新课标人教A版名师对话数学文一轮复习作业2.9函数模型及应用(含答案详析)

2-9函数的应用A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·东莞调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )．解析 设原有荒漠化土地面积为b ，由题意可得y ＝ b (1＋10.4%)x . 答案 D2．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10. 答案 A3．(2011·广州二测)如图为某质点在4秒钟内做直线运动时，速度函数v ＝v (t )的图象，则该质点运动的总路程s ＝( )．A ．10 cmB ．11 cmC ．12 cmD ．13 cm解析 ∵该质点运动的总路程为右图阴影部分的面积，∴s ＝12×(1＋3)×2＋2×3＋12×1×2＝11(cm)．答案 B4．(2010·广东深圳)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如下图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润 y x ＝－x －25x ＋12， ∵x ∈N *，∴yx ≤－2x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”． ∴x ＝5时营运的平均利润最大． 答案 C5．国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )．A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元解析 设扣税前应得稿费为x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得y ＝⎩⎨⎧0 (0≤x ≤800)，(x －800)×14% (800<x ≤4 000)，11%·x (x >4 000).如果稿费为4 000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4 000元之间，∴(x －800)×14%＝420，∴x ＝3 800. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．解析 设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225]∴当x ＝95时y 最大． 答案 957．现有含盐7%的食盐水为200 g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是__________．解析 根据已知条件：设y ＝200×7%＋x 4%200＋x ，令5%＜y ＜6%，即(200＋x )5%＜200×7%＋x ·4%＜(200＋x )6%，解得100＜x ＜400. 答案 (100,400)8．(2012·绍兴模拟)2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x －2008>20， x －2 008>lg 107lg 8180＝1－lg 74 lg3－3 lg2－1＝28.7则x >2 036.7，即x ＝2 037. 答案 2 037 三、解答题(共23分)9．(11分)围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 (1)如图，设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180·2a ＝225x ＋360a －360，由已知xa ＝360，得a ＝360x . 所以y ＝225x ＋3602x －360(x ＞0)．(2)∵x ＞0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440. 当且仅当225x ＝3602x 时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．10．(12分)(2012·天津模拟)某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(注：利润与投资单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品的生产，怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元(精确到1万元)?解 (1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元， 由题设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x (k 1·k 2≠0)， 由题图知f (1)＝14，∴k 1＝14. 又g (4)＝52， ∴k 2＝54.从而f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0)． 所以利润与投资的函数关系式为 A 种产品f (x )＝14x (x ≥0)， B 种产品g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设A 产品投入x 万元，则B 产品投入(10－x )万元，设企业利润为y 万元，则 y ＝f (x )＋g (10－x )＝x 4＋5410－x ， ∴0≤x ≤10，令10－x ＝t ， 则0≤t ≤10，则y ＝10－t 24＋54t ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)，当t ＝52时，y max ＝6516≈4，此时x ＝10－254＝3.75.∴当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln 2太贝克 D ．150太贝克解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150. 答案 D2．(2011·广东汕头)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( )．A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期”是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半．科学研究表明，宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14.动植物在生长过程中衰变的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物每克组织中的碳14含量保持不变．死亡后的动植物，停止了与外界环境的相互作用，机体中原有的碳14就按其确定的规律衰变．经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%.设这群鱼是距探测时t 年前死亡的，则t 满足的等式为________，将t 用自然对数的运算式子可以表示为________(只写出运算式子不需要计算出结果，式子中可以出现自然对数、实数之间的四则运算)． 解析 .答案4．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 k m(不超过3 k m 按起步价付费)；超过3 k m 但不超过8 k m 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 k m 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ k m. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧8，0＜x ≤38＋2.15(x －3)＋1，3＜x ≤88＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x ＞8由y ＝22.6解得x ＝9. 答案 9三、解答题(共22分)5．(10分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v ＞0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为 320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0＜v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v －15； 当c ＜v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v ＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5(3c ＋10)v －15，0＜v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c ＜v ≤10.①当0＜c ≤103时，y 是关于v 的减函数， 故当v ＝10时，y min ＝20－3c2.②当103＜c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c .6．(12分)(2012·聊城调研)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )； (2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元) 解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r×2＝80 000r ＋8πr －64π. ∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π. (2)设运动场的造价为y 元， y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛⎭⎪⎫10 000－80 000r －8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π.令f (r )＝80 000r ＋8πr ， ∵f ′(r )＝8π－80 000r 2，当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0，∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r＝40时，y min≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元．。

