2015方浩概率强化讲义3

2015考研数学综合强化课科目：线性代数主讲老师：方浩新浪微博：Professor_fang 1(一)时间安排○1行列式○2矩阵○3向量○4线性方程组○5特征值与特征向量○6二次型2（二）命题特点○1重点突出（围绕方程组和相似问题展开）○2综合性强（行列式，秩，向量，方程）○3重理论，轻计算○4应用性非常突出3（三）复习方法○1紧跟强化课程（串讲，提炼，综合）○2真题即是考题○3把握整体逻辑体系○4重点知识重点把握4第一章行列式核心考点：计算行列式(0-4分) （1）特殊行列式（2）行列展开定理（3）递推型行列式56（一）基本概念 （1）[行列式] 12)121211121(212221212(1)n nnn j j j nj j nj j j j n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑二阶行列式：a bad bc c d=-.7（2）[余子式][余子式]：划去ij a 所在的第i 行、第j 列，剩下的1n -阶行列式称为ij a 的余子式，记为ij M [代数余子式]：(1)i jij ij A M +=-8（二）行列式的性质（1）TA A（2）两行（列）互换，行列式变号（3）某行（列）扩大K 倍，行列式扩大K 倍 （4）两行（列）成比例，行列式为0（5）某行（列）能拆成两个行（列）向量之和，行列式可以拆成对应两个行列式之和（6）将某行（列）的K 倍加到另一行（列），行列式值不变9（三） 特殊行列式 （1）[上（下）三角] 1112111222212212n n iiinnn n nna a a a a a a a a a a a a ==∏10111121,112,1221222,11,11(1)212,110000000(1)n n n n n n n n n nnn n n n n n a a a a a a a a a aa aa a a a a ------==-11(2) [拉普拉斯展开式] 主对角：m m m n n n A O A C A B C B O B == 副对角：()1mn m m m n n n O A C A A B B C B O ==-推论：n n n n A B A B =12(3) [范德蒙行列式] ()1211112111n j i j i n n n n a a a a a a a a >---=-∏13（三）行列展开定理11221122i i i i in in j jj j nj njD a A a A a A D a A a A a A =+++=+++ [变型]14（四） 克拉默法则对于方程组n A x b =（1）若0n A ≠，上述方程有唯一解 （2）若0n A ≠，具体解为i i n D x A =，其中i D 为行列式n A 中的第i 列用向量b 替换得到。

北师大版九年级（上）数学第三章概率的初步认识：概率讲义（含答案）概率讲义1.掌握求概率的两种方法列举法和频次预计法；2.掌握求概率的不一样方法的应用.（1）确立事件预先能必定它必定会发生的事件称为必定事件，预先能必定它必定不会发生的事件称为不行能事件，必定事件和不行能事件都是确立的．（2）随机事件在必定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（ 3）事件分为确立事件和不确立事件（随机事件），确立事件又分为必定事件和不行能事件，此中，①必定事件发生的概率为1，即 P（必定事件） =1；②不行能事件发生的概率为0，即 P（不行能事件）=0；③假如 A 为不确立事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．2.可能性大小（1）理论计算又分为以下两种状况：第一种：只波及一步实验的随机事件发生的概率，如：依据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：经过列表法、列举法、树状图来计算波及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏能否公正的计算．（2）实验估量又分为以下两种状况：第一种：利用实验的方法进行概率估量．要知道当实验次数特别大时，实验频次可作为事件发生的概率的预计值，即大批实验频次稳固于理论概率．第二种：利用模拟实验的方法进行概率估量．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．3.概率的意义（ 1）一般地，在大批重复实验中，假如事件 A 发生的频次 mn 会稳固在某个常数 p 邻近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记为 P（A） =p．（2）概率是频次（多个）的颠簸稳固值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围： _________．（4）必定发生的事件的概率 P（ A） =1；不行能发惹祸件的概率 P（ A）=0．（ 4）事件发生的可能性越大，概率越靠近与1，事件发生的可能性越小，概率越靠近于0．（5）经过设计简单的概率模型，在不确立的情境中做出合理的决议；概率与实质生活联系亲密，1/13北师大版九年级（上）数学第三章概率的初步认识：概率讲义（含答案）经过理解什么是游戏对两方公正，用概率的语言说明游戏的公正性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及联合详细实质问题，领会概率与统计之间的关系，能够解决一些实质问题．4.求概率的方法（1）用 _______求概率（2）利用 ________概率5.游戏公正性（1）判断游戏公正性需要先计算每个事件的概率，而后比较概率的大小，概率相等就公正，不然就不公正．（2）概率 =所讨状况数总状况数．参照答案：3.（ 3）0≤ p≤14.(1) 列举法 (2) 频次预计1.事件与概率【例 1】以下事件是必定发惹祸件的是（）A.翻开电视机，正在转播足球竞赛B．小麦的亩产量必定为 1000 公斤C.在只装有 5 个红球的袋中摸出 1 球，是红球D.阴历十五的夜晚必定能看到圆月【分析】必定事件的定义是必定会发生的事，可选出答案。

