【12份】2019年江苏省高考数学二轮复习自主加餐的3大题型：14个填空题专项强化练

14个填空题综合仿真练(十)1．已知命题p：“∀x∈R，x2＋2x－3≥0”，则命题p的否定为________________．答案：∃x∈R，x2＋2x－3<02．已知一组数据3,6,9,8,4，则该组数据的方差是________．1 1解析：x＝(3＋6＋9＋8＋4)＝6，s2＝[(3－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2＋(8－6)2＋(4－5 5266)2]＝.526答案：51{ ，1 }，若A＝B，则锐角θ＝________.3．已知集合A＝{1，cos θ}，B＝21 π解析：由题意得cos θ＝，又因为θ为锐角，所以θ＝.2 3π答案：34．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是________．解析：根据流程图，S，k的数据依次为1,1；2,2；6,3；15，结束循环，所以输出的k 的值是3.答案：31－i5．已知i是虚数单位，则的实部为________．1＋i21－i 1－i 1 1 1－i 1解析：因为＝＝－－i，所以的实部为－.1＋i 2 2i 2 2 1＋i 2 21答案：－2x2 y26．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1的一条准线的方程为x＝3，则实a 4数a的值是________．x2 y2 a解析：由双曲线－＝1的一条准线的方程为x＝3，则＝3，所以a＝12(负值舍a 4 a＋41去)．答案：127．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为________．解析：因为某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，所以基本事件总数n＝9，甲、乙不在同一兴趣小组的对立事3 2件是甲、乙在同一兴趣小组，所以甲、乙不在同一兴趣小组的概率P＝1－＝.9 32答案：38．已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为_________．解析：由条件，易知正四棱锥的高h＝2×sin60°＝3，底面边长为2，所以体积V＝1 2 3×( 2)2× 3＝.3 32 3答案：39．已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上为单调减函数，则不等式f(lg x)＋f(1)>0的解集为________．解析：因为f(x)为奇函数，且不等式f(lg x)＋f(1)>0，所以f(lg x)>f(－1)，又因为1f(x)在R上为减函数，所以lg x<－1，解得0<x< .101答案：(0，10)10．已知各项均为正数的数列{a n}满足a n＋2＝qa n(q≠1，n∈N*)，若a2＝3a1，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列，则q的值为________．解析：由条件，(a2＋a3)＋(a4＋a5)＝2(a3＋a4)，所以(1＋q)(a2＋a3)＝2q(a1＋a2)，所以(1＋q)(3＋q)a1＝8qa1，因为a1>0，q≠1，所以q＝3.答案：311.如图，在扇形AOB中，OA＝4，∠AOB＝120°，P为弧AB上的一点，OP与AB相交于点C，―→―→―→―→若OP·OA＝8，则OC·AP的值为________．2―→―→ 1 解析：由 OP · OA ＝16cos ∠AOP ＝8，得 cos ∠AOP ＝ ，所以∠AOP ＝60°，所以2―→ ―→ ―→ ―→ OC · AP ＝ OC · OB ＝4×2×cos 60°＝4.答案：412．已知定义在 R 上的函数 f (x )＝Error!则方程 f (x )＋1＝log 6(|x |＋1)的实数解的个 数为________．解析：由题意，当 x <0时，f (x )是周期为 2的周期函数，在同一直角坐标系内作出函数 y ＝f (x )＋1与 y ＝log 6(|x |＋1)的图象如图，则两函数图象共有 7个不同的交点，所以原方程 有 7个不同的解．答案：713．在△ABC 中，D 为边 AC 上一点，AB ＝AC ＝6，AD ＝4，若△ABC 的外心恰在线段 BD 上，则 BC ＝________.解析：法一：如图，设△ABC 的外心为 O ，连结 AO ，则 AO 是∠BAC 的平BO AB 3 ―→ ―→ ―→ ―→ 3 ―→ 分线，所以 ＝ ＝ ，所以 AO ＝ AB ＋ BO ＝ AB ＋ BD ＝ OD AD 2 5―→ 3 ―→ ―→ ―→ 2 ―→ 3 ―→ ―→ AB ＋ ( AD － AB )，即 AO ＝ AB ＋ AD ，所以 AO · 5 5 5―→ AB 2 ―→ 3 ―→ ―→ 2 3 1 ＝ ( AB )2＋ AB · AD ，即 18＝ ×36＋ ×6×4cos∠BAC ，所以 cos ∠BAC ＝ ，则 BC ＝ 5 5 5 5 436＋36－2 × 62 × 14＝3 6.法二：如图，设∠BAC ＝2α外，接圆的半径为 R 由，S △ABO ＋S △ADO ＝S △1 1 1ABD ，得 ·6R sin α＋ ·4R sin α＝ ·6·4sin 2α化，简得24cos α＝ 2 2 26 5 5R .在Rt △AFO 中，R cos α＝3，联立解得 R ＝ 10，cos α＝ ，所以 sin 5 83 3 α＝ ，所以 BC ＝2BE ＝2AB sin α＝12× ＝3 6. 8 8答案：3 6x ＋214．在平面直角坐标系 xOy 中，已知动直线 y ＝kx ＋1－k 与曲线 y ＝ 交于 A ，B 两 x －1―→ ―→点，平面上的动点 P (m ，n )满足| PA ＋ PB |≤4 2，则 m 2＋n 2的最大值为________． 3x＋2解析：直线y＝kx＋1－k过定点M(1,1)恰为曲线y＝的对称中x－1―→―→心，所以M为AB的中点，由| PA＋PB|≤42，得|PM―→|≤22，所以动点P(m，n)满足(m－1)2＋(n－1)2≤8，所以m2＋n2的最大值为18.答案：184。

14个填空题综合仿真练(七)1．已知集合P ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }，Q ＝{y |y 2－3y －4<0}，则P ∩Q ＝________.解析：由y 2－3y －4<0得，－1<y <4，则Q ＝(－1,4)，而集合P 表示偶数集，故P ∩Q ＝{0,2}．答案：{0,2}2．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则＋z 2＝________.2z解析：＋z 2＝＋(1＋i)2＝1－i ＋2i ＝1＋i.2z 21＋i 答案：1＋i3．某路段检测点对200辆汽车的车速进行检测，检测结果表示为频率分布直方图，如图所示，则车速不小于90 km/h 的汽车约有________辆．解析：车速不小于90 km/h 的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，车辆数为200×0.3＝60.答案：604．已知正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面四边形的对角线的长度是3 cm ，则这个正5四棱柱的体积是______cm 3.解析：由正四棱柱的底面边长为3 cm ，侧面四边形的对角线的长度是3 cm ，得该正四5棱柱的高为6 cm ，则这个正四棱柱的体积是32×6＝54 (cm 3)．答案：545．已知A ，B ∈{－3，－1,1,2}且A ≠B ，则直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0的概率为________．解析：所有的基本事件(A ，B )为(－3，－1)，(－1，－3)，(－3,1)，(1，－3)，(－3,2)，(2，－3)，(－1,1)，(1，－1)，(－1,2)，(2，－1)，(1,2)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(－1，－3)，(1,2)，(2,1)能使直线Ax ＋By ＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率为P ＝＝.41213答案：136．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为________．解析：根据算法流程图执行程序循环结果依次为：n 1098765432S101927344045495254当n ＝1时，结束循环，故输出的S ＝54.答案：547．若a >0，b >2，且a ＋b ＝3，则使得＋取得最小值时，实数a ＝________.4a 1b －2解析：∵a ＞0，b ＞2，且a ＋b ＝3，∴a ＋b －2＝1，∴[a ＋(b －2)]＝4＋1＋≥5＋2＝9，当(4a ＋1b －2)[4 b －2 a ＋ab －2]4 b －2 a ·a b －2且仅当2(b －2)＝a 时即取等号．联立Error!解得a ＝.23答案：238．若双曲线－＝1(a >0，b >0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离x 2a 2y 2b2心率为________．解析：由题意，c －＝2a ，即c 2－2ac －a 2＝0，即e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±，又∵e >1，a 2c2故e ＝1＋.2答案：1＋29．已知函数f (x )＝，x ∈R ，则f (x 2－2x )<f (3x －4)的解集是________．x ＋2|x |＋2解析：由题意，f (x )＝Error!故若要使不等式成立，则有Error!得1<x <2.答案：(1,2)10．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{}也为等差数列，则a 11＝S n ________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d >0)，∵a 1＝3，且数列{}为等差数列，S n ∴2＝＋，S 2a 1S 3∴2＝＋，6＋d 39＋3d 即d 2－12d ＋36＝0，解得d ＝6，∴a 11＝3＋10×6＝63.答案：6311．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，a sinB ＝3b cos A ，若△ABC 的面积S ＝4，则b ＋c ＝________.3解析：由正弦定理，得sin A sin B ＝sin B cos A ，3又sin B ≠0，∴tan A ＝，∴A ＝.3π3由S ＝bc ×＝4，得bc ＝16，12323由余弦定理得，16＝b 2＋c 2－bc ，∴c 2＋b 2＝32，∴b ＋c ＝8.答案：812．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，设向量c 满足(2a －c )·(3b －c )＝0，则的|c |最大值为________．解析：因为(2a －c )·(3b －c )＝0，所以6a ·b ＋c 2－(2a ＋3b )·c ＝0.又因为a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，所以a ·b ＝0，所以2＝··cos θ(θ为2a ＋3b 与c 夹角)，所|c ||2a ＋3b ||c |以＝·cos θ≤＝＝，即|c |的最大值为.|c ||2a ＋3b ||2a ＋3b |12＋522626答案：2613．设函数f (x )＝Error!则满足f (f (a ))＝2(f (a ))2的a 的取值范围为________．解析：设t ＝f (a )，所以f (f (a ))＝2(f (a ))2可化为f (t )＝2t 2，由函数式得3t －1＝2t 2(t <1)或2t 2＝2t 2(t ≥1)，所以t ＝或t ≥1，即f (a )＝或f (a )≥1，所以a ＝或a ≥，12121223因此a 的取值范围为∪.{12}[23，＋∞)答案：∪{12}[23，＋∞)14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 1，圆O 2均与x 轴相切且圆心O 1，O 2与原点O 共线，O 1，O 2两点的横坐标之积为6，设圆O 1与圆O 2相交于P ，Q 两点，直线l ：2x －y －8＝0，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为________．解析：设O 1(x 1，kx 1)，O 2(x 2，kx 2)，P (x 0，y 0)，则圆O 1的方程为(x －x 1)2＋(y －kx 1)2＝(kx 1)2，圆O 2的方程为(x －x 2)2＋(y －kx 2)2＝(kx 2)2，将点P (x 0，y 0)的坐标代入可得(x 0－x 1)2＋(y 0－kx 1)2＝(kx 1)2，①(x 0－x 2)2＋(y 0－kx 2)2＝(kx 2)2.②①－②得2x 0＋2ky 0＝x 1＋x 2.③由①得x ＋y ＝2x 1x 0＋2x 1ky 0－x .④202021将③代入④得x ＋y ＝x 1(x 1＋x 2)－x ＝x 1x 2＝6.202021故点P 在圆x 2＋y 2＝6上．又因为圆心O 到直线2x －y －8＝0的距离为，所以点P 与85直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为d －r ＝－.8556答案：－8556。

