考点练习(必修二)：用二元二次方程表示圆的一般方程条件(附答案)

2019-2020年高中数学 4.1.2圆的一般方程练习 新人教A 版必修2基础梳理1．圆的一般方程的定义．当D 2＋E 2－4F>0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程． 2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的图形．已知点M(x 0，y 0)和圆的方程x ＋y ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.则其位置关系如下表：练习1：二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0在什么条件下表示圆的方程？ 答案：A ＝C≠0，B ＝0且D 2＋E 2－4AF ＞0练习2：圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0的圆心为(1，－5)，半径为 ►思考应用1．圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？解析：圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2明确了圆心和半径，方程左边为平方和，右边为一个正数，且未知数的系数为1；一般方程体现了二元二次方程的特点，但未明确圆心和半径，需计算得到．当二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0中的系数A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF>0时，二元二次方程就是圆的一般方程．2．求圆的方程常用“待定系数法”，“待定系数法”的一般步骤是什么？ 解析：(1)根据题意选择方程的形式——标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程．自测自评1．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为(C ) A ．(4，－6)，r ＝16 B ．(2，－3)，r ＝4 C ．(－2，3)，r ＝4 D ．(2，－3)，r ＝16解析：由圆的一般方程可知圆心坐标为(－2，3)， 半径r ＝1242＋（－6）2＋12＝4.2．如果方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F>0)所表示的曲线关于y ＝x 对称，则必有(A )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．F ＝ED ．D ＝E ＝F解析：由题知圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，即－E 2＝－D2，∴D ＝E. 3．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是(B )A ．RB ．(－∞，1)C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：由D 2＋E 2－4F ＝(－4)2＋22－4×5k ＝20－20k >0得k <1.4．圆心是(－3，4)，经过点M (5，1)的圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0． 解析：圆的半径r ＝（－3－5）2＋（4－1）2＝73， ∴圆的标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝73， 展开整理得，x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0为圆的一般方程． 5．指出下列圆的圆心和半径： (1)x 2＋y 2－x ＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)； (3)x 2＋y 2＋2ay －1＝0.解析：(1)⎝⎛⎭⎫x －122＋y 2＝14，圆心⎝⎛⎭⎫12，0，半径r ＝12； (2)(x ＋a )2＋y 2＝a 2，圆心(－a ，0)，半径r ＝|a |； (3)x 2＋(y ＋a )2＝1＋a 2，圆心(0，－a )，半径r ＝1＋a 2. 基础达标1．方程x 2＋y 2＋4x －2y ＋5＝0表示的曲线是(C ) A ．两直线 B ．圆 C ．一点D ．不表示任何曲线2．x 2＋y 2－4y －1＝0的圆心和半径分别为(C )A ．(2，0)，5B ．(0，－2)，5C ．(0，2)， 5D ．(2，2)，5解析：x 2＋(y －2)2＝5，圆心(0，2)，半径 5.3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是(C ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0解析：x 2＋2x ＋y 2＝0配方得(x ＋1)2＋y 2＝1，圆心为(－1，0)，故所求直线为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.4．如果直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是(A )A ．[0，2]B ．[0，1]C.⎣⎡⎦⎤0，12D.⎣⎡⎭⎫0，12 解析：l 必过圆心(1，2)，0≤k ≤2(几何意义知)． 5．圆x 2＋y 2－6x ＋4y ＝0的周长是________． 解析：(x －3)2＋(y ＋2)2＝13，r ＝13，C ＝2πr ＝213π. 答案：213π6．(1)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，探求点M 的轨迹，然后求出它的方程；(2)已知点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12时，M 点的轨迹又是什么？求出它的方程．解析：设M (x ，y )(1)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为1，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝1，化简得3x －2y ＋5＝0.所以M 的轨迹是直线，它的方程是3x －2y ＋5＝0；(2)因为点M 与两个定点A (4，2)、B (－2，6)的距离的比值为12，所以（x －4）2＋（y －2）2（x ＋2）2＋（y －6）2＝12，化简得(x －6)2＋(y －23)2＝2089，故此时M 的轨迹是以(6，23)为圆心，半径为4313的圆，它的方程是(x －6)2＋(y －23)2＝2089.巩固提升7．已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝16上的两点，且|AB |＝6，若以AB 为直径的圆M 恰好经过点C (1，－1)，则圆心M 的轨迹方程是________________________________________________________________________．答案：(x －1)2＋(y ＋1)2＝98．求经过两点P (－2，4)，Q (3，－1)，并且在x 轴上截得的弦长等于6的圆的方程． 解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P (－2，4)，Q (3，－1)代入圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10. 令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0.设x 1，x 2为方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根． 由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 9．已知点A 在直线2x －3y ＋5＝0上移动，点P 为连接M (4，－3)和点A 的线段的中点，求P 的轨迹方程．解析：设点P 的坐标为(x ，y )， A 的坐标为(x 0，y 0)．∵点A 在直线2x －3y ＋5＝0上， ∴有2x 0－3y 0＋5＝0. 又∵P 为MA 的中点，∴有⎩⎨⎧x ＝4＋x 02，y ＝－3＋y 02，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋3. 代入直线方程得2(2x －4)－3(2y ＋3)＋5＝0， 化简得：2x －3y －6＝0即为所求．1．任何一个圆的方程都可写成x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的形式，但方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的曲线不一定是圆，只有D 2＋E 2－4F >0时，方程才表示圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F 的圆．2．在圆的方程中含有三个参变数，因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆．求圆的方程时是选用标准方程还是一般方程的依据：当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心和半径时，一般用标准方程．当上述特征不明显时，常用一般方程，特别是给出圆上三点，用待定系数法求圆的方程时，常用一般式，这样得到的关于D，E，F的三元一次方程组，要比使用标准方程简便得多．3．要画出圆的图象，必须知道圆心和半径，因此应掌握用配方法将圆的一般方程化为标准方程．。

