2011年高考数学高频考点3数列

2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．57．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．19．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合U={1，2，3，4}，M={1，2，3}，N={2，3，4}，则∁U（M∩N）=（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】先根据交集的定义求出M∩N，再依据补集的定义求出∁U（M∩N）．【解答】解：∵M={1，2，3}，N={2，3，4}，∴M∩N={2，3}，则∁U（M∩N）={1，4}，故选：D．【点评】本题考查两个集合的交集、补集的定义，以及求两个集合的交集、补集的方法．2．（5分）函数y=（x≥0）的反函数为（）A．y=（x∈R）B．y=（x≥0）C．y=4x2（x∈R）D．y=4x2（x≥0）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：∵y=（x≥0），∴x=，y≥0，故反函数为y=（x≥0）．故选：B．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．3．（5分）设向量、满足||=||=1，•=﹣，|+2|=（）A．.B．C．、D．.【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由|+2|==，代入已知可求【解答】解：∵||=||=1，•=﹣，|+2|===故选：B．【点评】本题主要考查了向量的数量积性质的基本应用，属于基础试题4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．3【考点】7C：简单线性规划．【专题】31：数形结合．【分析】我们先画出满足约束条件的平面区域，然后求出平面区域内各个顶点的坐标，再将各个顶点的坐标代入目标函数，比较后即可得到目标函数的最值．【解答】解：约束条件的平面区域如图所示：由图可知，当x=1，y=1时，目标函数z=2x+3y有最小值为5故选：C．【点评】本题考查的知识点是线性规划，其中画出满足约束条件的平面区域是解答本题的关键．5．（5分）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b3【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】5L：简易逻辑．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b 推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．【点评】本题考查不等式的性质、考查通过举反例说明某命题不成立是常用方法．6．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S k+2﹣S k=24，则k=（）A．8B．7C．6D．5【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题．，S k，将S k+2﹣S k=24转化为关于k 【分析】先由等差数列前n项和公式求得S k+2的方程求解．【解答】解：根据题意：S k+2=（k+2）2，S k=k2∴S k﹣S k=24转化为：+2（k+2）2﹣k2=24∴k=5故选：D．【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式及其应用，同时还考查了方程思想，属中档题．7．（5分）设函数f（x）=cosωx（ω＞0），将y=f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．9【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】56：三角函数的求值．【分析】函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，容易得到结果．【解答】解：f（x）的周期T=，函数图象平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明函数平移整数个周期，所以，k∈Z．令k=1，可得ω=6．故选：C．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的平移，三角函数的周期定义的理解，考查技术能力，常考题型．8．（5分）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则CD=（）A．2B．C．D．1【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】11：计算题．【分析】根据线面垂直的判定与性质，可得AC⊥CB，△ACB为直角三角形，利用勾股定理可得BC的值；进而在Rt△BCD中，由勾股定理可得CD的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，可得AC⊥面β，则AC⊥CB，△ACB为Rt△，且AB=2，AC=1，由勾股定理可得，BC=；在Rt△BCD中，BC=，BD=1，由勾股定理可得，CD=；故选：C．【点评】本题考查两点间距离的计算，计算时，一般要把空间图形转化为平面图形，进而构造直角三角形，在直角三角形中，利用勾股定理计算求解．9．（5分）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12种B．24种C．30种D．36种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】11：计算题．【分析】本题是一个分步计数问题，恰有2人选修课程甲，共有C42种结果，余下的两个人各有两种选法，共有2×2种结果，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，∵恰有2人选修课程甲，共有C42=6种结果，∴余下的两个人各有两种选法，共有2×2=4种结果，根据分步计数原理知共有6×4=24种结果故选：B．【点评】本题考查分步计数问题，解题时注意本题需要分步来解，观察做完这件事一共有几步，每一步包括几种方法，这样看清楚把结果数相乘得到结果．10．（5分）设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），则=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】3I：奇函数、偶函数；3Q：函数的周期性．【专题】11：计算题．【分析】由题意得=f（﹣）=﹣f（），代入已知条件进行运算．【解答】解：∵f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）=2x（1﹣x），∴=f（﹣）=﹣f（）=﹣2×（1﹣）=﹣，故选：A．【点评】本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，以及求函数的值．11．（5分）设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C1C2|=（）A．4B．C．8D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】圆在第一象限内，设圆心的坐标为（a，a），（b，b），利用条件可得a 和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C1C2|=•的值．【解答】解：∵两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），故圆在第一象限内，设两个圆的圆心的坐标分别为（a，a），（b，b），由于两圆都过点（4，1），则有=|a|，|=|b|，故a和b分别为（x﹣4）2+（x﹣1）2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣10x+17=0 的两个实数根，∴a+b=10，ab=17，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32，∴两圆心的距离|C1C2|=•=8，故选：C．【点评】本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．12．（5分）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的半径为4，圆M的面积为4π，则圆N的面积为（）A．7πB．9πC．11πD．13π【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先求出圆M的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径，从而求出面积．【解答】解：∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=∴圆N的半径为则圆的面积为13π故选：D．【点评】本题主要考查了二面角的平面角，以及解三角形知识，同时考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1﹣x）10的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为：0．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数分别取1；9求出展开式的x的系数与x9的系数；求出两个系数的差．=（﹣1）r C10r x r【解答】解：展开式的通项为T r+1所以展开式的x的系数﹣10x9的系数﹣10x的系数与x9的系数之差为（﹣10）﹣（﹣10）=0故答案为：0【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．14．（5分）已知a∈（π，），tanα=2，则cosα=﹣．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】11：计算题．【分析】先利用α的范围确定cosα的范围，进而利用同脚三角函数的基本关系，求得cosα的值．