2019年高考数学真题试卷（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．（共14题；共70分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=________.2.已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________.3.下图是一个算法流程图，则输出的S的值是________.4.函数y=√7+6x−x2的定义域是________.5.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是________.6.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________.=1(b>0)经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是7.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2−y2b2________.8.已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27，则S8的值是________.9.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD的体积是________.10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 y =x +4x (x >0) 上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是________.11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是________.12.如图，在 △ABC 中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE =2EA ， AD 与CE 交于点 O .若 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 AB AC的值是________.13.已知 tanαtan(α+π4)=−23 ，则 sin(2α+π4) 的值是________.14.设 f(x),g(x) 是定义在R 上的两个周期函数， f(x) 的周期为4， g(x) 的周期为2，且 f(x) 是奇函数.当 x ∈(0,2] 时， f(x)=√1−(x −1)2 ， g(x)={k(x +2),0<x ≤1−12,1<x ≤2 ，其中k >0.若在区间(0，9]上，关于x 的方程 f(x)=g(x) 有8个不同的实数根，则k 的取值范围是________.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．（共6题；共90分）15.在△ABC 中，角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ． （1）若a =3c ， b = √2 ，cos B = 23 ，求c 的值； （2）若sinA a=cosB 2b，求 sin(B +π2) 的值．16.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ， E 分别为BC ， AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C: x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2: (x−1)2+y2=4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1= 52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18.如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19.设函数f(x)=(x−a)(x−b)(x−c),a,b,c∈R、f ′(x)为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f ′(x)的零点均在集合{−3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a=0,0<b⩽1,c=1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤ 427．20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} (n∈N∗)满足：a2a4=a5,a3−4a2+4a4=0，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: b1=1,1Sn =2b n−2b n+1，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} (n∈N∗)，对任意正整数k，当k≤m时，都有c k⩽b k⩽c k+1成立，求m的最大值．三、数学Ⅱ(附加题)（每题10分）【选做题】本题包括21、22、23三题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共3题；共30分）21.A.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=[31 22]（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值.22.在极坐标系中，已知两点A(3,π4),B(√2,π2)，直线l的方程为ρsin(θ+π4)=3.（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.23.设x∈R，解不等式|x|+|2 x−1|>2.四、【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．（共2题；共20分）24.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n,n⩾4,n∈N∗.已知a32=2a2a4.（1）求n的值；（2）设(1+√3)n=a+b√3，其中a,b∈N∗，求a2−3b2的值.25.在平面直角坐标系xOy中，设点集A n={(0,0),(1,0),(2,0),…,(n,0)}，B n={(0,1),(n,1)},C n= {(0,2),(1,2),(2,2),⋯,(n,2)},n∈N∗.令M n=A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.（1）当n=1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.答案解析部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.【答案】{1,6}【考点】交集及其运算【解析】【解答】∵集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，借助数轴得：A∩B={1,6}【分析】根据已知条件借助数轴，用交集的运算法则求出集合A∩B。

14个填空题专项强化练(九) 数 列A 组——题型分类练题型一 等差、等比数列的基本运算1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________． 解析：因为等差数列{a n }满足a 2＝7，S 7＝－7，所以S 7＝7a 4＝－7，a 4＝－1，所以d ＝a 4－a 24－2＝－4，所以a 7＝a 2＋5d ＝－13.答案：－132．(2018·盐城高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：S n ＝2a n ＋n (n ∈N *) ①，当n ＝1时，得a 1＝－1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1 ②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1＋1(n ≥2)，即a n －1＝2(a n －1－1)(n ≥2)，则数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则a n －1＝－2×2n －1＝－2n，a 1＝－1符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1－2n .答案：1－2n3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516，则a 5＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公比为q (q >0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝a 1q2，a 1q ＋a 1q 3＝516，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝12，所以a 5＝a 1q 4＝132.法二：(整体思想)依题意由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516，得16a 22＋16a 2－5＝0，即(4a 2＋5)(4a 2－1)＝0，又等比数列{a n }各项均为正数，所以a 2＝14，从而a 4＝116，从而由q 2＝a 4a 2＝14，又q >0，所以q ＝12，a 5＝a 4q ＝116×12＝132.答案：132[临门一脚]1．等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误． 3．等差、等比数列的通项公式：等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn－1＝a m qn －m(a 1≠0，q ≠0)．4．