二元二次方程表示圆的充要条件是一个非常重要且基础的数学概念。

在数学中，二元二次方程和圆有着密切的联系，它们之间的关系可以帮助我们更深入地理解圆的特性和性质。

在本文中，我将以从简到繁的方式探讨二元二次方程表示圆的充要条件，并共享我的个人观点和理解。

让我们回顾一下二元二次方程的一般形式：$Ax^2 + By^2 + Cx +Dy + E = 0$。

这是一个关于$x$和$y$的二次方程，其中$A$、$B$、$C$、$D$和$E$都是常数且$A$和$B$不全为零。

而圆的一般方程可以表示为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，其中$(a, b)$是圆心的坐标，$r$是圆的半径。

那么，二元二次方程可以表示圆的充要条件是什么呢？其实，二元二次方程表示圆的充要条件包括两个方面：其一是通过几何推导，我们可以得出一个方程为圆的充分条件并证明其必要性；其二是通过代数推导，我们可以利用二次方程的特性来表示圆并证明其充分必要性。

从几何的角度来看，我们知道圆是由到圆心距离相等的所有点构成的几何图形。

如果一个二元二次方程能够表示一个圆，那么这个方程能够描述所有到圆心距离相等的点。

这意味着，对于圆上的任意一点$(x, y)$，它到圆心$(a, b)$的距离应该等于半径$r$。

通过这个几何特性，我们可以得出二元二次方程表示圆的一种充分条件。

另通过代数推导，我们可以将圆的方程$(x - a)^2 + (y - b)^2 =r^2$展开得到$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 - r^2 = 0$，然后比较系数得到$A = B = 1$，$C = -2a$，$D = -2b$和$E = a^2 + b^2 - r^2$。

这样，我们就可以将圆的方程转化为二元二次方程的一般形式。

反过来，如果一个二元二次方程的系数满足$A = B$且$C = D$，而且满足$(C/2A, D/2A)$是圆心且$E = a^2 + b^2 - r^2$，那么这个二元二次方程就能表示一个圆。

