代数系统证结合律

代数系统简介一、代数系统的基本概念代数系统，也称为代数结构或代数系统，是数学中一个重要的概念，它由集合和定义在这个集合上的运算组成。

代数系统是代数学的基本研究对象，也是泛代数、抽象代数、代数学等领域中重要的研究对象。

代数系统通常由两个部分组成：一个是非空元素集合，称为代数系统的论域或标量域；另一个是定义在论域上的运算，这些运算需满足一定的性质或公理。

根据所涉及的运算不同，代数系统可分为不同类型，如群、环、域、格等。

代数系统的概念来源于对数学中不同分支中抽象概念的概括和总结，其研究范围包括数学中不同领域的许多分支。

例如，集合论、抽象代数、泛代数、拓扑学等都是研究代数系统的重要领域。

二、代数系统的分类根据所涉及的运算和性质的不同，代数系统有多种分类方式。

以下是其中几种常见的分类方式：1.根据所涉及的运算的性质，可以将代数系统分为有交换律和结合律的代数系统（如群、环、域）和没有交换律和结合律的代数系统（如格、布尔代数）。

2.根据运算是否涉及单位元和逆元，可以将代数系统分为有单位元的代数系统和无单位元的代数系统。

前者如群、环、域等，后者如格等。

3.根据所涉及的元素是否具有可交换性，可以将代数系统分为可交换的代数系统和不可交换的代数系统。

前者如交换群等，后者如李群等。

4.根据所涉及的元素是否具有无限性，可以将代数系统分为有限代数系统和无限代数系统。

前者如有限群等，后者如无限群等。

此外，还可以根据其他性质和特征对代数系统进行分类。

通过不同的分类方式，我们可以更好地了解和研究不同类型代数系统的特性和性质。

三、代数系统的性质代数系统的性质是指代数系统中元素之间通过运算所表现出来的关系和性质。

以下是几个常见的代数系统的性质：1.封闭性：如果对于代数系统中的任意两个元素x和y，它们的运算结果仍属于该集合，则称该运算满足封闭性。

封闭性是代数系统中一个重要的性质，它保证了运算结果的元素仍属于该系统。

2.结合律：如果对于代数系统中的任意三个元素x、y和z，有(x·y)·z=x·(y·z)，则称该运算满足结合律。

第五章代数系统5-1代数系统的引入5.1.1设集合{1，2，3，…，10}，问下面定义的映射*关于集合是否封闭？a） x*y=max(x,y);b） x*y=min(x,y);c） x*y=GCD(x,y);d） x*y=LCM(x,y);e） x*y=素数p的个数，其中x≤p≤y。

解：a）封闭。

b）封闭。

c）封闭。

d）不封闭。

e）不封闭。

5.1.2在下表所列出的集合和映射中，请根据映射是否在相应集合上封闭，在相应位置上填写“是”或“否”，I表示整数集，N表示自然数集合。

5.1.3设B={0，a，b，1}，S1={ a，1}, S2={ 0，1}, S3={ a，b},二元运算⊕和*定义如下表：⊕0 a b 1 * 0 a b 10 0 a b 1 0 0 0 0 0a a a 1 1 a 0 a 0 ab b 1 b 1 b 0 0 b b1 1 1 1 1 1 0 a b 1试问（S1，*，，⊕）是代数系统吗？是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统吗？（S3，*，，⊕）是代数系统吗？解：⊕ a 1 * a 1a a 1 a a a1 1 1 1 a 1因此（S1，*，，⊕）是代数系统。

它不是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。

因为S1中缺少0。

（S2，*，，⊕，1，0）是（B，*，⊕，1，0）的子代数系统。

⊕ a b * a ba a 1 a a 0b 1 b b 0 b因为⊕和*在{a，b}上不封闭，所以（S3，*，，⊕）不是代数系统。

5-2运算及其性质5.2.1对于实数集合R，下表所列的二元运算是否具有左边一列中那些性质，请在相应位置上填写“是”或“否”。

∣-y∣max min x-+*结合律交换律有单位元有零元解：max min x∣-y∣-+*结合律是否是是是否交换律是否是是是是有单位元是否是否否否有零元否否是否否否5.2.2设代数系统（{a,b,c}，*）中，*是{a,b,c}上二元运算，下面运算表中分别讨论交换性，等幂性，问有否单位元？若有，问每个元素有否逆元？有否零元？a）b）c）d）* a b c * a b c*a b c* a b ca abc a a b c a a b c a a b cb bc a b b a c b a b c b b b cc c a b c c c c c a b c c c c b解：a）可交换，不等幂，a为单位元，a 的逆元是a，b和c互为逆元。