等差、等比数列的前n 项和： (1)等差数列的前n 项和为：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (二次函数)．特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)． (2)等比数列的前n 项和为：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q，则S n ＝a －aq n，要注意对q 是否等于1讨论．题型二 等差、等比数列的性质1．(2018·苏北四市质检)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a 28－a 22＝36，则a 11的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝10，a 5＝2，则a 28－a 22＝(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝12a 5d ＝24d ＝36，d ＝32，则a 11＝a 5＋6d ＝11.答案：112．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________.解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.答案：733．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________. 解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：504．已知数列{a n }是等差数列，且a n >0，若a 1＋a 2＋…＋a 100＝500，则a 50·a 51的最大值为________． 解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，由题意得，100a 1＋4 950d ＝500，所以a 1＝5－49.5d ，所以a 50·a 51＝(a 1＋49d )·(a 1＋50d )＝(5－0.5d )·(5＋0.5d )＝－0.25d 2＋25.又d ≥0，所以当d ＝0时，a 50·a 51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a 50＋a 51)＝500，即a 50＋a 51＝10，所以由基本不等式得a 50·a 51≤⎝⎛⎭⎪⎫a 50＋a 5122＝25，当且仅当a 50＝a 51＝5时取等号，所以a 50·a 51有最大值25.答案：255．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，若A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝7n ＋1＋12n ＋1＝7＋12n ＋1.因此n ∈N *，a n b n∈N *，故n ＋1＝2,3,4,6,12，即n 共有5个． 答案：5 [临门一脚]1．若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ；该性质还可以运用于更多项之间的关系．2．在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *)．题型三 数列的综合问题1．已知等比数列{a n }的前4项和为5，且4a 1，32a 2，a 2成等差数列，若b n ＝1log 23a n ＋1，则数列{b n b n ＋1}的前10项和为________．解析：由4a 1，32a 2，a 2成等差数列，可得4a 1＋a 2＝3a 2，则2a 1＝a 2，则等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2，则数列{a n }的前4项和为a 11－241－2＝5，解得a 1＝13，所以a n ＝13×2n －1，b n ＝1log 23a n ＋1＝1n，则b n b n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，其前10项和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.答案：10112．对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝________.解析：由a 3＝1，a 4＝－1及b n ＝a n ＋1－a n 得b 3＝a 4－a 3＝－2，又由b n ＋1－b n ＝1得数列{b n }是等差数列，b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n －5，所以a n ＋1－a n ＝n －5，从而得a 3－a 2＝－3⇒a 2＝4，a 2－a 1＝－4⇒a 1＝8.答案：83．(2018·南京四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝8n －n 2，令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，当T n 取得最大值时，n ＝________.解析：法一：当n ＝1时，a 1＝7；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝9－2n ，经检验，n ＝1时也符合，故a n ＝9－2n ，则b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(9－2n )(7－2n )(5－2n )，当T n 取得最大值时，应满足{b n }的前n 项均为非负项．令b n ≥0得，n ≤2.5或3.5≤n ≤4.5，又n ∈N *，所以n ＝1,2,4，而T 1＝105，T 2＝120，T 4＝120，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.法二：由S n ＝8n －n 2知，数列{a n }为等差数列，且a n ＝9－2n ，即7,5,3,1，－1，－3，－5，－7，…，枚举知，T 1＝105，T 2＝120，T 3＝117，T 4＝120，T 5＝105，…，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.答案：2或44．在等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，设连续10项为a i ＋1，a i ＋2，a i ＋3，…，a i ＋10，i ∈N ，设漏掉的一项为a i ＋k,1≤k ≤10，由a i ＋1＋a i ＋10×102－a i ＋k ＝185，得(2i ＋3＋2i ＋21)×5－2i －2k －1＝185，即18i －2k ＝66，即9i －k ＝33，所以34≤9i ＝k ＋33≤43,3<349≤i ≤439<5，所以i ＝4，此时，由36＝33＋k 得k ＝3，所以a i ＋k ＝a 7＝15，故此连续10项的和为200.答案：200 [临门一脚]1．数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等． 2．根据递推关系式求通项公式的方法有累加法，累积法，待定系数法，取倒数、取对数等． 3．数列单调性可以用定义研究，也可以构造函数进行研究，要注意数列和所构造函数的定义域的差别．B 组——高考提速练1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d ，则d ＝2，a 1＝－1，S 5＝5×(－1)＋5×42×2＝15.法二：S 5＝5a 1＋a 52＝5a 2＋a 42＝5×62＝15. 答案：152．在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，a n －a n －1＝3，则a n ＝________. 解析：由定义知{a n }是以3为首项，以3为公差的等差数列，故a n ＝3n ，即a n ＝3n 2. 答案：3n 23．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以q 2·q 4＝4(q 3－1)，即q 6－4q 3＋4＝0，q 3＝2，所以a 7＝q 6＝4.法二：设等比数列{a n }的公比为q, 由a 3a 5＝4(a 4－1)得a 24＝4(a 4－1)，即a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2，因为a 1＝1，所以q 3＝2，a 7＝q 6＝4.答案：44．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.答案：45．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________.解析：因为等比数列{a n }的公比q ＝3，所以S 3＋S 4＝2S 3＋a 4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋19a 3＋3a 3＝539a 3＝533，所以a 3＝3. 答案：36．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，解得a 2＝0或a 2＝3.又由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1S 4.若a 2＝0，则S 1＝S 2＝a 1≠0，S 2＝S 4＝a 1，a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝0，a 3＝0，则d ＝0，故a 2＝0舍去；若a 2＝3，则S 1＝3－d ，S 2＝6－d ，S 4＝12＋2d ，有(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )(d ≠0)，得d ＝2，此时a 10＝a 2＋8d ＝19.答案：197．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析：因为3a 4＝7a 7，所以3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以a 1＝－334d >0，所以d <0，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d4(4n －37)，当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0， 所以使S n 取得最大值的n ＝9. 答案：98．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 11－271－2＝381，解得a 1＝3.答案：39．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.故“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．答案：充要10．设数列{}a n 满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则∑k ＝1100(a k a k ＋1)的值为________．解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1a n ＋1－1a n＝1，1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n ，故a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，因此∑k ＝1100(a k a k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 答案：10010111．