第 24 课时 圆的一般方程课时目标1. 理解二元二次方程表示圆的条件，并能用待定系数法求圆的一般方程．2．掌握圆的一般方程，并理解两种圆的方程在形式上的不一样，能依据题目给出的条件选择合适形式求圆的方程．3．能把圆的两种方程相互转变．识记增强2 22 2 － 4F ＝ 0，则它表示一个点；若 2 21．对于方程 x ＋ y ＋Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0，若 D ＋E D ＋E －4 ＞ 0，则表示一个圆，圆心为 D E 1 2 2 2 2＜ 0，则它 (－ ，－ ) ，半径为 2 D ＋ E －4 ；若 D ＋ E －4 F 2 2 F F 不表示任何图形．2．圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径，而圆的一般方程表示了方程形式上的特点，要给出圆的一般方程需要确立方程中的三个系数 D ， E ，F .课时作业一、选择题 ( 每个 5 分，共 30 分)1．若方程 x 2＋ y 2－ x ＋ y ＋ ＝0 表示圆，则实数的取值范围是 ()mmA. －∞， 1B ． ( －∞， 0)2C. 1D.1，＋∞－∞，22答案： A2212＋ 1 2 11 分析：由 x ＋ y －x ＋ y ＋ m ＝ 0，得 x－＋ y 2 ＝ 2－m . ∵该方程表示圆， ∴ 2－m ＞ 0，2 即 ＜ 1 .m 22＋2－ 2－ 1) 2＝0(0 ＜2．已知圆 x y － 2 y ＋( ＜ 1) ，则原点 O 在 ()axa aA ．圆内B ．圆外C ．圆上D ．圆上或圆外答案： B( x － a ) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2a ，由于 0＜ a ＜ 1，因此 (0 － a ) 2＋ (0 － 1) 2分析： 先化成标准方程 ＝a 2＋ 1＞ 2a ，即原点在圆外．3．圆 x 2＋ y 2－ 2x ＋ 4y ＋ 3＝ 0 的圆心到直线 x － y ＝ 1 的距离为 ()2A ．2 B.2C ．1 D. 2答案： D分析：由于圆心坐标为 (1 ，－ 2) ，因此圆心到直线|1 ＋2－1|＝ 2. x －y ＝ 1 的距离 d ＝24．以下四条直线中，将圆 x 2＋ y 2－ 2x －4y ＋ 1＝ 0 均分的直线是 () A ． ＋ －1＝0 B ． ＋ ＋3＝0x y x yC ． x －y ＋ 1＝ 0D ． x － y ＋ 3＝ 0 答案： C分析： 由题意，知圆心是 (1,2) ，将圆均分的直线必过圆心，因此将圆心的坐标代入各选项考据知选 C.5．假如圆的方程为 x 2＋ y 2＋kx ＋ 2y ＋k 2＝ 0，那么当圆的面积最大时， 圆心坐标为 ( )A ． ( －1,1)B ．(1 ，－ 1)C ． ( －1,0)D ．(0 ，－ 1) 答案： D1 2 2 1 2 分析： r ＝ 2 k ＋ 4－ 4k ＝ 2 4－ 3k ，当 k ＝ 0 时， r 最大．6．圆 x 2＋ y 2－ 4x － 5＝ 0 上的点到直线 3x －4y ＋ k ＝ 0 的最大距离是 4，则 k 的值是 ()A ．－ 1B ．－ 11C ．1 或－ 11D ．－1 或－11 答案： D分析： ∵ d ＝ |6 ＋ k | ，∴ d ＋r ＝ 4，又 r ＝ 3.5∴ k ＝－ 1 或－ 11.二、填空题 ( 每个 5 分，共 15 分)7．圆的一条直径的两个端点是 (2,0) ， (2 ，－ 2) ，则此圆的方程是 ________． 答案： x 2＋ y 2－ 4x ＋ 2y ＋ 4＝ 0122分析： 解法一：圆心坐标为 (2 ，－ 1) ，半径为 2 －＋＋＝ 1因此圆的方程为 ( x － 2) 2＋( y ＋ 1) 2＝ 1，即 x 2＋ y 2－4x ＋ 2y ＋4＝ 0.解法二：以 (2,0) ，(2 ，－2) 为直径端点的圆的方程为( x － 2)( x － 2) ＋ ( y － 0)( y ＋2) ＝ 0，即 x 2＋ y 2－4x ＋ 2y ＋4＝ 0.8．设圆 x 2＋ y 2－ 4 x －5＝ 0 的弦 AB 的中点为 (3,1) ，则直线的方程是 ________．PAB答案： x ＋ y － 4＝ 0 分析： 直线 的方程与点 P 和圆心所确立的直线垂直，由点斜式可得．AB9．圆 x 2＋ y 2＝ 4 上的点到点 A (3,4) 的距离的最大值是 ________，最小值是 ________． 答案： 7 3 x 2＋ y 2＝ 4 分析： 由题意，知圆 的圆心为 O (0,0) ，半径 r ＝ 2. 圆心 O (0,0) 到点 A (3,4)的距离 d ＝ － 2＋ －2＝5，直线 OA 与圆订交于两点，明显这两点中的此中一 个与点 A 的距离近来，另一个与点A 的距离最远，因此距离的最大值为 d ＋ r ＝ 5＋ 2＝7，最小值为 d －r ＝ 5－ 2＝ 3.三、解答题10．(12 分 ) 圆心在直线 2x －y － 7＝ 0 上的圆 C 与 y 轴交于 A (0 ，－ 4) ，B (0 ，－ 2) 两点，求圆 C 的方程． 2＋ 2＋解： 设圆 C 的方程为 x y＋ ＋ ＝0.DEDx Ey F又圆心 C－ ，－在直线2x － y － 7＝ 0 上，22DE∴ 2× －2 － －2 －7＝0，E即 D －2＋7＝0. ①又点 A (0 ，－ 4) ， B (0 ，－ 2) 在圆 C 上，16－ 4E ＋ F ＝ 0∴，②4－ 2E ＋ F ＝0由①②，解得 D ＝－ 4， E ＝ 6， F ＝ 8.22∴圆 C 的方程为 x ＋ y － 4x ＋6y ＋ 8＝ 0.11． (13 分) 已知点 P 在圆 C ：x 2 ＋y 2－ 8x －6y ＋ 21＝0 上运动， O 为坐标原点，求线段的中点 的轨迹方程． OP Mx 0x ＝ 2 0解： 设点 M ( x ，y ) ，点 P ( x 0， y 0) ，则x ＝ 2x，∴.y ＝y 0y 0＝ 2y22 2 － 8x － 6y ＋ 21＝ 0.∵点 P( x ， y ) 在圆 C 上，∴ x＋ y∴ (2 x ) 2＋(2 y ) 2－8×(2 x ) －6×(2 y ) ＋ 21＝ 0，2221即点 M 的轨迹方程为 x ＋ y － 4x － 3y ＋ ＝ 0.能力提高12． (5 分 ) 已知方程 x 2＋ y 2－2( t ＋ 3) x ＋ 2(1 － 4t 2) y ＋ 16t 4＋ 9＝ 0( t ∈R) 表示的是圆．(1) 求 t 的取值范围；(2) 求此中面积最大的圆的方程．解： (1) 方程即 ( x － t － 3) 2＋ ( y ＋1－ 4t 2) 2＝－ 7t 2＋ 6t ＋ 1，由 r 2＝－ 7t 2＋ 6t ＋1＞ 0，得1－ 7＜ t ＜ 1.(2) 由 (1) 知 r 2＝－ 7t 2＋ 6t ＋ 1＝－ 7( t －37) 2＋ 167，∴当 t ＝ 3 时， r max ＝ 4 7 ，此时圆的面积最大，对应的圆的方程为( x － 24 ) 2＋ ( y ＋ 13 ) 27 77 4916＝ 7 .13． (15 分 ) 求经过两点 A (4,2) ， B ( － 1,3) ，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 的圆的方程．解： 设圆的一般方程为x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝0.令 y ＝0，得 x 2＋ Dx ＋ F ＝ 0，因此圆在 x 轴上的截距之和为x 1＋ x 2＝－ D ；令 x ＝0，得 y 2＋ Ey ＋ F ＝ 0，因此圆在 y 轴上的截距之和为 y 1＋ y 2＝－ E ，因此 x 1＋x 2＋ y 1＋ y 2＝－ ( D ＋ E ) ＝2， 因此 D ＋ E ＝－ 2①又由于 A (4,2) ， B ( － 1,3) 两点在圆上， 因此 16＋ 4＋ 4D ＋ 2E ＋ F ＝0② 1＋ 9－D ＋ 3E ＋ F ＝ 0③由①②③可得 D ＝－ 2， E ＝ 0， F ＝－ 12，22。

