2018年陕西省宝鸡市高考数学三模试卷(理科)

某某省某某市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）计算（i为虚数单位）等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．1+i2．（5分）若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=（）A．B．C．2D．53．（5分）设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙： ab＞b2，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20 B．5C．4（+1）D．45．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（）A．S=2*i B．S=2*i﹣1 C．S=2*i﹣2 D．S=2*i+47．（5分）（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．2 B．3C．﹣2 D．﹣38．（5分）某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种9．（5分）把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数10．（5分）设点P在曲线y=x2上，点Q在直线y=2x﹣2上，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．12．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值X围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）=．14．（5分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为海里．15．（5分）设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则的最小值是．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=1+，若对任意的自然数n≥4，恒有＜a n＜2，则a的取值X围为．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为．设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求|PA|2+|PB|2的最大值．20．（12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值X围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x+xlnx，h（x）=x﹣lnx﹣2（Ⅰ）试判断方程h（x）=0在区间（1，+∞）上根的情况（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值（Ⅲ）记a1+a2+…+a n=，若a i=2ln2+3ln3+…+klnk（k＞3，k∈N*），证明＜1（n ＞k，n∈N*）【选修4-1几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值X围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．某某省某某市2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（5分）计算（i为虚数单位）等于（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1﹣i D．1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：==i﹣1．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=（）A．B．C．2D．5考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：通过向量垂直数量积为0求出y，然后求解向量的模．解答：解：平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，可得﹣2+2y=0，解得y=1，||==．故选：B．点评：本题考查向量的数量积的应用，向量垂直体积的应用，考查计算能力．3．（5分）设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由a＜b＜0能推出ab＞b2，是充分条件，由ab＞b2，推不出a＜b＜0，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题．4．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于（）A．20 B．5C．4（+1）D．4考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，求出侧面的高后，计算各个侧面的面积，相加可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面棱长为2，高h=2，故侧面的侧高为=，故该四棱锥侧面积S=4××2×=4，故选：D点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．解答：解：由于f（x）=x+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．6．（5分）阅读程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中填入的语句为（）A．S=2*i B．S=2*i﹣1 C．S=2*i﹣2 D．S=2*i+4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．解答：解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*i时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈 2 5 是第二圈 3 6 是第三圈 4 9 是第四圈 5 10 否故输出的i值为：5，符合题意．故选：A．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果，属于基础题．7．（5分）（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3考点：二项式系数的性质．专题：计算题；二项式定理．分析：（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是第一个因式取x2，第二个因式取；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，故可得结论．解答：解：第一个因式取x2，第二个因式取，可得=5；第一个因式取2，第二个因式取（﹣1）5，可得2×（﹣1）5=﹣2∴（x2+2）（﹣1）5的展开式的常数项是5+（﹣2）=3故选B．点评：本题考查二项式定理的运用，解题的关键是确定展开式的常数项得到的途径．8．（5分）某班5名学生负责校内3个不同地段的卫生工作，每个地段至少有1名学生的分配方案共有（）A．60种B．90种C．150种D．240种考点：计数原理的应用．专题：排列组合．分析：根据题意，分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，分析可得有2，2，1或3，1，1两种情况；分别求出每种情况的分组方法数目，再由分类计数原理可得全部的分组方法数目，②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，进而由分步计数原理计算可得答案．解答：解：分2步进行分析：①、先将5名学生分成3组，每组至少一人，有2，2，1或3，1，1两种情况；若分成2，2，1的三组，有=15种分组方法，若分成3，1，1的三组，有=10种分组方法，则将5名学生分成3组，每组至少一人，有15+10=25种分组方法，②、将分好的3组对应3个地段，有A33=6种情况，故共有25×6=150种不同的分配方案．故选：C点评：本题考查分步、分类计数原理的运用，分析本题要先分组，再对应三个地段进行全排列，解题时注意排列、组合公式的灵活运用．9．（5分）把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为（）A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，得出结论．解答：解：把函数y=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）的图象向右平移，得到函数f（x）=cos=cos（2x﹣）=sin2x 的图象，由于f（x）是周期为π的奇函数，故选：A．点评：本题主要考查诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的周期性、奇偶性，属于基础题．