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.因为S 2mS m ＝a 11－q 2m1－q a 11－q m1－q ＝q m＋1＝9，所以q m＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2.答案：212．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前8项和为________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1， 所以a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1， a 4－a 3＝3＋1，…a n －a n －1＝(n －1)＋1，以上等式相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1， 把a 1＝1代入上式得，a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n n ＋12，∴1a n ＝2 nn ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前8项和为169.答案：16913．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．解析：法一：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得a 11－q 61－q－2a 11－q 31－q＝5，从而得a 11－q ＝5－q 6＋2q 3－1＝5－q 3－12<0，故1－q <0，即q >1，故S 9－S 6＝a 11－q 91－q －a 11－q 61－q＝5－q 3－12·(q 6－q 9)＝5q 6q 3－1，令q 3－1＝t >0，则S 9－S 6＝5t ＋12t＝5⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t＋2≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立．法二：因为S 6＝S 3(1＋q 3)，所以由S 6－2S 3＝5得S 3＝5q 3－1>0，从而q >1，故S 9－S 6＝S 3(q 6＋q 3＋1)－S 3(q 3＋1)＝S 3q 6＝5q6q 3－1，以下同法一．答案：2014．已知数列{b n }的每一项都是正整数，且b 1＝5，b 2＝7<b 3，数列{a n }是公差为d (d ∈N *)的等差数列，且有a 7＝6，则使得数列{ab n }是等比数列的d 的值为________．解析：法一：ab 1＝a 5＝6－2d ，ab 2＝a 7＝6，易知d ≠3，等比数列{ab n }的公比q ＝66－2d ＝33－d，ab n ＝(6－2d )·⎝⎛⎭⎪⎫33－d n －1，又ab n ＝6＋(b n －7)d ，所以6＋(b n －7)d ＝(6－2d )⎝ ⎛⎭⎪⎫33－d n －1，所以6＋(b3－7)d ＝(6－2d )·⎝⎛⎭⎪⎫33－d 2，即6＋(b 3－7)d ＝183－d ，由b 3>7，得3－d >0，由d ∈N *得d ＝1或2，当d＝1时，b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以所求d 的值为2.法二：由数列{ab n }是等比数列得ab 1ab 3＝a 2b 2，而ab n ＝a 7＋(b n －7)d ，所以，由b 1＝5，b 2＝7得，(6－2d )·[6＋(b 3－7)d ]＝36，易知d ≠3，解得b 3－7＝63－d>0，由d ∈N *得，d ＝1或2，当d＝1时，b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以所求d 的值为2.答案：2。

14个填空题综合仿真练(六)1．已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }，则∁U M ＝________. 解析：集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，M ＝{x |x 2－6x ＋5≤0，x ∈Z }＝{x |1≤x ≤5，x ∈Z }＝{1,2,3,4,5}，则∁U M ＝{6,7}．答案：{6,7}2．已知复数z ＝2＋i 2－i(i 为虚数单位)，则z 的模为________． 解析：法一：z ＝2＋i 2－i ＝＋25＝35＋45i ， 则|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1. 法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋i 2－i ＝|2＋i||2－i|＝55＝1. 答案：13．用分层抽样的方法从某高中学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为________．解析：样本中高二年级抽45－20－10＝15人，设该校学生总数为n 人，则45n ＝15300，所以n ＝900.答案：9004．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为________． S ←1I ←1While I ≤8S ←S ＋I I ←I ＋2End WhilePrint S解析：模拟执行程序，可得S ＝1，I ＝1，满足条件I ≤8；S ＝2，I ＝3，满足条件I ≤8；S ＝5，I ＝5，满足条件I ≤8；S ＝10，I ＝7，满足条件I ≤8；S ＝17，I ＝9，不满足条件I ≤8；退出循环，输出S 的值为17.答案：175．设双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为__________．解析：双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±1a x ，则tan 30°＝1a，即a ＝3，则c ＝2，所以e ＝233. 答案：2336．100张卡片上分别写有1,2,3，…，100的数字．从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是________．解析：从100张卡片上分别写有1,2,3，…，100中任取1张，基本事件总数n ＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有：1×6,2×6，…，16×6，共有16个，所以所取这张卡片上的数是6的倍数的概率是P ＝16100＝425. 答案：4257．若一个圆锥的母线长为2，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为________．解析：由圆锥母线长2，可求底面半径为1，故高h ＝3，所以V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：3π38．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6S 3＝－198，a 4－a 2＝－158，则a 3的值为________． 解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠1，则S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝－198，所以q ＝－32，a 4－a 2＝a 1q 3－a 1q ＝－27a 18＋3a 12＝－158，所以a 1＝1，则a 3＝a 1q 2＝94. 法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则S 6S 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6a 1＋a 2＋a 3＝a 1＋a 2＋a 3＋a 1q 3＋a 2q 3＋a 3q 3a 1＋a 2＋a 3＝1＋q 3＝－198， 所以q ＝－32， 则a 4－a 2＝a 3q －a 3q ＝－3a 32＋2a 33＝－158， 所以a 3＝94答案：949．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．解析：f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增，且f (e)＝e ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ，因为f (x )为奇函数，所以f (－e)＝－f (e)＝－e ，故结合函数图象得f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．答案：(－∞，－e)10．若点(x ，y )位于曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包含边界)，则2x －y 的最小值为________．解析：作出曲线y ＝|2x －1|与y ＝3所围成的封闭区域内(包括边界)如图：设z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，平移直线y ＝2x －z ，由图象可知当直线y ＝2x －z 经过点A 时，直线y ＝2x －z 的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3，y ＝－2x ＋1，解得A (－1,3)，此时z ＝2×(－1)－3＝－5.答案：－511．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ，若f (x －φ)的图象关于y 轴对称⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2，则φ＝________.解析：因为f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以f (x －φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π6.由f (x －φ)的图象关于y 轴对称得，－2φ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以－2φ＝π3＋k π(k ∈Z )．又0<φ<π2，所以φ＝π3. 答案：π312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＝2，直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|，则b 的取值范围为___________________．解析：设AB 的中点为M ，则|OA ―→＋OB ―→|≥3|OA ―→－OB ―→|⇒2|OM |≥3|2AM |⇒|OM |≥32|OA |＝62，又直线x ＋by －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，所以62≤|OM |<2，而|OM |＝21＋b 2，所以62≤21＋b 2<2⇒1<b 2≤53，解得1<b ≤153或－153≤b <－1，即b 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝ ⎛⎦⎥⎤1，153. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－153，－1∪⎝⎛⎦⎥⎤1，153 13．设实数m ≥1，不等式x |x －m |≥m －2对∀x ∈[1,3]恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：当1≤m ≤2时，不等式x |x －m |≥m －2显然成立；当2<m <3时，令f (x )＝x |x －m |＝⎩⎪⎨⎪⎧ x m －x ，1≤x <m ，x x －m ，m ≤x ≤3，f (x )min ＝f (m )＝0，故不等式x |x －m |≥m －2不恒成立；当m ≥3时，令f (x )＝x (m －x )，则f (1)＝m －1，f (3)＝3(m －3)，显然m －1>m －2恒成立，令3(m －3)≥m －2，解得m ≥72， 故m 的取值范围为[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞. 答案：[1,2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞ 14．在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________． 解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C， 得cos A sin A ＋cos B sin B ＝4cos C sin C ， 即A ＋B sin A sin B ＝4cos C sin C， 化简得sin 2C ＝4sin A sin B cos C .由正、余弦定理得c 2＝4ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝2(a 2＋b 2－c 2)， 即3c 2＝2(a 2＋b 2)，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 26ab ≥2ab 6ab ＝13，当且仅当“a ＝b ”时等号成立． 所以cos C 的最小值为13，故sin C 的最大值为223. 答案：223。