2017-2018学年高中数学必修2 2.2.2 圆的一般方程同步练习+课后练习同步练习一、选择题:1.方程x 2＋y 2＋4kx －2y ＋5k=0表示圆的条件是( )A.0.25<k<1B.k<0.25或k>1C.k<0.25D.k>12.已知圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2=0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为( )A.(1,1)B.(0,1)C.(－1,0)D.(0，－1)3.如果过A(2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y=0平分，则l 的方程为( )A.x ＋y －3=0B.x ＋2y －4=0C.x －y －1=0D.x －2y=04.已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4=0，则x 2＋y 2的最大值为( ) A.5 B.3＋5 C.14－65 D.14＋655.已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2＋a －1=0外，则a 的取值范围是( )A.a>0.5或a<－1B.371--<a<371+- C.371--<a<－1或12<a<371+- D.a<371--或a>371+- 二、填空题：6.已知点P(2,1)在圆C ：x 2＋y 2＋ax －2y ＋b=0上，点P 关于直线x ＋y －1=0的对称点也在圆C 上，则圆C 的圆心坐标为________，半径为________.7.若直线3x －4y ＋12=0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方 程为 .8.当动点P 在圆x 2＋y 2=2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________.三、解答题：9.已知方程x 2＋y 2＋2x －6y ＋n=0，若n ∈R ，试确定方程所表示的曲线.10.已知圆心为C的圆经过点A(1,0)，B(2,1)，且圆心C在y轴上，求此圆的一般方程.11.圆心在直线2x－y－7=0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的一般方程.课后练习一、选择题：1.圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)=0，则圆心坐标为( ).A.(1，－1)B.(0.5,-1)C.(－1,2)D.(-0.5,-1)2.方程x2＋y2＋4x－2y＋5m=0表示圆，则m的取值范围是( ).A.0＜m＜1B.m＞1C.m＜0D.m＜13.若直线3x＋y＋a=0过圆x2＋y2＋2x－4y=0的圆心，则a的值为( ).A.－1B.1C.3D.－34.已知圆C：x2＋y2＋mx－4=0上存在两点关于直线x－y＋3=0对称，则实数m等于( ).A.8B.－4C. 6D.无法确定5.经过圆x2＋2x＋y2=0的圆心C，且与直线x＋y=0垂直的直线方程是( ).A.x＋y＋1=0B.x＋y－1=0C.x－y＋1=0D.x－y－1=06.点P(4，－2)与圆x2＋y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A.(x－2)2＋(y＋1)2=1B.(x－2)2＋(y＋1)2=4C.(x＋4)2＋(y－2)2=1D.(x＋2)2＋(y－1)2=1二、填空题：7.若直线3x－4y＋12=0与两坐标轴交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为________________.8.若使圆x2＋y2＋2x＋ay－a－12=0(a为实数)的面积最小，则a=________.三、解答题：9.若直线l：ax＋by＋1=0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1=0的周长，求(a－2)2＋(b－2)2的最小值.10.求经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程.同步练习参考答案1.答案为：B ；解析：由D 2＋E 2－4F=16k 2＋4－20k>0，解得k>1或k<0.25.2.答案为：D ；3.答案为：A ；4.答案为：D ；解析：由题知点(x ，y)在圆x 2＋y 2＋4x －2y －4=0，即(x ＋2)2＋(y －1)2=9上. 又圆心(－2,1)到原点的距离为5，故x 2＋y 2的最大值为(5＋3)2=14＋65.5.答案为：C ；6.答案为：(0,1)，2；7.答案为：x 2＋y 2＋4x －3y=0；8.答案为：(x －1.5)2＋(y －0.5)2=0.5；9.解：原方程可变形为(x ＋1)2＋(y －3)2=10－n ， 当n<10时，方程表示的图形是以(－1,3)为圆心，n -10为半径的圆；当n=10时，方程表示的是点(－1,3)；当n>10时，方程不表示任何曲线.10.解：法一：设圆心C 的坐标为(0，b)，由|CA|=|CB|得b=2.∴C 点坐标为(0,2). ∴圆C 的半径r=|CA|=5.∴圆C 的方程为x 2＋(y －2)2=5，即x 2＋y 2－4x －1=0. 法二 AB 的中点为(1.5，0.5).中垂线的斜率k=－1∴AB 的中垂线的方程为y －0.5=－(x －1.5)，令x=0，得y=2，即圆心为(0,2). ∴圆C 的半径r=|CA|=5，∴圆的方程：x 2＋(y －2)2=5，即x 2＋y 2－4x －1=0.11.解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0，(D 2＋E 2－4F ＞0)，则圆心C(－0.5D ，－0.5E)在直线2x －y －7=0上，∴2×(－0.5D)－(－0.5E)－7=0，即D －0.5E ＋7=0，①又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，由①、②、③解得D=－4，E=6，F=8，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋6y ＋8=0.课后练习参考答案1.答案为：D;2.答案为：D;解析：由D 2＋E 2－4F=42＋(－2)2－4×5m=20－20m ＞0，得m ＜1.3.答案为：B;解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y=0化为标准方程：(x ＋1)2＋(y －2)2=5，可得圆心(－1,2).∵直线过圆心，∴将(－1,2)代入直线3x ＋y ＋a=0，可得a=1.4.答案为：C;5.答案为：C;解析： ∵x 2＋2x ＋y 2=0可化为(x ＋1)2＋y 2=1，∴圆心C(－1,0).又过点C 的直线与x ＋y=0垂直，∴其斜率为1.∴所求直线方程为y=x ＋1，即x －y ＋1=0.6.答案为：A;解析：设圆上任意一点的坐标为(x 1，y 1)，其与点P 连线的中点为(x ，y)， 则114,22,2x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩即1124,22,x x y y =-⎧⎨=+⎩代入x 2＋y 2=4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2=4. 化简得(x －2)2＋(y ＋1)2=1.7.答案为：x 2＋y 2＋4x －3y=0;解析：依题意A(－4,0)，B(0,3)，∴AB 中点C 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 半径52，∴圆的方程为(x ＋2)2＋223522y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即x 2＋y 2＋4x －3y=0.8.答案为：－2;解析：圆的半径=， ∴当a=－2时，r 最小，从而圆面积最小.9.解：由题意知，圆心坐标为(－2，－1)，∴－2a －b ＋1=0.(a ，b)与点(2,2)的距离，=，∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.10. 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0.①∵圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，则有164420,1930,D E F D E F ++++=⎧⎨+-++=⎩即42200, 3100. D E F D E F +++=⎧⎨---=⎩②③令①中的x=0，得y 2＋Ey ＋F=0， 由韦达定理得y 1＋y 2=－E.令①中的y=0，得x 2＋Dx ＋F=0，由韦达定理得x 1＋x 2=－D. 由于所求圆在两坐标轴上的四个截距之和为2，从而有x 1＋x 2＋y 1＋y 2=2， 即－E －D=2，也就是D ＋E ＋2=0.④ 由②③④可得2,0,12.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12=0.。

