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北师大版九年级上册数学期中考试试题一、单选题1．一元二次方程2430x x --=配方后可化为（）A ．()227x -=B ．()223x -=C ．()227x +=D ．()223x +=2．若x ＝1是方程x 2﹣ax ﹣1＝0的一个根，则实数a ＝（）A ．0B ．﹣1C ．1D ．23．不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白球，已知红、白球共有60个，同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在14左右，则袋中红球个数可能为（）A ．30B ．25C ．20D ．154．如图，ABCD 中，点F 为AD 上一点，2AF DF =，连结BF ，交AC 于点E ，延长线交CD 的延长线于点G ，则EGBE的值为（）A ．43B ．32C ．3D ．25．如图，在正方形ABCD 中，F 为CD 上一点，AF 交对角线BD 于点E ，过点E 作EG AF ^，交BC 于点G ，连结AG ，交BC 于点H ．现给出下列结论：①AE EG =；②BG DF FG +=；③2AH HE HD =⋅；④若F 为CD 的中点，则2CG BG =．其中正确的有（）个．A ．1B ．2C ．3D ．46．已知2x ＝3y ，那么下列结论中不正确的是（）A ．32x y =B ．12x y y -=C ．1413x y +=+D ．52x y y +=7．关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a 的值可以是（）A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣38．已知关于x 的一元二次方程x 2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是（）A ．－2B ．0C ．1D ．29．下列命题正确的是（）A ．任意两个矩形一定相似B ．相似图形就是位似图形C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么12AC AB -=D ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似10．如果关于x 的一元二次方程ax 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．a>-1B ．a≥-1C ．a≥-1且a≠0D ．a>-1且a≠0二、填空题11．若23a b =，则a bb +=_________．12．小明制作了5张卡片，上面分别写了一个条件：①AB BC =；②AB BC ⊥；③AD BC =；④AC BD ⊥；⑤AC BD =．从中随机抽取一张卡片，能判定ABCD 是菱形的概率是________．13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，点E 是AD 上的一点，若AE ＝4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ，若G 是的中点，则CM 的长是_____．14．已知点A 、B 的坐标分别为A （﹣4，2）、B （﹣1，﹣1），以原点O 为位似中心，按相似比1：2把△ABO 缩小，则点A 的对应点A'的坐标为_____．15．如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是____．16．如图，△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD ：CD ＝2：3，点E 为AD 的中点，BE 的延长线交AC 于F ，则AFFC为_____．三、解答题17．解下列方程（1）2250x x +-=（2）2(2)(2)0x x x -+-=18．有A ，B 两个黑布袋，A 布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B 布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字-1，-2和2．小明从A 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x ，再从B 布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y ，这样就确定点Q 的一个坐标为（x ，y ）．（1）用列表或画树状图的方法写出点Q 的所有可能坐标；（2）求点Q 落在直线y=x-3上的概率．19．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE=DF （1）求证：▱ABCD 是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD 的面积．20．某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销售就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元，设该口罩售价为每盒x （60x >）元．（1）用含x 的代数式表示提价后平均每天的销售量为__________盒；（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？21．某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y （本）与每本纪念册的售价x （元）之间满足一次函数关系y ＝﹣2x ＋80（1）当销售单价为24元时，销售量为本，每周销售这种纪念册可获利元；（2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？（3）当t 为何值时，△CPQ 为等腰三角形？23．把一副普通扑克牌中的4张：黑2，红3，梅4，方5，洗匀后正面朝下放在桌面上．（1）从中随机抽取一张牌是红心的概率是；（2）从中随机抽取一张，再从剩下的牌中随机抽取另一张．请用表格或树状图表示抽取的两张牌牌面数字所有可能出现的结果，并求抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率．24．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，D 是BC 的中点，连接AD ，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F ．（1）求证：四边形ADCF 是菱形；（2）若4AC =，5AB =，求四边形ADCF 的面积．参考答案1．A 【解析】利用完全平方公式进行配方即可得．【详解】解：2430x x --=，244430x x -+--=，2(2)70x --=，2(2)7x -=，故选：A ．【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．2．A 【分析】把x ＝1代入方程x²+ax ﹣1＝0得到关于a 的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x ＝1代入方程x²+ax ﹣1＝0得1+a ﹣2＝0，解得a ＝0．故选：A ．【点睛】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解是使得等式左右两边成立的未知数的值是解题关键．3．D 【解析】【分析】根据利用频率估计概率问题可直接进行求解．【详解】解：由题意得：160154⨯=；故选D ．【点睛】本题主要考查频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．4．B 【解析】【分析】由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，证明AB ＝AF ＝2k ，DF ＝DG ＝k ，再利用平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：由AF ＝2DF ，可以假设DF ＝k ，则AF ＝2k ，AD ＝3k ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝3k ，∴32EC BC AE AF ==，∴32EG CE BE AE ==,故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．5．D 【解析】【分析】由题意易得∠AEG=∠ABC=90°，进而可得点A 、B 、G 、E 四点共圆，然后可得∠ABD=∠AGE=45°，则可得①，将△ADF 绕点A 逆时针旋转90°得到ADM △，然后可证AMG AFG ≌，则可判定②，由△HAE ∽△HAD 可判定③，当点F 为CD 的中点可设DF=FC=1，进而根据勾股定理可进行求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，EG AF ^，∴,90AB AD BAD ABC ADF AEG =Ð=Ð=Ð=Ð=°，45ABD ADB ∠=∠=︒，∴180ABG AEG Ð+Ð=°，∴点A 、B 、G 、E 四点共圆，∴∠ABD=∠AGE=45°，∴∠GAE=∠AGE=45°，∴AE EG =，故①正确；∵∠AHE=∠DHA ，∠HAE=∠HDA=45°，∴△HAE ∽△HAD ，∴AH HDHE AH=，∴2AH HE HD =⋅，故③正确；将△ADF 绕点A 逆时针旋转90°得到ADM △，如图所示：∴,,AM AF DAF BAM BM DF =∠=∠=，∵∠GAF=45°，∠MAF=90°，∴∠MAG=∠GAF=45°，∵AG=AG ，∴AMG AFG ≌，∴MG FG =，∵MG BM BG =+，∴FG DF BG =+，故②正确；当点F 为CD 的中点时，则设DF=FC=BM=1，则BC=2，∴BM =1，设BG=x ，则2,1CG x GM x =-=+，∴在Rt △FCG 中，由勾股定理得：FG ==，∵MG FG =，∴()()22121x x +=-+，解得：23x =，∴43CG =，∴2CG BG =，故④正确；综上所述：正确的有①②③④，共4个；故选D ．【点睛】本题主要考查圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的基本性质、正方形的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．6．C 【解析】【分析】根据内项之积等于外项之积对A 进行判断；根据分比性质对B 进行判断；根据合分比性质对C 进行判断；根据合比性质对D 进行判断．【详解】解：A ．因为2x ＝3y ，所以32x y =，所以A 选项不符合题意；B ．因为2x ＝3y ，则32x y =，所以32122x y y --==，所以B 选项不符合题意；C ．因为2x ＝3y ，则32x y =，所以1413x y +≠+，所以B 选项符合题意；D ．因为2x ＝3y ，所以32x y =，则32522x y y ++==，所以D 选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例性质是解题的关键．7．B 【解析】【详解】∵关于x 的一元二次方程ax 2+3x ﹣2=0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，解得a ＞﹣118且a≠0，故选B ．【点睛】本题考查了根的判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键．8．A【解析】【详解】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=-1，解得x=-2．故选：A．9．D【解析】【分析】A、两个相似图形不一定是位似图形．B、利用“对应边的比相等，对应角相等的多边形是相似多边形”进行判断即可．C、线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．D、根据有两角相等的三角形是相似三角形．【详解】解：A、任意两个矩形的对应边不能确定，故任意两个矩形不一定相似，故本选项错误，不符合题意；B、两个相似图形不一定是位似图形，故错误，不符合题意．C、如果C是线段AB的黄金分割点，需要（AC＞BC）且使AC是AB和BC的比例中项，ACABD、有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故本选项正确，不符合题意；故选D．【点睛】此题考查了命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．D【解析】【分析】根据题意可知Δ＞0，即22−4a×（-1）＞0，解得a>-1，又方程是一元二次方程，故二次项系数不为0，即a≠0，进而即可求解．【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即22−4a×（-1）＞0，解得a>-1，又∵a≠0，∴a>-1且a≠0，故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是注意Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根．11．53【解析】【分析】根据等式性质，在两边都加上1，则问题可解．【详解】解：根据等式的性质，两边都加上1，即可得2113a b +=+，通分得53a b b +=．故答案为：53．【点睛】本题考查了等式的性质和分式的加减法，解答关键是根据相关法则进行计算．12．25【解析】【分析】根据菱形的判定定理判断哪个条件合适，然后根据概率公式计算．【详解】根据菱形的判断，可得①；④能判定平行四边形ABCD 是菱形，∴能判定ABCD 是菱形的概率是25，故答案为：25．【点睛】本题考查了菱形的判定，概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．13．32##1.5【解析】【分析】由“ASA”可证△DEG ≌△CFG ，可得DE ＝CF ，EG ＝FG ，由勾股定理可求CF ＝DE ＝3，BH ＝5，通过证明△CFM ∽△BFH ，可得CM CF BH BF=，即可求解．【详解】解：∵矩形ABCD 中，∴90D DCF ∠=∠=︒，AD=BC ，AB=CD ，∵G 是CD 的中点，AB ＝8，∴CG ＝DG ＝12×8＝4，在△DEG 和△CFG 中，D DCF CG DG DGE CGF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DEG ≌△CFG （ASA ），∴DE ＝CF ，EG ＝FG ，设DE ＝x ，则BF ＝BC+CF ＝AD+CF ＝4+x+x ＝4+2x ，在Rt △DEG 中，EG=∴EF ＝∵FH 垂直平分BE ，∴BF ＝EF ，∴4+2x ＝解得x ＝3，∴AD ＝AE+DE ＝4+3＝7，∴BC＝AD＝7，BF＝4+2x＝10，如图，连接HE，∵FH垂直平分BE，∴BH＝EH，∵AH2+AE2＝HE2，∴（8﹣BH）2+16＝BH2，∴BH＝5，∵AB∥CD，∴△CFM∽△BFH，∴CM CF BH BF=，∴3 510 CM=，∴CM＝3 2，故答案为：3 2．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，熟记各性质是解题的关键．14．（﹣2，1）或（2，﹣1）##（2，-1）或（-2，1）【解析】【分析】利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以12或﹣12，得出即可．【详解】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣1），以原点O 为位似中心，相似比为12，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A'的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故答案为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题的关键．15．【解析】【分析】首先由四边形ABCD 是菱形，求得AC ⊥BD ，OA=12AC ，∠BAC=12∠BAD ，然后在直角三角形AOB 中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半与勾股定理即可求得OB 的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得该菱形的面积．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=12AC=12×4=2，∠BAC=12∠BAD=12×120°=60°，∴AC=4，∠AOB=90°，∴∠ABO=30°，∴AB=2OA=4，OB=∴BD=2OB=∴该菱形的面积是：12AC•BD=12×4×故答案为：【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质．解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用，注意菱形的面积等于其对角线积的一半．16．25【解析】【分析】如图，过点D 作DT ∥BF 交AC 于点T ．证明AF ＝FT ，CT ：FT ＝3：2，可得结论．【详解】解：如图，过点D 作DT//BF 交AC 于点T．∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，∵EF//DT ，∴1AE AF DE FT==,∴AF ＝FT ，∵DT//BF ，∴32CT CD FT DB ==，∴32CT FT =，∴2352AF FC FT FT FT ==+．故答案为：25．【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例．17．（1）121;1x x =;(2)122;1x x ==【解析】【分析】（1）用公式法求解即可；（2）用因式分解法求解即可.【详解】（1）2250x x +-=，∵a=1,b=2,c=-5,∴∆=4+20=24>0,∴x==122--±∴121;1x x ==;（2）∵2(2)(2)0x x x -+-=,∴(2)(2)0x x x --+=,∴x-2=0或2x-2=0，∴122;1x x ==.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.18．（1）见解析，Q （1，-1）；Q （1，2）；Q （1，-2）；Q （2，-1）；Q （2，2）；Q （2，-2）；（2）13．【解析】【分析】（1）列出树状图，求出点Q 的所有可能坐标即可；（2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出落在直线y=x−3上所用点，根据概率公式计算，即可得到答案．【详解】（1）树状图如下：∴Q 点的所有可能是：Q （1，-1）；Q （1，2）；Q （1，-2）；Q （2，-1）；Q （2，2）；Q （2，-2）．（2）∵只有Q （1，-2），Q （2，-1）在直线y=x-3上，∴点Q 落在直线y=x-3上的概率为：26=13．