【解答】解：∵a∈（π，），∴cosα＜0∴cosα=﹣=﹣故答案为：﹣【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．解题的关键是利用那个角的范围确定三角函数符号．15．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题；31：数形结合；35：转化思想．【分析】根据题意知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，解三角形即可求得结果．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．【点评】此题是个基础题．考查异面直线所成角问题，求解方法一般是平移法，转化为平面角问题来解决，体现了数形结合和转化的思想．16．（5分）已知F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为（2，0），AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|=6．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】16：压轴题．【分析】利用双曲线的方程求出双曲线的参数值；利用内角平分线定理得到两条焦半径的关系，再利用双曲线的定义得到两条焦半径的另一条关系，联立求出焦半径．【解答】解：不妨设A在双曲线的右支上∵AM为∠F1AF2的平分线∴=又∵|AF1|﹣|AF2|=2a=6解得|AF2|=6故答案为6【点评】本题考查内角平分线定理；考查双曲线的定义：解有关焦半径问题常用双曲线的定义．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2=6，6a1+a3=30，求a n和S n．【考点】88：等比数列的通项公式；89：等比数列的前n项和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，由题意得：，解得：或，当a1=3，q=2时：a n=3×2n﹣1，S n=3×（2n﹣1）；当a1=2，q=3时：a n=2×3n﹣1，S n=3n﹣1．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知asinA+csinC﹣asinC=bsinB，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若A=75°，b=2，求a，c．【考点】HU：解三角形．【专题】11：计算题．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得B．（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA的值，进而利用正弦定理分别求得a和c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得a2+c2﹣ac=b2，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，故cosB=，B=45°（Ⅱ）sinA=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=故a=b×==1+∴c=b×=2×=【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用．19．（12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；CN：二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设该车主购买乙种保险的概率为P，由相互独立事件概率公式可得P（1﹣0.5）=0.3，解可得p，先求出该车主甲、乙两种保险都不购买的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案．（II）该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买，是一个n次独立重复试验恰好发生k次的概率，根据上一问的结果得到该地的一位车主甲、乙两种保险都不购买的概率，代入公式得到结果．【解答】解：（I）设该车主购买乙种保险的概率为p，根据题意可得p×（1﹣0.5）=0.3，解可得p=0.6，该车主甲、乙两种保险都不购买的概率为（1﹣0.5）（1﹣0.6）=0.2，由对立事件的概率该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率1﹣0.2=0.8（II）每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为0.2，则该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率P=C31×0.2×0.82=0.384．【点评】本题考查互斥事件的概率公式加法公式，考查n次独立重复试验恰好发生k次的概率，考查对立事件的概率公式，是一个综合题目．20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理，即证明SD垂直于面SAB中两条相交的直线SA，SB；在证明SD与SA，SB的过程中运用勾股定理即可（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小即利用平面SBC的法向量，当为锐角时，所求的角即为它的余角；当为钝角时，所求的角为【解答】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，∵AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=1∴AD==∵侧面SAB为等边三角形，AB=2∴SA=2∵SD=1∴AD2=SA2+SD2∴SD⊥SA同理：SD⊥SB∵SA∩SB=S，SA，SB⊂面SAB∴SD⊥平面SAB（Ⅱ）建立如图所示的空间坐标系则A（2，﹣1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），作出S在底面上的投影M，则由四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB 为等边三角形知，M点一定在x轴上，又AB=BC=2，CD=SD=1．可解得MD=，从而解得SM=，故可得S（，0，）则设平面SBC的一个法向量为则，即取x=0，y=，z=1即平面SBC的一个法向量为=（0，，1）又=（0，2，0）cos＜，＞===∴＜，＞=arccos即AB与平面SBC所成的角的大小为arcsin【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角以及空间向量的基本知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y=f（x）在x=0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x=x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）在x=0处的导数和f（0）的值，结合直线方程的点斜式方程，可求切线方程；（Ⅱ）f（x）在x=x0处取得最小值必是函数的极小值，可以先通过讨论导数的零点存在性，得出函数有极小值的a的大致取值范围，然后通过极小值对应的x0∈（1，3），解关于a的不等式，从而得出取值范围【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+6ax+3﹣6a由f（0）=12a﹣4，f′（0）=3﹣6a，可得曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=（3﹣6a）x+12a﹣4，当x=2时，y=2（3﹣6a）+12a﹣4=2，可得点（2，2）在切线上∴曲线y=f（x）在x=0的切线过点（2，2）（Ⅱ）由f′（x）=0得x2+2ax+1﹣2a=0 (1)方程（1）的根的判别式①当时，函数f（x）没有极小值②当或时，由f′（x）=0得故x0=x2，由题设可知（i）当时，不等式没有实数解；（ii）当时，不等式化为a+1＜＜a+3，解得综合①②，得a的取值范围是【点评】将字母a看成常数，讨论关于x的三次多项式函数的极值点，是解决本题的难点，本题中处理关于a的无理不等式，计算也比较繁，因此本题对能力的要求比较高．22．（12分）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题；35：转化思想．【分析】（1）要证明点P在C上，即证明P点的坐标满足椭圆C的方程，根据已知中过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足，我们求出点P的坐标，代入验证即可．（2）若A、P、B、Q四点在同一圆上，则我们可以先求出任意三点确定的圆的方程，然后将第四点坐标代入验证即可．【解答】证明：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2）椭圆C：①，则直线AB的方程为：y=﹣x+1 ②联立方程可得4x2﹣2x﹣1=0，则x1+x2=，x1×x2=﹣则y1+y2=﹣（x1+x2）+2=1设P（p1，p2），则有：=（x1，y1），=（x2，y2），=（p1，p2）；∴+=（x1+x2，y1+y2）=（，1）；=（p1，p2）=﹣（+）=（﹣，﹣1）∴p的坐标为（﹣，﹣1）代入①方程成立，所以点P在C上．（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．设线段AB的中点坐标为（，），即（，），则过线段AB的中点且垂直于AB的直线方程为：y﹣=（x﹣），即y=x+；③∵P关于点O的对称点为Q，故0（0.0）为线段PQ的中点，则过线段PQ的中点且垂直于PQ的直线方程为：y=﹣x④；③④联立方程组，解之得：x=﹣，y=③④的交点就是圆心O1（﹣，），r2=|O1P|2=（﹣﹣（﹣））2+（﹣1﹣）2=故过P Q两点圆的方程为：（x+）2+（y﹣）2=…⑤，把y=﹣x+1 …②代入⑤，有x1+x2=，y1+y2=1∴A，B也是在圆⑤上的．∴A、P、B、Q四点在同一圆上．【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，向量在几何中的应用，其中判断点与曲线关系时，所使用的坐标代入验证法是解答本题的关键．。