10．（5分）设点P在曲线y=x2上，点Q在直线y=2x﹣2上，则PQ的最小值为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：点P在曲线y=x2上，可设P（m，m2），再由点到直线的距离公式，配方，由二次函数的最值，即可得到所求值．解答：解：点P在曲线y=x2上，可设P（m，m2），则P到直线y=2x﹣2即2x﹣y﹣2=0的距离为d==，当m=1时，d取得最小值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线的方程的运用，主要考查点到直线的距离公式的运用，运用二次函数的最值是解题的关键．11．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若E为线段PF的中点，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：右焦点为F′，则PF′=a，PF=3a，EF=a，利用勾股定理，即可求出双曲线的离心率．解答：解：由题意，设右焦点为F′，则PF′=a，PF=3a，∴EF=a，∴=a，∴e==．故选：C．点评：本题考查双曲线的离心率，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）若存在x0∈N+，n∈N+，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．已知函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，则使函数y=g（x）与x轴无交点的a的取值X围是（）A．0＜α＜B．＜α＜C．α＜D．0＜α＜或α＞考点：进行简单的合情推理．专题：函数的性质及应用．分析：根据“生成点“的定义，求出（9，2），（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．根据函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，可求出a，b，c的关系，进而根据函数y=g（x）与x轴无交点，△＜0，求出a的取值X围．解答：解：∵f（x）=2x+1，x∈N，满足：f（9）+f（10）+f（11）=63，故（9，2）为函数f（x）的一个“生成点”．f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）=63，故（1，6）为函数f（x）的一个“生成点”．又∵函数f（x）=2x+1，x∈N的“生成点”坐标满足二次函数g（x）=ax2+bx+c，∴81a+9b+c=2，a+b+c=6，解得：b=﹣﹣10a，c=9a+，若函数y=g（x）与x轴无交点，则△=b2﹣4ac=（）2﹣4a（9a+）＜0，解得：，故选：B点评：本题考查的知识点是合情推理，二次函数的图象和性质，正确理解“生成点“的定义，是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点，则log2f（2）=．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题．分析：可设幂函数y=f（x）=xα，由题意可求得α的值，从而可得f（2），可得答案．解答：解：设幂函数y=f（x）=xα，∵其图象过点，∴f（）==，∴α=．∴f（2）==，∴log2f（2）=log2=，故答案为：．点评：本题考查幂函数的概念与解析式，求得α的值是关键，考查待定系数法与计算能力，属于基础题．14．（5分）已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A和B的距离为a海里．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：先根据题意求得∠ACB，进而根据余弦定理求得AB．解答：解：依题意知∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°，在△ABC中，由余弦定理知AB===a．即灯塔A与灯塔B的距离为a．故答案为： a点评：本题主要考查了余弦定理的应用．余弦定理可以解决知道两个边和1个角来求令一个边，属于基本知识的考查．15．（5分）设O为坐标原点，点，若M（x，y）满足不等式组，则的最小值是．考点：简单线性规划．专题：数形结合；平面向量及应用．分析：由约束条件作出可行域，化向量数量积为线性目标函数，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，∵，M（x，y），∴=，化为，由图可知，当直线过A（1，1）时，目标函数有最小值，．故答案为：．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了平面向量的数量积，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）已知数列{a n}满足a1=a，a n+1=1+，若对任意的自然数n≥4，恒有＜a n＜2，则a的取值X围为（0，+∞）．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的递推关系进行递推即可．解答：解：∵a1=a，a n+1=1+，∴a2=1+=，a3=，a4=，要使对任意的自然数n≥4，恒有＜a n＜2，则只需要＜1+＜2，即等价为1＜a n﹣1＜2，当且仅当它的前一项a n﹣2满足1＜a n﹣2＜2，∴只需要1＜a4＜2都有＜a n＜2，（n≥5），∵a4=，∴满足＜＜2，即，即，解得a＞0，即a的取值X围为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）点评：本题主要考查递推数列的应用，结合不等式进行递推是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…（2分）∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（5分）（Ⅱ）由题意可得：．…（7分）所以=…（8分）==．…（10分）因为，所以．所以当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值．…（13分）点评：本题主要考察了，三角函数化简求值，三角函数的图象与性质，三角函数最值的解法，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．专题：综合题．分析：（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC⊥平面PBD；（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为，平面PAB的法向量为，根据二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，可求t的值，从而可得P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角．解答：（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴PD⊥AC又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD∴AC⊥DE…（6分）（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则由（I）知：平面PBD的法向量为，令平面PAB的法向量为，则根据得∴因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，则，即，∴…（9分）∴设EC与平面PAB所成的角为θ，∵，∴…（12分）点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用空间向量解决线面角问题，属于中档题．19．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为．设P是椭圆C长轴上的一个动点，过点P且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求|PA|2+|PB|2的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，求出c，a，可得b，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P（m，0）（﹣≤m≤），则直线l的方程为y=x﹣m，代入椭圆方程，表示出|PA|2+|PB|2，利用韦达定理代入，即可求|PA|2+|PB|2的最大值．