近世代数中结合律、交换律及同态的应用
在近世代数学中，结合律、交换律及同态非常重要，它们都是非常有用的数学工具，有助于帮助我们解决问题。

首先，结合律指的是任何一个数学运算的结果都不会改变，无论运算符号如何调整位置，结果都一样。

例如：2+3=3+2 ，结果都是5，只要我们能够充分利用结合律，就可以轻松地解决许多复杂的数学问题。

另一个重要的律是交换律。

它指的是对于任何的运算，如果被运算的两个数调换，结果仍然是一样的。

例如：2*3=3*2，这里的结果又是6，像这样的问题不但可以用结合律来解决，而且可以用交换律来解决，大大方便了我们解决问题。

同态也是我们熟悉的概念，它指的是建立在某一基础之上的变换，可以保持运算的可对其的特性，只要我们理清变换的特性，就可以轻松地完成许多复杂的数学运算。

结论：结合律、交换律及同态在近世代数学中十分重要，它们的考虑不仅有助于我们理清复杂的数学概念，而且大大提高了解决问题的效率，更加有利于我们掌握数学知识。

高等代数知识点总结一、群论群是高等代数中最基本的代数结构之一，它是一个集合和上面的一个二元运算构成的代数系统。

群满足以下四个性质：1. 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的乘积ab也属于G。

2. 结合律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。

3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意元素a∈G，有a·e = e·a = a。

4. 存在逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b∈G，使得a·b = b·a = e。

群的性质有很多重要的结论，比如：每个群都有唯一的单位元，每个元素都有唯一的逆元，乘法运算满足左消去律和右消去律等。

群还有很多重要的概念和定理，比如：子群、陪集、拉格朗日定理、卡曼定理等。

二、环论环是一个比群更一般化的代数结构，它包括一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。

环满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。

2. 乘法满足结合律。

3. 分配律成立，即对于环R中的任意三个元素a、b、c，有a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。

环还有一些重要的概念和定理，比如：整环、域、多项式环、欧几里德环、唯一因子分解整环等。

三、域论域是一个更加一般化的代数结构，它是一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。

域满足以下性质：1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。

2. 非零元素对乘法构成一个阿贝尔群。

3. 分配律成立。

域是代数学中一个非常重要的概念，它是线性代数和代数几何的基础。

高等代数还包括一些其他的内容，比如：线性代数、模论、范畴论等。

线性代数是代数学的另一个重要分支，它研究的是向量空间和线性变换等代数结构。

模论是研究环上模结构的代数学分支，它是线性代数的一种推广。

代数系统练习题答案1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P关于对称差运算⊕，其中P为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。

2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A={a,b}，那么在A上可以定义多少不同的二元运算？在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。

2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*=c ≠*b=b5. 设是一个代数系统。

*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b.证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则*=a*b.*= a**b结合律= a**b 交换律= *= a*b.7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。

试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8. 设是群，a∈G .现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .证明：也是群 .证明：显然⊙是G上的一个二元运算。

近世代数中结合律、交换律及同态的应用作者：吴双权来源：《读书文摘（下半月）》2017年第04期摘要：在近世代数的主要研究对象是所谓代数系统，即带有运算的集合。

近世代数在数学的其他分支和自然科学的许多领域里都有很重要的应用，而在近世代数中，结合律、交换律以及同态是一个重要的概念。

本文探讨了同态和代数运算中结合律的应用以及交换律成立的简便方法。

关键词：结合律；交换律；同态定义：一个[A×B到D]的映射叫做一个[A×B到D]的代数运算。

例题：[A={3}，B={2}，D={对，错}]0：（3.2）→对3[∘]2是一个[A×B到D]的代数运算。

定义：假如[∘]是[A×A到A]的代数运算，我们就说，集合[A]对于代数运算[∘]来说是闭的，也说，[∘]是[A]的代数运算或二元运算。

定义：设[∘]是集合[A]的一个代数运算，如果[∀a，b，c∈A]都有[a∘b∘c=a∘（b∘c）]，则称[∘]满足结合律。

定义：假如对于[A]的n（n≥2）个固定的元[a1，a2，…，an]来说，所有的[π（a1∘a2∘…∘an）]都相等，我们就把由这些步骤可以得到的唯一的结果，用[a1∘a2∘…∘an]来表示。

定理：假如一个集合[A]的代数运算[∘]满足结合律，那么对于[A]的任意n（n≥2）个元[a1，a2，…，an]来说，所有的[π（a1∘a2∘…∘an）]都相等；因此符号[a1∘a2∘…∘an]也就总有意义。

例题：结合律是否成立？思路：考虑[（x∘y）∘z]和[x∘（y∘z）]，共有54个，比较繁琐因为[a∘x=x，x∘a=x]所以[x，y，z]取[a]的话等式成立，只需考虑[x，y，z]取[b，c]情况即可。

定义：一个[A×A到D]的代数运算[∘]适合交换律，如果[∀a，b∈A]都有[a∘b=b∘a]。

定理：设[A]的代数运算[∘]同时满足结合律和交换律，那么[a1∘a2∘…∘an]中的元的次序可以任意掉换。