1、在等差数列{}n a 中,22=a , 43=a ,则 =10a （ ） A.12 B.14 C.16 D.182、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若11a =,公差为22,24k k d S S +=-=,则k=（ ）A.8 B.7 C.6 D.53、数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若32b =-,1012b =,则8a =（ ）A.0B.3C.8D.114、若等比数列{}n a 满足116n n n a a +=,则公比为（ ） A.2B.4C.8D.165、已知{}n a 为等差数列,其公差为-2,且7a 是3a 与9a 的等比中项,n S 为{}n a 的前n 项和,n N *∈,则10S 的值为（ ） (A)-110 (B)-90 (C)90 (D)110 6、若数列{}n a 的通项公式是()()n na n =-13-2,则a a a 1210+++=L （ ）(A)15 (B) 12 (C ) -12 (D) -15 7、已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m nS S S +=+,且11=a ,那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 8、若数列2{(4)()}3nn n +中的最大项是第k 项,则k =______ 9、已知已知{}n a 为等差数列, n S 为{}n a 的前n 项和,n N *∈,若316a =,2020S =,则10S 的值为_______10、设{n a }为等差数列,公差d = -2,n S 为其前n 项和.若1011S S =,则1a =( )A.18B.20C.22D.2411、等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若11a =,40k a a +=,则k =_________.12、在等差数列{}n a 中,3737a a +=,则2468a a a a +++= _____________13、设n S 是等差数列*{}()n a n N ∈的前n 项和,且141,7a a ==,则5______S =14、n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若264,1S S a ==,则5a =__________.15、《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为____________升.16、在等比数列{}n a 中,若112a =,44a =,则公比q =____________;12n a a a +++= _____________. （16）、在等比数列{}n a 中,若112a =,44a =-,则公比q =____________;12||||||n a a a +++= _____________.17、已知{}n a 是递增的等比数列，若22a =，434a a -=，则此数列的公比q = ．18、设函数()(0)2x f x x x =>+,观察:1()()2x f x f x x ==+,21()(())34xf x f f x x ==+, 32()(())78x f x f f x x ==+, 43()(())1516xf x f f x x ==+, 根据以上事实,由归纳推理可得:当*n N ∈且2n ≥时,1()(())n n f x f f x -==_______________.19、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知26,a =13630,a a +=求n a 和n S20、设{n a }是公比为正数的等比数列,1a =2,3a =24a +.(Ⅰ)求{n a }的通项公式; (Ⅱ)设{n b }是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{nn a b +}的前n 项和n S .21、已知等差数列{}n a 满足2680,10.a a a =+=-(I)求数列{}n a 的通项公式;(II)求数列1{}2n n a-的前n 项和.22、已知等差数列{}n a 中,131, 3.a a ==-.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n a 的前k 项和35k S =-,求k 的值.23、已知等比数列{}n a 中,113a =,公比1.3q = (1)n S 为{}n a 的前n 项和,证明:12nn a S -=.(2)设 31323log log log ,n n b a a a =+++ 求数列{}n b 的通项公式.24、等比数列{n a }的各项均为整数,且1223a a +=1,23a =269a a ,(Ⅰ)求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)设n b =31323log log log n a a a +++ ,求数列{1nb }的前n 项和.25、成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{}n b 中的345,,.b b b (I) 求数列{}n b 的通项公式;(II) 数列{}n b 的前n 项和为n S ,求证:数列5{}4n S +是等比数列. 26、设0b >,数列{}n a 满足1a b =,111n n n nba a a n --=+-(n ≥2).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)证明:对于一切正整数n ,2n a ≤11n b++.1、D.2、D.3、B4、B.5、D6、A7、A8、【解析】设最大项为第k 项,则有()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+1132313243251324k k k k k k k k k k k k ,∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥0921022k k k ⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-≥⇒101101102k k 4=⇒k .9、110 10、B11、10. 12、74. 13、2514、1-. 15、6667. 