解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），离心率为，∴c=1，=，∴a=，∴b==1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴椭圆的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设点P（m，0）（﹣≤m≤），则直线l的方程为y=x﹣m，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）代入椭圆方程，消去y，得3x2﹣4mx+2m2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴|PA|2+|PB|2=（x1﹣m）2+y12+（x2﹣m）2+y22=2=2=﹣m2+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∵﹣≤m≤，即0≤m2≤2∴当m=0时，（|PA|2+|PB|2）max=，|PA|2+|PB|2的最大值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（12分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下：（1）投资股市：投资结果获利40% 不赔不赚亏损20%概率（2）购买基金：投资结果获利20% 不赔不赚亏损10%概率p q（Ⅰ）当时，求q的值；（Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值X围；（Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知，，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．考点：互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据p++q=1解出即可；（Ⅱ）设出各个事件后得，根据，，从而求出P的X围；（Ⅲ）分别求出EX，EY在值，通过比较得到结论．解答：（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，所以p++q=1．…（2分）又因为，所以q=．…（3分）（Ⅱ）解：记事件A为“甲投资股市且盈利”，事件B为“乙购买基金且盈利”，事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，…（4分）则，且A，B独立．由上表可知，，P（B）=p．所以…（5分）==．…（6分）因为，所以．…（7分）又因为，q≥0，所以．所以．…（8分）（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X的分布列为：X 4 0 ﹣2P…（9分）则．…10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y的分布列为：Y 2 0 ﹣1P…（11分）则．…（12分）因为EX＞EY，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．…（13分）点评：本题考查了互斥事件的概率问题，考查了期望问题，是一道基础题．21．（12分）已知函数f（x）=x+xlnx，h（x）=x﹣lnx﹣2（Ⅰ）试判断方程h（x）=0在区间（1，+∞）上根的情况（Ⅱ）若k∈Z，且f（x）＞kx﹣k对任意x＞1恒成立，求k的最大值（Ⅲ）记a1+a2+…+a n=，若a i=2ln2+3ln3+…+klnk（k＞3，k∈N*），证明＜1（n ＞k，n∈N*）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；数列的求和．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h'（x）=1﹣，得到函数h（x）在（1，+∞）上单调递增，得到根的情况（2）分离参数k，转化为恒成立问题，构造新函数，利用导数求解．（3）由（2）可知，xlnx＞2x﹣3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N*），得到新函数，利用新函数的性质，利用放缩法求证．解答：解：（1）由题意h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则h'（x）=1﹣所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）（2）因为f（x）=x+xlnx，可知k＜对任意x＞1恒成立，即k＜对任意x＞1恒成立令g（x）=，求导g'（x）=由（1）知，h（x）=x﹣lnx﹣2，h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0所以函数g（x）=在（1，x0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增．因之，min=g（x0）=，从而k＜min=x0∈（3，4），故整数的最大值为3；（3）证明：由（2）可知，xlnx＞2x﹣3（x＞1），取x=k（k≥2，k∈N*），则有：2ln2＞2×2﹣3，3ln3＞2×3﹣3，…，klnk＞2k﹣3，将上式各式子相加得：2ln2+3ln3+…+klnk＞2（2+3+4+…+k）﹣3（k﹣1）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2，即，可得，，从而有：==．点评：本题主要考查导数在含参数问题，证明题目中的应用，利用放缩法证明不等式，属于难度较大的题目，2015届高考常作为压轴题．【选修4-1几何证明选讲】（共1小题，满分10分）22．（10分）已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．考点：与圆有关的比例线段．专题：推理和证明．分析：（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．解答：证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠C DF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．点评：本题以圆为载体，考查圆的内接四边形的性质，考查等腰三角形的性质，考查三角形的相似，属于基础题．【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，满分0分）23．已知在平面直角坐标系xOy内，点P（x，y）在曲线C：为参数，θ∈R）上运动．以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线C的标准方程和直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，点M在曲线C上移动，试求△ABM面积的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：（1）先将原极坐标方程利用三角函数的和角公式后再化成直角坐标方程，再利用消去参数θ得到曲线C的直角坐标方程．（2）欲求△ABM面积的最大值，由于AB一定，故只要求AB边上的高最大即可，根据平面几何的特征，当点M在过圆心且垂直于AB的直线上时，距离AB最远，据此求面积的最大值即可．解答：解：（1）消去参数θ，得曲线C的标准方程：（x﹣1）2+y2=1．由得：ρcosθ﹣ρsinθ=0，即直线l的直角坐标方程为：x﹣y=0．（2）圆心（1，0）到直线l的距离为，则圆上的点M到直线的最大距离为（其中r为曲线C的半径），．设M点的坐标为（x，y），则过M且与直线l垂直的直线l'方程为：x+y﹣1=0，则联立方程，解得，或，经检验舍去．故当点M为时，△ABM面积的最大值为（S△ABM）max=．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及利用平面几何知识解决最值问题．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．【选修4-5：不等式选讲】（共1小题，满分0分）24．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值X围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的X围．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．解答：解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|．所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1．所以a的取值X围﹣1＜a＜1．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．…（7分）点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．。