学习资料2。

9 函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1。

常见的函数模型(1）一次函数模型:f (x ）=kx+b (k ，b 为常数，k ≠0);(2）二次函数模型:f (x ）=ax 2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0);（3）反比例函数模型:f (x ）=k x （k 为常数，k ≠0）； （4）指数型函数模型：f （x )=ab x +c （a ,b ,c 为常数,a ≠0，b 〉0,b ≠1）;（5）对数型函数模型：f (x ）=m log a x+n （m ，n ，a 为常数,m ≠0，a 〉0,a ≠1)；（6）幂型函数模型:f (x )=ax n +b (a ，b ，n 为常数,a ≠0）；（7）分段函数模型:y={f 1(x ),x ∈D 1,f 2(x ),x ∈D 2,f 3(x ),x ∈D 3;(8）对勾函数模型:y=x+a x （a 为常数,a>0）。

2。

指数、对数、幂函数模型的性质比较考点自诊1。

判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×"。

（1)幂函数增长比一次函数增长更快。

（ )(2)在（0，+∞）内,随着x 的增大，y=ax （a>1)的增长速度会超过并远远大于y=x α（α>0）的增长速度. ( ）（3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题。

（ ）(4)f （x )=x 2，g (x ）=2x ，h （x )=log 2x ，当x ∈（4,+∞）时,恒有h （x ）<f (x )<g (x ）。

( ）（5）“指数爆炸"是指数型函数y=a ·b x +c (a>0,b 〉1）增长速度越来越快的形象比喻. ( ）2。

（2020山东潍坊临朐模拟二，3)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( ）A.6升B.8升C.10升 D 。