【点睛】本题考查的是列表法与树状图法求概率、一次函数图象上点的坐标特征，正确利用树状图得到点QQ 的所有可能坐标是解题的关键．19．（1）证明见解析；（2）S平行四边形ABCD=24【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=12AC=12×6=3，∵AB=5，AO=3，∴，∴BD=2BO=8，∴S平行四边形ABCD =12×AC×BD=24．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.20．（2）()2002x -；（2）70元【解析】【分析】（1）先确定提价多少元，乘以2即为减少的数量，与60元时的销售量作差即可；（2）先确定每盒的利润为售价减去进价，乘以销售量即可得到总利润．【详解】解：（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：()802602002x x --=-．故答案是：()2002x -．（2）根据题意得：()()5020021200x x --=，整理得：215056000x x -+=．解得：170x =，280x =．又 该款口罩的每盒售价不得高于72元，70x ∴=．所以要获得1200元利润，应按70元每盒销售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解利润，数量，总利润之间的关系是解题的关键．21．（1）32；128；（2）25元【解析】【分析】（1）将x ＝24代入题目中的函数解析式，求出相应的y 的值，即此时的销售量，再根据利润＝（售价﹣成本）×销售量，计算出相应的利润即可；（2）根据文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润，可以得到关于x 的一元二次方程，然后求解即可，注意要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元．【详解】解：（1）当x ＝24时，y ＝﹣2×24+80＝﹣48+80＝32，当x ＝24时，周销售这种纪念册可获利：（24﹣20）×32＝4×32＝128（元），故答案为：32，128；（2）由题意可得，（x ﹣20）（﹣2x+80）＝150，解得x 1＝25，x 2＝35（舍去），答：当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是25元．22．（1）4.8．（2）t 为3或95；（3）当t 为2.4秒或14455秒或2411秒时，△CPQ 为等腰三角形．【解析】（1）先根据勾股定理求出AB 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t 表示出DP ，CQ ，CP 的长，再分PQ ⊥CD 与PQ ⊥AC 两种情况进行讨论；（3）根据题意画出图形，分CQ=CP ，PQ=PC ，QC=QP 三种情况进行讨论．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC=12BC•AC=12AB•CD ．∴CD=68=10BC AC AB ⋅⨯=4.8．∴线段CD 的长为4.8．（2）由题可知有两种情形，设DP=t ，CQ=t ．则CP=4.8﹣t ．①当PQ ⊥CD 时，如图a∵△QCP ∽△△ABC ∴=CQCPAB BC ，即 4.8=106tt-，∴t=3；②当PQ ⊥AC ，如图b ．∵△PCQ ∽△ABC ∴CP AB =CQBC ，即4.810t-=6t，解得t=95，∴当t 为3或95时，△CPQ 与△△ABC 相似；（3）①若CQ=CP ，如图1，则t=4.8﹣t ．解得：t=2.4．②若PQ=PC ，如图2所示．∵PQ=PC ，PH ⊥QC ，∴QH=CH=12QC=2t．∵△CHP ∽△BCA ．∴=CH CPBC AB ．= 4.82610tt -=，解得t=14455．③若QC=QP ，过点Q 作QE ⊥CP ，垂足为E ，如图3所示．同理可得：t=2411．综上所述：当t 为2.4秒或14455秒或2411秒时，△CPQ为等腰三角形．【点睛】考点：相似形综合题．23．（1）14；（2）图表见解析，13【解析】（1）根据概率的意义，从4张扑克牌中，任选一张，是红心的概率为14；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况，再求相应的概率即可．【详解】解：（1）从黑2，红3，梅4，方5这4张扑克牌中任摸一张，是红心的可能性为14，故答案为：14；（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种等可能出现的结果，其中和大于7的有4种，所以抽取的两张牌牌面数字之和大于7的概率为412＝13．【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法要不重复不遗漏所有可能的结果，概率=所求情况与总情况数之比.24．（1）见解析；（2）10【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质结合已知条件得出AFE DBE ∆∆≌，得出AF DB =，从而确定四边形ADCF 是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD DC =即可；（2）根据菱形的性质以及三角形面积关系可得2ACD ABC ADCF S S S ==△△菱形，即可求解．【详解】（1）证明：E 是AD 的中点，AE DE ∴=，//AF BC ，21AFE DBE ∴∠=∠，在AEF 和DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS AEF DEB ∴△≌△，AF DB ∴=，D Q 是 BC 的中点DB DC ∴=，AF DC ∴=，又//AF BC Q ，∴四边形ADCF 是平行四边形，90BAC ∠=︒ ，D 是BC 的中点，12AD BC CD ∴==，∴四边形ADCF 是菱形．（2）解：D Q 是BC 的中点，12ACD ABD ABC S S S ∴==△△△， 四边形ADCF 是菱形，112451022ACD ABC ADCF S S S AC AB ∴===⨯=⨯⨯=△△菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等知识，灵活熟练的掌握相关的定理是解题的关键．。
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．若方程（n ﹣1）x 2+x ﹣1=0是关于x 的一元二次方程，则（）A ．n≠1B ．n≥0C ．n≥0且n≠1D ．n 为任意实数2．已知关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+3x+k 2-1=0有一根为0，则k=（）A ．1B ．-1C ．±1D ．03．如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边的中点，菱形ABCD 的周长为36，则OH 的长等于（）A ．4.5B ．5C ．6D ．94．若关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2＝﹣ba，x 1•x 2＝c a ．当a ＝1，b ＝6，c ＝5时，x 1x 2+x 1+x 2的值是（）A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣15．已知()222226x y y x +-=+，则22x y +的值是（）A ．－2B ．3C ．－2或3D ．－2且36．从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积48cm 2，则原来的正方形铁皮的面积是（）A ．9cm 2B ．68cm 2C ．8cm 2D ．64cm 27．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的标号之和为奇数的概率是（）A ．13B ．23C ．14D ．158．关于x 的方程2310kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．94k ≤B ．94k ≥-且0k ≠C ．94k ≥-D ．94k -＞且0k ≠9．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．100(1+x)=121B．100(1-x)=121C．100(1+x)2=121D．100(1-x)2=121 10．已知实数x、y满足等式：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，则x+y的值为（）A．2B．12 C．﹣2D．1211．有五条线段，长度分别是2，4，6，8，10，从中任取三条能构成三角形的概率是（）A．15B．310C．12D．3512．如图把一个圆形转盘按1:2:3:4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为（）A．25B．15C．35D．110二、填空题13．方程（x+5）（x﹣7）＝﹣26，化成一般形式是_____，其二次项的系数和一次项系数的和是_____．14．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为_____，面积为_____．15．2018年10月1日是第70个国庆节，从数串“20181001”中随机抽取一个数字，抽到数字1的概率是________．16．要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场）计划安排15场比赛，应邀请______个球队参加比赛.17．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，点P是BD上的一动点，则PE+PC的最小值是______．三、解答题18．解下列方程（1）2x2+5x＝3；（2）（x﹣7）（x+3）＝2x﹣14．19．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与两坐标轴围成一个△AOB．现将背面完全相同，正面分别标有数1、2、3、5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，再在剩下的4张卡片中任取一张，将该卡片上的数作为点P的纵坐标．（1）请用树状图或列表求出点P的坐标．（2）求点P落在△AOB内部的概率．20．如图，已知E、F分别是□ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF⑴求证：四边形AECF是平行四边形；⑵若BC=10，∠BAC=90°，且四边形AECF是菱形，求BE的长．21．一个袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个．从袋中任意摸出1球．（1）“摸出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“摸出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？22．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．23．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是边BC的中点，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E（1）求证：PD＝PE；（2）DE与BC平行吗？请说明理由；（3）请添加一个条件，使四边形ADPE为正方形，并加以证明．24．（1）如图1，在四边形ABCD中，点M在BC上，∠B＝∠C＝∠AMD时．求证：△ABM∽△MCD．（2）如图2，在△ABC中，点M是边BC的中点，点D，E分别在边AB，AC上．若∠B＝∠C＝∠DME＝45°，BC＝CE＝6，求DE的长．25．阅读材料，解决问题．小聪在探索三角形中位线性质定理证明的过程中，得到了如下启示：一条线段经过另一线段的中点，则延长前者，并且长度相等，就能构造全等三角形．如图，D是△ABC的AC边的中点，E为AB上任一点，延长ED至F，使DF＝DE，连接CF，则可得△CFD≌△AED，从而把△ABC剪拼成面积相等的四边形BCFE．你能从小聪的反思中得到启示吗？（1）如图1，已知△ABC，试着剪一刀，使得到的两块图形能拼成平行四边形．①把剪切线和拼成的平行四边形画在图1上，并指出剪切线应符合的条件．②思考并回答：要使上述剪拼得到的平行四边形成为矩形，△ABC的边或角应符合什么条件？菱形呢？正方形呢？（直接写出用符号表示的条件）（2）如图2，已知锐角△ABC，试着剪两刀，使得到的三块图形能拼成矩形，把剪切线和拼成的矩形画在图2上，并指出剪切线应符合的条件．参考答案1．C【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），把方程化为一般形式，根据二次项系数不等于0，即可求得n的取值范围．【详解】解：∵方程（n-1）x2+x-1=0是关于x的一元二次方程，∴n≥0且n-1≠0，即n≥0且n≠1．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．2．B 【详解】把x=0代入一元二次方程（k-1）x 2+3x+k 2-1=0，得k 2-1=0，解得k=-1或1；又k-1≠0，即k≠1；所以k=-1．故选B ．3．A 【详解】试题分析：∵四边形ABCD 为菱形，且周长为36，∴AB=BC=CD=AD=9，又∵O 为BD 中点，H 为AD 的中点，∴OH 为△ABD 的中位线，∴OH=12AB=4．5，故选A ．考点：1．菱形的性质；2．直角三角形斜边上的中线；3．三角形中位线定理．4．D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系：12=bx x a +-，12=⋅x x c a，代入系数即可.【详解】解：根据题意得x 1+x 2＝﹣6，x 1•x 2＝5，所以x 1•x 2+x 1+x 2＝5﹣6＝﹣1．故选：D ．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，牢记公式是解题的关键.5．B 【详解】试题分析：根据题意，先移项得()2222260x y y x +---=，即()2222260x y x y （）+-+-=，然后根据“十字相乘法”可得2222(2)(3)0x y x y +++-=，由此解得22x y +=-2（舍去）或223x y +=.故选B.点睛：此题主要考查了高次方程的解法，解题的关键是把其中的一部分看做一个整体，构造出简单的一元二次方程求解即可.6．D 【分析】可设正方形的边长是xcm ，根据“余下的面积是48cm 2”，余下的图形是一个矩形，矩形的长是正方形的边长，宽是x ﹣2，根据矩形的面积公式即可列出方程求解．【详解】设正方形的边长是xcm ，根据题意得：x （x ﹣2）=48解得：x 1=﹣6（舍去），x 2=8，那么原正方形铁片的面积是8×8=64（cm 2）．故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程应用以及矩形和正方形面积公式，表示出矩形各边长是解题的关键．7．B 【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的标号的和为奇数的结果数为8，所以两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率为82=123，故选B ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．8．C【分析】关于x的方程可以是一元一次方程，也可以是一元二次方程；当方程为一元一次方程时，k=0；是一元二次方程时，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有实数根下必须满足△=b2-4ac≥0．【详解】当k=0时，方程为3x-1=0，有实数根，当k≠0时，△=b2-4ac=32-4×k×（-1）=9+4k≥0，解得k≥-9 4．综上可知，当k≥-94时，方程有实数根；故选C．【点睛】本题考查了方程有实数根的含义，一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．注意到分两种情况讨论是解题的关键．9．C【详解】试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×(1)增长次数增长率=增长后的数量.由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，故答案为：C考点：一元二次方程的应用10．D【解析】【分析】利用完全平方公式把方程的左边化为平方和的形式，根据偶次方的非负性计算即可．【详解】解：3x2+4xy+4y2﹣4x+2＝0，x2+4xy+4y2+2x2﹣4x+2＝0，（x+2y）2+2（x﹣1）2＝0，则x+2y＝0，x﹣1＝0，解得，x＝1，y＝﹣1 2，则x+y＝1 2，故选D．【点睛】本题考查的是配方法，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．11．B【分析】列举出5条线段任取3条的所有可能情况，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．【详解】有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取三条的情况有：2，4，6；2，4，8；2，4，10；2，6，8；2，6，10；2，8，10；4，6，8；4，6，10；6，8，10；4，8，10共10种，其中能构成三角形的情况有4，6，8；6，8，10；4，8，10共3种，则P(能构成三角形)=3 10 .故答案选：B.【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及三角形的三边关系，解题的关键是熟练的掌握列表法与树状图法以及三角形的三边关系.12．B【分析】首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B 区域的概率．【详解】解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，∴落在B区域的概率=210=15；故选B．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．13．x2﹣2x﹣9=0；﹣1．【解析】试题分析：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．①由方程（x+5）（x﹣7）=﹣26，得x2﹣2x﹣35=﹣26，即x2﹣2x﹣9=0；②x2﹣2x﹣9=0的二次项系数是1，一次项系数是﹣2，所以其二次项的系数和一次项系数的和是1+（﹣2）=﹣1；故答案为x2﹣2x﹣9=0；﹣1．考点：一元二次方程的一般形式．14．10cm，2【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【详解】根据已知可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt △AOB 中，根据勾股定理得：=，∴cm ），则S 菱形ABCD =12×AC×BD=12cm 2）；故答案为10cm ，2．