方浩概率论基础概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性。

方浩概率论基础是一门基础课程，旨在帮助学生建立对概率论的基本概念、理论和应用的理解。

本文将从概率的定义和性质、随机变量、概率分布、期望和方差等方面，全面详细地介绍方浩概率论基础的内容。

1、概率的定义和性质概率是描述随机事件发生可能性的数值。

在方浩概率论基础中，我们首先介绍了概率的定义和性质。

概率的定义有两种：古典概率和统计概率。

古典概率是指在等可能性的前提下，根据事件的个数计算概率；统计概率则是通过实验或观察得到的频率来估计概率。

概率的性质包括：非负性、规范性、可列可加性和互斥性。

非负性指概率的值必须大于等于0；规范性指全样本空间的概率为1；可列可加性指对于任意可列个互斥事件，它们的概率之和等于它们的并集的概率；互斥性指两个事件不能同时发生。

2.随机变量随机变量是概率论中的重要概念，它是对随机现象的数学描述。

方浩概率论基础中，我们介绍了离散随机变量和连续随机变量。

离散随机变量是取有限或可数个值的随机变量，其概率分布可以用概率质量函数来描述。

连续随机变量是取无限多个值的随机变量，其概率分布可以用概率密度函数来描述。

随机变量的分布特征可以通过期望和方差来描述。

期望是随机变量的平均值，方差是随机变量与其期望之间的差的平方的平均值。

3.概率分布概率分布是随机变量取各个值的概率的分布情况。

方浩概率论基础中，我们介绍了几种常见的概率分布。

离散随机变量的常见概率分布包括：伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

伯努利分布是最简单的离散概率分布，描述了只有两个可能结果的随机试验；二项分布描述了重复进行独立的伯努利试验的结果；泊松分布描述了在一段时间或空间内发生某事件的次数。

连续随机变量的常见概率分布包括：均匀分布、正态分布、指数分布等。

均匀分布指随机变量在一定区间内取值的概率相等；正态分布是最重要的连续概率分布，具有钟形曲线的特点；指数分布描述了连续时间或空间上的事件发生的间隔时间。

方浩级数讲义
【实用版】
目录
1.方浩级数讲义简介
2.方浩级数的基本概念
3.方浩级数的性质
4.方浩级数的应用
5.总结
正文
【方浩级数讲义简介】
《方浩级数讲义》是一部关于级数理论的教材，作者是我国著名数学家方浩。