陕西省宝鸡市2017-2018学年高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=( )A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}2．若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=( )A．B．C．2D．53．设a，b为实数，甲：a＜b＜0，乙：ab＞b2，则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于( )A．20 B．5C．4（+1）D．45．若a＞1，则在同一坐标系中，函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=log a x的图象可能是( ) A．B．C．D．6．阅读如图所示程序图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A．S=2*i B．S=2*i﹣1 C．S=2*i﹣2 D．S=2*i+47．已知函数f（x）=，那么f（）的值为( )A．﹣B．﹣C．D．8．在某新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )X 1.99 3 4 5.1 6.12Y 1.5 4.04 7.5 12 18.01A．y=2x﹣1 B．log2x C．y=D．y=（）x9．把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为( )A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数10．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=011．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于( )A．6 B．5 C．4 D．312．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是( ) A．（﹣∞，）B． C．（﹣∞，﹣2）D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

2018年宝鸡市高三教学质量检测（三）理科数学参考公式：样本数据n x ,,x ,x 21的标准差 椎体体积公式：()()()[]222211x x x x x x ns n -+-+-=Sh V 31=其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式：球的表面积和公式Sh V = 32344R V ,R S π=π=其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为圆的半径第I 卷一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选 项中，有且只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{},x |x B ,|x A x 01122≥-=<=-则=⋂B A （ ）{}1≤x |x .A {}21|.<≤x x B {}10≤<x |x .C {}10<<x |x .D2.函数()x x x f 214+=的图像（ ）.A 关于原点对称 .B 关于x 轴对称 .C 关于y 轴对称 .D 关于直线x y =对称 3.角α的终边与单位圆交于点（552,55-），则=α2cos A.51 B.51- C.53 D 53-4.《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”。

现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A.368πB.π68C.π6D.π245.正数x,y,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是（ ） A.524 B.528 C.5 D.6 6.已知不共线的向量b a ,满足=-=-•==a b a b a b a 则,1)(,3,2 A.3 B.22 C.7 D.327.复数2+i 与复数i+3在复平面上的对应点分别是A 、B 则AOB ∠等于 A.6π B.4π C.3π D 2π8.调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不超过0.2mg/ml.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.8mg/ml ，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减少，则他至少要经过______小时后才可以驾驶机动车。

2018年宝鸡市高三教学质量检测（三）物理参考答案第Ⅰ部分（选择题）14．D 15．B 16．B 17．C 18．D 19．AD 20．AC 21．BCD第Ⅱ卷（非选择题）22．（6分）（1）（2分）B （2）（2分） ＜（3）（2分）g 23．（9分）（1）（2分）3.0V （2）（2分）G （3）（2分）如图所示 （4）（3分）12101)(I I r R I -+24．（14分）解：（1）设小球在圆周最高点的速度为1v ，在圆周最低点的速度为2v ，圆周运动的半径为R ，由题意可得：221Rv m m g = （1）2分其中：L L R 2360sin 0== （2）2分 两式联立可得：s m v 51= （3）2分 小球从圆周最高点向最低点运动过程中，由动能定理可得：212221212mv mv R mg -=⨯ （4）2分 所以可得：s m v 52= （5）2分（2）设小球运动到圆周最低点时细线受到的拉力为T ，受力分析如图所示，小球所受细线的拉力和重力的合力提供圆周运动的向心力。

Rv m mg T 2230cos 2=- （6）2分代入数据可得：N T 320= （7）2分 25．（18分）解：（1）由题意可得导体棒由静止开始下落，当导体棒速度最大时所受合力为零，设此时导体棒电流为I ，速度为m v ，所以BIL mg = （1）1分此时导体棒两端的感应电动势为m BLv E = （2）2分 此时导体棒中的电流强度为rR EI += （3）1分 解得22m LB )r R (mg v +=（4）2分 （2）导体棒开始下落到导体棒速度最大的过程中，设导体棒下降的高度是h ，经历的时间为t ∆，由题意可得R 上产生的热量t R I Q ∆=2 （5）1分 导体棒上产生的热量为t r I Q ∆='2 （6）1分 所以导体棒上产生的热量为Q RrQ =' （7）1分 由能量守恒有Q Q mv 21mgh 2m '++=（8）2分 流过R 的电荷量为t I q ∆= （9）2分流过导体棒的平均电流为rR EI += （10）1分 平均感应电动势为tE ∆φ∆=（11）1分 导体棒下降h 高度，磁通量的变化量为BLh =φ∆ （12）1分解得：mgR QBLLB 2)r R (g m q 332++= （13）2分 33．[选修3－3](15分)（1）（5分）ACD （填正确答案标号。

2018届陕西省宝鸡市高考三模试卷（文科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合A={0，1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=( )A．{0，1} B．{0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤2}2．若平面向量=（1，2），=（﹣2，y）且，则，则||=( )A．B．C．2D．53．设a，b为实数，命题甲：a＜b＜0，命题乙：ab＞b2，则命题甲是命题乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，该四棱锥侧面积等于( )A．20 B．5C．4（+1）D．45．若a＞1，则在同一坐标系中，函数f（x）=a﹣x与函数g（x）=log a x的图象可能是( )A．B．C．D．6．阅读如图所示程序图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A．S=2*i B．S=2*i﹣1 C．S=2*i﹣2 D．S=2*i+47．已知函数f（x）=，那么f（）的值为( )A．﹣B．﹣C．D．8．在某新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )X 1.99 3 4 5.1 6.12Y 1.5 4.04 7.5 12 18.01A．y=2x﹣1 B．log2x C．y=D．y=（）x9．把函数y=cos（﹣2x）的图象向右平移，得到函数f（x）的图象，则函数f（x）为( )A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数10．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )A．x2+y2﹣10x+9=0 B．x2+y2﹣10x+16=0C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+20x+9=011．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于( )A．6 B．5 C．4 D．312．设函数y=f（x）在区间（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在区间（a，b）上的导函数为f″（x），若在区间（a，b）上f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在区间（a，b）“凸函数“；已知f（x）=x4﹣x3﹣x2在（1，3）上为“凸函数”，则实数取值范围是( )A．（﹣∞，）B． C．（﹣∞，﹣2） D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分。