【点睛】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=12×两条对角线的乘积．15．38【分析】根据概率公式即可求解.【详解】依题意得抽到数字1的概率P=38，故填：38.【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率的公式.16．6.【详解】试题分析：设应邀请x 个队参加比赛，由题意则有：x(x-1)=15,解得x=6或x=-5(不合题意，舍去），故应邀请6个队参加比赛.考点：一元二次方程的应用.17．13【分析】要求PE+PC 的最小值，PE ，PC 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE ，PC 的值，从而找出其最小值求解．【详解】解：如图连接AE交BD于P点，则AE就是PE+PC的最小值，∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE=5，EC=7，∴AB=12，125 =13，∴22∴PE+PC的最小值是13．故答案为13．【点睛】此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，找出最短路径作法是解题关键．18．（1）x1＝﹣3，x2＝0.5；（2）x1＝7，x2＝﹣1【分析】（1）将3移到等式左边，利用十字相乘进行因式分解，可解方程；（2）将2x﹣14提公因式变成2（x﹣7），然后移到等式左边，再用提公因式法进行因式分解，可解方程.【详解】解：（1）∵2x2+5x﹣3＝0，∴（x+3）（2x﹣1）＝0，则x+3＝0或2x﹣1＝0，解得x1＝﹣3，x2＝0.5；（2）∵（x﹣7）（x+3）﹣2（x﹣7）＝0，∴（x﹣7）（x+1）＝0，则x﹣7＝0或x+1＝0，解得x1＝7，x2＝﹣1．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.19．（1）20种；（2）1 10【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果;（2）由（1）中求出的P点坐标，判断落在△AOB内部的情况，然后利用概率公式求解即可.【详解】解：（1）用A表示则点P的坐标共有20种情况：（1,2）、（1,3）、（1，、（1，、（2,1）、（2,3）、（2，、（2，、（3,1）、（3,2）、（3，、（3，、（）、（）、（3）、（、（）、（）、（3）、（（2）∵点P落在△AOB内部的有：（1，2），（2，1）共两种情况，∴点P落在△AOB内部的概率为：21 = 2010．【点睛】本题考查概率的求法，用树状图或列表法求出所有等可能的情况，再找出符合条件的情况是关键.20．⑴证明见解析⑵5【分析】（1）首先由已知证明AF∥EC，BE=DF，推出四边形AECF是平行四边形．（2）由已知先证明AE=BE，即BE=AE=CE，从而求出BE的长【详解】⑴证明：如图∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC，∵BE=DF，∴AF=EC∴四边形AECF是平行四边形⑵解：∵四边形AECF是菱形，∴AE=EC∴∠1=∠2分∵∠3=90°－∠2，∠4=90°－∠1，∴∠3=∠4，∴AE=BE∴BE=AE=CE=12BC=521．（1）不可能事件，0；（2）随机事件，2 5【分析】（1）袋中没有白球，不可能摸出白球，故“摸出的球是白球”是不可能事件，概率为0；（2）可能摸出黄球，所以是随机事件，黄球的个数为10-6=4，总共10个球，两者之比即为概率.【详解】解：（1）∵一个袋中装有除颜色外都相同的红球和黄球共10个，其中红球6个，∴“摸出的球是白球”是不可能事件，“摸出的球是白球”的概率是：0；（2））“摸出的球是黄球”是随机事件“，摸出的球是黄球”的概率是：1062= 105．【点睛】本题考查了概率公式的应用，概率等于所求的情况数与总情况数之比，熟练掌握公式是关键. 22．（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，根据题意得：x(32﹣2x)=126，解得：x1=7，x2=9，∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，根据题意得：y(36﹣2y)=170，整理得：y2﹣18y+85=0．∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．23．（1）见解析；（2）DE∥BC，理由见解析；（3）当∠A＝90°时，使四边形ADPE为正方形【分析】（1）由已知条件，利用角角边可证△PDB≌△PEC，所以PD＝PE;（2）由（1）中△PDB≌△PEC可得BD=CE，结合条件AB=AC，利用平行线分线段成比例的逆定理可得出DE∥BC.（3）∠A=90°时，易得四边形ADPE为矩形，由邻边AD=AE可得四边形ADPE为正方形.【详解】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PD⊥AB，PE⊥AC，∴∠PDB＝∠PEC＝90°，∵P是BC的中点，∴BP＝PC，即∠BDP＝∠PEC＝90°，∠B＝∠C，PB＝PC，∴△PDB≌△PEC（AAS），∴PD＝PE．（2）答：DE∥BC，理由是：∵△PDB≌△PEC，∴BD＝CE，∵AB＝AC，∴ABBD＝ACCE，∴DE∥BC．（3）答：当∠A＝90°时，使四边形ADPE为正方形，证明：∵∠A＝∠ADP＝∠AEP＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AB＝AC，BD＝CE，∴AD＝AE，∴矩形ADPE是正方形，即当∠A＝90°时，使四边形ADPE为正方形．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例逆定理，正方形的判定，熟练掌握这类性质定理是本题的关键.24．（1）见解析；（2）10 3【分析】（1）由∠AMB+∠AMD+∠DMC=180°及△ABM内角和为180°、∠B＝∠AMD，可得∠BAM=∠DMC，从而可判定△ABM∽△MCD；（2）可判定△BDM∽△CME，从而有对应边成比例，则易求得BD的长，然后在Rt△ADE 中，利用勾股定理或求得DE的长．【详解】（1）∵∠AMB+∠AMD+∠DMC=180°，∠B+∠AMB+∠BAM=180°，∠B＝∠AMD∴∠BAM =∠DMC∵∠B ＝∠C∴△ABM ∽△MCD（2）∵M 是BC 的中点∴BM =CM =1122BC =⨯=∵∠DMB +∠DME +∠EMC =180°，∠B +∠DMB +∠BDM =180°，∠B ＝∠DME∴∠BDM =∠EMC∵∠B ＝∠C∴△BDM ∽△CME ∴BM BD CE CM=∴1663BM CM BD CE === ∵∠B ＝∠C ＝45°∴∠A =180°－∠B －∠C =90°∴由勾股定理得：AB =AC =82BC =∴AD =AB -BD =168833-=，AE =AC -CE =8-6=2在Rt △ADE 中，由勾股定理得：103DE ===【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和定理，关键是得出两个三角形相似．25．（1）①见解析；②拼成矩形：∠B ＝90°；拼成菱形：AB ＝2BC ；拼成正方形：∠B ＝90°且AB ＝2BC ；（2）见解析【分析】（1）①分别取AB ，AC 的中点E ，F ，延长EF 至点D ，使EF=FD ，连接CD ，因为两组边分别对应相等所以四边形BCDE 是平行四边形，所以沿着EF 剪出的两个图形能拼成平行四边形；②当∠B=90°时，可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可得到结论；当AB=2BC 时，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得到结论；当∠B=90°且AB=2BC时，根据有一个角是直角的菱形是正方形即可得到结论．（2）取△ABC的中位线EF，按第一问的方法先将其拼成一个平行四边形，再过点E作BC 边的垂线EG，顺着EG剪下然后拼到点C处即可得到一个矩形．【详解】解：（1）①如图：剪切线EF，E.F分别AB、AC的中点.②如图，△ABC的边或角应符合的条件：拼成矩形：∠B=90°拼成菱形：AB=2BC拼成正方形：∠B=90°且AB=2BC.(2)如图，剪切线应符合的条件：剪切线EF是中位线、EG⊥BC(AH⊥EF).【点睛】本题主要考查三角形中位线的定理，特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键.。
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．已知关于x 的方程(a ﹣3)x |a ﹣1|+x ﹣1＝0是一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．﹣1或3 D ．32．若关于x 的方程2420kx x --=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．2k ≥ B ．2k ≥- C ．2k >-且0k ≠ D ．2k ≥-且0k ≠ 3．等腰三角形一边长为2，它的另外两条边的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+k ＝0的两个实数根，则k 的值是（ ）A ．8B ．9C ．8或9D ．124．已知mx ＝ny ，则下列各式中不正确的是（ ）A ．m x n y =B ．m n y x =C ．y m x n =D ．x y n m = 5．某服装原价为300元，连续两次涨价a %后，售价为363元，则a 的值为（ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．206．a 是方程x 2+x ﹣1＝0的一个根，则代数式a 3+2a 2+2018的值是（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 7．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝100°，AB 的垂直平分线交AC 于点F ，点E 为垂足，连接DF ，则∠CDF ＝（ ）A ．50°B ．40°C ．30°D ．15°8．如图，////AD BE CF ，直线12l l 、与这三条平行线分别交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知AB =1，BC =3，DE =1.2，则DF 的长为（ ）A ．3.6B ．4.8C ．5D ．5.29．小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为（ ）A ．1325B ．1225C ．425D ．1210．如图，正方形ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BD ，CE 交于点H ，BE 、AH 交于点G ，则下列结论：①∠ABE ＝∠DCE ；②∠AHB ＝∠EHD ；③S △BHE ＝S △CHD ；④AG ⊥BE ．其中正确的是（ ）A ．①③B ．①②③④C ．①②③D ．①③④二、填空题 11．如果x ＝3是方程2x 2﹣kx+6＝0的根，那么k ＝__________．12．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC =24，BD =10，则菱形ABCD 的高DE =____.13．如图，将边长为6的正方形ABCD 沿其对角线AC 剪开，再把ABC ∆沿着AD 方向平移，得到A B C '''∆，当两个三角形重叠部分的面积为5时，则AA '为______.14．一元二次方程x 2﹣3x ﹣4＝0的两根的平方和等于__________．15．在一个不透明的袋中装有黑色和红色两种颜色的球共15个，每个球触颜色外都相同，每次摇匀后随即摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球实验后，发现摸到黑球的频率稳定于0.6，则可估计这个袋中红球的个数约为__________．16．若234a b c ==，则23a b c a++＝__________． 17．现要在一个长为40m,宽为26m 的矩形花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为864m 2,那么小道的宽度应是____m.18．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都为整数的点称为整点．已知一组正方形的四个顶点恰好落在两坐标轴上，请你观察每个正方形四条边上的整点的个数的变化规律．回答下列问题：(1)经过x 轴上点(5，0)的正方形的四条边上的整点个数是________；(2)经过x 轴上点(n ，0)(n 为正整数)的正方形的四条边上的整点个数为_____________．三、解答题19．解方程（1）x 2+1＝3x（2）（x ﹣2）（x ﹣3）＝12（3）（2x ﹣3）2+x （2x ﹣3）＝0（因式分解法）（4）2x 2﹣4x ﹣1＝0（用配方法）．20．一只不透明的口袋里装有1个红球、1个黄球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同． （1）从口袋中摸出一个球是白球的概率是 ．（2）搅匀从口袋中任意摸出2个球，用画树状图或列表格的方法，求摸出的2个球恰好是1个白球、1个红球的概率．21．如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AD=1，求DB 的长．22．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，求a的值．23．如图，在△ABC中，DE∥AC，DF∥AE，BD：DA＝3：2，BF＝6，DF＝8，（1）求EF的长；（2）求EA的长．24．已知一元二次方程x2﹣2x+m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2＝3，求m的值．25．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E 为AD 的中点，连接BE ．（1）求证：四边形BCDE 为菱形；（2）连接AC ，若AC 平分∠BAD ，AB ＝2，求菱形BCDE 的面积．26．阅读下面的材料：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式225a a -+的最小值.方法如下：∵()2222521414a a a a a -+=-++=-+，由()210a -≥，得()2144a -+≥；∴代数式225a a -+的最小值是4.（1）仿照上述方法求代数式2107x x ++的最小值.（2）代数式2816a a --+有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值.27．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是 斤（用含x 的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？参考答案1．A【解析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可．【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2，解得：a=-1，故选A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．2．D【分析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k 的取值范围．【详解】∵方程有实数根，∴△=b2-4ac=（-4）2+4×k×2=16+8k≥0，解得：k≥-2，又因为k是二次项系数，所以k≠0，所以k的取值范围是k≥-2且k≠0．故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的应用，容易出现的错误是忽视根的判别式应用的前提条件：二次项系数k≠0．3．B【分析】根据一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】解：①当等腰三角形的底边为2时，此时关于x的一元二次方程x2−6x＋k＝0的有两个相等实数根，∴△＝36−4k＝0，∴k ＝9，此时两腰长为3，∵2＋3＞3，∴k ＝9满足题意，②当等腰三角形的腰长为2时，此时x ＝2是方程x 2−6x ＋k ＝0的其中一根，代入得4−12＋k ＝0，∴k ＝8，∴x 2−6x ＋8＝0求出另外一根为：x ＝4，∵2＋2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，k ＝9，故选B ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及等腰三角形的性质．4．A【分析】根据分式的性质即可依次判断.【详解】∵mx=ny ， ∴m y n x=，A 错误， m n y x =， y m x n =，x y n m=，B,C,D 均正确， 故选A.【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的变形特点.5．B【分析】根据该服装的原价及经过两次涨价后的价格，用字母表示：300（1+a%）2 ，即可得出关于a的一元二次方程：300（1+a%）2＝363，解之取其正值即可得出结论．【详解】依题意，得：300（1+a%）2＝363，解得：a1＝10，a2＝﹣210（舍去）．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．B【分析】根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．【详解】解：由题意可知：a2＋a−1＝0，∴a2＋a＝1，∴原式＝a3＋a2＋a2＋2018＝a（a2＋a）＋a2＋2018＝a＋a2＋2018，＝1＋2018＝2019，故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用方程的解的定义．7．C【分析】连接BF，利用SAS判定△BCF≌△DCF，从而得到∠CBF＝∠CDF，根据已知可求得∠CBF 的度数，故可得到∠CDF．【详解】如图，连接BF，在△BCF和△DCF中，∵CD＝CB，∠DCF＝∠BCF，CF＝CF∴△BCF≌△DCF（SAS）∴∠CBF ＝∠CDF∵FE 垂直平分AB ，∠BAF ＝12×100°＝50° ∴∠ABF ＝∠BAF ＝50°∵∠ABC ＝180°−100°＝80°，∠CBF ＝80°−50°＝30°∴∠CDF ＝30°．故选：C ．【点睛】本题考查角度的求解，解题的关键是熟知全等三角形的判定条件，菱形的性质，垂直平分线的性质．8．B【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．【详解】解：////AD BE CF ， AB DE BC EF ∴=，即1 1.23EF=， 3.6EF ∴＝，3.6 1.24.8DF EF DE ∴++＝＝＝，故选B ．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．