16、2,1122n --（16）、-2,1122n -- 17、2 18、(21)2n n x x -+ 19、解:设{}n a 的公比为q,由题设得 12116,630.a q a a q =⎧⎨+=⎩ 解得113,2,2, 3.a a q q ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当113,2,32,3(21);n n n n a q a S -===⨯=⨯-时 当112,3,23,3 1.n n n n a q a S -===⨯=-时20、【解析】(Ⅰ)设等比数列{n a }的公比为q ,由1a =2,3a =24a +知,2224q q =+,即220qq --=,解得q =2或q =-1(舍去),∴q =2, ∴{n a }的通项公式n a =2n (*n N ∈);(Ⅱ) n S =2(12)(1)12122n n n n --+⨯+⨯-=1222n n ++-.21、解:(I)设等差数列{}n a 的公差为d,得11021210a d a d +=⎧⎨+=-⎩,解得111a d =⎧⎨=-⎩ 故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-(II)设数列1{}2nn a -的前n 项和为n S ,则111S a ==, 21122nn n a a S a -=+++ ① 12.2242n n nS a a a =+++ ② 所以,当1n>时,①-②得:121112222n n n n n n S a a a a a a ----=+++- 111121()2422n n n --=-+++- 1121(1)22n n n --=---=.2n n所以1.2n n n S -= 综上,数列1{}2n n a -的前n 项和为1.2nn n S -= 22、解:(1)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1).n a a n d =+-由131,3a a ==-可得12 3.d +=- 解得2d =- 从而,1(1)(2)32.n a n n =+-⨯-=-(2)由(1)可知32n a n =-, 所以2[1(32)]2.2n n n S n n +-==- 进而由35k S =-可得:2235,k k -=-即22350kk --=,解得7k =或 5.k =-又*,k N ∈故7k =23、解析:(I) n a =13·11()3n -=1()3n =13n ,11(1)33113n n S -=-=1132n-=12n a -.(II)解:由(I)知,n b =313233log log log a a a +++3log n a =33211log log 33++311log 3n -=-[1+2+3++(1n -)]=-(1)2n n -,所以,数列{n b }的通项公式为n b =-(1)2n n -24、【解析】(Ⅰ)设数列{n a }的公比为q ,由23a =269a a 得23a =249a ,所以2q =19,由条件可知q >0,故q =13. 由122+3a a =1得112+3a a q =1,所以1a =13, 故数列{n a }的通项公式为n a =13n .(Ⅱ)n b =31323log log log n a a a +++ =(12)n -+++ =(1)2n n +- 故1n b =2(1)n n -+=112()1n n --+,12111n b b b +++ =111112[(1)()()]2231n n --+-++-+ =21n n -+ 所以数列{1n b }的前n 项和为21nn -+. 25、解:(Ⅰ)设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+ 依题意,得15,a da a d -+++=解得: 5.a = 所以{}nb 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意,有(7)(18)100,d d -+=解得:2d =或13d =-(舍去)故{}n b 的第3项为5,公比为2. 由2312,b b =⋅即2152,b =⋅解得:15.4b =所以{}n b 是以54为首项,2为以比的等比数列,其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅(Ⅱ)数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--,即22545-⋅=+n n S 所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此5{}4n S +是以52为首项,公比为2的等比数列. 26、【解析】(Ⅰ)∵111n nn nba a a n --=+- ∴111n n n a ba n a n --=+- ∴1111n n n n a b a b --=⋅+ ① 当1b =时,111n n n n a a ---=,则{}n n a 是以1为首项,1为公差的等差数列 ∴1(1)1nn n n a =+-⨯=,即1n a = ② 当0b >且1b ≠时,11111()11n n n n a b b a b--+=+-- 当1n =时,111(1)n n a b b b +=-- ∴1{}1n n a b +-是以1(1)b b -为首项,1b为公比的等比数列 ∴111()11nn n a b b b+=⋅-- ∴111(1)1(1)n n n n n b a b b b b b -=-=--- ∴(1)1nn nn b b a b -=-综上所述(1),01111nn n n b b b b a b b ⎧->≠⎪=-⎨⎪=⎩　且， (Ⅱ)证明:① 当1b=时,1212n n a b +=+=; ② 当0b >且1b ≠时,211(1)(1)n n n b b b b b ---=-++++要证121n na b+≤+,只需证12(1)11n n n n b b b b +-≤+-, 即证2(1)11n nn b b b b -≤+-即证21211n n n n b b b b b --≤+++++ 即证211()(1)2n n nb b b b n b--+++++≥ 即证21121111()()2n n n n b b b b n b b b b --+++++++++≥∵21121111()()n n n n b b b b b b b b --+++++++++ 21211111()()()()n n n n b b b b b b b b--=++++++++2n ≥+= ,∴原不等式成立 ∴对于一切正整数n ,2n a ≤11n b ++.。

