山东省淄博市2018届高三数学上学期开学考试试题 理
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山东省淄博市2018届高三数学上学期开学考试试题 理
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（ ）
A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，1）
2．随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）=0.8，则P（0＜ξ＜2）=（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
3．由直线x6，x6，y0与直线ycosx所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．12 B．1 C．32 D．3
4．5221x21x的展开式的常数项是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
5．对于函数x2e2kf(x)lnxxx，若f′（1）=1，则k=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
6. 从1～9这9个正整数中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P（B|A）=（ ）
A． B． C． D．
7．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log2x，则在区间（8，9）内满足方程f（x）+2=f（）的实数x为 （ ）
A． B． C． D．
8．已知函数2f(x)xlnxax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A．,0 B．0, C．10,2 D．0,1
9．六个人从左到右排成一行，最右端只能排甲或乙，最左端不能排乙，则不同的排法种数共有（ ） A．192 B．216 C．240 D．288
10．设二项式n313xx展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S，若P+S=272，则n=（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 11. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)0，当x0时，有/()()0xfxfx恒成立，则不等式()0fxx的解集为（ ）
A.(2,0)(2,) B. (2,0)(0,2) C. (,2)(0,2) D.(,2)(2,)
12．如果定义在R上的函数f（x）满足：对于任意x1≠x2，都有xlf（xl）+x2f（x2）≥
xlf（x2）+x2f（xl），则称f（x）为“H函数”，给出下列函数：
①y=﹣x3+x+l； ②y=3x﹣2（sinx﹣cosx）；
③y=l﹣ex；
④f（x）=；
⑤y= 其中“H函数”的个数有（ ）
A．3个 B．2个 C．l个 D．0个
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分).
13. 若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,420，则抽取的21人中，编号在区间[241,360]内的人数为 .
14．已知X～B（n，0.5），且E（X）=16，则D（X）= ．
15.已知()fx为偶函数，当0x时，()ln()3fxxx，则曲线()yfx在点13，处的切线方程是______________.
16、设函数f（x）=x2﹣2ex﹣+a（其中e为自然对数的底数），若函数f（x）至少存在一个零点，则实数a的取值范围是
三、解答题（本大题包括6小题，共70分）.
17. （本小题满分10分）
已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l的参数方程是
x＝－35t＋2，y＝45t(t为参数)．
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设直线 l与x轴的交点是M，N是曲线C上一动点，求|MN|的最大值 18.（本题满分12分）已知数列na为等差数列，且13248,12.aaaa
（1）求na的通项公式；（2）设2nnnab，求数列nb的前n项和.
19. （本小题满分12分）
某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个学豆、10个学豆、20个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆都归零，游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的过关概率分别为43，32，21，选手选择是否继续闯关的概率均为21，且各关之间闯关成功与否互不影响.
（I）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率
(II)设该学生所得学豆总数为X,求X的分布列与数学期望 .
20、（本小题满分12分）
某地高中年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在100,50内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，并规定：CBA,,三级为合格，D级为不合格
为了了解该地高中年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照100,90,90,80,80,70,70,60,60,50分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.
(Ⅰ) 求n及频率分布直方图中yx,的值；
(Ⅱ) 根据统计思想方法，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该地高中学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；
(Ⅲ)上述容量为n的样本中，从CA,两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记为所抽取的3名学生中成绩为A等级的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
21．（本小题满分12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax+b．
（1）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；
（2）若φ（x）=(1)1mxx﹣f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围．
22．（本小题满分12分） 已知()lnafxxx（a∈R）．
（Ⅰ）判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围．
参考答案：
一、 选择 CCBDA CDCBA BB
二、填空 13、6 14、8 15、 2x+y+1=0 16、21aee
三、解答题
17、解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，
又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.
(2)将直线l的参数方程化为普通方程，
得y＝－43(x－2)，令y＝0得x＝2，
即M点的坐标为(2,0)．又曲线C为圆，且圆心坐标为(0,1)，半径r＝1，
则|MC|＝5.
所以|MN|≤|MC|＋r＝5＋1.即|MN|的最大值为5＋1.
18、解：（I）由已知条件可得112282412adad，
解之得12a，2d， 所以，2nan．
（Ⅱ）由2nan可得，122nnnnanb，设数列{}nb的前n项和为nT.
则21231222nnnT，
∴ 23112322222nnnT，
以上二式相减得211111122222nnnnT
122(1)2222nnnnn，
所以，1242nnnT.
19、【解析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件1A，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件2A，则1A，2A互斥， 13121()=1-=4238PA（），
2312111()=(1)=4232216PA，
12113()()()81616PAPAPA
（Ⅱ）X所有可能的取值为0,5,15,35
37(0)(1)+416PXPA()
313(5)=428PX
31211(15)=42328PX
312111(35)=4232216PX
所以，X的分布列为：
X
0
5 15 35
P 716 38 18 116
731195=0+5+15+35=16881616EX
20、解（Ⅰ）由题意知，样本容量.018.01056.012.01.004.01,004.010502,5010012.06yxn
（Ⅱ）样本中成绩是合格等级的人数为45501.01，成绩是合格等级的频率为9.05045，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为9.0，用M表示事件“从该地高中学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级，则.999.09.0113MP”
（Ⅲ）样本中C等级的学生人数为95018.0人，A等级的学生人数为3人，故随机变量的所有取值为0,1,2,3，,22013,220272201082,220271,22010312393121329312231931233CCPCCCPCCCPCCP
于是随机变量的分布列为
所以，.49220843220108222027122010E
21、【解答】解：（1）由已知得f′（x）=，∴f′（1）=1=a，a=2．
又∵g（1）=0=a+b，∴b=﹣1，∴g（x）=x﹣1．
（2）φ（x）=﹣f（x）=﹣lnx在[1，+∞）上是减函数，
∴φ′（x）=≤0在[1，+∞）上恒成立．
即x2﹣（2m﹣2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，则2m﹣2≤x+，x∈[1，+∞），
∵x+∈[2，+∞），∴2m﹣2≤2，m≤2．
22、解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）…
当a≥0时，x＞0，
∴f′（x）＞0，因此f（x）在定义域（0，+∞）上为单调递增函数．…
当a＜0时，则0＜x＜﹣a，f′（x）＜0；x＞﹣a，f′（x）＞0；
此时，f（x）在（0，﹣a）上为单调递减函数，在（﹣a，+∞）上为单调递增函数．…
（Ⅱ）（1）令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，即x+a≥0