A【分析】画出树状图，共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个，即可得出答案．【详解】解：画树状图如图：共有25个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13个， ∴小李获胜的概率为1325； 故选A ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键． 10．B【分析】根据正方形的性质证得BAE CDE ∆≅∆，推出ABE DCE ∠=∠，可知①正确；证明ABH CBH ∆≅∆，再根据对顶角相等即可得到AHB EHD ∠=∠，可知②正确；根据//AD BC ，求出BDE CDE S S ∆∆=，推出BDE DEH CDE DEH S S S S ∆∆∆∆-=-，即BHE CHD S S ∆∆=，故③正确；利用正方形性质证ADH CDH ∆≅∆，求得HAD HCD ∠=∠，推出ABE HAD ∠=∠；求出90ABE BAG ∠+∠=︒，求得90AGE ∠=︒故④正确．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，E 是AD 边上的中点，AE DE ∴=，AB CD =，90BAD CDA ∠=∠=︒，()BAE CDE SAS ∴∆≅∆，ABE DCE ∴∠=∠， 故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC , ∠ABD=∠CBD ，∵BH=BH ，∴ABH CBH ∆≅∆，AHB CHB ∴∠=∠，BHC DHE ∠=∠，AH B EH D ∴∠=∠，//AD BC ，BDE CDE S S ∆∆∴=，BDE DEH CDE DEH S S S S ∆∆∆∆∴-=-，即BHE CHD S S ∆∆=，故③正确；四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，45ADB CDB ∠=∠=︒，D H D H =，()ADH CDH SAS ∴∆≅∆，HAD HCD ∴∠=∠，ABE DCE ∠=∠ABE HAD ∴∠=∠，90BAD BAH DAH ∠=∠+∠=︒，90ABE BAH ∴∠+∠=︒，1809090AGB ∴∠=︒-︒=︒，AG BE ∴⊥，故④正确；故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，解答本题关键要充分利用正方形的性质：①四边相等； ②四个内角相等，都是90度；③对角线相等，相互垂直，且每条对角线平分一组对角．11．8【分析】将x ＝3代入方程2x 2﹣kx+6＝0，然后解关于k 的一元一次方程即可．解：∵x＝3是方程2x2﹣kx+6＝0的根，∴x＝3满足方程2x2﹣kx+6＝0，∴2×9−3k＋6＝0，即24−3k＝0，解得，k＝8．故答案是：8．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12．120 13【分析】由菱形的性质求出AO、BO的值，再由勾股定理求出AB的值，然后根据面积法即可求出DE的值.【详解】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=12，BO=5，∴13,∵1122AB DE OA BD⋅=⋅,∴12×13×DE=12×12×10，∴DE=120 13.故答案为120 13.【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，属于基础题，解答本题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．13．1或5【分析】设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，判断出△AA′E是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得A′E=x，再表示出A′D，然后根据平行四边形的面积公式列方程求解即可．【详解】设AA′=x，AC与A′B′相交于点E，∵△ACD是正方形ABCD剪开得到的，∴△ACD是等腰直角三角形，∴∠A=45°，∴△AA′E是等腰直角三角形，∴A′E=AA′=x，A′D=AD-AA′=6-x，∵两个三角形重叠部分的面积为5，∴x（6-x）=5，整理得，x2-6x+5=0，解得x1=1，x2=5，即移动的距离AA′等于1或5．故答案是：1或5．【点睛】考查了平移的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记平移的性质并用平移距离表示出重叠部分的底与高是解题的关键．14．17【分析】找出一元二次方程中的a，b及c的值，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，然后把所求的两根的平方和配方变形为两根之和与两根之积的形式，把求出的两根之和与两根之积的值代入即可求出值．【详解】解：一元二次方程x2−3x＋2＝0的两根为x1，x2，∵a＝1，b＝−3，c＝−4，x1＋x2＝−ba＝3，x1x2＝ca=−4则x12＋x22＝（x1＋x2）2−2x1x2＝32−2×（−4）＝17．故答案为：17.【点睛】此题考查了根与系数的关系，熟练运用两根之和与两根之积的式子是解本题的关键． 15．6【分析】根据频率的定义先求出黑球的个数，即可知红球个数.【详解】解：黑球个数为：150.69⨯=，红球个数：1596-=.故答案为6【点睛】本题考查了频数和频率，频率是频数与总数之比，掌握频数频率的定义是解题的关键. 16．10【分析】根据比例的性质解答即可．【详解】 解：设234a b c ==＝k ， 可得：a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，把a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k 代入23a b c a++＝2612102k k k k ++= 故答案为10【点睛】 此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质设234a b c ==＝k 来解答． 17．2【分析】根据图形可知剩余的长为(40-2x)m ，剩余的宽为(26-x)m ，然后根据矩形的面积公式列出方程即可.【详解】解：设小道的宽为x 米，依题意得(40-2x)(26-x)=864，解之得x 1=44（舍去）,x 2=2.故答案为2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据种植花草的面积为864m 2找到正确的等量关系并列出方程.18．20 4n【分析】（1）根据图象得出经过x 轴上点（5，0）的正方形是第5个正方形，进而得出正方形的四条边上的整点个数；（2）根据（1）可得规律．【详解】（1）由内到外规律，第1个正方形边上整点个数为4×1=4（个），第2个正方形边上整点个数为4×2=8（个），第3个正方形边上整点个数为4×3=12（个），第4个正方形边上整点个数为4×4=16（个）；∵经过x 轴上点（5，0）的正方形是第5个正方形，∴正方形的四条边上的整点个数是20；（2）由（1）得出，经过x 轴上点(n ，0)(n 为正整数)的正方形的四条边上的整点个数为4n ． 故答案为（1）20；（2）m=4n ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是仔细观察，找到规律，按规律运算．19．（1）x 1=x 2352；（2）x 1＝6或x 2＝﹣1；（3）x 1＝32，x 2＝1；（4）x 1＝x 2＝1 【分析】（1）根据公式法即可求解；（2）先化简，再根据因式分解法求解；（3）根据因式分解法求解；（4）根据配方法即可求解.【详解】（1）x 2﹣3x +1＝0∵a ＝1，b ＝﹣3，c ＝1，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴x即x1=x2352．（2）原方程整理为x2﹣5x﹣6＝0，∵（x﹣6）（x+1）＝0，∴x﹣6＝0或x+1＝0，则x1＝6或x2＝﹣1．（3）（2x﹣3）（2x﹣3+x）＝0，2x﹣3＝0或2x﹣3+x＝0，所以x1＝32，x2＝1；（4））x2﹣2x＝12，x2﹣2x+1＝12+1，（x﹣1）2＝32，x﹣1＝所以x1＝x2＝1【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知的一元二次方程解法.20．（1）12；（2）13【分析】（1）计算白球数与总球数的比值即可；（2）列举出所有情况的结果，然后计算两个球是1个白球和一个红球的情况数与总情况数的比值即可.【详解】解：（1）从口袋中摸出一个球是白球的概率＝2142=，故答案为：12；（2）画出树状图如图所示，由树状图可知，共有12种等可能的结果，而摸出的2个球恰好是1个白球、1个红球的有4种结果，所以其概率为41 123=．【点睛】本题考查了列表法与画树状图法求概率的知识，解本题的关键是用树状图表示出所有可能的结果，注意所求概率等于所求情况数与总情况数之比.21．BD= 2.【详解】试题分析：根据∠ACD=∠ABC，∠A是公共角，得出△ACD∽△ABC，再利用相似三角形的性质得出AB的长，从而求出DB的长．试题解析：∵∠ACD=∠ABC，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD ，∴AD AC AC AB=，∵AD=1，∴AB=3，∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 .点睛：本题主要考查了相似三角形的判定以及相似三角形的性质，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题关键．22．0【分析】由两个实数根互为相反数知两根之和等于0，据此列出关于a的方程，解之求出a的值，再检验即可得．∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，∴-a2+2a＝0，解得a＝0或a＝2．当a＝2时，方程无实数根，舍去；故a＝0．【点睛】此题考查根与系数的关系，相反数，解题关键在于掌握运算法则.23．（1）EF＝4；（2）EA＝40 3.【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：（1）∵DF∥AE，∴BFFE＝BDDA，即6FE＝32，解得，EF＝4；（2）∵DF∥AE，∴DFEA＝BDBA，即8EA＝332，解得，EA＝403．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．24．（1）m≤1；（2）m＝3 4【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2＝2结合x1+3x2＝3，先求x1、x2，再求m．【详解】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，（2）由两根关系可知，x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝m ，解方程组1212233x x x x +=⎧⎨+=⎩，得123212x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴m ＝x 1•x 2＝34． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键．25．（1）见解析；（2）【分析】（1）根据菱形的判定证明即可；（2）根据等边三角形的性质菱形的性质和三角函数解答即可．【详解】（1）证明：∵E 为AD 的中点，∴AD ＝2DE ＝2AE ，∵AD ＝2BC ，∴DE ＝BC ，又∵AD ∥BC ，∴四边形BCDE 为平行四边形，∵∠ABD ＝90°，E 为AD 中点，∴在Rt △ABD 中，AD ＝2BE ，∴BE ＝DE ，∴四边形BCDE 为菱形；（2）解：过点BF ⊥AD 于点F ，如图所示：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，又∵AD ∥BC ，∴∠BCA ＝∠DAC ，∴∠BCA ＝∠BAC ，∴AB ＝BC ＝BE ＝DE ＝AE ＝2，∴△ABE 为等边三角形，∴∠BAE ＝60°，∠BDA ＝30°∴在Rt △ABD 中，BD ＝∴在Rt △BDF 中，BF ＝12BD∴菱形BCDE 的面积＝DE ×BF ＝【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．26．（1）18-；（2）有最大值，最大值为32.【分析】（1）仿照阅读材料、利用配方法把原式化为完全平方式与一个数的和的形式，根据偶次方的非负性解答；（2）利用配方法把原式进行变形，根据偶次方的非负性解答即可．【详解】解：（1）∵()222107102518518x x x x x ++=++-=+-，由()250x +≥，得 ()251818x +-≥-；∴代数式2107x x ++的最小值是18-；（2）()22281681632432a a a a a --+=---+=-++， ∵()240a -+≤，∴()243232a -++≤，∴代数式2816a a --+有最大值，最大值为32.21 【点睛】本题考查的是配方法的应用和偶次方的非负性，掌握配方法的一般步骤、偶次方的非负性是解题的关键．27．（1）100+200x ；（2）1．【详解】试题分析：（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤；（2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．。
北师大版九年级上数学期中测试题一、选择题：（每小题3 分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是 （ ）（A ）01624=-x （B ）0)1(2=-x（C ）22)1()1(+=-x x （D ）)21(2122x x x +=-2.使式子3342-+-x x x 的值为0的x 的值为 （ ）（A ）3或1 （B ）3 （C ）1 （D ）-3或-1 3.下面解了三道方程：(1)解方程.432=x 解：3x=±2，∴x=±32. (2)解方程.22x x =解：方程的两边同除以x,得x=2.(3)解方程.1)3)(2(=--x x 解：由12=-x 得x=3,由13=-x 得x=4.上述三题的解法正确的个数是 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3`4.一个数的平方与这个数的3倍相等，则这个数为 （ ） （A ）0 （B ）3 （C ）0或3 （D ）35.下列各组条件中，不能用来判定ABC ∆≌DEF ∆的是 （ ） （A ）AB=DE ，BC=EF ，∠B=∠E （B ）AB=DE ，AC=DF ，∠C=∠F（C ）BC=EF ，∠B=∠E ，∠C=∠F （D ）AB=DE ，AC=DF ，ABC ∆与DEF ∆的周长相等 6.下列命题中，正确的是 （ ） （A ）四边相等的四边形是正方形 （B ）四角相等的四边形是正方形 （C ）对角线垂直且相等的四边形是正方形（D ）对角线相等的菱形是正方形7.平行四边形ABCD 中，若AB=8cm, 则对角线AC 、BD 的长可能是 （ ） （A ）6cm,10cm (B)6cm,12cm (C)12cm,4cm (D)10cm,4cm8.等腰三角形有一个角为︒100，则另外两个角为 （ ） （A ）︒︒50,50 （B ）︒︒50,40 （C ）︒︒40,80 （D ）︒︒40,409．如图，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，垂足分别为B 、D ，若CB=CD ，则ABC ∆≌ACD ∆，理由是（ ）（A ）SAS （B ）AAS （C ）HL （D ）ASA10．如图，有一块直角三角形纸片，两条直角边AC=6cm ，BC=8cm.若将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ） （A ）2cm （B ）3cm (C)4cm (D)5cmDCBAE DCBA第9题图 第10题图二、填空题：（每小题3 分，共24分）11．一元二次方程2)2)(1(=++x x 的一般形式是____________,它的常数项是______. 12．22_____)(_____-=+-x x x .13．已知菱形的周长为20cm ，一条对角线的长是6cm ，那么它的另一条对角线长是______,面积是_______.14．在三角形ABC 中，AB=AC ，DE 是AB 的垂直平分线交AC 于E ，若AB=13cm,BC=10cm,则三角形BCE 的周长为_________cm.15．两个连续整数的积为132，则这两个数为__________.16．正方形的对角线长为cm 22，则它的周长为______cm,面积为_______2cm .17.依次连接矩形四边的中点得到的四边形是__________.18．在一次体育考试中，小刚推铅球时，铅球行进高度h(m)与水平距离s(m)之间的函数关系式是35321212++-=s s h ，则本次考试中，小刚推出的铅球的距离为_______m.三、解答题：（19题10分，其它每题6分，共46 分） 19．用指定的方法解方程：（1）0982=-+x x （配方法） （2）1342=-x x （公式法）（3）x x x 24)2(3-=-（因式分解法） （4）9)3(222-=-x x20．（1）填空①等腰三角形两腰上的高________;②等腰三角形上的中线_________; ③等腰三角形底角的平分线________.(2)对上述三个命题，选择其中的一个，画图并写出已知、求证、证明过程.21．如图，在ABC ∆中，AB=AC ，D 是底边BC 的中点，作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F求证：DE=DF. 证明：C B AC AB ∠=∠∴=, ①.在∆BDE 和CDF ∆中，CD BD CFD BED C B =∠=∠∠=∠,,，BDE ∆∴≌CDF ∆②.DF DE =∴③.⑴上面的证明过程是否正确？若正确，请写出①、②和③的推理根据. ⑵请你写出另一种证明此题的方法.FE DCBA22．已知：直线AO 、BO 表示两条互相交叉的公路，Q 是一个大型货物批发站，现在要建一个货物中转站P.要求它到AO 、BO 的距离相等，且PO=PQ.在图上画出满足条件的点P （保留作图痕迹）并写作法.23．已知关于x 的一元二次方程032)1(22=+--+-m m x x m 有一根是0，求m 的值及这个方程的另一个根.24．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线与BC 边相交于 E ，∠ABC 的平分线与AD边相交于点F.四边形ABEF 是什么四边形？试证明你的结论.F EDCBA25．某厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月该户只A 要交10元用电费，如果超过A度，则这个月仍要交10元用电费外，超过部分还要按每度100元交费.（1）该厂某户居民2月份用电90度，超过了规定的度，则超过部分应交费________元.（用含A的式子表示）；（参考答案1-10．BCACB ，DBDCB 11．032=+x x ，0 12．21,41 13．224,8cm cm 14．2315．11，12或-11，-12 16．8，4 17．菱形 18．1019．（1）9,121-==x x （2）41,121-==x x （3）32,221==x x （4）9,321==x x 20．（1）相等；相等；相等。