14个填空题专项强化练(九)　数　列A 组——题型分类练题型一　等差、等比数列的基本运算1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________．解析：因为等差数列{a n }满足a 2＝7，S 7＝－7，所以S 7＝7a 4＝－7，a 4＝－1，所以d ＝＝－4，所以a 7＝a 2＋5d ＝－13.a 4－a 24－2答案：－132．(2018·盐城高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)　①，当n ＝1时，得a 1＝－1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1　②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1＋1(n ≥2)，即a n －1＝2(a n －1－1)(n ≥2)，则数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则a n －1＝－2×2n －1＝－2n ，a 1＝－1符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1－2n .答案：1－2n3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a ，a 2＋a 4＝，则a 5＝________.2516解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公比为q (q >0)，由题意Error!解得Error!所以a 5＝a 1q 4＝.132法二：(整体思想)依题意由Error!得16a ＋16a 2－5＝0，即(4a 2＋5)(4a 2－1)＝0，又等2比数列{a n }各项均为正数，所以a 2＝，从而a 4＝，从而由q 2＝＝，又q >0，所以q ＝，a 5＝14116a 4a 21412a 4q ＝×＝.11612132答案：132[临门一脚]1．等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误．3．等差、等比数列的通项公式：等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m (a 1≠0，q ≠0)．4．等差、等比数列的前n 项和：(1)等差数列的前n 项和为：S n ＝＝na 1＋d ＝n 2＋n (二次n a 1＋a n2n n －12d 2(a 1－d2)函数)．特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(2)等比数列的前n 项和为：S n ＝Error!特别地，若q ≠1，设a ＝，则S n ＝a －aq n ，要注意对q 是否等于1讨论．a 11－q题型二　等差、等比数列的性质1．(2018·苏北四市质检)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝10，a －a ＝36，282则a 11的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝5a 5＝10，a 5＝2，则a －a ＝282(a 8＋a 2)(a 8－a 2)＝12a 5d ＝24d ＝36，d ＝，则a 11＝a 5＋6d ＝11.32答案：112．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若＝3，则＝________.S 4S 2S 6S4解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴＝＝.S 6S 47k 3k 73答案：733．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋lna 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：504．已知数列{a n }是等差数列，且a n >0，若a 1＋a 2＋…＋a 100＝500，则a 50·a 51的最大值为________．解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，由题意得，100a 1＋4 950d ＝500，所以a 1＝5－49.5d ，所以a 50·a 51＝(a 1＋49d )·(a 1＋50d )＝(5－0.5d )·(5＋0.5d )＝－0.25d 2＋25.又d ≥0，所以当d ＝0时，a 50·a 51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a 50＋a 51)＝500，即a 50＋a 51＝10，所以由基本不等式得a 50·a 51≤2＝25，当且仅当a 50＝a 51＝5时取等号，所以a 50·a51有最大值25.(a 50＋a 512)答案：255．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，若＝，则使得A n B n 7n ＋45n ＋3a nbn为整数的正整数n 的个数是________．解析：由＝＝＝a nb n A 2n －1B 2n －17 2n －1 ＋45 2n －1 ＋37n ＋19n ＋1＝＝7＋.因此n ∈N *，∈N *，7 n ＋1 ＋12n ＋112n ＋1a n b n 故n ＋1＝2,3,4,6,12，即n 共有5个．答案：5[临门一脚]1．若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a；该性质还可以运用于更多项之间的关系．2p 2．在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *)．题型三　数列的综合问题1．已知等比数列{a n }的前4项和为5，且4a 1，a 2，a 2成等差数列，若b n ＝，321log 23a n ＋1则数列{b n b n ＋1}的前10项和为________．解析：由4a 1，a 2，a 2成等差数列，可得4a 1＋a 2＝3a 2，则2a 1＝a 2，则等比数列{a n }的32公比q ＝＝2，则数列{a n }的前4项和为＝5，解得a 1＝，所以a n ＝×2n －1，b n ＝a 2a 1a 1 1－24 1－21313＝，则b n b n ＋1＝＝－，其前10项和为＋＋…＋1log 23a n ＋11n 1n n ＋1 1n 1n ＋1(1－12)(12－13)(110－111)＝.1011答案：10112．对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝________.解析：由a 3＝1，a 4＝－1及b n ＝a n ＋1－a n 得b 3＝a 4－a 3＝－2，又由b n ＋1－b n ＝1得数列{b n }是等差数列，b n ＝b 3＋(n －3)×1＝n －5，所以a n ＋1－a n ＝n －5，从而得a 3－a 2＝－3⇒a 2＝4，a 2－a 1＝－4⇒a 1＝8.答案：83．(2018·南京四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝8n －n 2，令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，当T n 取得最大值时，n ＝________.解析：法一：当n ＝1时，a 1＝7；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝9－2n ，经检验，n ＝1时也符合，故a n ＝9－2n ，则b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(9－2n )(7－2n )(5－2n )，当T n 取得最大值时，应满足{b n }的前n 项均为非负项．令b n ≥0得，n ≤2.5或3.5≤n ≤4.5，又n ∈N *，所以n ＝1,2,4，而T 1＝105，T 2＝120，T 4＝120，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.法二：由S n ＝8n －n 2知，数列{a n }为等差数列，且a n ＝9－2n ，即7,5,3,1，－1，－3，－5，－7，…，枚举知，T 1＝105，T 2＝120，T 3＝117，T 4＝120，T 5＝105，…，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.答案：2或44．在等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，设连续10项为a i ＋1，a i ＋2，a i ＋3，…，a i ＋10，i ∈N ，设漏掉的一项为a i ＋k,1≤k ≤10，由－a i ＋k ＝185， a i ＋1＋a i ＋10 ×102得(2i ＋3＋2i ＋21)×5－2i －2k －1＝185，即18i －2k ＝66，即9i －k ＝33，所以34≤9i ＝k ＋33≤43,3<≤i ≤<5，所以i ＝4，此时，由36＝33＋k 得k ＝3，所以a i ＋k ＝a 7＝15，故349439此连续10项的和为200.答案：200[临门一脚]1．数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等．2．根据递推关系式求通项公式的方法有累加法，累积法，待定系数法，取倒数、取对数等．3．数列单调性可以用定义研究，也可以构造函数进行研究，要注意数列和所构造函数的定义域的差别．B 组——高考提速练1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d ，则d ＝2，a 1＝－1，S 5＝5×(－1)＋×2＝15.5×42法二：S 5＝＝＝＝15.5 a 1＋a 5 25 a 2＋a 4 25×62答案：152．在数列{a n }中，a 1＝3，且对任意大于1的正整数n ，－＝，则a n ＝________.a n a n －13解析：由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故＝n ，即a n ＝3n 2.a n 33a n 3答案：3n 23．