数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第l 5考题为三选一，其它题为必考题，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分1 50分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上2．选择题答案使刚2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0’．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上． ‘’ ’ 3．所有题目必须在答题卡上作答，在斌卷上答题无效． 参考公式：样本数据n x x x ,,,21 的标准差；x x x x x x x ns n 其中],)()()[(122221-+-+-=为样本平均数； 柱体体积公式：为底面面积其中S Sh V ,=、h 为高；锥体体积公式：h S Sh V ,,31为底面面积其中=为高； 球的表面积、体积公式：,34,432R V R S ππ==其中R 为球的半径。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，’只有一项是符合题目要求的）： 1．集合]},[,ln |{1e e x x y y P -∈==，集合M={a}，若P M P =，则a 的取值范围是A ．[-1，1]B ．[1，+∞）C ．（-∞，-1]D ．（-∞，-1] [1，+∞）【答案】A【解析】集合{}1{|ln ,[,]}=x |11P y y x x e e x -==∈-≤≤，因为PM P =，所以11a -≤≤，因此选A 。

2．复数ii i i -++1432在复平面内对应的点与原点的距离为A ．1B ．22C ．2D ．2【答案】B【解析】234-1-1-11===-11122i i i i iii i i+++---，所以复数iiii-++1432在复平面内对应的点11,22⎛⎫-⎪⎝⎭与原点的距离为22112222⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

2018年陕西省高考数学三模试卷（理科）一、选择题：（共大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）计算cos2025°=（）A．B．C．D．2．（5分）在复平面内，表示复数Z=（a+3i）（2﹣ai）的点在第二象限，则实数a满足（）A．B．C．D．3．（5分）设向量，满足||=1，||=2，=﹣1，则||=（）A．B．1C．D．24．（5分）平行于直线x+2y+1=0且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是（）A．x+2y+5=0或x+2y﹣5=0B．或C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0D．或5．（5分）若双曲线的一条渐近线的方程为2x﹣3y=0，则m的值为（）A．B．C．D．6．（5分）数列{a n}满足，且a5=7，则a2018=（）A．4045B．4035C．4033D．40397．（5分）数学发展史中发现过许多求圆周率π的创意求法，如著名的蒲丰投针实验．受其启发，我们可以作如下随机写正实数对实验，来估计π的值．先请50名同学，每人随机写下一个正实数对P（x，y），且x，y都小于1．再统计能与如图边长为1的正方形ABCD的边AD或BC围成钝角三角形的顶点P 的个数．若这样的顶点P有40个，则可以估计π的值为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（）A．B．C．8D．99．（5分）在上图算法框图中，若，若程序运行后，输出的S为360．则判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A．k＜3B．k＜2C．k＞3D．k＞210．（5分）已知函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的最小正周期为π，且函数f（x）图象的一条对称轴是，则f（x）的最大值为（）A．1B．2C．D．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，若实数m∈[﹣10，10]，且f（m）=2，则m的取值个数为（）A．5B．10C．19D．2012．（5分）已知M={α|f（α）=0}，N={β|g（β）=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|＜1，则称函数f（x）与g（x）互为“和谐函数”．若f（x）=log2（x ﹣1）+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“和谐函数”则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（2，3）D．（3，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S3=6，S6=54，则公比q的值是．14．（5分）如图，在△ABC中，若AB=3，BC=，AC=2，且O是△ABC的外心，则=．15．（5分）一个正四面体与其外接球的体积的比值为．16．（5分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE=3OF （O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA﹣acosB=2c．（1）证明：tanB=﹣3tanA；（2）若，且△ABC的面积为，求a．18．（12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD=12，O、O1分别是AB、CD的中点，沿OO1将平面ADO1O折起，使其垂直于BCO1O （如图2）．点P是中点，点E是线段AB上不同于A、B的一点，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB．（Ⅰ）证明：OD⊥平面PAQ；（Ⅱ）若BE=2AE，求二面角C﹣BQ﹣A的余弦值．19．（12分）2018年春节期间，为了解市民对西安地铁运营状况的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对西安地铁运营状况进行评分（满分100分，评分均为整数）．绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：（Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取了4人，估计这4人中至少有2人非常满意的概率（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占．现从该等级市民中按年龄分层抽取了15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E（X）；（Ⅲ）相关部门对西安地铁运营情况进行评估，评估的硬性指标是：市民对西安地铁运营状况的满意指数不低于0.8，否则地铁运营状况需进行整改，根据你所学的统计知识，判断地铁运营状况能否通过评估，并说明理由．（注：满意指数=）20．（12分）已知椭圆，过椭圆右焦点F2作垂直于长轴的弦PQ，长度为，且△F1PQ的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A，B两点，若点是x 轴上一定点．求证：为定值21．（12分）设函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）＜1．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）将圆x2+y2=4上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得曲线C（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：x+2y﹣2=0与曲线C相交，交点分别为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣2|（Ⅰ）求不等式f（x）+1＞0的解集；（Ⅱ）当x∈R时，f（x）＜﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．2018年陕西省高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）计算cos2025°=（）A．B．C．D．【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值．【解答】解：cos2025°=cos（360°×6﹣135°）=cos（﹣135°）=cos135°=．故选：B．【点评】本题考查利用诱导公式化简求值，是基础的计算题．2．