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A ．﹣3B ．﹣2C ．3D ．62．下列命题错误的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．一条对角线平分一组对角的四边形是菱形D ．对角线互相垂直的矩形是正方形3．若ABC 的每条边长增加各自的10%得'''A B C ,则B'∠的度数与其对应角B Ð的度数相比（）A ．增加了10%B ．减少了10%C ．增加了()1 10% +D ．没有改变4．某厂从生产的一批零件中抽取2000个进行质量检查，结果发现有10个是次品，那么从中任取1个是次品概率约为（）A ．12000B ．1200C ．12D ．1105．定义运算：a ★b=a(1-b)．若a ，b 是方程21+m=0(m<0)4x x -的两根，则b ★b-a ★a 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．与m 有关6．在一次初三学生数学交流会上，每两名学生握手一次，统计共握手253次．若设参加此会的学生为x 名，据题意可列方程为（）A ．x （x+1）=253B ．x （x ﹣1）=253C ．12x （x+1）=253D ．12x （x-1）=2537．如图，正方形ABCD 的面积为1，则以相邻两边中点连线EF 为边正方形EFGH 的周长为（）A B ．C 1D ．1+8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC=∠ECA ，则AC 的长是（）A ．B ．6C ．4D ．59．如图,线段1AB =,点1P 是线段AB 的黄金分割点(11AP BP <),点2P 是线段1AP 的黄金分割点(212AP PP <),点3P 是线段2AP 的黄金分割点(323AP P P <),..,依此类推,则线段2020AP 的长度是（）A ．20203(2B ．20201)2C ．20201()2D ．10102)二、填空题10．如图，在菱形OABC 中，点B 在x 轴上，点A 的坐标为()3,5，则点C 的坐标为______．11．△ABC 的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x 2-8x+15=0的根，则△ABC 的周长是_____．12．ABC ∆与DEF ∆相似且面积的比为9:16，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为.13．已知654a b c==，且26a b c +-=，则a 的值为__________．14．某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：抽取瓷砖数n 100300400600100020003000合格品数m 9628238257094919062850合格品频率m n0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是_____．（精确到0.01）15．如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是_____m ．16．以正方形ABCD 的边AD 作等边△ADE ，则∠BEC 的度数是_____．三、解答题17．解方程：2322x x +=；18．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，AF=DE ，AF 和DE 相交于点G（1）观察图形，写出图中所有与∠AED 相等的角．（2）选择图中与∠AED 相等的任意一个角，并加以证明．19．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（1，2），B（3，1）（每个方格的边长均为1个单位长度）．（1）将△OAB向右平移1个单位后得到△O1A1B1，请画出△O1A1B1；（2）请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似图形，使它与△O1A1B1的相似比为2：1；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，请直接写出位似变换后的对应点P′的坐标为．20．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．销售量y（千克）…34.83229.628…售价x（元/千克）…22.62425.226…（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？21．高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2米长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的．于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿（即AE），这时，他量了一下竹竿的影长（AC）正好是1米，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度（即AB=4米），他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度（即BD=2米）．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，我知道路灯有多高了！”同学们，请你和小明一起解答这个问题：（1）在图中作出路灯O的位置，并作OP⊥l于P．（2）求出路灯O的高度，并说明理由．22．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种你最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；（2）将条形统计图补充完整．观察此图，支付方式的“众数”是“”；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．23．如图，已知∠MON=90º，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂点为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E、F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E 到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=1秒时，ΔEOF与ΔABO是否相似？请说明理由．（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA，为什么？（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得SΔAEF=12S四边形ABOF？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．24．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．25．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝10cm，BC＝12cm．点E，F，G分别从A，B，C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F 的运动速度为3cm／s，点G的运动速度为1.5cm／s．当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB'F，设点E，F，G运动的时间为t（单位：s）．（1）当t＝s时，四边形EBFB'为正方形；（2）若以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A 【详解】试题解析：设方程的另一个根为t ，根据题意得2+t=﹣1，解得t=﹣3，即方程的另一个根是﹣3．故选A ．考点：根与系数的关系．2．C 【详解】解：A 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；B 、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；C 、一条对角线平分一组对角的四边形可能是菱形或者正方形，错误，符合题意；D 、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，不符合题意，故选C ．【点睛】本题考查命题与定理．3．D 【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答.【详解】∵△ABC 的每条边长增加各自的10%得'''A B C ，∴△ABC 与'''A B C 的三边对应成比例，∴△ABC ∽△'''A B C ∴∠'B =∠B.故选D.【点睛】本题考察了相似三角形性质的应用，解决本题的关键是确定两三角形相似.4．B【分析】用次品总数除以零件总数，算出频率，以此估计概率．【详解】解：生产的一批零件中抽取2000个进行质量检查，结果发现有10个是次品，即次品出现的频率是101= 2000200，由此估计，从中任取1个是次品概率约为1 200．故选B．【点睛】本题考查的是由频率估计概率，掌握频率公式是基础．5．A【分析】由根与系数的关系可找出a＋b＝1，根据新运算找出b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a），将其中的1替换成a＋b，即可得出结论．【详解】解：∵a，b是方程x2−x＋14m＝0（m＜0）的两根，∴a＋b＝1，∴b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a）＝b（a＋b−b）−a（a＋b−a）＝ab−ab＝0，故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a＋b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．6．D【分析】每个学生都要和他自己以外的学生握手一次，但两个学生之间只握手一次，等量关系为：学生数×(学生数-1)×12=总握手次数.【详解】解：参加数学交流会的学生为x名，每个学生都要握手(x-1)次，因此列方程为12x(x-1)=253,故选D.【点睛】本题考查用一元二次方程解决握手次数问题，得到总次数的等量关系是解决本题的关键.7．B 【分析】由正方形的性质和已知条件得出，∠BCD=90°，CE=CF=12，得出△CEF 是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF 的长，即可得出正方形EFGH 的周长．【详解】解：∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC=CD=，∠BCD=90°．∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴CE=12BC=12，CF=12CD=12，∴CE=CF ，∴△CEF 是等腰直角三角形，∴CE=2，∴正方形EFGH 的周长=4EF=4×22=．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF 的长是解决问题的关键．8．B 【详解】∵将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，∴AF=AB ，∠AFE=∠B=90°，∴EF ⊥AC ，∵∠EAC=∠ECA ，∴AE=CE ，∴AF=CF ，∴AC=2AB=6，故选B ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质等，得到EF 垂直平分AC 是解题的关键．9．A 【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到1512BP =，则1352AP -=，同理得到2235(2AP =，333()2AP =，根据此规律得到3(2nn AP =．据此可得答案．【详解】解： 线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点11()AP BP <，1BP ∴==，11AP ∴=-=， 点2P 是线段1AP 的黄金分割点212()APPP <，22353535()222AP --∴==，333(2AP ∴=，nn AP ∴=．所以线段2020AP 的长度是202035(2，故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和()BC AC BC >，且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::)AB AC AC BC =，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点；其中510.6182AC AB AB -=≈，并且线段AB 的黄金分割点有两个．10．()3,5-【解析】【分析】根据轴对称图形的性质即可解决问题.【详解】四边形OABC 是菱形，A ∴、C 关于直线OB 对称，()A 3,5 ，()C 3,5∴-，故答案为()3,5-．【点睛】本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用菱形是轴对称图形解决问题．11．8【解析】试题解析：解方程x 2-8x+15=0可得x=3或x=5，∴△ABC 的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，∴△ABC 的第三边长为3，∴△ABC 的周长为2+3+3=8．考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系．12．3:4【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出△ABC 与△DEF 的相似比，然后根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：∵相似三角形△ABC 与△DEF 面积的比为9：16，∴它们的相似比为3：4，∴△ABC 与△DEF 的周长比为3：4．故答案为3：4．13．12【详解】分析：直接利用已知比例式假设出a ，b ，c 的值，进而利用a+b-2c=6，得出答案．详解：∵654a b c ==，∴设a=6x ，b=5x ，c=4x ，∵a+b-2c=6，∴6x+5x-8x=6，解得：x=2，故a=12．故答案为12．点睛：此题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键．14．0.95【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【详解】由生产的瓷砖是合格品的频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为0.95．【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．15．30【解析】【分析】根据条件易证AP =BQ ，求两路灯之间的距离的问题可以转化为求AP 的长度的问题，设AP =BQ ，易证△BQN ∽△BAC ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．【详解】∵MP∥BD，∴MP APBD AB=，同理，NQ BQAC AB=．∵AC=BD，∴AP=BQ，设AP=BQ=x，则AB=2x+20．∵NQ∥AC，∴△BQN∽△BAC，∴NQ BQCA BA=，即1.59220xx=+，解得：x=5．则两路灯之间的距离是2×5+20=30（m）．故答案为：30．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．16．30°或150°．【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解即可得．【详解】如图1，∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，∴AB=BC=CD=AD=AE=DE，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∠AED=∠ADE=∠DAE=60°，∴∠BAE=∠CDE=150°，又AB=AE，DC=DE，∴∠AEB=∠CED=15°，则∠BEC=∠AED﹣∠AEB﹣∠CED=30°；如图2，∵△ADE 是等边三角形，∴AD=DE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，∴DE=DC ，∴∠CED=∠ECD ，∴∠CDE=∠ADC ﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，∴∠CED=∠ECD=12×（180°﹣30°）=75°，∴∠BEC=360°﹣75°×2﹣60°=150°，故答案为30°或150°．【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质、运用分类讨论思想画出符合题意的图形并准确识图是解题的关键．17．1173x -+=，2173x -=.【分析】移项将原方程变为23220x x +-=，然后用公式法即可得.【详解】移项，得23220x x +-=，则3a =，2b =，2c =-24424280b ac ∆=-=+=>，方程有两个不相等的实数根2271763x -±-±==.所以原方程的解为1173x -+=，2173x --=.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，包括配方法、公式法（本题考点）、因式分解法.18．（1）∠DAG ，∠AFB ，∠CDE （2）见解析【分析】（1）由图示得出∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等；（2）根据SAS 证明△DAE 与△ABF 全等，利用全等三角形的性质以及等角的余角相等即可证明．【详解】（1）由图可知，∠DAG ，∠AFB ，∠CDE 与∠AED 相等；（2）①选择∠DAG=∠AED ，证明如下：∵正方形ABCD ，∴∠DAB=∠B=90°，AD=AB ，∵AF=DE ，在△DAE 与△ABF 中，{90AD ABDAE B DE AF=∠=∠=︒=，∴△DAE ≌△ABF （HL ），∴∠ADE=∠BAF ，∵∠DAG+∠BAF=90°，∠GDA+∠AED=90°，∴∠DAG=∠AED ．②选择∠AFB =∠AED ，证明如下：∵正方形ABCD ，∴AD//BC∴∠DAG=∠AFB由①得∠DAG=∠AED∴∠AFB =∠AED.③选择∠CDE=∠AED ，证明如下∵正方形ABCD，∴DA//AB∴∠CDE=∠AED.