2022-2023学年湖南省长沙市高一下学期期中联考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖南省长沙市高一下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．复数的虚部是（ ）1iz

A．B．C．－1D．1i1i

【答案】D

【分析】利用复数虚部的定义即可求解.

【详解】由已知条件得，复数的虚部是，1iz1

故选：.D

2．若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ）ab21ababa

A

．B

．C

．D

．1

21

41

61

8

【答案】A

【分析】利用基本不等式等号成立的条件可求得取最大值时的值.aba

【详解】因为正实数、满足，则，可得，ab21ab

222abab1

8ab

当且仅当时，即当

时，等号成立.2

21ab

ab

12

2ab

故选：A.

3．如图，在平行四边形ABCD中，，，，则（ ）ABa

ADb

4CMMD

AM

A．B．1

5ab1

5ab

C．D．1

5ab1

5ab【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算计算即可.

【详解】因为，所以4CMMD1

5DMDC

则．111

555AMADDMADDCADABab

故选：B.4．已知

，，，则（ ）πcos

3a0.22b2log3c

A．B．bcabac

C．D．acbabc

【答案】A

【分析】先求出，再根据指数函数的单调性和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.a

【详解】

∵

，，，1

2a0.221,2b211log3,1

22c

∴．bca

故选：A.

5．下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（ ）

A．等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形

B．若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为a22a

C．原图形中相等的线段，其直观图也一定相等

D．若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6

【答案】B

【分析】根据斜二测画法相关知识可解.

【详解】等腰三角形的直观图仍是一个三角形，但不一定有两边相等，故A，C说法错误；原图形

中，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半，故D说法错误；直观图的面积是原面积

的倍，故B正确．2

4

故选：B

6．函数的零点所在的区间为（ ）21logsin

2fxxx

A．B．11,

42

1,12

C．D．1,22,3

【答案】C

【分析】利用零点存在定理求解.

【详解】解：因为，，，1111sin0

222f

11sin10

2f121sin20

2f所以，120ff

所以函数的零点所在的区间为，

21logsin

2fxxx1,2

故选：C．

7．若为锐角三角形，则（ ）ABC

A．B．sinsinABcoscosAB

C．D．sincossinsinABcoscoscossinAB

【答案】D

【分析】根据锐角三角形内角的取值范围，由正弦函数、余弦函数的性质进行辨析即可.

【详解】∵为锐角三角形，∴，，ABC

π0,

2A

π0,

2B

π0,

2C

∵在区间上单调递增，在区间上单调递减，sinyx

π0,2cosyx

π0,2

∴对于A，当时，，故选项A错误；ABsinsinAB

对于B，当时，，故选项B错误；ABcoscosAB

对于C，∵，，，∴

，∴

，π0,

2Aπ0,2Bπ0,

2Cπ

2ABππ0

22AB

∴，即，π0sinsin1

2ABπ0cossin1

2AB

∴，故选项C错误；sincossinsinAB

对于D，由选项C中判断，，∴，故选项D正确.π0cossin

2ABcoscoscossinAB

故选：D.

8．已知向量，，设函数，若为图象3sin,2mx





1,cos0

2nx

fxmn5π

6xfx

的对称轴，为图象的对称中心，且在区间 上单调，则ω的值为（ ）π,0

3

fxfxππ

126

，

A．5B．7C．9D．11

【答案】A

【分析】由两角的正弦公式可知，先利用对称轴与对称中心的距离和函数周期πsin

3fxx

的关系可知为正奇数，再利用函数的单调性与周期的关系求出，由函数的对称中心可012知，即可知或，最后带入验证即可求解.31kkZ511

【详解】，13πsincossin0

223fxmnxxx

∵的一条对称轴为

，一个对称中心为，fx5π

6xfxπ,0

3



∴

,,∴，，∴为正奇数，215π

46ππ

32nT

nN=2+1nNn

∵

函数在区间上具有单调性，

∴

，

∴

，fxππ

126

，ππ6122T≤π12π

122≤

∴，012

又∵为图象的对称中心，∴，π,0

3

fxπππ31

33kkkZ

∴，，，，25811

∴或，511∴当时，，11πsin11

3fxx

∵，∴，此时与在上单调矛盾；ππ,

126xπ5π11π11,

346xfxππ

126

，

综上可得：∴，5

故选：.A

二、多选题

9．下列说法正确的是（ ）

A．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B．棱台的侧面都是等腰梯形

C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形

D．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面

【答案】CD

【分析】根据圆锥、棱台、棱柱的定义及结构特征逐一判断即可.

【详解】圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体，当绕斜边旋转时，不是棱锥，故A错误；

棱台的侧面都是梯形，但棱台的侧棱不一定都相等，故B错误；

圆锥的轴截面是等腰三角形，其腰长为2r，又底面半径为r，故等腰三角形的底边为2r，

即该圆锥的轴截面为等边三角形，故C正确；

棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧棱都相等，棱柱包含直棱柱与斜棱柱，

故侧棱不一定都垂直于底面，故D正确.

故选：CD.

10．下列命题错误的是（ ）

A．复数不能比较大小

B．，zC20z³

C．若实数a，b互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二或第四象限zabi

D．若复数，，其中a，b，c都为实数，则可能为实数1izab2izac12zz

【答案】ABC

【分析】根据复数的定义及分类，复数的乘方及复数的几何意义逐一分析判断即可.

【详解】复数包含实数和虚数，实数可以比较大小，故A错误；

若，则，故B错误；izC22i10z

当时，，其在复平面的对应点为原点，0ab==0z

不在第二象限，也不在第四象限，故C错误；

，若，则为实数，

12izzbcbc12zz

若，则为纯虚数，故D正确．bc12zz

故选：ABC.

11．下列说法正确的是（ ）

A．方向为北偏西60°的向量与方向为东偏南30°的向量是共线向量

B．的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若，则△ABC一定是等腰直角三角ABCcoscosaAbB

形

C．若，则△ABC是锐角三角形0ACAB

D．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若△ABC有两解，则b的ABC

π

3B23a

取值范围是3,23【答案】AD

【分析】根据共线向量定义判断A选项，应用正弦定理边角互化判断B选项，结合向量的数量积

判断C选项，根据解的数量与边角的关系判断D选项.

【详解】对于A，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故A正确；

对于B，在中，若，由正弦定理可得，ABCcoscosaAbBsincossincosAABB

∴，sin2sin2AB

∴或，22AB22πAB

∴或

，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，B错误；ABπ

2AB

对于C，由，得，cos0ABACABACA

cos0A

又，所以角A为锐角，但不一定为锐角三角形，故C错误．0180AABC

对于D，若有两解，则，所以，故D正确．ABCsinaBba323b

故选：AD.

12．已知函数

，若对满足

的，，且的3sincos0fxxx

124fxfx

1x

2x12xx

最小值为，则下列结论正确的是（ ）π

2A．2

B．若函数为偶函数，则π0

2gxfxπ

6

C．方程在上有4个相异的实数根3fxπ,2π

12x

D．若函数在上的最小值为－2，则fxπ,12m2π,

3m

【答案】ABD

【分析】对于A，利用辅助角公式化简为，根据题意可得，从而求得π2sin

6fxxπ

22T

即可判断；对于B，得到，令即可判断；对于2π2sin22

6gxxππ2π,Z

62kk

C，由可得，从而可确定

根的个数即可判断；对于π,2π

12xππ25π2,

636xπ3sin2

62x