2011-2018新课标数列分类汇编一、选择题【2012新课标】5. 已知为等比数列，472a a +=，，则（ D ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-【2013新课标1】7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝ ( C ) A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.【2013新课标2】3. 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( C )． A ． 13 B ． -13 C ．19 D ． -19【解析】设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q --＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9.∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19. 【2015新课标2】4. 等比数列｛a n ｝满足a 1=3， =21，则( B )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84【2016新课标1】3. 已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （ C ） （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 【解析】解法1：199599272a a S a +===，53a ∴= 1051105a ad -∴==- 10010(10010)89098a a d ∴=+-=+=.解法2：91989272S a d ⨯=+=，即143a d +=，又10198a a d =+=，解得 11,1a d =-=，1001(1001)19998a a d ∴=+-=-+=【2017新课标1】4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ C ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2017新课标1】12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习{}n a 568a a =-110a a +=数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ A ） A ．440 B ．330 C ．220 D ．110【2017新课标2】3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ B ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-==-a S ，解得13a =．【2017新课标3】9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ A ） A ．24- B ．3-C ．3D ．8【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d .则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A. 【2018新课标1】4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则3a =（ ）A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B二、填空题【2012新课标】16. 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为 1830 【解析】可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 【2013新课标1】14、若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋，则数列{a n }的通项公式是a n =__1(2)n --____.【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.【2013新课标2】16．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为_____-49_____．【解析】设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝1109102a d ⨯＋＝10a 1＋45d ＝0，① S 15＝11514152a d ⨯+＝15a 1＋105d ＝25.② 联立①②，得a 1＝－3，23d =， 所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-.令f (n )＝nS n ，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-.令f ′(n )＝0，得n ＝0或203n =.当203n >时，f ′(n )＞0,200<<3n 时，f ′(n )＜0，所以当203n =时，f (n )取最小值，而n ∈N ＋，则f (6)＝－48，f (7)＝－49，所以当n ＝7时，f (n )取最小值－49. 【2015新课标2】16. 设是数列的前n 项和，且，，则________．【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．【2016新课标1】15. 设等比数列 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则12n a a a ⋅⋅⋅的最大值为 64 【解析】由a 1+a 3=10，a 2+a 4=5解得118,2a q ==，14118()()22n n n a --∴==， 27321(4)21211()()22nnn n a a a ----+⋅⋅⋅+-∴⋅⋅⋅==，所以当3n =或4时，12n a a a ⋅⋅⋅有最大值64【2017新课标2】15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ 2+1n n ． 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ，则3123a a d =+=，414610S a d =+= 求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【2017新课标3】14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =___-8_____． 【解析】∵a n {}为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②，显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-， 代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．【2018新课标1】14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．若21n n S a =+，则6S =________． 【答案】-63三、解答题【2011新课标】等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和. 【解析】（1）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以219q =。