考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）（2a+2，2b）或（-2a-2，-2b）【分析】（1）根据平移的规律，将点O、A、B向右平移1个单位,即横坐标加1，得到O1、A1、B1，连接O1、A1、B1即可；（2）根据位似图形的定义作图即可；（3）分别根据平移和位似变换坐标的变化规律得出坐标即可．【详解】解：（1）如图，△O1A1B1即为所求作三角形；（2）如上图，△O2A2B2、△O3A3B3即为所求作三角形；（3）点P（a，b）为△OAB内一点，位似变换后的对应点P′的坐标为（2a+2，2b）或（-2a-2，-2b）.故答案为：（2a+2，2b）或（-2a-2，-2b）．【点睛】本题考查了利用位似变换作图，坐标位置的确定，掌握位似图形的定义是作图的基础，要特别注意位似图形分为同侧位似和异侧位似．20．（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元．【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y 与x 之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论；（2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b ，将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b ，22.634.82432k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：280k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数关系式为y=﹣2x+80．当x=23.5时，y=﹣2x+80=33．答：当天该水果的销售量为33千克．（2）根据题意得：（x ﹣20）（﹣2x+80）=150，解得：x 1=35，x 2=25．∵20≤x≤32，∴x=25．答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据表格内的数据，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．（1）见解析；（2）路灯有10米高．【详解】试题分析：试题解析：(1)(2)由于BF =DB =2(米),即45D ∠= ，所以，DP =OP =灯高，△COP 中AE ⊥CP ，OP ⊥CP ，∴AE ∥OP ，∴△CEA ∽△COP ,即CA CP EA OP=，设AP =x ，OP =h 则：121x h =+①，DP =OP 表达为2+4+x =h ②，联立①②两式得：x =4，h =10，∴路灯有10米高.22．（1）200、81°；（2）补图见解析；（3）13【详解】分析：（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数，再用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；（2）用总人数乘以对应百分比可得微信、银行卡的人数，从而补全图形，再根据众数的定义求解可得；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．详解：（1）本次活动调查的总人数为（45+50+15）÷（1﹣15%﹣30%）=200人，则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×45200=81°，故答案为200、81°；（2）微信人数为200×30%=60人，银行卡人数为200×15%=30人，补全图形如下：由条形图知，支付方式的“众数”是“微信”，故答案为微信；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13．点睛：此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）△EOF ∽△ABO （2）EF ⊥OA （3）t 1=32或t 2=43【详解】试题分析：（1）由 OE OF AB OB及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF ∽△ABO ．（2）证明Rt △EOF ∽Rt △ABO ，进而证明EF ⊥OA ．（3）由已知S △AEF =12S 四边形ABOF ．得出S △FOE +S △ABE =12S 梯形ABOF ，从而可求出t 的值．试题解析：（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米，∴ 1.5132==OE AB ，2142==OF OB ∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF ∽△ABO ．（2）在运动过程中，OE=1.5t ，OF=2t ．∵AB=3，OB=4．∴=OE OFAB OB ．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt △EOF ∽Rt △ABO ．∴∠AOB=∠EOF ．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF ⊥OA ．（3）如图，连接AF ，∵OE=1.5t ，OF=2t ，∴BE=4﹣1.5t∴S △FOE =12OE•OF=12×1.5t×2t=32t 2，S △ABE =12×（4﹣1.5t ）×3=6﹣94t ，S 梯形ABOF =12（2t+3）×4=4t+6∵S △AEF =12S 四边形ABOF∴S △FOE +S △ABE =12S 梯形ABOF ，∴32t 2+6﹣94t=12（4t+6），即6t 2﹣17t+12=0，解得t=32或t=43．∴当t=32或t=43时，S △AEF =12S 四边形ABOF ．24．见解析【分析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．【详解】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．25．（1）2.5．（2）14t5=或t 14=-+（3）不存在，理由见解析【分析】（1）由题意得由BE=BF 即可．（2）分△EBF ∽△FCG 和△EBF ∽△GCF 讨论即可．（3）用反证法证明，假设存在实数t ，使得点B'与点O 重合，求出此时AE 和BF 的值，与已知的速度得到的比值比较得出错误的结论．【详解】试题分析：解：（1）∵AB ＝10，BC ＝12，∴BE 10t =-．由BE=BF 得10t 3t t 2.5-=⇒=．（2）由题意得AE=t ，BF=3t ，CG=1.5t ．∵AB ＝10，BC ＝12，∴BE 10t FC 123t =-=-，．∵点F 在BC 上运动，∴03t 12≤≤，即0t 4≤≤．①当△EBF ∽△FCG 时，EB BF FC CG =，∴10t 3t 123t 1.5t -=-，解得14t 5=．②当△EBF ∽△GCF 时，EB BF CG FC =，∴10t 3t 1.5t 123t -=-，化简，得2t 28t 800+-=．解得12t 14 t 14=-+=--（不合题意，舍去）．∵0t 4≤≤，∴14t 5=或t 14=-+∴若以点E ，B ，F 为顶点的三角形与以点F ，C ，G 为顶点的三角形相似，则14t 5=或t 14=-+（3）不存在，理由如下：如图，连接BD ．∵点O 为矩形ABCD 的对称中心，∴点O 为BD 的中点．假设存在实数t ，使得点B'与点O 重合，此时，EF 是OB 的垂直平分线，垂足为点H ．∵易知，BD =,16142BH BD ==．∴△EHB ∽△BHF ∽△BCD ，∴39AE 10BE 10=-=．∴391010AE BE =-=．∵点F 的运动速度是点E 的运动速度的3倍，但3BF AE ≠，∴不存在实数t ，使得点B'与点O 重合．。
北师大版九年级（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．（3分）下列方程一定是一元二次方程的是( ) ①20ax bx c ++=；②22(1)10k x kx +++=；③2(1)(4)(2)x x x x +-=-；④(23)(23)4(3)x x x x +-=- A ．①② B ．③④ C ．②③ D ．①③ 2．（3分）下列四组线段中，不是成比例线段的是( )A ．3a =，6b =，2c =，4d =B ．1a =，2b =，6c =，23d =C ．4a =，6b =，5c =，10d =D ．2a =，5b =，15c =，23d = 3．（3分）如图，线段AB 两个端点的坐标分别为(2,2)A 、(3,1)B ，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD ，则端点C 的坐标为( )A ．(9,3)B ．(3,3)C ．(6,6)D ．(6,4)4．（3分）如图， 在正方形ABCD 中， 对角线6AC =，点P 是对角线AC 上的一点， 过点P 作PF AD ⊥，PE CD ⊥，则PF PE +的值为( )A ．32B ． 3C ．23D ． 65．（3分）如图，已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >．若1S 表示以BC 为边的正方形面积，2S 表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，则1S 与2S 的大小关系为( )A ．12S S >B ．12S S =C ．12S S <D ．不能确定6．（3分）下列一元二次方程两实数根和为4-的是( )A ．2240x x +-=B ．2440x x -+=C ．24100x x ++=D ．2450x x +-= 7．（3分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛，则恰好选中甲、乙两位同学打第一场比赛的概率是( )A ．16B ．14C ．13D ．128．（3分）函数1y x k =-与2(0)ky k x=≠的图象在同一坐标系内，其中正确的是( )9．（3分）在函数(0)y kx k =<的图象上有1(1,)A y ，2(1,)B y -，3(2,)C y -三个点，则下列各式正确的是( ) A ．123y y y << B ．132y y y << C ．321y y y << D ．231y y y << 10．（3分）如图，将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AEFG 的位置，则图中阴影部分的面积为( )A ．33 B ．36 C ．39 D ．31211．（3分）如图，ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE EF FC ==．则::BN NQ QM 等于( )A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:112．（3分）如图，A 、B 是函数12y x=上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是( ) ①AOP BOP ∆≅∆；②AOPBOP S S ∆∆=；③若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；④若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=A ．①③B ．②③C ．②④D ．③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13．（3分）若43x y y +=，则xy= 14．（3分）已知：点C 是线段AB 的黄金分割点，2AB =，则AC = ． 15．（3分）a ，b 为实数且22222()4()5a b a b +++=，则22a b += ．16．（3分）如图，A ，B 是反比例函数ky x=图象上的两点，过点A 作AC y ⊥轴，垂足为C ，AC 交OB 于点D ．若D 为OB 的中点，AOD ∆的面积为3，则k 的值为 ．17．（3分）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m ，两个路灯的高度都是9m ，则两路灯之间的距离是 m ．18．（3分）如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE DF =，BE ，CF 相交于点G ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，则BCG ∆的周长为 ．三、解答题：本大题共66分．注意：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程． 19．（12分）解答下列各题：（1）解方程：(2)(3)216x x x ++=+（2）已知a 、b 、c 均为非零的实数，且满足a b c a b c a b c c b a +--+-++==，求()()()a b b c c a abc+++的值 20．（8分）某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况．随机抽取部分男同学进行了1000米跑测试按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是 ；请补全条形统计图； （2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好的有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩获“优秀”的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛，预赛分为A ，B ，C ，D 四组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？（用树状图或列表法解答） 21．（8分）已知关于x 的方程2(2)20mx m x -++=． （1）求证：方程总有实数根；（2）已知方程有两个不相等的实数根α，β满足112αβ+=，求m 的值． 22．（8分）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上两点，且45EAF ∠=︒，将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到ABQ ∆，连接EQ ，求证： （1）EA 是QED ∠的平分线；（2）222EF BE DF =+．23．（8分）某农业合作社投资64000元共收获80吨的农产品，目前，该农产品可以以1200元/吨售出，如果储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，且同时每星期每吨价格将上涨200元．问储藏多少星期出售这批农产品可获利122000元？24．（10分）已知(4,2)A -、(,4)B n -两点是一次函数y kx b =+和反比例函数my x=图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求AOB ∆的面积；（3）观察图象，直接写出不等式0mkx b x+->的解集．25．（12分）矩形ABCD 一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得点B 落在CD 边上的点P 处．（1）如图1，已知折痕与边BC 交于点O ，连接AP 、OP 、OA ． ①求证：OCP PDA ∆∆∽；②若OCP ∆与PD A ∆的面积比为1:4，求边AB 的长．（2）如图2，在（1）的条件下，擦去AO 和OP ，连接BP ．动点M 在线段AP 上（不与点P 、A 重合），动点N 在线段AB 的延长线上，且BN PM =，连接MN 交PB 于点F ，作ME BP ⊥于点E ．试问动点M 、N 在移动的过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF 的长度；若变化，说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分；在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 【解答】解：①当二次项系数0a =时，20ax bx c ++=不是一元二次方程；故本选项错误； ②22(1)10k x kx +++=符合一元二次方程的定义，故本选项正确；③由原方程，得2680x x --=符合一元二次方程的定义，故本选项正确； ④由原方程，得1290x -=，未知数的最高次数是1；故本选项错误． 故选：C ．【解答】解：32=，故选项A 中的线段成比例；==，故选项B 中的线段成比例； 465≠，故选项C 中的线段不成比例；=D 中的线段成比例； 故选：C ．【解答】解：以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 扩大为原来的3倍后得到线段CD ， 点A 的坐标为(2,2)、∴点C 的坐标为(23,23)⨯⨯，即(6,6)， 故选：C ．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，90BAD BCD ∴∠=∠=︒，45PAF PCE ∠=∠=︒， PF AD ⊥，PE CD ⊥，APF ∴∆和CPE ∆是等腰直角三角形，PF AP ∴=，PE =，)22PF PE AP PC AC ∴+=+==；故选：A ．【解答】解：C 是线段AB 的黄金分割点，且BC AC >， 2BC AC AB ∴=，1S 表示以BC 为边的正方形面积，2S 表示长为AB 、宽为AC 的矩形面积，21S BC ∴=，2S AC AB =， 12S S ∴=． 故选：B ．【解答】解：A 、2240x x +-=， 1a =，2b =，4c =-， 24416200b ac ∴-=+=>， 设方程的两个根为1x ，2x ，12221x x ∴+=-=-，本选项不合题意；B 、2440x x -+=， 1a =，4b =-，4c =， 2416160b ac ∴-=-=， 设方程的两个根为1x ，2x ，12441x x -∴+=-=，本选项不合题意；C 、24100x x ++=， 1a =，4b =，10c =，241640240b ac ∴-=-=-<， 即原方程无解，本选项不合题意； D 、2450x x +-=， 1a =，4b =，5c =-， 241620360b ac ∴-=+=>， 设方程的两个根为1x ，2x ，12441x x ∴+=-=-，本选项符合题意，故选：D ．∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：21126=，故选：A ．【解答】解：函数1y x k =-，一次项系数为1，大于0，应过一、三象限，由此可排除C 、D ；对于B ，2(0)ky k x=≠在一、三象限，有0k >，则函数1y x k =-的图象应与y 轴交于原点下方，排除B ． 故选：A ．【解答】解：1(1,)A y ，2(1,)B y -，3(2,)C y -在直线y kx =上， 1y k ∴=，2y k =-，32y k =-， 而0k <，123y y y ∴<<． 故选：A ．