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以q 2·q 4＝4(q 3－1)，即q 6－4q 3＋4＝0，q 3＝2，所以a 7＝q 6＝4.法二：设等比数列{a n }的公比为q, 由a 3a 5＝4(a 4－1)得a ＝4(a 4－1)，即a －4a 4＋4＝0，2424所以a 4＝2，因为a 1＝1，所以q 3＝2，a 7＝q 6＝4.答案：44．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由Error!得Error!即Error!解得d ＝4.答案：45．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝，则a 3＝________.533解析：因为等比数列{a n }的公比q ＝3，所以S 3＋S 4＝2S 3＋a 4＝2a 3＋3a 3＝a 3＝，所以a 3＝3.(1＋13＋19)539533答案：36．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a ，且S 1，S 2，S 4成等比数列，2则a 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 3＝a 得3a 2＝a ，解得a 2＝0或a 2＝3.22又由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S ＝S 1S 4.若a 2＝0，则S 1＝S 2＝a 1≠0，S 2＝S 4＝a 1，a 2＋a 3＋a 4＝23a 3＝0，a 3＝0，则d ＝0，故a 2＝0舍去；若a 2＝3，则S 1＝3－d ，S 2＝6－d ，S 4＝12＋2d ，有(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )(d ≠0)，得d ＝2，此时a 10＝a 2＋8d ＝19.答案：197．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析：因为3a 4＝7a 7，所以3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )，所以a 1＝－d >0，所以d <0，334所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(4n －37)，d4当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0，所以使S n 取得最大值的n ＝9.答案：98．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝＝381，解得a 1＝3.a 1 1－271－2答案：39．已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.故“d >0”是“S 4＋S 6>2S 5”的充要条件．答案：充要10．设数列满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则(a k ak ＋1)的值为________．{a n }100∑k ＝1解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而－＝1，＝1，1an ＋11a n 1a1所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以＝1＋n －1＝n ，所以a n＝，故a n an ＋1{1a n}1a n1n ＝＝－，因此(a k a k ＋1)＝＋＋…＋＝1－＝.1n n ＋1 1n 1n ＋1100∑k ＝1(1－12)(12－13)(1100－1101)1101100101答案：10010111．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足＝9，＝，则数S 2m S m a 2m a m 5m ＋1m －1列{a n }的公比为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.因为＝S 2m S m S 2mS m ＝q m ＋1＝9，所以q m ＝8.所以＝＝q m ＝8＝，所以m ＝3，所以q 3＝a 1 1－q 2m1－q a 1 1－q m 1－qa 2m a m a 1q 2m －1a 1q m －15m ＋1m －18，所以q ＝2.答案：212．数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列的前8项和为{1a n}________．解析：因为a n ＋1－a n ＝n ＋1，所以a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1，a 4－a 3＝3＋1，…a n －a n －1＝(n －1)＋1，以上等式相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1，把a 1＝1代入上式得，a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝，n n ＋12∴＝＝2，1a n 2n n ＋1 (1n －1n ＋1)∴数列的前n 项的和{1a n}S n ＝2(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝2＝，(1－1n ＋1)2n n ＋1∴数列的前8项和为.{1a n}169答案：16913．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________．解析：法一：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得－＝5，从而得＝＝<0，故1－q <0，a 1 1－q 6 1－q 2a 1 1－q 3 1－q a 11－q 5－q 6＋2q 3－15－ q 3－1 2即q >1，故S 9－S 6＝－＝a 1 1－q 9 1－q a 1 1－q 6 1－q·(q 6－q 9)＝，令q 3－1＝t >0，则S 9－S 6＝＝55－ q 3－1 25q 6q 3－15 t ＋1 2t (t ＋1t＋2)≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立．法二：因为S 6＝S 3(1＋q 3)，所以由S 6－2S 3＝5得S 3＝>0，从而q >1，故S 9－S 6＝S 3(q 65q 3－1＋q 3＋1)－S3(q 3＋1)＝S3q 6＝，以下同法一．5q 6q 3－1答案：2014．已知数列{b n }的每一项都是正整数，且b 1＝5，b 2＝7<b 3，数列{a n }是公差为d (d ∈N *)的等差数列，且有a 7＝6，则使得数列{ab n }是等比数列的d 的值为________．解析：法一：ab 1＝a 5＝6－2d ，ab 2＝a 7＝6，易知d ≠3，等比数列{ab n }的公比q ＝＝66－2d，ab n ＝(6－2d )·n －1，又ab n ＝6＋(b n －7)d ，所以6＋(b n －7)d ＝(6－2d )n －1，33－d (33－d )(33－d)所以6＋(b 3－7)d ＝(6－2d )·2，即6＋(b 3－7)d ＝，由b 3>7，得3－d >0，由d ∈N *(33－d )183－d得d ＝1或2，当d ＝1时，b n＝4n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n＝3n －1＋4，符合题意，(32)所以所求d 的值为2.法二：由数列{ab n }是等比数列得ab 1ab 3＝a 2b 2，而ab n ＝a 7＋(b n －7)d ，所以，由b 1＝5，b 2＝7得，(6－2d )·[6＋(b 3－7)d ]＝36，易知d ≠3，解得b 3－7＝>0，由d ∈N *得，d ＝163－d或2，当d ＝1时，b n ＝4n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以(32)所求d 的值为2.答案：2。

14个填空题专项强化练(五)　三角函数A 组——题型分类练题型一　同角三角函数的基本关系与诱导公式1．sin 240°＝________.解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.32答案：－322．已知cos α＝－，角α是第二象限角，则tan(2π－α)＝________.513解析：因为cos α＝－，角α是第二象限角，513所以sin α＝，所以tan α＝－，1213125故tan(2π－α)＝－tan α＝.125答案：1253．已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ＝________.25解析：由Error!且θ为第三象限角，得Error!故sin θ＋cos θ＝－.3125答案：－3125[临门一脚]1．“小于90°的角”不等同于“锐角”，“0°～90°的角”不等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }．2．记住下列公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝lR ；(3)S ＝αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是1212弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S 是扇形面积．3．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号→脱周期→化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．4．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意限定角的范围，判断符号．5．利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan sin αcos αα可以实现角α的弦切互化．6．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．题型二　三角恒等变换1．若＝，则tan 2α＝________.1＋cos 2αsin 2α12解析：因为＝＝＝，1＋cos 2αsin 2α2cos 2α2sin αcos αcos αsin α12所以tan α＝2，所以tan 2α＝＝＝－.2tan α1－tan 2α41－443答案：－432．若sin ＝，α∈，则cos α的值为________．(α－π6)35(0，π2)解析：∵α∈，∴α－∈.(0，π2)π6(－π6，π3)又∵sin ＝，∴cos ＝，(α－π6)35(α－π6)45∴cos α＝cos ＝cos cos －sin sin ＝×－×＝[(α－π6)＋π6](α－π6)π6(α－π6)π645323512.43－310答案：43－3103．(2018·南京四校联考)已知角α，β满足tan αtan β＝.若cos(α－β)＝，1345则cos(α＋β)的值为________．解析：法一：由tan αtan β＝，cos (α－β)＝得，Error!解得Error!1345故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝.25法二：设cos (α＋β)＝x ，即cos αcos β－sin αsin β＝x ，　①由cos (α－β)＝得，cos αcos β＋sin αsin β＝，　②4545由①②得cos αcos β＝＋，sin αsin β＝－，25x 225x2两式相除得tan αtan β＝＝，解得x ＝，25－x 225＋x 21325即cos (α＋β)＝.25答案：254．