圆的一般方程．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)．初步掌握求动点的轨迹方程的方法．(难点、易错点)教材整理圆的一般方程阅读教材至“例”以上部分，完成下列问题．．圆的一般方程的概念当时，二元二次方程＋＋＋＋＝叫做圆的一般方程．＋－＞．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程＋＋＋＋＝(＋－＞)表示的圆的圆心为，半径长为.．对方程＋＋＋＋＝的说明判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程．( )()圆的一般方程和标准方程可以互化．( )()方程＋＋＋＋＋－＝表示圆心为，半径为的圆．( )()若点(，)在圆＋＋＋＋＝外，则＋＋＋＋>.( )【解析】()正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．()正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．()错误．当＋()－(＋－)>，即－<<时才表示圆．()正确．因为点(，)在圆外，所以＋>，即＋＋＋＋>.【答案】()√()√()×()√()实数的取值范围；()圆心坐标和半径．【精彩点拨】()根据表示圆的条件求的取值范围；()将方程配方，根据圆的标准方程求解．【自主解答】()据题意知＋－＝()＋(－)－(＋)＞，即＋－－＞，解得＜，故的取值范围为.()将方程＋＋－＋＋＝写成标准方程为(＋)＋(－)＝－，故圆心坐标为(－)，半径＝.形如＋＋＋＋＝的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：由圆的一般方程的定义令＋－>，成立则表示圆，否则不表示圆.将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是＋＋＋＋＝这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．()＋＋＋＝；()＋＋＋＝(≠)；()＋＋－＝(≠)．。