（5分）在复平面内，表示复数Z=（a+3i）（2﹣ai）的点在第二象限，则实数a满足（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0联立求解．【解答】解：∵Z=（a+3i）（2﹣ai）=5a+（6﹣a2）i对应的点在第二象限，∴，解得．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）设向量，满足||=1，||=2，=﹣1，则||=（）A．B．1C．D．2【分析】根据平面向量的数量积求模长即可．【解答】解：向量，满足||=1，||=2，=﹣1，则=﹣+=1﹣（﹣1）+×4=3，∴||=．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长的计算问题，是基础题．4．（5分）平行于直线x+2y+1=0且与圆x2+y2=4相切的直线的方程是（）A．x+2y+5=0或x+2y﹣5=0B．或C．2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0D．或【分析】利用直线平行的关系设切线方程为x+2y+b=0，利用直线和圆相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：∵直线和直线x+2y+1=0平行，∴设切线方程为即x+2y+b=0，圆心坐标为（0，0），半径R=2，当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d==2，解得b=2或b=﹣2，故切线方程为x+2y+2=0或x+2y﹣2=0；故选：B．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据直线平行的关系以及直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．5．（5分）若双曲线的一条渐近线的方程为2x﹣3y=0，则m的值为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件列出关系式，转化求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为2x﹣3y=0，可得（3﹣m）（m+1）＞0，解得：m∈（﹣1，3），所以：x﹣y=0，是双曲线的渐近线方程，所以，解得：m=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．6．（5分）数列{a n}满足，且a5=7，则a2018=（）A．4045B．4035C．4033D．4039【分析】数列{a n}满足，且a5=7，可得a n﹣a n﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足，且a5=7，=2，∴a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是等差数列，公差为2．又a5=7，∴a1+4×2=7，解得a1=﹣1．则a2018=﹣1+2017×2=4033．故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）数学发展史中发现过许多求圆周率π的创意求法，如著名的蒲丰投针实验．受其启发，我们可以作如下随机写正实数对实验，来估计π的值．先请50名同学，每人随机写下一个正实数对P（x，y），且x，y都小于1．再统计能与如图边长为1的正方形ABCD的边AD或BC围成钝角三角形的顶点P 的个数．若这样的顶点P有40个，则可以估计π的值为（）A．B．C．D．【分析】由试验结果知200对0～1之间的均匀随机数x，y，对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，二者相等即可估计π的值．【解答】解：50名同学，每人随机写下一个正实数对P（x，y），且x，y都小于1．由此得到50对都小于l的正实数对（x，y），对应区域的面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y），满足x2+y2＜1且x，y都小于1，x+y＞1，面积为，因为统计两数能与l 构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m=40，所以=，所以π=．故选：C．【点评】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（）A．B．C．8D．9【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，直接求出最长棱的长度得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥，侧棱PA⊥底面ABC，底面三角形ABC为等腰三角形，可得PC=．∴该几何体的最长棱的长度为9．故选：D．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9．（5分）在上图算法框图中，若，若程序运行后，输出的S为360．则判断框中应填入的关于k的判断条件是（）A．k＜3B．k＜2C．k＞3D．k＞2【分析】由已知先求a的值，根据已知中的程序语句可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由于=x2﹣x|=6，模拟程序的运行，可得不满足条件，执行循环体，S=6，k=5不满足条件，执行循环体，S=30，k=4不满足条件，执行循环体，S=120，k=3不满足条件，执行循环体，S=360，k=2由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出S的值为360．则判断框中应填入的关于k的判断条件是k＜3？故选：A．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）已知函数f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的最小正周期为π，且函数f（x）图象的一条对称轴是，则f（x）的最大值为（）A．1B．2C．D．【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为π，可得ω的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【解答】解：函数f（x）=sinωx+acosωx=，其中tanθ=a．∵最小正周期为π，即∴ω=2．那么f（x）=sin（2x+θ）．∵一条对称轴是∴2×+θ=，k∈Z可得：θ=kπ+则tan（kπ+）=a．即tan（）=a．∴a=．∴f（x）的最大值为．【点评】本题考查的辅助角公式的灵活应用，难度不大，属于基础题．11．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）=f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，若实数m∈[﹣10，10]，且f（m）=2，则m的取值个数为（）A．5B．10C．19D．20【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得f（﹣x）=f（2﹣x），则函数的周期为2，结合函数的解析式可得若f（x）=2，即3x﹣1=2，解可得x=1，结合函数的周期性分析可得满足f（x）=2的解，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）=f（2﹣x），则有f（﹣x）=f（2﹣x），则函数的周期为2，当x∈[0，1]时，f（x）=3x﹣1，若f（x）=2，即3x﹣1=2，解可得x=1，又由函数为偶函数，则当x=﹣1时，有f（﹣1）=f（1）=2，又由函数的周期为2，则满足f（x）=2的解有﹣9，﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3，5，7，9；共10个；故选：B．【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，关键是分析函数的周期性．12．（5分）已知M={α|f（α）=0}，N={β|g（β）=0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α﹣β|＜1，则称函数f（x）与g（x）互为“和谐函数”．若f（x）=log2（x ﹣1）+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“和谐函数”则实数a的取值范围为（）A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（2，3）D．（3，+∞）【分析】求出f（x）的零点，得出g（x）的零点的范围，根据二次函数的性质列不等式组得出a的范围．【解答】解：∵f（x）=log2（x﹣1）+x﹣2是增函数，且f（2）=0，∴f（x）只有一个零点x=2．∵f（x）与g（x）互为“和谐函数”，∴g（x）=x2﹣ax﹣a+3在（1，3）上存在零点．∴△=a2﹣4（3﹣a）=a2+4a﹣4≥0，解答a≥2﹣2或a≤﹣2﹣2．（1）当△=0，即a=±2﹣2时，g（x）存在唯一零点x=±﹣1∉（1，3），不符合题意；（2）当△＞0即a≥2﹣2或a≤﹣2﹣2时，若g（x）在（1，3）上只有1个零点，则g（1）g（3）＜0，即（4﹣2a）（12﹣4a）＜0，解得2＜a＜3．