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课时分层提升练十二函数模型及其应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2021·荆州模拟)李华经营了两家电动轿车销售连锁店,其月利润(单位:元)分别为L1=-5x2+900x-16000,L2=300x-2000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为( )A.11000元B.22000元C.33000元D.40000元【解析】选C.设甲连锁店销售x辆,则乙连锁店销售(110-x)辆,故利润L=-5x2+900x-16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000,所以当x=60时,有最大利润33000元.2.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,其次年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p+q2B.(p+1)(q+1)−12C.√p qD.√(p+1)(q+1)-1【解析】选D.设该市这两年生产总值的年平均增长率为x,则由已知,列得(1+ x)2=(1+p)(1+q),解得x=√(1+p)(1+q)-1. 3.(2021·重庆模拟)已知Rt△ABC的三边长分别为AB=5,BC=4,AC=3,在平面直角坐标系中,△ABC的初始位置如图(图中CB⊥x轴),现将Rt△ABC沿x轴滚动,设点A(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(2 017)= ( )A.√21B.2C.4D.10【解析】选A.由图可知,y=f(x)是以12为周期的周期函数,故f(2 017)=f(12×168+1)=f(1),由图可知|A B|=5,即(1−3)2+(y−0)2=25,得y=√21.【加固训练】在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是( )A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]【解题提示】利用三角形相像求出矩形的另一边长,再利用面积关系求解自变量的取值范围.【解析】选C.设矩形的另一边长为ym, 则由三角形相像知,x40=40−y 40,所以y=40-x.由于xy ≥300,所以x(40-x)≥300, 所以x 2-40x+300≤0,所以10≤x ≤30.4.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经受了n 次涨停(每次上涨10%),又经受了n 次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏状况(不考虑其他费用)为 ( )A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法推断盈亏状况【解析】选B.设该股民购这只股票的价格为a,则经受n 次涨停后的价格为a(1+10%)n =a ×1.1n ,经受n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1-10%)n =a ×1.1n ×0.9n =a ×(1.1×0.9)n =0.99n ·a<a,故该股民这只股票略有亏损.5.(2021·深圳模拟)某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知本年9月份两食堂的营业额又相等,则本年5月份 ( ) A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同D.不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【解析】选A.设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可得,m+8a=m ×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y 1=m+4a,乙食堂的营业额y 2=m ×(1+x)4=√m (m +8a),由于y 12-y 22=(m+4a)2-m(m+8a)=16a 2>0,所以y 1>y 2,故本年5月份甲食堂的营业额较高.二、填空题(每小题5分,共15分)6.如图,书的一页的面积为600cm 2,设计要求书面上方空出2cm 的边,下、左、右方都空出1cm 的边,为使中间文字部分的面积最大,这页书的长、宽应分别为 .【解析】设长为acm,宽为bcm,则ab=600cm 2,则中间文字部分的面积S=(a-2-1)(b-2)=606-(2a+3b)≤606-2√6×600=486,当且仅当2a=3b,即a=30,b=20时,S 最大=486cm 2. 答案:30cm,20cm7.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量削减13,至少应过滤 次才能达到市场要求.(已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)【解析】设过滤n 次才能达到市场要求, 则2%(1−13)n≤0.1%, 即(23)n≤120,所以nlg 23≤-1-lg2,所以n ≥7.39,所以n=8. 答案:88.某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,猜测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x 的最小值是.【解析】七月份的销售额为500(1+x%),八月份的销售额为500(1+x%)2,则一月份到十月份的销售总额是3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2],依据题意有3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,即25(1+x%)+25(1+x%)2≥66,令t=1+x%,则25t2+25t-66≥0,解得t≥65或者t≤-115(舍去),故1+x%≥65,解得x≥20.答案:20三、解答题(每小题10分,共20分)9.国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则赐予优待:每多1人,机票每张削减10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数.(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?【解析】(1)设旅行团人数为x人,由题得0<x≤75,飞机票价格为y元,则y={900,0<x≤30,900−10(x−30),30<x≤75,即y={900,0<x≤30,1 200−10x,30<x≤75.