已知cos －sin α＝，则sin 的值是________．(α＋π6)233(α－7π6)解析：由cos －sin α＝，(α＋π6)233得cos α－sin α＝，3232233即－＝，即sin ＝－.(32sin α－12cos α)23(α－π6)23所以sin ＝sin (α－7π6)(α－π6－π)＝－sin ＝.(α－π6)23答案：235．设α∈，β∈，若sin ＝，(0，π4)(0，π2)(α＋π6)45tan ＝，则tan(2α＋β)的值为________．(β－π3)13解析：因为α∈，所以α＋∈.(0，π4)π6(π6，5π12)又sin ＝，所以cos ＝，(α＋π6)45(α＋π6)35所以sin ＝2sin cos ＝，(2α＋π3)(α＋π6)(α＋π6)2425cos ＝2cos 2－1＝－，(2α＋π3)(α＋π6)725所以tan ＝－.(2α＋π3)247又2α＋β＝＋，(2α＋π3)(β－π3)所以tan(2α＋β)＝tan [(2α＋π3)＋(β－π3)]＝＝＝－.tan (2α＋π3)＋tan (β－π3)1－tan (2α＋π3)·tan (β－π3)－247＋131＋247×13139答案：－139[临门一脚]三角恒等变换中常见的两种形式：一是化简；二是求值．(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．题型三　三角函数的定义域和值域1．函数y ＝tan 的定义域为___________________________________________．(2x －π3)解析：由2x －≠k π＋(k ∈Z )，得x ≠＋(k ∈Z )，故所求定义域为π3π2k π25π12.{xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z }答案：{xx ≠k π2＋5π12，k ∈Z}2．函数y ＝2sin (0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(πx 6－π3)解析：因为0≤x ≤9，所以－≤x －≤，π3π6π37π6所以sin ∈.(π6x －π3)[－32，1]所以y ∈[－，2]，所以y max ＋y min ＝2－.33答案：2－33．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－22＋.(sin x －54)98故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]．答案：[－9,1][临门一脚]1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解，不能忽视y ＝tan x 的定义域的限制．2．三角函数的值域有几种常见类型：一是可以化为标准型的，利用三角函数图象求解；二是可以化为二次型的，利用换元法求解，但要注意“新元”的取值范围；三是可以用导数法来解决．题型四　三角函数的图象1．将函数y ＝sin4x 的图象向左平移个单位长度，得到y ＝sin(4x ＋φ)π12的图象，则φ＝________.(0<φ<π2)解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移个单位长度，得到y ＝sin ＝sinπ12[4(x ＋π12)]，所以φ＝.(4x ＋π3)π3答案：π32.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部(A >0，ω>0，|φ|<π2)分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为______________________________．解析：由题图可知，A ＝1，函数f (x )的最小正周期T ＝4＝π，∴ω＝＝2.(π3－π12)2πT又当x ＝时，f (x )取得最大值1，π12∴1＝sin ，∴＋φ＝2k π＋，k ∈Z ，(2×π12＋φ)π6π2∴φ＝2k π＋，k ∈Z .又|φ|<，∴φ＝，π3π2π3则函数f (x )的解析式为f (x )＝sin .(2x ＋π3)答案：f (x )＝sin (2x ＋π3)3．在同一直角坐标系中，函数y ＝sin (x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝的交点(x ＋π3)12的个数是____________．解析：由sin ＝，解得x ＋＝2k π＋或x ＋＝2k π＋，k ∈Z ，即x ＝2k π(x ＋π3)12π3π6π35π6－或x ＝2k π＋，k ∈Z ，又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝或，所以函数y ＝sin π6π2π211π6(x ＋π3)(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝ 的交点的个数是2.12答案：24．将函数y ＝5sin 的图象向左平移φ个单位长度后，所得函数(2x ＋π4)(0<φ<π2)图象关于y 轴对称，则φ＝______________.解析：将函数y ＝5sin 的图象向左平移φ个单位长度后，所得(2x ＋π4)(0<φ<π2)函数为f (x )＝5sin ，即f (x )＝5sin .因为所得函数f (x )的[2 x ＋φ ＋π4][2x ＋(2φ＋π4)]图象关于y 轴对称，所以2φ＋＝＋k π，k ∈Z ，所以φ＝＋，k ∈Z ，因为0＜φ＜π4π2π8k π2，所以φ＝.π2π8答案：π8[临门一脚]1．要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为，|φω|而不是|φ|.4．五点法求y ＝A sin(ωx ＋φ)中的φ的方法：根据图象确定φ时要注意第一个平衡点和第二个平衡点的区别．题型五　三角函数的性质1．(2018·镇江高三期末)函数y ＝3sin 图象的相邻两对称轴的距离为(2x ＋π4)________．解析：因为函数y ＝3sin 的最小正周期T ＝＝π，所以该函数图象的相邻两(2x ＋π4)2π2对称轴的距离为.π2答案：π22．函数y ＝2sin 与y 轴最近的对称轴方程是________．(2x －π6)解析：由2x －＝k π＋(k ∈Z )，得x ＝＋(k ∈Z )，因此，当k ＝－1时，直线x ＝－π6π2k π2π3是与y 轴最近的对称轴．π6答案：x ＝－π63．若函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象过点(0，)，则函数f (x )在[0，π](0<φ<π2)3上的单调递减区间是____________．解析：由题意可得，2sin(2×0＋φ)＝，3∴sin φ＝.32又0<φ<，∴φ＝，π2π3∴f (x )＝2sin .(2x ＋π3)由2k π＋≤2x ＋≤2k π＋，k ∈Z ，π2π33π2得k π＋≤x ≤k π＋，k ∈Z .π127π12∵0≤x ≤π，∴k ＝0时，≤x ≤，π127π12∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间是.[π12，7π12]答案：[π12，7π12]4．若函数f (x )＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.x ＋φ3解析：若f (x )为偶函数，则f (0)＝±1，即sin＝±1，所以＝k π＋(k ∈Z )．φ3φ3π2所以φ＝3k π＋(k ∈Z )．3π2因为φ∈[0,2π]，所以φ＝.3π2答案：3π25．若函数f (x )＝4cos ωx sin ＋1(ω>0)的最小正周期是π，则函数f (x )在(ωx －π6)上的最小值是________．[0，π2]解析：由题意知，f (x )＝4cos ωx sin ＋1(ωx －π6)＝2sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋13＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ，3(2ωx －π6)由f (x )的最小正周期是π，且ω>0，可得＝π，ω＝1，2π2ω则f (x )＝2sin .(2x －π6)又x ∈，[0，π2]所以2x －∈，π6[－π6，5π6]故函数f (x )在上的最小值是－1.[0，π2]答案：－1[临门一脚]1．求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数的充要条件为φ＝k π(k ∈Z )；为偶函数的充要条件为φ＝k π＋(k ∈Z )．π23．求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令ωx ＋φ＝＋k π(k ∈Z )，求x ；π2如要求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )即可．4．三角函数的性质主要是划归为y ＝A sin(ωx ＋φ)，再利用y ＝sin x 性质求解．三角函数划归主要是针对“角、名、次”三个方面．B 组——高考提速练1．sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°的值为________．解析：因为sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝sin 18°·sin 78°＋cos 18°·cos 78°＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝.12答案：122．函数y ＝的定义域是_______________________________．12sin x －1解析：由2sin x －1≠0得sin x ≠，12故x ≠＋2k π(k ∈Z )且x ≠＋2k π(k ∈Z )，π65π6即x ≠(－1)k ·＋k π(k ∈Z )．π6答案：Error!3．函数y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4的最小正周期为________. 解析：因为y ＝2sin 2x ＋3cos 2x －4＝cos 2x －2＝－2＝cos2x －，故最小正周1＋cos2x 21232期为T ＝＝＝π.2πω2π2答案：π4．函数y ＝sin 的单调递增区间为______________________________．(x ＋π6)解析：由2k π－≤x ＋≤2k π＋(k ∈Z )，π2π6π2得－＋2k π≤x ≤＋2k π(k ∈Z )，2π3π3所以单调递增区间为(k ∈Z )．[－2π3＋2k π，π3＋2k π]答案：(k ∈Z )[－2π3＋2k π，π3＋2k π]5．已知cos ＝，且|φ|<，则tan φ＝________.(π2－φ)32π2解析：cos ＝sin φ＝，(π2－φ)32又|φ|<，则cos φ＝，所以tan φ＝.π2123答案：36.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________．解析：如图，过点A 作垂直于x 轴的直线AM ，过点B 作垂直于y 轴的直线BM ，直线AM 和直线BM 相交于点M ，在Rt △AMB 中，A M ＝4，B M ＝·＝，A B ＝5，由勾股定理得AM 2＋BM 2＝AB 2，122πωπω所以16＋2＝25，＝3，ω＝.(πω)πωπ3答案：π37．若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝，则sin(α－β)的值为________．23解析：由tan β＝2tan α得，2sin αcos β＝cos αsin β，所以2sin αcos β＝，23所以sin αcos β＝，13所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－＝－.132313答案：－138．