若g（x）在（1，3）上有两个零点，则，即，无解．综上，2＜a＜3．故选：C．【点评】本题考查了函数的零点个数判断，二次函数的性质，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在等比数列{a n}中，前n项和为S n，若S3=6，S6=54，则公比q的值是2．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：由S3=6，S6=54，则公比q≠1，∴=6，=54，联立解得q=2．故答案为：2．【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）如图，在△ABC中，若AB=3，BC=，AC=2，且O是△ABC的外心，则=2．【分析】设外接圆半径为R，则=，故可将向量的数量积转化为【解答】解：设外接圆半径为R∵，AO=CO=Rcos∠OAC==则==R×2×=2故答案为：2【点评】本题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题15．（5分）一个正四面体与其外接球的体积的比值为．【分析】画出图形，求出正四面体的体积，求出外接球的体积，然后求解体积之比．【解答】解：设正四面体为PABC，球心设为O．设正四面体的棱长为a，底面三角形的高为：a，正四面体的高=，外接球的半径为R，R2=（）2+（）2，解得R=，正四面体的体积V1=•S•h==，而正四面体PABC的外接球的体积V2==，正四面体与其外接球的体积的比值为：=．故答案为：．【点评】本题是中档题，考查正四面体与外接球的关系，求出球的半径的是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题16．（5分）已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，E为y轴正半轴上的一点．且OE=3OF （O为坐标原点），若抛物线C上存在一点M（x0，y0），其中x0≠0，使过点M的切线l⊥ME，则切线l在y轴的截距为﹣1．【分析】根据ME与切线l垂直列方程求出M点坐标，从而得出切线l的方程，得出截距．【解答】解：由题意可得：F（0，1），E（0，3），由x2=4y可得y=，y′=，∴直线l的斜率为y′|=，直线ME的斜率为=，∴•=﹣1，解得x0=±2，不妨设M（2，1），则直线l的方程为y﹣1=x﹣2，即y=x﹣1．∴直线l在y轴的截距为﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了抛物线的性质，切线的求解，直线位置关系的判断，属于中档题．三、解答题（本大题分必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算过程）（一）必考题（共5小题，每小题12分，共60分）17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosA﹣acosB=2c．（1）证明：tanB=﹣3tanA；（2）若，且△ABC的面积为，求a．【分析】（1）利用正弦定理以及三角形的内角和，结合两角和与差的三角函数，化简求解即可．（2）利用余弦定理求出A，求出B，得到C，然后求解三角形的面积即可．【解答】（1）证明：bcosA﹣acosB=2c，根据正弦定理可得：sinBcosA﹣cosBsinA=2sinC=2sin（A+B），展开得：sinBcosA﹣cosBsinA=2（sinBcosA+cosBsinA），整理得：sinBcosA=﹣3cosBsinA，所以，tanB=﹣3tanA．（2）解：由已知得：，∴=，由0＜A＜π，得：，，∴，由0＜B＜π，得：，所以，a=c，由=，得：a=2．【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理以及正弦定理的应用，考查计算能力．18．（12分）如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=2CD=12，O、O1分别是AB、CD的中点，沿OO1将平面ADO1O折起，使其垂直于BCO1O （如图2）．点P是中点，点E是线段AB上不同于A、B的一点，连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB．（Ⅰ）证明：OD⊥平面PAQ；（Ⅱ）若BE=2AE，求二面角C﹣BQ﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ）取OO1的中点为F，连接AF，PF，则PF∥OB，可得PF∥AQ，则P，F，A，Q四点共面，由题意可知，OB⊥OO1，结合面面垂直的性质可得OB ⊥平面ADO1O，从而得到PF⊥平面ADO1O，进一步有PF⊥OD．再求解三角形可得AF⊥OD，由线面垂直的判定可得OD⊥平面PAQ；（Ⅱ）以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBQ与平面ABQ的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣BQ﹣A的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取OO1的中点为F，连接AF，PF，则PF∥OB，∵AQ∥OB，∴PF∥AQ，则P，F，A，Q四点共面，由题意可知，OB⊥OO1，∵平面ADO1O⊥平面BCO1O，且平面ADO1O∩平面BCO1O=OO1，∴OB⊥平面ADO1O，∴PF⊥平面ADO1O，又OD⊂平面ADO1O，PF⊥OD．在直角梯形ADO1O中，AO=OO1，OF=O1D，∠AOF=∠OO1D，∴△AOF≌△OO1D，则∠FAO=∠DOO1，∴∠FAO+∠AOD=∠DOO1+∠AOD=90°，∴AF⊥OD，∵AF∩PF=F，且AF⊂平面PAQ，PF⊂平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ；（Ⅱ）解：以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵BE=2AE，AQ∥OB，∴，则Q（6，3，0），∴，．设平面CBQ的一个法向量，由，取z=1，得；平面ABQ的一个法向量，设二面角C﹣BQ﹣A的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，则cosθ=||=．故二面角C﹣BQ﹣A的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．19．（12分）2018年春节期间，为了解市民对西安地铁运营状况的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对西安地铁运营状况进行评分（满分100分，评分均为整数）．绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：（Ⅰ）若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取了4人，估计这4人中至少有2人非常满意的概率（Ⅱ）在等级为不满意市民中，老年人占．现从该等级市民中按年龄分层抽取了15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E（X）；（Ⅲ）相关部门对西安地铁运营情况进行评估，评估的硬性指标是：市民对西安地铁运营状况的满意指数不低于0.8，否则地铁运营状况需进行整改，根据你所学的统计知识，判断地铁运营状况能否通过评估，并说明理由．（注：满意指数=）【分析】（Ⅰ）由频率和为1列方程求出a的值，再根据市民的满意度评分相互独立，计算所求事件的概率值；（Ⅱ）根据分层抽样法求得抽取人数，得出随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值；（Ⅲ）由频率分布直方图求得市民满意程度的平均分，计算市民的满意度指数即可．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，10×（0.035+a+0.020+0.014+0.004+0.002）=1，解得a=0.025；∴市民非常满意的概率为0.025×10=0.25=； 又市民的满意度评分相互独立，故所求事件的概率为P=1﹣••﹣••=1﹣=；（Ⅱ）按年龄分层抽取15人进行座谈，则老年市民抽取15×=5人， 从15人中选取3名整改督导员的所有等可能情况为，由题意知X 的可能取值为0，1，2，3；且P （X=0）==，P （X=1）==，P （X=2）==，P （X=3）==；∴随机变量X 的分布列为：数学期望为E （X ）=0×+1×+2×+3×=1；（Ⅲ）由频率分布直方图得，（45×0.002+55×0.004+65×0.014+75×0.020+85×0.035+95×0.025）×10=80.7； 估计市民的满意程度的平均得分为80.7； ∴市民的满意度指数为=0.807＞0.8，∴判断地铁运营状况能够通过评估验收．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．20．