,PXq

故213qp. 从而

{PY≥32191}1{0}1().327PY

4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927,

求每次试验成功的概率.

解 设每次试验成功的概率为p, 由题意知至少成功一次的概率是2719，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3p, 故 p=31.

5. 若X服从参数为的泊松分布, 且{1}{3}PXPX, 求参数.

解 由泊松分布的分布律可知6.

6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X的分布律.

解 X的分布律是

X 3 4

5

P 110 310

35

习题2-3

1. 设X的分布律为

X -1 0

1

P 0.15 0.20

0.65

求分布函数F(x), 并计算概率P{X<0}, P{X<2},

P{-2≤X<1}.

解 (1) F(x)=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.xxxx≤≤≥

(2) P{X<0}=P{X=-1}=0.15;

(3) P{X<2}=

P{X=-1}+P{X=0}+P{X=1}=1;

(4) P{-2≤x<1}=P{X=-1}+P{X =0}=0.35.

2. 设随机变量X的分布函数为

F(x) = A+Barctanx -∞

试求: (1) 常数A与B; (2) X落在(-1, 1]内的概率.

解 (1) 由于F(-∞) = 0, F(+∞) = 1, 可知

()0112,.2()12ABABAB

(2) {11}(1)(1)PXFF≤

1111(arctan1)(arctan(1))22

11111().24242

3. 设随机变量X的分布函数为

F(x)=0, 0, 01,21,1,,xxxx　　　≤　　≥

求P{X≤-1}, P{0.3

解 P{X1}(1)0F≤,

P{0.3

}=0.2,

P{0

习题2-4

1. 选择题

(1) 设2, [0,],()0, [0,].xxcfxxc 如果c=( ), 则()fx是某一随机变量的概率密度函数.

(A) 13. (B) 12. (C) 1.

(D) 32.

本题应选(C ).

(2) 设~(0,1),XN又常数c满足{}{}PXcPXc≥, 则c等于( ).

(A) 1. (B) 0. (C)

12. (D) -1.

本题应选(B).

(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).

(A) cos,[0,],()0,xxfx其它. (B) 1,2,()20,xfx其它.

(C) 22()21e,0,()20,0.≥xxfxx (D) e,0,()0,0.≥xxfxx

本题应选(D).

(6) 设随机变量X服从正态分布211(,)N,Y服从正态分布222(,)N,且12{1}{1},PXPY 则下式中成立的是( ).

(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1

μ2.

答案是(A).

(7) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的正数)10(, 数u满足{}PXu,

若{}PXx, 则x等于( ).

(A)

2u .

(B)

21u .

(C) 1-2u.

(D) 1u.

答案是(C).

2. 设连续型随机变量X服从参数为的指数分布, 要使1{2}4PkXk成立, 应当怎样选择数k?

解X其分布函数为1e,0,()0,0.≤xxFx x由题意可知

221{2}(2)()(1e)(1e)ee4kkkkPkXkFkFk.

于是 ln2k.

3. 设随机变量X有概率密度

34,01,()0,xxfx其它,

要使{}{}≥PXaPXa(其中a>0)成立, 应当怎样选择数a?

解 由条件变形,得到1{}{}PXaPXa,可知{}0.5PXa, 于是304d0.5axx, 因此412a.

4. 设连续型随机变量X的分布函数为

20,0,()01,1,1,,≤≤xFxxxx

求: (1) X的概率密度; (2){0.30.7}PX.

解 (1) 由()()Fxfx得 2,01,()0,其它.xxfx

(2) 22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4PXFF.

5. 设随机变量X的概率密度为

f(x)＝ 2,01,0,xx　　≤≤　　其它,

求P{X≤12}与P{14X＜≤2}.

解 {PX≤12201112d2240}xxx;

1{4PX≤12141152}2d1164xxx.

6. 设连续型随机变量X具有概率密度函数

,01,(),12,0,xxfxAxx≤≤其它.

求: (1) 常数A；(2) X的分布函数F(x).

解 (1) 由概率密度的性质可得

1222011201111d()d[]122xxAxxxAxxA,

于是 2A；

(2) 由公式()()dxFxfxx可得（过程简略）

220,0,1()221,2.1,021,12xFxxxxxxx≤≤,≤,

7. 设随机变量X的概率密度为

1(1),02,()40,xxfx其它,

对X独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1

的概率.

解 2115{1}(1)d48PXxx.所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为

223333535175()()()888256CC.

8. 设~(0,5)XU, 求关于x的方程24420xXx有实根的概率.

解 若方程有实根, 则 21632X≥0, 于是2X≥2. 故方程有实根的概率为

P{2X≥2}=21{2}PX

1{22}PX

2011d5x215.

10. 设随机变量2~(2,)XN, 若{04}0.3PX, 求{0}PX.

解 因为~2,XN所以~(0,1)XZN. 由条件{04}0.3PX可知

02242220.3{04}{}()()XPXP,

于是22()10.3, 从而2()0.65.

所以 {{}2020}PPXX22()1()0.35.

习题2-5

2. 设~(1,2),23XNZX, 求Z所服从的分布及概率密度.

解 若随机变量2~(,)XN, 则X的线性函数YaXb也服从正态分布, 即2~(,()).YaXbNaba 这里1,2, 所以Z~(5,8)N.

概率密度为

()fz2(5)161e,4xx.

3. 已知随机变量X的分布律为

X -1 0 1 3 7

P 0.37 0.05 0.2 0.13 0.25

(1) 求Y＝2－X的分布律； (2) 求Y＝3＋X2分布律.

解 (1)

2－X -5 -1 1 2 3

P 0.25 0.13 0.2 0.05

0.37

(2)

3＋X2 3 4 12 52

P 0.05 0.57 0.13 0.25

4. 已知随机变量X的概率密度为

()Xfx＝1142ln20xx，　，　，　其它，

且Y＝2－X, 试求Y的概率密度.

解 )(yFY={PY≤}{2yPX≤}{yPX≥2}y

1{2}PXy=1-2()dyXfxx.

于是可得Y的概率密度为121,2(2)ln20, ,()其它.Yyyfy