(2)设旅行社获利S元, 则S={900x−15 000,0<x≤30,x(1 200−10x)−15 000,30<x≤75,即S={900x−15 000,0<x≤30,−10(x−60)2+21 000,30<x≤75.由于S=900x-15000在区间(0,30]上为单调增函数,故当x=30时,S取最大值12000元,又S=-10(x-60)2+21000在区间(30,75]上当x=60时,取得最大值21000.故当x=60时,即每团人数为60人时,旅行社可获得最大利润.【加固训练】依据市场调查,某商品在最近40天内的价格P与时间t的关系用图1中的一条折线表示,销量Q与时间t的关系用图2中的线段表示(t∈N*).(1)分别写出图1表示的价格与时间的函数关系P=f(t),图2表示的销售量与时间的函数关系Q=g(t).(2)求这种商品的销售额S(销售量与价格之积)的最大值及此时的时间.【解析】(1)P=f(t)={t2+11,t∈[1,20),t∈N∗,−t+41,t∈[20,40],t∈N∗.Q=g(t)=-t3+433,t∈[1,40],t∈N*.(2)当1≤t<20时,S=(t2+11)(−t3+433)=-16(t−212)2+4 22524.由于t ∈N *,所以t=10或11时,S max =176. 当20≤t ≤40时, S=(-t+41)(−t3+433)=13t 2-28t+1 7633为减函数;当t=20时,S max =161. 而161<176,所以当t=10或11时,S max =176.(20分钟 40分)1.(5分)(2021·合肥模拟)为了预防信息泄露,保证信息的平安传输,在传输过程中都需要对文件加密,有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem),其加密、解密原理为:发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).现在加密密钥为y=kx 3,如“4”通过加密后得到密文“2”,若接受方接到密文“1256”,则解密后得到的明文是 ( )A.12B.14C.2D.18【解析】选A.由题目可知加密密钥y=kx 3是一个幂函数型,由已知可得,当x=4时,y=2,即2=k ×43,解得k=243=132. 故y=132x 3,明显令y=1256,则1256=132x 3,即x 3=18,解得x=12.2.(5分)(2021·常德模拟)如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆,垂直于x 轴的直线l:x=t(0≤t ≤a)经过原点O 向右平行移动,l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y=f (t )的大致图象如图,那么平面图形的外形不行能是 ( )【解析】选C.A 中函数为二次函数,B 中函数也为二次函数,C 中函数一开头为二次函数,后面为一次函数;D 中函数为两个二次函数曲线的一部分. 【加固训练】(2021·石家庄模拟)图形M(如图所示)是由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成,函数S=S(a)(a ≥0)是图形M 介于平行线y=0及y=a 之间的那一部分面积,则函数S(a)的图象大致是 ( )【解析】选C.依题意,当0≤a ≤1时, S(a)=a (2−a)2+2a=-12a 2+3a;当1<a ≤2时,S(a)=12+2a; 当2<a ≤3时,S(a)=12+2+a=a+52;当a>3时,S(a)=12+2+3=112,于是S(a)={−12a 2+3a,0≤a ≤1,2a +12,1<a ≤2,a +52,2<a ≤3,112,a >3.由解析式可知选C.3.(5分)(2021·大连模拟)A,B 两只船分别从在东西方向上相距145km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶,A 的速度是40km/h,B 的速度是16km/h,经过 小时,A,B 间的距离最短.【解析】设经过xh,A,B 相距为ykm, 则y=√(145−40x)2+(16x)2(0≤x ≤298),求得函数取最小值时x 的值为258.答案:2584.(12分)(2021·保定模拟)经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-13t+1123(1≤t ≤100,t ∈N).前40天价格为f(t)=14t+22(1≤t ≤40,t ∈N),后60天价格为f(t)=-12t+52(41≤t ≤100,t ∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.【解析】当1≤t ≤40,t ∈N 时, S(t)=g(t)f(t)=(−13t +1123)(14t +22)=-112t 2+2t+112×223=-112(t-12)2+2 5003,所以768=S(40)≤S(t)≤S(12)=2 5003.当41≤t ≤100,t ∈N 时, S(t)=g(t)f(t)=(−13t +1123)(−12t +52)=16t 2-36t+112×523=16(t-108)2-83,所以8=S(100)≤S(t)≤S(41)=1 4912.所以,S(t)的最大值为2 5003,最小值为8.5.(13分)在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优待价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并商定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲供应的资料中有:①这种消费品的进价为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需各种开支2000元.(1)当商品的销售价格为每件多少元时,月利润余额最大?并求最大余额.(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?【解析】设该店月利润余额为L,则由题设得L=Q(P-14)×100-3600-2000,① 由销量图易得Q={−2P +50(14≤P ≤20),−32P +40(20<P ≤26).代入①式得L={(−2P +50)(P −14)×100−5 600(14≤P ≤20),(−32P +40)(P −14)×100−5 600(20<P ≤26). (1)当14≤P ≤20时, L max =450元, 此时P=19.5元; 当20<P ≤26时, L max =1 2503元,此时P=613元.故当P=19.5元时,月利润余额最大,为450元. (2)设可在n 年后脱贫,依题意有12n ×450-50000-58000≥0, 解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫.关闭Word 文档返回原板块。