【解答】解：作M H D E ⊥于H ，如图， 四边形ABCD 为正方形，1AB AD ∴==，90B BAD ADC ∠=∠=∠=︒，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30︒到正方形AEFG 的位置， 1AE AB ∴==，130∠=︒，90AEF B ∠=∠=︒， 260∴∠=︒，AED ∴∆为等边三角形，3460∴∠=∠=︒，1DE AD ==， 5630∴∠=∠=︒，M DE ∴∆为等边三角形，12DH EH ∴==，在Rt MDH ∆中，12MH ===，112MDE S ∆∴=⨯=．故选：D ．【解答】解：连结MF ，如图， M 是AC 的中点，EF FC =， MF ∴为CEA ∆的中位线， 2AE M F ∴=，//AE MF ， //NE MF ， ∴1BN BE NM EF ==，12NE BE MF BF ==， BN NM ∴=，2MF NF =，设BN a =，NE b =，则NM a =，2MF b =，4AE b =， 3AN b ∴=， //AN MF ，∴3322NQ AN b QM MF b ===， 35NQ a ∴=，25QM a =，32::::5:3:255BN NQ QM a a a ∴==．故选：C ．【解答】解：点P 是动点， BP ∴与AP 不一定相等，BOP ∴∆与AOP ∆不一定全等，故①不正确； 设(,)P m n ， //BP y ∴轴，12(,)B m m ∴，12||BP n m∴=-，1121|||12|22BOP S n m mn m ∆∴=-⨯=-//PA x 轴， 12(A n ∴，)n ，12||AP m n∴=-，1121|||12|22AOP S m n mn n ∆∴=-⨯=-， AOP BOP S S ∆∆∴=，故②正确；如图，过点P 作PF OA ⊥于F ，PE OB ⊥于E ，12AOP S OA PF ∆∴=⨯，12BOP S OB PE ∆=⨯，AOP BOP S S ∆∆=，OB PE OA PF ∴⨯=⨯， OA OB =， PE PF ∴=，PE OB ⊥，PF OA ⊥，OP ∴是AOB ∠的平分线，故③正确；如图1，延长BP 交x 轴于N ，延长AP 交y 轴于M ， AM y ∴⊥轴，BN x ⊥轴， ∴四边形OMPN 是矩形，点A ，B 在双曲线12y x=上，6AMO BNO S S ∆∆∴==， 4BOP S ∆=，2PMO PNO S S ∆∆∴==， 4OMPN S ∴=矩形，4mn ∴=，4m n∴=， 12|||3|2||BP n n n n m∴=-=-=，128||||AP m n n =-=， 1182||822||APB S AP BP n n ∆∴=⨯=⨯⨯=，故④错误；∴正确的有②③， 故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．【解答】解：41333x y y ++==， ∴13x y =， 故答案为：13【解答】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，当AC BC >时，51512AC AB -==-， 当AC BC <时，51352AC AB AB -=-=-， 故答案为：51-或35-． 【解答】解：设22a b x +=，22222()4()5a b a b +++=可化为：2450x x +-=， 因式分解得：(1)(5)0x x -+=， 可得：10x -=或50x +=， 解得：11x =，25x =-，221a b ∴+=或225a b +=-（舍去）， 则221a b +=． 故答案为：1【解答】解：设点D 坐标为(,)a b ， 点D 为OB 的中点， ∴点B 的坐标为(2,2)a b ， 4k ab ∴=，又AC y ⊥轴，A 在反比例函数图象上， A ∴的坐标为(4,)a b ， 43AD a a a ∴=-=， AOD ∆的面积为3， ∴1332a b ⨯⨯=， 2ab ∴=，4428k ab ∴==⨯=． 故答案为：8【解答】解：//MP BD ， ∴MP APBD AB=， 同理，NQ BQAC AB =， AC BD =， AP BQ ∴=，设AP BQ x ==，则220AB x =+， //NQ ACBQN BAC ∴∆∆∽，∴NQ BQ CA BA =，即1.59220xx =+， 解得：5x =．则两路灯之间的距离是252030m ⨯+=． 故答案为：30．【解答】解：阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为2:3，∴阴影部分的面积为2963⨯=，∴空白部分的面积为963-=，由CE DF =，BC CD =，90BCE CDF ∠=∠=︒，可得BCE CDF ∆≅∆，BCG ∴∆的面积与四边形DEGF 的面积相等，均为13322⨯=，CBE DCF ∠=∠，90DCF BCG ∠+∠=︒，90CBG BCG ∴∠+∠=︒，即90BGC ∠=︒，设BG a =，CG b =，则1322ab =，又2223a b +=，2229615a ab b ∴++=+=， 即2()15a b +=， 15a b ∴+=，即15BG CG +=，BCG ∴∆的周长153=+，故答案为：153+．三、解答题：本大题共66分．注意：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算过程． 【解答】解：（1）(2)(3)216x x x ++=+， 256216x x x ++=+， 23100x x +-=， (2)(5)0x x -+=，解得12x =，25x =-；（2）若0a b c ++≠，由等比定理有1a b c a b c a b c a b c a b c a b cc b a a b c+--+-+++-+-+-++====++， 所以a b c c +-=，a b c b -+=，a b c a -++=，于是有()()()2228a b b c c a c b aabc abc+++==．若0a b c ++=，则a b c +=-，b c a +=-，c a b +=-，于是有()()()()()()1a b b c c a c a b abc abc+++---==-．【解答】解：（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是：36040%144︒⨯=︒， 故答案为：144︒，合格的有：1640%1216210÷---=（人)， 补全的条形统计图如右图所示；（2）成绩未达到良好的有：1260018040⨯=（名)， 答：成绩未达到良好的有180名；（3）如下图所示，∴甲、乙两人恰好分在同一组的概率是41164=， 即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是14． 【解答】（1）证明：当0m =时，原方程为220x -+=， 解得：1x =，∴当0m =时，方程有解；当0m ≠时，△222[(2)]4244(2)0m m m m m =-+-⨯=-+=-， ∴当0m ≠时，方程2(2)20mx m x -++=有解． 综上：无论m 为何值，方程总有实数根；（2）解：方程有两个不相等的实数根α，β，2m m αβ+∴+=，2mαβ=． 112αβαβαβ++==，即222m +=， 解得：6m =．【解答】证明：（1）将ADF ∆绕点A 顺时针旋转90︒后，得到ABQ ∆， QB DF ∴=，AQ AF =，BAQ DAF ∠=∠， 45EAF ∠=︒，45DAF BAE ∴∠+∠=︒，45QAE ∴∠=︒，QAE FAE ∴∠=∠，在AQE ∆和AFE ∆中AQ AF QAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AQE AFE SAS ∴∆≅∆，AEQ AEF ∴∠=∠，EA ∴是QED ∠的平分线；（2）由（1）得AQE AFE ∆≅∆，QE EF ∴=，在Rt QBE ∆中，222QB BE QE +=，又QB DF =，222EF BE DF ∴=+．【解答】解：设储藏x 星期出售这批农产品可获利122000元，由题意得(1200200)(802)160064000122000x x x +⨯---=， 解得：1215x x ==．答：储藏15星期出售这批农产品可获利122000元．【解答】解：（1）把(4,2)A -代入m y x =，得2(4)8m =⨯-=-， 所以反比例函数解析式为8y x=-， 把(,4)B n -代入8y x=-，得48n -=-， 解得2n =，把(4,2)A -和(2,4)B -代入y kx b =+，得4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得12k b =-⎧⎨=-⎩， 所以一次函数的解析式为2y x =--；（2）2y x =--中，令0y =，则2x =-， 即直线2y x =--与x 轴交于点(2,0)C -，112224622AOB AOC BOC S S S ∆∆∆∴=+=⨯⨯+⨯⨯=；（3）由图可得，不等式0m kx b x+->的解集为：4x <-或02x <<．【解答】解：（1）①如图1，四边形ABCD 是矩形， 90C D ∴∠=∠=︒，1390∴∠+∠=︒，由折叠可得90APO B ∠=∠=︒， 1290∴∠+∠=︒，23∴∠=∠，又D C ∠=∠，OCP PDA ∴∆∆∽；②如图1，OCP ∆与PD A ∆的面积比为1:4， ∴1142OP CP PA DA ===， 142CP AD ∴==， 设OP x =，则8CO x =-， 在Rt PCO ∆中，90C ∠=︒，由勾股定理得222(8)4x x =-+， 解得：5x =，210AB AP OP ∴===，∴边AB 的长为10；（2）作//MQ AN ，交PB 于点Q ，如图2， AP AB =，//MQ AN ，APB ABP MQP ∴∠=∠=∠． MP MQ ∴=，BN PM =，BN QM ∴=．MP MQ =，ME PQ ⊥，12EQ PQ ∴=． //MQ AN ，QMF BNF ∴∠=∠，在MFQ ∆和NFB ∆中，QFM NFB QMF BNF MQ BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MFQ NFB AAS ∴∆≅∆．12QF QB ∴=， 111222EF EQ QF PQ QB PB ∴=+=+=， 由（1）中的结论可得：4PC =，8BC =，90C ∠=︒， 228445PB ∴=+=，1252EF PB ∴==， ∴在（1）的条件下，当点M 、N 在移动过程中，线段EF 的长度不变，它的长度为25．。
北师大版九年级上册数学期中考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列命题中，真命题是（）A ．两条对角线垂直的四边形是菱形B ．对角线垂直且相等的四边形是正方形C ．两条对角线相等的四边形是矩形D ．两条对角线相等的平行四边形是矩形2．如图，菱形ABCD 中，B 60∠= ，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（）A ．14B ．15C ．16D ．173．若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是A ．k ＞1B ．k ＜1C ．k ＞1且k≠0D ．k ＜1且k≠04．一个袋子里装有8个球，其中6个黄球2个红球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一个红球的概率是（）A ．18B ．16C ．14D ．345．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（）A 、250(1+x)=182B ．50+50(1+x)+250(1+x)=182C 、50(1+2x)＝182D ．50+50(1+x)(1+2x)=1826．矩形具有而菱形不具有的性质是()A ．对角线相等B ．两组对边分别平行C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等7．顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是()A ．等腰梯形B ．正方形C ．平行四边形D ．矩形8．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=9．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）①AC BD ⊥；②90BAD ∠= ；③AB BC =；④AC BD =．A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③二、填空题10．已知菱形ABCD 的面积是12cm 2，对角线AC ＝4cm ，则菱形的边长是______cm ．11．方程(x ＋2)(x －1)=0的解为___________________．12．已知23m p n q ==(n+q≠0)，则m p n q++＝_______________．13．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD=120°，AB=2.5，则AC 的长为。
北师大版九年级上册数学期中考试试卷一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．下列方程是一元二次方程的是()A ．x 2﹣y ＝1B ．x 2+2x ﹣3＝0C ．x 2+1x＝3D ．x ﹣5y ＝62．一元二次方程x 2+kx ﹣3＝0的一个根是x ＝1，则k 的值为（）A ．2B ．﹣2C ．3D ．﹣33．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（）A ．23B ．12C ．13D ．144．已知m 是方程2310x x --=的一个根，则代数式23m m -的值等于（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．25．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列结论中不一定成立的是()A ．BAC DAC ∠=∠B ．OA OC =C ．AC BD⊥D ．AC BD=6．用配方法解方程2210x x --=，原方程应变形为（）A ．2(1)2x -=B ．2(1)3x -=C ．2(2)5x -=D ．2(2)5x +=7．一元二次方程2x 2-x+1=0的根的情况是（）A ．两个不相等的实数根B ．两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断8．在一个不透明的空袋子里，放入仅颜色不同的2个红球和1个白球，从中随机摸出1个球后不放回，再从中随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率是（）A ．13B ．23C ．49D ．599．如图，四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（）①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形；②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4a b +④四边形A n B n C n D n 的面积是12n ab+．A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④10．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（）①AC=BD ；②AC ⊥BD ；③AB=BC ；④∠BAD=90°．A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③二、填空题11．一元二次方程()()320x x --=的根是_____．12．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中．不断重复实验多次后，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．则据此估计盒子中大约有白球___________个．13．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为16，则OH 的长等于_____．14．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠BOC ＝120°，AB ＝4，则BC 的长为_____．15．如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直），把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，列出的方程是_____．（化为一般式）16．定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a2-4a+b，如3⊕5=32-4×3+5，若x⊕1=13，则实数x的值_________________．三、解答题17．解方程：x2﹣2x﹣8＝0．18．解方程：（x+2）2﹣10（x+2）+25＝019．如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，求菱形的边长和面积．20．某商场将某种商品的售价从原来的每件60元经两次调价后调至每件48.6元（1）若该商店两次调价的百分比相同，求这个百分比；（2）调价后，经调查：该商品每月可销售300件，但每件降价1元，即可多销售10件．为了获利4160元，并减少库存，每件应该降价多少元？（设成本价为33.6元）21．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC＝2，BC＝3．点E是BC延长线上一点，且CE＝3，连结DE．（1）求证：四边形ACED 为矩形．（2）连结OE ，求OE 的长．22．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，在一次购物中，张华和李红都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”四种支付方式中选一种方式进行支付．(1)张华用“微信”支付的概率是______．(2)请用画树状图或列表法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．(其中“微信”、“支付宝”、“银行卡”、“现金”分别用字母“A”“B”“C”“D”代替)23．已知：平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14＝0的两个实数根．（1）m 为何值时，四边形ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB 的长为2，那么▱ABCD 的周长是多少？24．如图，△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于F ，连结CF ．（1）求证：四边形ADCF 是平行四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是菱形；（3）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCF 是正方形．注：（2）、（3）小题直接填写条件，不需要写出理由．25．