湖南省2021届高三数学下学期4月六校联考试题含解析

word - 1 - / 24 某某省2021届高三数学下学期4月六校联考试题〔含解析〕

一、选择题〔每一小题5分〕.

1．集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，如此A∩∁RB中的元素个数为〔 〕

A．4B．3C．2D．1

2．复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1〔3，a〕，Z2〔2，1〕，且z1•z2为纯虚数，如此实数a＝〔 〕

A．﹣6B．C．D．6

3．函数f〔x〕＝的图象大致是〔 〕

A．B．

C．D．

4．某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚〞帮扶活动，且每个人只去一个村，如此每个村至少有一名工作人员的概率为〔 〕

A．B．C．D．

5．||＝，＝〔m，3〕，且〔﹣〕⊥〔2+〕，如此向量在向量方向上的投影的最大值为〔 〕

A．4B．2C．D．1

6．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如下列图图形，在等腰直角三角形△ABC中，点word - 2 - / 24 O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，如此该图形可以完成的无字证明为〔 〕

A．≥〔a＞0，b＞0〕

B．〔a＞0，b＞0〕

C．≤〔a＞0，b＞0〕

D．a2+b2≥2〔a＞0，b＞0〕

7．F1，F2分别是双曲线＝1〔a＞0，b＞0〕的左、右焦点，点P是该双曲线上一点且在第一象限内，2sin∠PF1F2＝sin∠PF2F1，如此双曲线的离心率的取值X围为〔 〕

A．〔1，2〕B．〔3，+∞〕C．〔1，3〕D．〔2，3〕

8．定义函数D〔x〕＝，如此如下命题中正确的答案是〔 〕

A．D〔x〕不是周期函数

B．y＝D〔x〕的图象存在对称轴

C．D〔x〕是奇函数

D．D〔x〕是周期函数，且有最小正周期

二、选择题：此题共4小题，每一小题5分，共20分。在每一小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分。

9．如下“假如p，如此q〞形式的命题中，p是q的必要条件的是〔 〕

A．假如两直线的斜率相等，如此两直线平行 word - 3 - / 24 B．假如x＞5，如此x＞10

C．是直线a的方向向量，是平面α的法向量，假如a⊥α，如此⊥

D．可导函数f〔x〕，假如f′〔x0〕＝0，如此f〔x〕在x＝x0处取得极值

10．数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an+2﹣an＝2，n∈N*，如此〔 〕

A．〔a1+a2〕，〔a3+a4〕，〔a5+a6〕，…为等差数列

B．〔a2﹣a1〕，〔a4﹣a3〕，〔a6﹣a5〕，…为常数列

C．a2n﹣1＝4n﹣3

D．假如数列{bn}满足bn＝〔﹣1〕n•an，如此数列{bn}的前100项和为100

11．函数f〔x〕＝2cos〔ωx+φ〕〔ω＞0，|φ|＜〕的图象上，对称中心与对称轴x＝的最小距离为，如此如下结论正确的答案是〔 〕

A．函数f〔x〕的一个对称点为〔，0〕

B．当x∈[，]时，函数f〔x〕的最小值为﹣

C．假如sin4α﹣cos4α＝﹣〔α∈〔0，〕〕，如此f〔〕的值为

D．要得到函数f〔x〕的图象，只需要将g〔x〕＝2cos2x的图象向右平移个单位

12．球O的半径为2，球心O在大小为60°的二面角α﹣l﹣β内，二面角α﹣l﹣β的两个半平面分别截球面得两个圆O1，O2，假如两圆O1，O2的公共弦AB的长为2，E为AB的中点，四面体OAO1O2的体积为V，如此如下结论中正确的有〔 〕

A．O，E，O1，O2四点共面B．O1O2＝

C．O1O2＝D．V的最大值为

三、填空题：此题共4小题，每一小题5分，共20分。

13．某省2020年高考理科数学平均分X近似服从正态分布N〔89，100〕，如此P〔79＜X≤109〕＝． word - 4 - / 24 附：P〔μ﹣σ＜X≤μ+σ〕＝0.6827，P〔μ﹣2σ＜X≤μ+2σ〕＝0.9545〕

14．请写出满足条件“f〔x〕≤f〔1〕对任意的x∈[0，1]恒成立，且f〔x〕在[0，1上不是增函数〞的一个函数：．

15．〔a+〕〔x+1〕6〔a≠0〕的展开式中各项的系数和为192，如此其展开式中的常数项为．

16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进展数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数n〔n∈N*〕可以表示成二进制数〔a0a1a2…ak〕2，即n＝a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+ak﹣1×21+ak×20，其中a0＝1，ai∈{0，1}，i＝0，1，2，…，k，k∈N．用f〔n〕表示十进制数n的二进制表示中1的个数，如此f〔7〕＝；对任意r∈N*，2f〔n〕＝．