§函数模型及其应用最新考纲考情考向分析.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义..了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，题型以解答题为主，中高档难度.．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型()＝＋(，为常数，≠)反比例函数模型()＝＋(，为常数且≠)二次函数模型()＝＋＋(，，为常数，≠)指数函数模型()＝＋(，，为常数，≠，>且≠)对数函数模型()＝＋(，，为常数，≠，>且≠)幂函数模型()＝＋ (，为常数，≠).三种函数模型的性质函数＝(>) ＝(>) ＝(>)性质在(，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随的增大逐渐表现为与轴平行随的增大逐渐表现为与轴平行随值变化而各有不同值的比较存在一个，当>时，有<<知识拓展．解函数应用题的步骤．“对勾”函数形如()＝＋(>)的函数模型称为“对勾”函数模型：()该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，)和(，]上单调递减．()当>时，＝时取最小值，当<时，＝－时取最大值－.题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()某种商品进价为每件元，按进价增加出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)()函数＝的函数值比＝的函数值大．(×)()不存在，使<<.(×)。

§2.9函数模型及其应用1．几类函数模型2.三种函数模型的性质知识拓展1．解函数应用题的步骤2．“对勾”函数形如f (x )＝x ＋ax(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ， 当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × )(3)不存在x 0，使0x a <0nx <log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × ) 题组二 教材改编2．[P102例3]某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是( )A ．收入最高值与收入最低值的比是3∶1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元 答案 D解析 由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A 正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B 正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C 正确；由题图可知，前6个月的平均收入为16×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D 错误．3．[P104例5]生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为____________万件． 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．[P107A 组T4]用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为__________________________________________． 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ， 则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大． 题组三 易错自纠5．国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费(扣税前)为( )A ．2 800元B ．3 000元C ．3 800元D ．3 818元答案 C解析 由题意，知纳税额y (单位：元)与稿费(扣税前)x (单位：元)之间的函数关系式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800，0.14(x －800)，800<x ≤4 000，0.112x ，x >4 000.由于此人纳税420元，所以800<x ≤4 000时，令(x －800)×0.14＝420， 解得x ＝3 800，x >4 000时，令0.112x ＝420，解得x ＝3 750(舍去)， 故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元．6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.题型一 用函数图象刻画变化过程1.高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )答案 B解析 v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案 B解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凸的，故选B.3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程．下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是()A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油答案 D解析根据图象所给数据，逐个验证选项．根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．题型二已知函数模型的实际问题典例(1)(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．答案 3.75解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．(2)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 答案 24解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14，∴e 11k ＝12，∴x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝⎛⎭⎫123·192＝18×192＝24(小时)． 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元．答案 4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120Q 2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型典例(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.答案19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．答案95解析设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225]．∴当x＝95时，y最大．命题点2构造指数函数、对数函数模型典例一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ 解 (1)设每年降低的百分比为x (0<x <1)， 则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－1101()2.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ，即101()2m＝121()2，即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年． 引申探究本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？ 解 设从今年开始，以后砍了n 年， 则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， 101()2n ≥321()2，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年． 命题点3 构造y ＝x ＋ax(a >0)型函数典例 (1)(2018届中原名校质检)高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第n 层楼时，上下楼造成的不满意度为n ，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低，设教室在第n 层楼时，环境不满意度为8n ，则同学们认为最适宜的教室应在( )A ．2楼B ．3楼C ．4楼D ．8楼 答案 B解析 由题意知同学们总的不满意度y ＝n ＋8n ≥2n ×8n＝42， 当且仅当n ＝8n，即n ＝22时等号成立，又∵当n ＝3时，不满意度y 的值比n ＝2时不满意度y 的取值小， ∴同学们认为最适宜的教室应在3楼．(2)(2017·南昌模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x 2，∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立． 命题点4 构造分段函数模型典例 (2017·山西孝义模考)某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115， 令50x －115>0，解得x >2.3， ∵x 为整数，∴3≤x ≤6，x ∈Z .当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20，x ∈Z .∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，－3x 2＋68x －115(6<x ≤20，x ∈Z ). (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185；对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270. ∵270>185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．跟踪训练 (1)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为______________________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)答案 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *) 16解析 当0<x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100； 当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156， 当x ＝16时，y max ＝156. 而当x >20时，160－x <140， 故当x ＝16时取得最大年利润．(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________． 答案 300解析 由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400， 当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，y max ＝25 000； 当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000，综上，当门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元．函数应用问题典例 (12分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元．设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x －40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 思维点拨 根据题意，要利用分段函数求最大利润．列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论． 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[2分] 当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.[4分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104；[6分]②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以此时W 的最大值为5 760.[10分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万美元．[12分]解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型； 第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝12log x答案 B解析 由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大的越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元 答案 D解析 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p %，超过280万元的部分按(p ＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p ＋0.25)%，则该公司的年收入是( ) A ．560万元 B ．420万元 C ．350万元 D ．320万元答案 D解析 设该公司的年收入为x 万元(x >280)，则有280×p %＋(x －280)(p ＋2)%x ＝(p ＋0.25)%，解得x ＝320.故该公司的年收入为320万元．4．(2017·湖南衡阳、长郡中学等十三校联考)某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据： lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2017年 B ．2018年 C ．2019年 D ．2020年答案 D解析 设从2016年起，过了n (n ∈N *)年该民企全年投入的研发资金超过200万元，则130×(1＋12%)n ≥200，则n ≥lg2013lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，由题意取n ＝4，则n ＋2 016＝2 020.故选D.5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3 B ．14 m 3 C ．18 m 3 D ．26 m 3答案 A解析 设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx (0<x ≤10)，10m ＋(x －10)·2m (x >10)，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13.6．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元 D ．43.025万元答案 C解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32 ＝－0.1()x －10.52＋0.1×(10.5)2＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2， 当t ＝5时，y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.8．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A .那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示) 答案 14a 2解析 令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2， ∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2， ∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．9.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设内接矩形另一边长为y m ， 则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)， 所以当x ＝20时，S max ＝400.10．某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以v km/h 的速度直达灾区，已知某市到灾区公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202 km ，那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计)． 答案 12解析 设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了⎝⎛⎭⎫36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400 km 所用的时间，因此，t ＝36×⎝⎛⎭⎫v 202＋400v ≥12， 当且仅当36v 400＝400v ，即v ＝2003时取“＝”．故这些汽车以2003km/h 的速度匀速行驶时，所需时间最少，最少时间为12 h.11．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立． 亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0<x ≤1，所以m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，所以m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.12．某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x 元时，销售量可达到15－0.1x 万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润＝售价－供货价格，问：(1)每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？ (2)每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？解 (1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋105＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．(2)每套丛书售价定为x 元时，由⎩⎪⎨⎪⎧15－0.1x >0，x >0，解得0<x <150. 依题意，单套丛书利润P ＝x －⎝⎛⎭⎫30＋1015－0.1x ＝x －100150－x －30，所以P ＝－⎣⎡⎦⎤(150－x )＋100150－x ＋120.因为0<x <150，所以150－x >0， 则(150－x )＋100150－x≥2(150－x )·100150－x＝2×10＝20，当且仅当150－x ＝100150－x ，即x ＝140时等号成立， 此时，P max ＝－20＋120＝100.所以每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．13．已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套公寓房月租金定为3 000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元． 答案 3 300解析 由题意，设利润为y 元，每套房月租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )， 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x )＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎫58＋x ＋70－x 22＝204 800，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故当每套房租金定为3 000＋50×6＝3 300元时，可使公司获得最大利润．14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________. 答案5－12解析 由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∵b －c ＝(b －a )－(c －a )， ∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12.15．(2017·上海静安一模)根据相关规定，机动车驾驶员血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升时属于醉酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为p 0毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式p ＝p 0·e rx (r 为常数)．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过________小时方可驾车．(精确到小时) 答案 8解析 由题意，得p 0＝89,61＝89·e 2r ， ∴e r ＝6189，即r ＝12ln 6189<0， 设此人饮酒后x 小时方可驾车，则89·e xr <20， 即x >2×ln2089ln6189≈7.90，由精确到小时知，x 的值取8.16．(2017·江西九江七校联考)某店销售进价为2元/件的产品A ，该店产品A 每日的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝10x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6.(1)若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；(2)试确定产品A 的销售价格，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大．(保留1位小数) 解 (1)当x ＝4时，y ＝102＋4×(4－6)2＝21，此时该店每日销售产品A 所获得的利润为(4－2)×21＝42千元．(2)该店每日销售产品A 所获得的利润 f (x )＝(x －2)⎣⎡⎦⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)， 从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240 ＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，易知在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减．所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/件时，利润最大．。