人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1. 圆x2+y2−4x+6y＝0的圆心坐标是()A.(2, 3)B.(−2, 3)C.(−2, −3)D.(2, −3)2. 方程x2+y2+2ax−by+c＝0表示圆心为C(2, 2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为()A.−2, 4, 4B.−2，−4, 4C.2，−4, 4D.2，−4，−43. 已知圆C过点M(1, 1)，N(5, 1)，且圆心在直线y＝x−2上，则圆C的方程为()A.x2+y2−6x−2y+6＝0B.x2+y2+6x−2y+6＝0C.x2+y2+6x+2y+6＝0D.x2+y2−2x−6y+6＝04. 设圆的方程是，若，则原点与圆的位置关系是（）A.原点在圆上B.原点在圆外C.原点在圆内D.不确定5. 若圆的圆心到直线的距离为，则的值为()A.−2或2B.或C.2或0D.−2或06. 圆x2+y2−2y−1＝0关于直线y＝x对称的圆的方程是()A.(x−1)2+y2＝2B.(x+1)2+y2＝2C.(x−1)2+y2＝4D.(x+1)2+y2＝4二、填空题圆心是(−3, 4)，经过点M(5, 1)的圆的一般方程为________.设圆的圆心为A，点P在圆上，则线段PA的中点M的轨迹方程是________.三、解答题判断方程x2+y2−4mx+2my+20m−20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.参考答案与试题解析人教A版高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程【同步训练1】一、单选题1.【答案】D【考点】圆的一般方程圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】试题分析：由圆x2+y2−4x+6y=0的方程；代入圆心坐标公式(−D2,−E2)，可得；(2,−3)【解答】此题暂无解答2.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆与圆的位置关系及其判定【解析】−a=2方程x2+y2+2ax−by+c=0可化为(x+a)2+(y−b2)2=a2+b24−c，所以b2=2，解得a=−2,b=4,c=4，选A．|a2+b24−c=4【解答】此题暂无解答3.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系圆的一般方程圆的切线方程【解析】3设圆的标准方程为(x−a)2+(y−b)2=r2(r>0)，由已知有{(1−a)2+(1−b)2=r2(5−a)2+(1−b)2=y2b=a−2，解得{a=b=1，所以圆的标准方程为2(x−3)2+(y−1)2=4，即x2+y2−6x−2y+6=0，选A．【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】试题分析：将原点坐标(0,0)代入圆的方程得：(a−1)2>0________，（因为0<a<1，所以原点在圆外，故选B．【解答】此题暂无解答5.【答案】C【考点】平行向量的性质指数式、对数式的综合比较三角函数的最值【解析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标，根据点到直线的距离公式列出关于α的方程．求出方程的解得到α的值即可．【解答】把圆的方程化为标准式为：(x−1)2+(y−2)2=5，所以圆心坐标为(1,2)则圆心到直线x−y+a=0的距离d=2()2=√22即|a−1|=1，化简得a−1=1或a−1=−1．解得：a=2或a=0所以α的值为0或2.故选C．6.【答案】A【考点】关于点、直线对称的圆的方程直线与圆的位置关系圆的一般方程【解析】圆x 2+y 2−2y −1=0的标准方程为x 2+(y −1)2=2，所以圆心为(0,1)，半径为√2，圆心关于直线y =3的对称点是(1,0)，所以圆x 2+y 2−2y −1=0关于直线:y =对称的圆的方程是(x −1)2+y 2=2，选A ．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】加加加2+y 2+6x −8y −48=0【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】圆的半径y =√(−3−5)2+(4−1)2=√73…圆的标准方程为(x +3)2+(y −4)2=73整理得x 2+y 2+6x −8y −48=0【解答】此题暂无解答【答案】x 2+y 2−4x +2y +1=0【考点】轨迹方程圆的一般方程椭圆的定义【解析】I 2f 】设PA 的中点M 的坐标为(x,y )P (x 1y 1)，圆x 2+y 2−4x +2y −11=0的圆心为A 坐标为(2,−1)，由已知有{x 1+22=x y 1−22=y ，则{x 1=2x −2y 1=2y +2，又P 点在圆上，所以x 12+y 12−4x 1+2y 1−11=0，所以(2x −2)2+(2y +2)2−4(2x −2)+2(2y +2)−11=0，即x 2+y 2−4x +2y +1=0【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】见解析【考点】圆的标准方程圆与圆的位置关系及其判定直线与圆的位置关系【解析】试题分析：将原方程化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，讨论5(m −2)2，再求出圆心坐标和半径．试题解析：原方程可化为(x −2m )2+(y +m )2=5(m −2)2，因此，当m=2时，它表示一个点，当m≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m,−m)，半径为I=√5|m−2|【解答】此题暂无解答。