（12分）已知椭圆，过椭圆右焦点F2作垂直于长轴的弦PQ，长度为，且△F1PQ的面积为（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A，B两点，若点是x 轴上一定点．求证：为定值【分析】（Ⅰ）由△F1PQ的面积为，推导出c=，由|PQ|==，得，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）将y=k（x+1）代入+=1，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式，能证明为定值．【解答】解：（Ⅰ）由△F1PQ的面积为，得=，解得c=，又+=1，（a＞b＞c）满足a2=b2+c2，且|PQ|==，解得，∴椭圆方程为+=1．证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），将y=k（x+1）代入+=1，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0，∴△=48k2+20＞0，，，∴=（）•（）=（）（）+y1y2=（）（）+k2（x1+1）（x2+1）=（1+k2）x1x2+（）（x1+x2）+=（1+k2）+（）（﹣）+=+=，∴为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，考查椭圆方程、根的判别式、韦达定理、向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．（12分）设函数，a∈R．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＞0时，记f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）＜1．【分析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），求出导函数，通过当a≤0时，当a ＞0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（2）由（1）知，f（x）min=f（a）得到．解法一：通过二次导数推出g'（a）单调递减，说明当a∈（0，a0）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增；当a∈（a0，+∞）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；求出最值，转化求解即可．解法二：要证g（a）＜1，即证，即证：，构造函数，判断函数的单调性，通过函数的最小值推出结果即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），==，当a≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，当x∈（0，a），f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（2）证明：由（1）知，f（x）min=f（a）==，即．解法一：=，，∴g'（a）单调递减，又g'（1）＞0，g'（2）＜0，所以存在a0∈（1，2），使得g'（a0）=0，∴当a∈（0，a0）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增；当a∈（a0，+∞）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；∴g（a）max=g（a0）=，又g'（a0）=0，即，，∴=，令t（a0）=g（a0），则t（a0）在（1，2）上单调递增，又a0∈（1，2），所以t（a0）＜t（2）=2﹣1=1，∴g（a）＜1．解法二：要证g（a）＜1，即证，即证：，令，则只需证，=，当a∈（0，2）时，h'（a）＜0，h（a）单调递减；当a∈（2，+∞）时，h'（a）＞0，h（a）单调递增；所以h（a）min=h（2）=，所以h（a）＞0，即g（a）＜1．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号）[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）将圆x2+y2=4上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得曲线C（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：x+2y﹣2=0与曲线C相交，交点分别为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）直接利用曲线的伸缩变换求出结果．（Ⅱ）利用中点的坐标建立等量关系求出直线的方程，最后转换为极坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变形下变为曲线C上的点（x，y），则得到：，由，得到：x2+（2y）2=4．即：．（Ⅱ）由，解得：或．不妨设P1（2，0），P2（0，1），则：线段P1P2的中点坐标为（1，），所求的直线的斜率k=2，所以：所求的直线方程为：，整理得：4x﹣2y﹣3=0．转换为极坐标方程为：4ρcosθ﹣2ρsinθ﹣3=0．【点评】本题考查的知识要点：曲线的伸缩变换的应用，参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣2|（Ⅰ）求不等式f（x）+1＞0的解集；（Ⅱ）当x∈R时，f（x）＜﹣x+a恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用分类讨论法去绝对值，求不等式f（x）+1＞0的解集即可；（Ⅱ）利用分段函数画出f（x）的图象，结合图象求出不等式f（x）＜﹣x+a恒成立时a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣2|﹣|2x﹣2|，当x≤1时，f（x）=﹣（x﹣2）+（2x﹣2）=x，∴不等式f（x）+1＞0转化为x+1＞0，解得﹣1＜x≤1；当1＜x≤2时，f（x）=﹣（x﹣2）﹣（2x﹣2）=﹣3x+4，∴不等式f（x）+1＞0化为﹣3x+5＞0，解得1＜x＜；当x＞2时，f（x）=（x﹣2）﹣（2x﹣2）=﹣x，不等式f（x）+1＞0化为﹣x+1＞0，解得x∈∅；综上，不等式f（x）+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数f（x）=；画出f（x）的图象如图所示；由图象知，当x=1时，令f（x）＜﹣x+a，即1＜﹣1+a，解得a＞2；∴实数a的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，是中档题．考点卡片1．抽象函数及其应用【知识点的认识】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．【解题方法点拨】①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）=f（x）+f（y），它的原型就是y=kx；②可通过赋特殊值法使问题得以解决例：f（xy）=f（x）+f（y），求证f（1）=f（﹣1）=0令x=y=1，则f（1）=2f（1）⇒f（1）=0令x=y=﹣1，同理可推出f（﹣1）=0③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；【命题方向】抽象函数及其应用．抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．2．函数与方程的综合运用【知识点的知识】函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．3．定积分、微积分基本定理【定积分】定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y=0，x=a，x=b，y=f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个面积，是一个数．定积分的求法：求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．【微积分基本定理】在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）=f（x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．例1：定积分=解：∫12|3﹣2x|dx=+=（3x﹣x2）|+（x2﹣3x）|=通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．例2：用定积分的几何意义，则．解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，故==．这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．【考查】定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．4．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；。