函数模型及其应用目录第一部分：基础知识 (1)第二部分：高考真题回顾 (2)第三部分：高频考点一遍过 (4)高频考点一：几类不同增长的函数模型 (4)高频考点二：利用常见函数模型解决实际问题（二次模型；分段模型）.10高频考点三：利用常见函数模型解决实际问题（指、对、幂函数模型）.14高频考点四：利用给定函数模型解决实际问题 (20)练透核心考点A C ．2y ax bx c =++【答案】C增，中间有一段时间学生的兴趣保持理想状态，随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用()f x 表示学生掌握和接受概念的能力（()f x 的值越大，表示接受能力越强），x 表示提出和讲授概念的时间（单位：min ），满足以下关系：()20.1 2.838,010,56,1020,296,2040.x x x f x x x x ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)上课多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？(2)有一道数学难题，需要54的接受能力及15min 的讲授时间，老师能否及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完成这道难题？【答案】(1)上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟(2)老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题【分析】（1）在(0,10]上利用二次函数求得最大值；(10,20]x ∈时，()56f x =，在(20,40]x ∈利用一次函数求得最大值即可；（2）当(0,10]x ∈，(10,20]x ∈，(20,40]x ∈时分别令()54f x ≥求解.【详解】（1）解：由题知2()0.1 2.838f x x x =++在(0,10]上单调递增，所以max ()(10)56f x f ==，又(10,20]x ∈时，()56f x =，()296f x x =-+在(20,40]x ∈上单调递减，()(16,56]f x ∈，所以上课10分钟后，学生的接受能力最强，能维持10分钟.（2）当(0,10]x ∈时，令()54f x ≥，即20.1 2.83854x x -++≥，化简得2281600x x -+≤，解得820x ≤≤，又(0,10]x ∈，所以810x ≤≤，此时有效时间为2分钟，当(10,20]x ∈时，()56f x =，有效时间为10分钟，当(20,40]x ∈时，令()54f x ≥，解得2021x <≤，有效时间为1分钟，由于讲授时间需15分钟，但有效时间210113++=分钟，1315<，所以老师不能及时在学生处于所需接受能力的状态下讲授完这道题.练透核心考点观察图象知,这些点基本上都落在函数所以用模型②23xy =更适合模拟该企业的收入（2）当21003x>时,2300x >,因此2lg300log 300x >==2lg3+(1)求出函数()1c t的解析式；(2)一病患开始注射后，最迟隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（如果计算结果不是整数，保留小数点后一位）【答案】(1)()11612c t⎛=⨯-⎝(2)最迟隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；(3)已知学校要求每天的分数不少于【答案】(1)2log 15⎛=+ ⎝x y k即开幕式后的第30天的日销售利润最小.。