关于圆的二元方程式的解析一、表达形式●圆的二元方程一般形式为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D²+E²-4F>0。

●要使二元二次方程Ax²+Bxy+Cy²+Dx+EY+F=0表示圆，需要满足以下条件：A=C≠0，B=0，且D²+E²-4F>0。

●圆的方程有两种形式的选择：与圆心半径有直接关系时用标准式，无直接关系选一般式。

●圆的二元方程可以用于解决两圆的位置关系（相交、相离、相切、内含）等问题。

二、表达形式的特点1.x²项和y²项的系数都相等，且不为零。

2.是二元二次方程且没有xy这样的二次项。

3.参数D，E，F满足D²+E²-4F>0。

三、练习题及答案练习题：1.写出满足以下条件的圆的二元方程：（1）圆心坐标为(0, 0)，半径为3；（2）圆心坐标为(1, -1)，半径为2；（3）圆心坐标为(-2, 3)，半径为5。

2.判断以下方程是否表示圆，并说明理由：（1）x²+y²+2x+3y+1=0；（2）x²+y²-4x-6y+9=0；（3）x²+y²+2ax+2by+c=0。

3.求出以下方程表示的圆的圆心坐标和半径：（1）x²+y²-4x-6y+12=0；（2）(x-3)²+(y-4)²=25；（3）(x+1)²+(y-2)²=10。