已知函数f (x )＝sin (ω>0)，将函数y ＝f (x )的图象向右平移个单位长(ωx ＋π3)2π3度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于________．解析：将函数f (x )＝sin (ω>0)的图象向右平移个单位长度后，所得函数(ωx ＋π3)2π3为y ＝f .因为所得图象与原函数图象重合，所以f (x )＝f ，所以kT ＝，k ∈(x －2π3)(x －2π3)2π3N *，即＝，k ∈N *，所以ω＝3k ，k ∈N *，所以ω的最小值等于3.2k πω2π3答案：39．已知函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx (其中ω∈(0,1))，若f (x )的图象经过点3，则f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为____________．(π6，0)解析：f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin ，3(2ωx －π6)∵f (x )的图象经过点，(π6，0)∴2sin ＝0，(π3ω－π6)∴ω－＝k π，k ∈Z ，解得ω＝3k ＋，k ∈Z ，π3π612∵ω∈(0,1)，∴ω＝，12∴f (x )＝2sin ，(x －π6)由－＋2k π≤x －≤＋2k π，k ∈Z ，π2π6π2得－＋2k π≤x ≤＋2k π，k ∈Z ，π32π3∴f (x )在区间[0，π]上的单调递增区间为.[0，2π3]答案：[0，2π3]10．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，则的值为________．sin 2αcos 2β解析：＝sin 2αcos 2βsin[ α＋β ＋ α－β ]cos[ α＋β － α－β ]＝sin α＋β cos α－β ＋cos α＋β sin α－β cos α＋β cos α－β ＋sin α＋β sin α－β ＝＝＝.tan α＋β ＋tan α－β 1＋tan α＋β tan α－β 2＋31＋2×357答案：5711．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为(4π3，0)________．解析：由题意得3cos ＝3cos ＝0，所以＋φ＝k π＋，k ∈Z ，(2×4π3＋φ)(2π3＋φ)2π3π2所以φ＝k π－，k ∈Z ，π6取k ＝0，得|φ|的最小值为.π6答案：π612.函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则∠APB ＝________.解析：由题意知T ＝2，作PD ⊥x 轴，垂足为D ，则PD ＝1，AD ＝，BD ＝，1232设α＝∠APD ，β＝∠BPD ，则tan α＝，tan β＝，∠APB ＝α＋β，1232故tan ∠APB ＝＝8.12＋321－12×32答案：813.的值是________．2cos 10°－sin 20°sin 70°解析：原式＝2cos 30°－20° －sin 20°sin 70°＝2 cos 30°cos 20°＋sin 30°sin 20° －sin 20°sin 70°＝＝.3cos 20°cos 20°3答案：314．已知函数f (x )＝sin x (x ∈[0，π])和函数g (x )＝tan x 的图象交于A ，B ，C 三点，12则△ABC 的面积为________．解析：由题意知，x ≠，令sin x ＝tan x ，可得sin x ＝，x ∈∪π212sin x 2cos x [0，π2)，可得sin x ＝0或cosx ＝，则x ＝0或π或，不妨设A (0,0)，B (π，0)，C (π2，π]12π3，则△ABC 的面积为×π×＝.(π3，32)12323π4答案：3π4。

14个填空题综合仿真练(一)1．已知集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，则A ∩B ＝________.解析：因为集合A ＝{0,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以A ∩B ＝{0,3}．答案：{0,3}2．已知x ＞0，若(x －i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝________.解析：因为x ＞0，(x －i)2＝x 2－1－2x i 是纯虚数(其中i 为虚数单位)，所以x 2－1＝0且－2x ≠0，解得x ＝1.答案：13．函数f (x )＝的定义域为________．1－2log 6x 解析：由题意知Error!解得0<x ≤.6答案：(0， ]64．从2个白球，2个红球，1个黄球中随机取出2个球，则取出的2球中恰有1个红球的概率是________．解析：将2个白球记为A ，B,2个红球记为C ，D,1个黄球记为E ，则从中任取两个球的所有可能结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10个，恰有1个红球的可能结果为(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(E ，C )，(E ，D )共6个，故所求概率为P ＝＝.61035答案：355．执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是________．Read x If x ≤2　Then y ←6x Else y ←x ＋5End IfPrint y解析：若6x ＝13，则x ＝>2，不符合题意；若x ＋5＝13，则x ＝8>2，符合题意，故x ＝8.136答案：86．一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：t/hm 2)分别为：9.4,9.7,9.8,10.3,10.8，则这组样本数据的方差为________．解析：这组数据的平均数为(9.4＋9.7＋9.8＋10.3＋10.8)＝10，方差为[(10－9.4)21515＋(10－9.7)2＋(10－9.8)2＋(10－10.3)2＋(10－10.8)2]＝0.244.答案：0.2447．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(0<ω<2,0<φ<π)．若x ＝－为函数f (x )的一个零π4点，x ＝为函数f (x )图象的一条对称轴，则ω的值为________．π3解析：函数f (x )的周期T ＝4×＝，又T ＝，所以ω＝2π×＝.(π3＋π4)7π32πω37π67答案：678．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos ＝，·＝3，b ＋c A 2255AB ―→ AC ―→＝6，则a ＝________.解析：∵cos ＝，∴cos A ＝2cos 2－1＝，又由·＝3，得bc cos A ＝3，∴bc ＝A 2255A 235AB ―→ AC ―→ 5，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝36－10×＝20，解得a 85＝2.5答案：259．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则tan α的值为1215________．解析：tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.tan α－β ＋tan β1－tan α－β tan β12－151－12×(－15)311答案：31110．已知点P 在△ABC 所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB 与△PBC PA ―→ PB ―→ PC ―→ AB ―→的面积的比值为________．解析：因为2＋3＋4＝3，所以2＋3＋4＝3－3，PA ―→ PB ―→ PC ―→ AB ―→ PA ―→ PB ―→ PC ―→ PB ―→ PA ―→即5＋4＝0，所以PA ∶PC ＝4∶5，△PAB 与△PBC 的面积的比为4∶5.PA ―→ PC ―→答案： 4511．已知正数x ，y 满足＋＝1，则log 2x ＋log 2y 的最小值为________．1x 2y解析：由＋＝1，得x ＝>0，则log 2x ＋log 2y ＝log 2xy ＝log 2＝log 21x 2y yy －2y 2y －2＝log 2≥log 28＝3，当且仅当(y －2)2＝4，即y ＝4时等号 y －2＋2 2y －2[ y －2 ＋4y －2＋4]成立，故log 2x ＋log 2y 的最小值为3.答案：312．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －8＝0，直线l ：y ＝k (x －1)(k ∈R )过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则△AEC 的周长为________．解析：易得圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝9，即半径r ＝3，定点A (1,0)，因为AE ∥BC ，所以EA ＝ED ，则EC ＋EA ＝EC ＋ED ＝3，从而△AEC 的周长为5.答案：513．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d (d >0)的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列．若a 4－a 1＝88，则q 的所有可能的值构成的集合为________．解析：由题意设这四个数分别为a 1，a 1＋d ，a 1＋2d ，a 1＋88，其中a 1，d 均为正偶数，则(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋88)，整理得a 1＝>0，所以(d －22)(3d －88)<0，解4d 22－d 3d －88得22<d <， 所以d 的所有可能的值为24,26,28.当d ＝24时，a 1＝12，q ＝；当d ＝26时，a 1＝88353(舍去)；当d ＝28时，a 1＝168，q ＝.所以q 的所有可能的值构成的集合为.208587{53，87}答案： {53，87}14．已知函数f (x )＝kx ，g (x )＝2ln x ＋2e ，若f (x )与g (x )的图象上分(1e≤x ≤e 2)别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y ＝e 对称，则实数k 的取值范围是__________________________________．解析：设直线y ＝kx 上的点M (x ，kx )，点M 关于直线y ＝e 的对称点N (x,2e －kx )，因为点N 在g (x )＝2ln x ＋2e 的图(1e ≤x ≤e 2)象上，所以2e －kx ＝2ln x ＋2e ，所以kx ＝－2ln x ．构造函数y ＝kx ，y ＝－2lnx ，画出函数y ＝－2ln x 的图象如图所(1e ≤x ≤e 2)(1e ≤x ≤e 2)示，设曲线y ＝－2ln x 上的点P (x 0，－2ln x 0)，则k OP ≤k ≤k OB (其中B 为端(1e ≤x ≤e 2)点，P 为切点)．因为y ′＝－，所以过点P 的切线方程为y ＋2ln x 0＝－(x －x 0)，又该切2x 2x 0线经过原点，所以0＋2lnx 0＝－(0－x 0)，x 0＝e ，所以k OP ＝－.又点B ，所以k OB ＝2x 02e (1e ，2)2e ，所以k ∈.[－2e ，2e ]答案：[－2e ，2e ]。