第九节函数模型及其应用[考纲传真] .了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．．常见的几种函数模型()一次函数模型：＝＋(≠)．()反比例函数模型：＝＋(，为常数且≠)．()二次函数模型：＝＋＋(，，为常数，≠)．()指数函数模型：＝·＋(，，为常数，＞，≠，≠)．()对数函数模型：＝＋(，，为常数，＞，≠，≠)．()幂函数模型：＝·＋(≠)．．三种函数模型之间增长速度的比较()审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；()建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；()解模：求解数学模型，得出数学结论；()还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) ()函数＝的函数值比＝的函数值大．( )()幂函数增长比直线增长更快．( )()不存在，使＜＜.( )()()＝，()＝，()＝，当∈(，＋∞)时，恒有()＜()＜()．( )[答案]()×()×()×()√．已知某种动物繁殖量(只)与时间(年)的关系为＝(＋)，设这种动物第年有只，到第年它们发展到( )．只只．只只[由题意知＝(＋)，∴＝，∴＝(＋)，当＝时，＝＝.]．(教材改编)在某种新型材料的研制中，试验人员获得了下列一组试验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )．＝(－) ＝[由表格知当＝时，＝，而中＝＝，不合要求，中＝∈()，中＝(－)＝，不合要求，中＝＜，不合要求，故选.]．一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时剩下的高度()与燃烧时间()的函数关系用图象表示为( )。