4.根据以下条件，求出所给方程表示的圆的圆心坐标和半径：（1）圆心坐标为(3, 0)，半径为4；（2）圆心坐标为(0, 0)，半径为5；（3）圆心坐标为(2, 3)，半径为1。

答案：1．x²+y²+6x+9=0 (2) (x-1)²+(y+1)²=4 (3) (x+2)²+(y-3)²=252．是圆(2) 是圆(3) 不是圆3．圆心坐标为(2,3)，半径为1 (2) 圆心坐标为(3,4)，半径为5 (3) 圆心坐标为(-1,2)，半径为√104．圆心坐标为(3,0)，半径为4 (2) 圆心坐标为(0,0)，半径为5 (3) 圆心坐标为(2,3)，半径为1。

圆的一般方程【知识梳理】圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2)，半径长为12D 2＋E 2－4F . 【常考题型】题型一、圆的一般方程的概念辨析【例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15， 故m 的取值范围为(－∞，15)． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .【类题通法】形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．【对点训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)；(3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．解：(1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1，∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a 2)， 半径r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝22|a |. 题型二、圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形，∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【对点训练】2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ∵圆与x ＋3y －26＝0相切，∴6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D ＋4E －F －20＝0，②8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.题型三、代入法求轨迹方程【例3】 已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．用代入法求轨迹方程的一般步骤【对点训练】3．过点A (8,0)的直线与圆x 2＋y 2＝4交于点B ，则AB 中点P 的轨迹方程为________________． 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，即为所求．答案：(x －4)2＋y 2＝1【练习反馈】1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D.2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－32，＋∞) 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．3．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＝2，－－b 2＝2，12 4a 2＋b 2－4c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，c ＝4.答案：－2,4,44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|P A |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心相同的圆的方程． 解：设所求的圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＝3，－E 2＝4， 解此方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.。

圆的方程【学习目标】1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．【要点梳理】【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.要点诠释：(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是222x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：||||a b r ==；过原点：222a b r +=(2)圆的标准方程222()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()22200||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()22200||CM r x a y b r ⇔>⇔-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()22200||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-< 要点三：圆的一般方程当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为圆心，为半径. 要点诠释：由方程220x y Dx Ey F ++++=得22224224D E D E F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-.它表示一个点(,)22D E--. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．(3)当2240D E F +->时，可以看出方程表示以,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为半径的圆.要点四：几种特殊位置的圆的方程要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.(3)解方程组，求出a b r、、或D E F、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程.要点六：轨迹方程求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y之间的方程．1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等．3．求轨迹方程的步骤：（1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y表示轨迹（曲线）上任一点M的坐标；（2）列出关于,x y的方程；（3）把方程化为最简形式；（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）；（5）作答．【典型例题】类型一：圆的标准方程例1．求满足下列条件的各圆的方程：（1）圆心在原点，半径是3；（2）圆心在点C（3，4（3）经过点P（5，1），圆心在点C（8，―3）上．【思路点拨】根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．【答案】（1）x2+y2=9 （2）(x―3)2+(y―4)2=5（3）(x―8)2+(y+3)2=25【解析】（1）x2+y2=9；（2）(x―3)2+(y―4)2=5；（3）解法一：∵圆的半径||5===，圆心在点C（8，―3）．r CP∴圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．解法二：∵圆心为C（8，―3），故设圆的方程为(x―8)2+(y+3)2=r2．又∵点P（5，1）在圆上，∴(5―8)2+(1+3)2=r2，∴r2=25，∴所求圆的方程是(x―8)2+(y+3)2=25．【总结升华】确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心（a，b）和半径r，一般步骤为：（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r2；（2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组；（3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．举一反三：【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（）A．(x―4)2+(y+1)2=10 B．(x+4)2+(y―1)2=10C．(x―4)2+(y+1)2=100 D．22-++=x y(4)(1)【答案】A例2．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．（1）x2+y2=2；（2）(x―3)2+y2=a2（a≠0）；（3）(x+2)2+(y+1)2=b2（b≠0）．【答案】（1）（0，0）（2）（3，0），|a|（3）（―2，―1），|b|【解析】（1）圆心（0，0）；（2）圆心（3，0），半径为|a|；（3）圆心（―2，―1），半径为|b|．【总结升华】（2）、（3）两题中a2、b2仅为半径的平方，没有给定a＞0，b＞0，∴半径r=|a|、|b|．例3．求圆心在直线y=―x上，且过两点A（2，0），B（0，―4）的圆的方程．【思路点拨】先写出线段AB的中垂线方程，然后求出中垂线与直线y=―x的交点，这个点就是圆心，进一步求出圆的方程。