四、解答题：此题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＝n2+3n．

〔Ⅰ〕求数列{an}的通项公式；

〔Ⅱ〕数列{}的前n项和是Tn，假如存在n∈N*，使得Tn﹣λan+1≥0成立，某某数λ的取值X围．

18．函数f〔x〕＝sinxcosx﹣cos2x﹣〔x∈R〕．

〔Ⅰ〕当x∈[﹣，]时，分别求函数f〔x〕取得最大值和最小值时x的值；

〔Ⅱ〕设△ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且a＝2，b＝6，f〔〕＝﹣1，求c的值．

19．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进展3局热身训练，下午进展正式比赛． word - 5 - / 24 〔Ⅰ〕上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；

〔Ⅱ〕下午的正式比赛中：

①假如采用“3局2胜制〞，求甲所胜局数x的分布列与数学期望； ②分别求采用“3局2胜制〞与“5局3胜制〞时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？

20．某建筑工地上有一个旗杆CF〔与地面垂直〕，其正南、正西方向各有一标杆BE，DG〔均与地面垂直，B，D在地面上〕，长度分别为1m，4m，在地面上有一基点A〔点A在B点的正西方向，也在D点的正南方向上〕，且BA＝BC＝2m，且A，E，F，G四点共面．

〔Ⅰ〕求基点A观测旗杆顶端F的距离与仰角θ的正切值；

〔Ⅱ〕假如旗杆上有一点M，使得直线BM与地面ABCD所成的角为，试求平面ABM与平面AEFG所成锐二面角的正弦值．

21．A，B分别为椭圆E：＝1〔a＞〕的左、右顶点，Q为椭圆E的上顶点，＝1．

〔Ⅰ〕求椭圆E的方程；

〔Ⅱ〕动点P在椭圆E上，两定点M〔﹣1，〕，N〔1，﹣〕．

①求△PMN的面积的最大值；

②假如直线MP与NP分别与直线x＝3交于C，D两点，问：是否存在点P，使得△PMN与△PCD的面积相等？假如存在，求出点P的坐标；假如不存在，说明理由． word - 6 - / 24 22．f〔x〕＝ln〔1+x〕+2cosx﹣〔1+x〕，g〔x〕＝cosx﹣1+ax2．

〔Ⅰ〕假如g〔x〕≥0恒成立，某某数a的取值X围；

〔Ⅱ〕确定f〔x〕在〔﹣1，π〕内的零点个数．

参考答案

一、选择题〔共8小题〕.

1．集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣3x＞0}，如此A∩∁RB中的元素个数为〔 〕

A．4B．3C．2D．1

解：因为B＝{x|x2﹣3x＞0}＝{x|x＜0或x＞3}，

所以∁RB＝{x|0≤x≤3}，

又集合A＝{1，2，3，4，5}，

所以A∩∁RB＝{1，2，3}，

故A∩∁RB中的元素个数为3．

应当选：B．

2．复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1〔3，a〕，Z2〔2，1〕，且z1•z2为纯虚数，如此实数a＝〔 〕

A．﹣6B．C．D．6

解：因为复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1〔3，a〕，Z2〔2，1〕，

所以z1＝3+ai，z2＝2+i，

故z1•z2＝〔3+ai〕〔2+i〕＝6﹣a+〔3+2a〕i，

因为z1•z2为纯虚数， word - 7 - / 24 所以6﹣a＝0且3+2a≠0，

解得a＝6．

应当选：D．

3．函数f〔x〕＝的图象大致是〔 〕

A．B．

C．D．

解：∵f〔﹣x〕＝＝﹣＝﹣f〔x〕，

∴函数f〔x〕为奇函数，排除选项C和D，

当x∈〔0，1〕时，cosx＞0，ex﹣e﹣x＞0，∴f〔x〕＞0，排除选项B，

应当选：A．

4．某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚〞帮扶活动，且每个人只去一个村，如此每个村至少有一名工作人员的概率为〔 〕 A．B．C．D．

【解答】解；4人随机去3个村的可能情况有34＝81种， 每个人只去一个村，如此每个村至少有一名工作人员有＝36种， 故P＝＝．

应当选：A．

5．||＝，＝〔m，3〕，且〔﹣〕⊥〔2+〕，如此向量在向量方向上的投影word - 8 - / 24 的最大值为〔 〕

A．4B．2C．D．1 解：因为||＝，＝〔m，3〕，〔﹣〕⊥〔2+〕， 所以〔﹣〕•〔2+〕＝2•+﹣2﹣•＝•+m2+9﹣12＝0，

所以•＝3﹣m2， 所以向量在向量方向上的投影为：

||cos＜，＞＝＝＝﹣+，

令t＝，t≥3，

f〔t〕＝﹣t+，y＝﹣t与y＝在[3．+∞〕上均为减函数，

如此f〔t〕在[3．+∞〕上为减函数，

所以f〔t〕≤f〔3〕＝﹣3+＝1，

所以向量在向量方向上的投影的最大值为1．

应当选：D．

6．数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如下列图图形，在等腰直角三角形△ABC中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设AD＝a，BD＝b，如此该图形可以完成的无字证明为〔 〕