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矩阵可逆的若干判别方法.d o c(共15页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法姓名郭晓平院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级0701班学号09指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。
而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。
鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。
本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。
其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。
另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。
【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrixLinear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。
关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨摘 要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。
本文给出 判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。
关键词：逆矩阵 伴随矩阵 初等矩阵 分块矩阵矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。
下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。
定义1 n 级方阵A 称为可逆的，如果n 级方阵B ，使得 AB=BA=E （1） 这里E 是n 级单位矩阵。
定义2 如果B 适合（1），那么B 就称为A 的逆矩阵，记作1-A 。
定理1 如果A 有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的基本性质：性质1 当A 为可逆阵，则AA 11=-. 性质 2 若A 为可逆阵，则k kA A (,1-为任意一个非零的数)都是可逆阵，且A A =--11)( )0(1)(11≠=--k A kkA . 性质3 111)(---=A B AB ，其中A ，B 均为n 阶可逆阵. 性质4 A ()()'11'=--A . 由性质3有 定理2若)2(,21≥n A A A n 是同阶可逆阵，则n A A A 21,是可逆阵，且21(A A下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法： 方法一 定义法利用定义1，即找一个矩阵B ，使AB=E ，则A 可逆，并且B A =-1。
方法二 伴随矩阵法定义3 设)(ij a A =是n 级方阵，用ij A 表示A 的),(j i 元的代数余子式)1,(n j i =，矩阵 ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫nn n n n n A A A A A A A A A212221212111称为A 的伴随矩阵，记作A*。
定理3 矩阵A 可逆的充分必要条件是0≠A ，并且当A 可逆时,有*11A AA =-。
定理证明见[1].定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。
山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法郭晓平姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学0701班班级学号0751010139指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。
在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。
而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。
鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。
本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。
其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。
另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。
【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。
逆矩阵的行列式等于行列式的倒数_数学公式逆矩阵的行列式等于行列式的倒数因为AB=BA=E(单位阵),B是A的逆矩阵,所以|AB|=|BA|=1。
当A是方阵时,|AB|=|A||B|,|BA|=|B||A|,有|B|=1/|A|。
所以逆矩阵的行列式等于行列式的倒数。
逆矩阵的性质1、可逆矩阵A的逆矩阵A??的逆矩阵为A。
即(A??)??=A2、如果矩阵A可逆，那么(kA)??=A??/k3、如果矩阵A和B都是可逆矩阵，那么(AB)??=B??A??4、如果矩阵A可逆，那么(A?)??=(A??)?5、如果矩阵A可逆，那么(A?)??=(A??)?6、如果矩阵A是可逆矩阵，那么|A??|=|A|??可逆矩阵的定义及其证明方法可逆矩阵是线性代数中的一个矩阵，其定义为在线性代数中，给定一个n 阶方阵A，若存在一n阶方阵B，使得AB=BA=In(或AB=In、BA=In任满足一个)，其中In为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A^(-1)。
判断矩阵可逆的方法通常有:(1)定义法，即:若存在矩阵B,使得AB=E，则A可逆;(2)利用矩阵可逆的判别条件，即:若|A|≠0，则A可逆。
若矩阵A可逆，求A的逆矩阵通常有如下几种方法:(1)定义法，与A之积为单位矩阵的矩阵即A的逆矩阵;(2)伴随矩阵法,A-=ATA" (该方法运算量大，一般不适用于阶数较高的矩阵求逆矩阵);(3)初等变换法，即(A : E)→(E :A-1);可逆矩阵的性质定理1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一回的。
3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。
记作(A-1)-1=A。
4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且(AT)-1=(A-1)T (转置的逆等于逆的转置)5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。
即AB=O(或BA=O)，则B=O，AB=AC(或BA=CA)，则B=C。
6、两个答可逆矩阵的乘积依然可逆。
矩阵可逆的判别方法
矩阵的可逆性是矩阵理论中的重要概念，对于矩阵的可逆性判断方法，可以从多个角度进行分析。
以下是关于矩阵可逆的几种判别方法的详细介绍。
1. 行列式判别法：
行列式是矩阵理论中重要的概念之一，而矩阵可逆与行列式呈现一定的关系。
具体来讲，如果一个矩阵的行列式不等于零，即det(A) ≠0，那么该矩阵是可逆矩阵，反之亦然。
这是因为行列式的值为零意味着矩阵没有逆矩阵，而非零则保证了逆矩阵的存在。
2. 初等行变换法：
初等行变换是矩阵矩阵中的一种操作，包括以下三种：（1）互换两行；（2）某一行乘以一个非零常数；（3）某一行乘以一个非零常数再加到另一行上。
通过进行一系列的初等行变换，可以将矩阵化简为行阶梯形式或行最简形式。
如果通过初等行变换将矩阵化简为单位阵，即变换后得到了行最简形式，那么原始矩阵是可逆矩阵。
3. 奇异值分解（SVD）：
奇异值分解是一种将矩阵分解成三个矩阵的方法，即A = UΣV^T，其中U和V 都是正交矩阵，而Σ是对角矩阵。
根据SVD的性质，如果矩阵A是可逆矩阵，那么A的奇异值都不为零，反之亦然。
因此，我们可以通过计算矩阵的奇异值分解，判断矩阵的可逆性，即检查奇异值是否都不为零。
4. 逆矩阵计算法：
逆矩阵是矩阵理论中与可逆矩阵密切相关的概念。
具体来说，如果一个矩阵A
存在逆矩阵A^-1，那么A是可逆矩阵，反之亦然。
逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵和行列式的方法进行，即A^-1 = adj(A) / det(A)，其中adj(A)是矩阵A
的伴随矩阵。
因此，通过计算矩阵的逆矩阵，可以判断矩阵的可逆性。
5. 矩阵秩判定法：
矩阵的秩是一个与矩阵特征紧密相关的概念，其定义为矩阵中非零行的最大线性无关数。
根据代数学的基本原理，对于一个n阶矩阵A，如果其秩等于n，那么A是可逆矩阵；如果秩小于n，那么A不是可逆矩阵。
因此，我们可以通过计算矩阵的秩来判断矩阵的可逆性。
总结起来，矩阵可逆的判别方法有行列式判别法、初等行变换法、奇异值分解法、逆矩阵计算法和矩阵秩判定法等。
这些方法可以从不同的角度判断矩阵的可逆性，并且相互之间也有一定的关联。
在实际问题中，根据具体的矩阵形式和计算要求，可以选择适当的方法进行判别。