2011理科数学数列高考题1、在数1和100之间插入n 个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，n ≥1. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan +⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S .答：本题考查等比和等差数列，对数和指数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力。

解：（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则2121++⋅⋅⋅⋅=n n n t t t t T ① 1212t t t t T n n n ⋅⋅⋅=+⋅+②①×②并利用)21(,102213+≤≤=⋅=⋅+-+n i t t t t n i n i ，得)2(2210+=n n T.1,2lg ≥+==∴n n T a n n（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知1),3tan()2tan(≥+⋅+=n n n b n另一方面，利用kk kk k k tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan ⋅+--+=-+=得11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=⋅+kk k k所以nn kk kk b S n i n i n i i n --+=--+=⋅+==∑∑∑+=+==1tan 3tan )3tan()11tan tan )1tan((tan )1tan(232312、 若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由。

江苏省常州市中学2011高考冲刺复习单元卷—函数与数列3一.填充题: (本题共10个小题,每题4分,共40分)1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 。

2、函数2()f x 的定义域为 。

3、设方程2ln 72x x =-的解为0x ,则关于x 的不等式02x x -<的最大整数解为 。

4、函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是 。

5、设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为 。

6、已知函数()2(0,)a f x x x a R x=+≠∈在区间[)2,+∞是增函数,则实数a 的取值范围为 。

7、函数221(1)1x x y x x -+=>-的值域是 。

8、若不等式组0,22,0,x y x y y x y a-⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥≤≥≤ 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a 的取值范围是 。

9、若关于x 的不等式23344a x xb ≤-+≤的解集恰好是[],a b ，则a b += 。

10、已知x x x f cos sin )(1+=，记'21()()f x f x =,'32()()f x f x =,…,)()('1x f x f n n -=)2*,(≥∈n N n ,则122009()()()444f f f πππ+++= 。

二.附加题: (本题共2个小题,满分10分,不计入总分)11、在计算机的算法语言中有一种函数[]x 叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数．例如：[2]2,[3.1]3,[ 2.6]3==-=-．设函数21()122x x f x =-+，则函数[()][()]y f x f x =+-的值域为 。