已知，边长为6的正方形ABCO 在如图所示的直角坐标系中，点M （t ，0）为x 轴上的一个动点，过A 作直线MC 的垂线交y 轴于点N ，垂足为点D ．（1）当06t <<时，求证：△AON ≌△COM ；（2）当06t <<时，且D 为CM 的中点时，求t 的值（3）连接MN ，设△AMN 的面积为S ，当S ＝72时，直接写出t 的值．参考答案1．B 【详解】试题解析：根据一元二次方程的定义可以判断选项B 的方程是一元二次方程.故选B.2．A 【详解】将1x =代入方程230x kx +-=有130k +-=，解得2k =，故选A 3．D 【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：第一次第二次开始 ⎧⎧⎨⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪⎩⎩红球红球绿球红球绿球绿球∴P 两次都是红球14=．故选D ．【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．4．B 【分析】根据题意，将m 代入方程，解得关于字母m 的一元二次方程即可．【详解】m 是方程2310x x --=的一个根，2310m m ∴--=231m m ∴-=故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的根，是基础考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键．5．D 【分析】根据菱形的性质即可一一判断【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴BAC DAC ∠=∠，OA OC =，AC BD ⊥，故A 、B 、C 正确，故选D.【点睛】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．6．A【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边利用完全公式表示即可．【详解】x2-2x=1，x2-2x+1=2，（x-1）2=2．故选A．【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．7．C【分析】先计算△=b2-4ac的值，再根据计算结果判断方程根的情况即可．【详解】∵△=b2-4ac=1-8=-7＜0，∴一元二次方程2x2-x+1=0没有实数根．故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．8．A【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两次都摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：将红球标记为红1，红2，画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中两次都摸到红球的结果数为2，所以随机摸出1个球，两次都摸到红球的概率=21 63 ．故选：A．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．9．C【分析】首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：①根据矩形的判定与性质作出判断；②根据菱形的判定与性质作出判断；③由四边形的周长公式：周长＝边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；④根据四边形A n B n∁n D n的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．【详解】解：连接A1C1，B1D1，①∵在四边形ABCD 中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，∴A 1D 1∥BD ，B 1C 1∥BD ，C 1D 1∥AC ，A 1B 1∥AC ；∴A 1D 1∥B 1C 1，A 1B 1∥C 1D 1，∴四边形A 1B 1C 1D 1是平行四边形；∵AC 丄BD ，∴四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，∴B 1D 1＝A 1C 1（矩形的两条对角线相等）；∴A 2D 2＝C 2D 2＝C 2B 2＝B 2A 2（中位线定理），∴四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；故①错误；②由①知，四边形A 2B 2C 2D 2是菱形；∴根据中位线定理知，四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；故②正确；③根据中位线的性质易知，A 5B 5＝12A 3B 3＝12×12A 1B 1＝12×12×12AC ，B 5C 5＝12B 3C 3＝12×12B 1C 1＝12×12×12BD ，∴四边形A 5B 5C 5D 5的周长是2×18（a+b ）＝4a b+；故③正确；④∵四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC 丄BD ，∴S 四边形ABCD ＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形A n B n ∁n D n 的面积是12n ab+；故④正确；综上所述，②③④正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．10．B【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此判断即可．【详解】解：①▱ABCD 中，AC=BD ，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故①错误．②▱ABCD 中，AC ⊥BD ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故②正确；③▱ABCD 中，AB=BC ，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可判定▱ABCD 是菱形；故③正确；④▱ABCD 中，∠BAD=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可判定▱ABCD 是矩形，而不能判定▱ABCD 是菱形；故④错误；故选：B ．【点睛】此题考查了菱形的判定与矩形的判定定理．此题难度不大，注意掌握菱形的判定定理是解此题的关键．11．123,2==x x 【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．【详解】解：30x -=或20x -=，所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12．16【分析】设盒子中大约有白球x 个，根据黑球有4个，利用黑球数量除以球的总数可得其频率为0.2，据此列方程解题即可．【详解】设盒子中大约有白球x个，根据题意得：40.24x=+解得:16x=故答案为：16．【点睛】本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．13．2．【分析】先根据菱形ABCD的周长为16，求出边长AB，然后根据H为AD边中点，O为BD的中点，可得OH＝12AB，即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为16，∴AB＝4，∵H为AD边中点，O为BD的中点，∴OH＝12AB＝2．故答案为2．【点睛】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质以及三角形的中位线，熟练掌握相关知识是解题的关键．14．【分析】由矩形对角线互相平分的性质，得到BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的对边对等角的性质解出BCO∠的度数，最后根据锐角三角函数解直角三角形即可．【详解】在矩形ABCD中，AC=BDOC OB∴=BCO OBC ∴∠=∠120BOC ∠=︒180120302BCO ︒-︒∴∠==︒在t R ABC 中，tan ∠=AB ACB BC 4tan 30BC ∴︒=4tan 3033BC ∴===︒故答案为：【点睛】本题考查矩形对角线的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．15．x 2﹣36x +35＝0【分析】试验地的面积=矩形耕地的面积-三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积．设道路宽x ，可根据此关系列出方程．【详解】解：设道路为x 米宽，由题意得：20×32﹣20x ×2﹣32x +2x 2＝570，整理得：x 2﹣36x +35＝0，故答案为x 2﹣36x +35＝0．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，整体面积=各部分面积之和；剩余面积=原面积-截去的面积．16．-2或6．【分析】根据新运算的法则，将字母x 代替字母a ，数字1代替字母b ，列式计算关于x 的一元二次方程，采用因式分解法解题．【详解】a ⊕b=a 2-4a+b ，214113x x x ∴⊕=-+=(6)(2)0x x ∴-+=1262x x ∴==-，故答案为：-2或6．【点睛】本题考查定义新运算，其中涉及因式分解法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．x 1＝4，x 2＝﹣2．【分析】用十字相乘法进行因式分解，或配方法求解可得．【详解】十字相乘法：解：（x ﹣4）（x +2）＝0，x ﹣4＝0或x +2＝0，所以x 1＝4，x 2＝﹣2．配方法：（x -1）2=9x -1=3或x -1=-3所以x 1＝4，x 2＝﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．18．x 1＝x 2＝3【分析】运用完全平方公式变形后，开方，解对应一元一次方程即可．【详解】解：（x +2﹣5）2＝0，∴x ﹣3＝0，∴x 1＝x 2＝3；【点睛】本题考查解一元二次方程．熟练掌握完全平方公式是解题关键．19．菱形边长为5，面积为24【分析】由菱形对角线互相垂直且平分的性质，解得AO 、BO 的长，再由勾股定理解得AB 的长，最后由菱形的面积公式解题即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，AC=6，BD=8∴AO=12AC=3，BO=12BD=4，AC ⊥BD ∴在Rt △AOB 中，由勾股定理得：5==11682422ABCD S AC BD =⨯⨯=⨯⨯=菱形∴菱形边长为5，面积为24．【点睛】本题考查菱形的面积，其中涉及菱形的对角线的性质、勾股定理、菱形面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20．（1）这个百分比为10%；（2）每件商品再降价2元．【分析】（1）设调价百分率为x ，根据售价从原来每件60元经两次调价后调至每件48.6元，可列方程求解．（2）根据给出的条件从而求出多售的件数，从而得到两次调价后，每月可销售该商品数量，再依此列出方程求解即可．【详解】解：（1）设这种商品平均降价率是x ，依题意得：60（1﹣x ）2＝48.6，解得：x 1＝0.1＝10%，x 2＝1.9（舍去）．答：这个百分比为10%；（2）设每件商品再降价y元，根据题意得（48.6﹣33.6﹣y）（300+10y）＝4160解得：y1＝2，y2＝﹣17（不合题意舍去）．答：每件商品再降价2元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．21．（1）见解析（2【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝3，AD∥BC，得到AD＝CE，推出四边形ACED 是平行四边形，由垂直的定义得到∠ACE＝90°，于是得到结论；（2）根据三角形的中位线定理得到OC＝12DE＝12AC＝1，由勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝3，AD∥BC，∵CE＝3，∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AC⊥BC，∴∠ACE＝90°，∴四边形ACED为矩形；（2）解：连接OE，如图，∵BO＝DO，BC＝CE，∴OC＝12DE＝12AC＝1，∵∠ACE ＝90°，∴OE ==【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，结合三角形中位线定理和勾股定理进行求解．22．(1)14；(2)14.【分析】(1)直接利用概率公式求解可得．(2)首先根据题意列表，然后列表求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：(1)张华用“微信”支付的概率是14，故答案为14；(2)列表如下：AB C D A (A ，A)(A ，B)(A ，C)(A ，D)B (B ，A)(B ，B)(B ，C)(B ，D)C (C ，A)(C ，B)(C ，C)(C ，D)D(D ，A)(D ，B)(D ，C)(D ，D)由列表或树状图可知，共有16种结果，且每种结果的可能性相同，其中两人恰好选择同一种支付方式的有4种，故P (两人恰好选择同一种支付方式)＝14．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（1）当m 为1时，四边形ABCD 是菱形，边长是12；（2）▱ABCD 的周长是5．【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB ＝AD ，结合根的判别式，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长；（2）将x ＝2代入原方程可求出m 的值，将m 的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD 的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD 的周长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ．又∵AB 、AD 的长是关于x 的方程x 2﹣mx+2m ﹣14＝0的两个实数根，∴△＝（﹣m ）2﹣4×（2m ﹣14）＝（m ﹣1）2＝0，∴m ＝1，∴当m 为1时，四边形ABCD 是菱形．当m ＝1时，原方程为x 2﹣x+14＝0，即（x ﹣12）2＝0，解得：x 1＝x 2＝12，∴菱形ABCD 的边长是12．（2）把x ＝2代入原方程，得：4﹣2m+2m ﹣14＝0，解得：m ＝52．将m ＝52代入原方程，得：x 2﹣52x+1＝0，∴方程的另一根AD ＝1÷2＝12，∴▱ABCD 的周长是2×（2+12）＝5．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，解题的关键是：（1）根据菱形的性质结合根的判别式，找出关于m 的一元二次方程；（2）根据根与系数的关系结合方程的一根求出方程的另一根．24．（1）见解析；（2）当△ABC 满足∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是菱形；（3）当△ABC 满足AB ＝AC 且∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是正方形．【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，得到∠FAE ＝∠EDB ，∠AFE ＝∠EBD ，进而证明△AEF ≌△DEB （AAS ），再由全等三角形对应边相等性质，解得AF=DB ，结合AD 是BC 边中线，解得AF=DC ，最后根据一组对边平行且相等可证明四边形ADCF 为平行四边形；（2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形解题，即当三角形ABC 是直角三角形时，斜边中线等于斜边的一半即可判定；（3）根据有一个直角的菱形是正方形解题，当AD BC ⊥且BA AC ⊥时，由三线合一性质，可解题．【详解】（1）证明：∵AF //BC ，∴∠FAE ＝∠EDB ，∠AFE ＝∠EBD ，在AEF 和△DEB 中，AFE DBE AEF DEB AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△DEB （AAS ），∴AF ＝DB ，又∵BD ＝DC ，∴AF ＝DC ，又∵AF //DC ，∴四边形ADCF 为平行四边形．（2）当△ABC 满足∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是菱形；AD 是t R ABC 斜边BC 的中线，12AD BC DC ∴==又 四边形ADCF 是平行四边形∴四边形ADCF 是菱形；（3）当△ABC 满足AB ＝AC 且∠BAC ＝90゜条件时，四边形ADCF 是正方形．∠BAC ＝90゜，AD 是BC 边的中线，AD BC∴=又 四边形ADCF 为平行四边形，∴四边形ADCF 为菱形，90ADC ∠=︒∴四边形ADCF 为正方形．【点睛】本题考查特殊平行四边形的判定与性质，其中涉及平行线的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．25．（1）详见解析；（2）6t =；（3）1【分析】（1）根据题意得∠CDN =∠AOC =90°，根据∠CND =∠ANO ，推出∠NAO =∠NCD ，再结合正方形的性质即可证明△AON ≌△COM ；（2）连接AC ，根据AD ⊥MC ，D 为CM 的中点，得AC =AM ，求出AM =AC =OM =AM -AO =6-，即可得出t ；（3）分当0<t<6时和当t>6时两种情况讨论即可．【详解】（1）∵AD ⊥MC ∴∠CDN =∠AOC =90°又∵∠CND =∠ANO ∴∠NAO =∠NCD 又∵正方形ABCO∴AO =CO ，∠AON =∠COM =90°∴△AON ≌△COM ；（2）连接AC ，∵AD⊥MC，D为CM的中点∴AC=AM又∵边长为6∴AC=∴AM=AC=∴OM=AM-AO=6-∴6t=-；（3）由(1)可知：当0<t<6时，△AON≌△COM，∴NO=MO，设NO=MO=t，∴S△AMN =12×AM×NO=12×（6+t）×t=72解得：t1=1，t2=-7（舍），当t>6时，如图②，，由题可知：∵∠NDC=90°，∴∠ANC+∠DCN=90°，又∵∠OCM+∠OMC=90°，∠DCN=∠OCM，∴∠ANO=∠OMC，21∴在△ANO 与△CMO 中=AO CO AND OMC AON COM =⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△ANO ≌△CMO （AAS ），∴NO=MO ，连接MN，∴S △AMN =12AM·NO ，设MO=t ，∴NO=MO=t ，∴S △AMN =12（6+t ）×t=72，解得t 1=1，t 2=-7（舍），综上：t=1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．。