该书系统地讲述了级数的基本概念、性质和应用，旨在帮助读者深入理解级数理论并在实际问题中灵活运用。

【方浩级数的基本概念】
方浩级数是指形如 a_n * x^(n-1) 的无穷级数，其中 a_n 是各项的系数，x 是自变量。

方浩级数讲义中主要讨论了以下几种类型的级数：常数项级数、单调项级数、非单调项级数和广义级数。

【方浩级数的性质】
方浩级数具有很多重要的性质，这些性质有助于我们更好地理解级数。

主要包括收敛性、发散性、级数的和、级数的积等。

其中，收敛性是指级数是否有一个有限的和，发散性是指级数没有有限的和。

【方浩级数的应用】
方浩级数在数学和实际问题中有广泛的应用，例如求解微分方程、概率论、数值分析等领域。

通过运用级数理论，我们可以将复杂的问题简化，
从而更容易地解决问题。

【总结】
《方浩级数讲义》是一部关于级数理论的教材，系统地讲述了级数的基本概念、性质和应用。

概率论与数理统计第一章 随机事件和概率1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+→⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧Ω→贝努利概型贝叶斯公式/)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξ2、重要公式和结论第四章 随机变量的数字特征第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧→切比雪夫不等式矩方差期望一维随机变量⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧→协方差矩阵相关系数协方差方差期望二维随机变量2、重要公式和结论第五章 大数定律和中心极限定理第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→辛钦大数定律伯努利大数定律切比雪夫大数定律大数定律⎭⎬⎫⎩⎨⎧→棣莫弗－拉普拉斯定理列维－林德伯格定理中心极限定理二项定理 泊松定理2、重要公式和结论第六章 数理统计的基本概念第一节 基本概念1、概念网络图正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧ 2、重要公式和结论第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧→⎭⎬⎫⎩⎨⎧区间估计一致性有效性无偏性估计量的评选标准极大似然估计矩估计点估计从样本推断总体2、重要公式和结论。

方浩概率论讲义教材数一数三的区别
方浩概率论讲义和教材《数一》、《数三》之间的区别主要包括以下几个方面：
1. 内容涵盖范围：方浩概率论讲义主要侧重于概率论的基本理论和方法，同时兼顾一些相关的数理统计内容。

而《数一》和《数三》是高等数学的教材，涉及数学分析、微积分和线性代数等内容。

2. 难度和深度：方浩概率论讲义相对而言更浅显易懂，适合初学者入门和快速掌握概率论的基本概念和方法。

而《数一》和《数三》则是传统高等数学的教材，内容更为深入，难度相对较大，适合需要更深入学习数学知识的学生。

3. 学习目标与应用领域：方浩概率论讲义主要面向计算机科学、统计学和金融学等专业学生，注重概率论在实际问题中的应用。

而《数一》和《数三》则是高等数学的基础教材，适用于各个理工科专业的学生，作为后续学习其他数学相关课程的基础。

4. 教学风格和重点：方浩概率论讲义更注重实例和应用，以问题为导向，通过讲解和例题来解释概念和方法。

而《数一》和《数三》以理论和推导为主，更加注重基本概念和定理的证明。

综上所述，方浩概率论讲义与《数一》和《数三》在内容、难度、学习目标和教学风格上存在一定区别。

选择学习哪一个取决于个人的学习需求和兴趣背景。

2015考研数学综合强化课概率论与数理统计主讲老师：方浩第一章随机事件与概率（一）随机试验和样本空间1.[随机试验]2.[样本空间]: 随机试验所有可能发生的结果组成的集合[样本点]: 随机试验的每个可能结果3.[基本事件]:样本空间中的一个样本点组成的单点集4.[随机事件]:样本空间 的子集5.[必然事件]：随机试验中必然发生的事件，记作Ω.6.[不可能事件]：每次试验中一定不发生，记为φ.(二) 事件的关系和运算1.事件间的关系(1) 包含：A B⊃(2) 相等：.=A B(3) 和：A B.(4) 积：A B(5) 差: =-A B AB(6)互斥(互不相容)：ABφ=.(7)对立(互逆)：A B=Ω，A Bφ=. 对立事件记为B A=.2.运算律(1)交换律：;==A B B A A B B A(2)结合律：()()=A B C A B C=()()A B C A B C(3)分配律：()()()=A B C A B A C(4)对偶律(摩根律)：,==A B A B A B A B(三)概率的定义与性质 1.概率的定义(1)非负性： ()0P A ≥.(2)规范性： ()1P Ω=.(反之不成立) (3)可列可加性：12,,A A 两两互不相容 1212()()()P A A P A P A =++2.概率的性质(1)非负性： 0()1P A ≤≤.(2)规范性： ()0,()1P P ∅=Ω=.(3)有限可加性：12,,,n A A A 两两互不相容1212()()()()n n P A A A P A P A P A =+++.(4) ()1()P A P A =-.3.基本公式[加法公式]()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()31231231,j()i i j i i P A A A P A P A A P A A A ==-+∑∑[减法公式]()()()()P A B P A P AB P AB -=-=[逆事件] ()1()P A P A =-（四）三大概型 1.古典概型()AA n P A n=Ω中基本事件的个数中基本事件总数 2.几何概型()A P A =Ω的长度（或面积、体积）的长度（或面积、体积）3.伯努利概型[定义]：随机试验只有两个可能结果：A 和A ；每次试验A 发生概率相等()P A p =[结论]：n 重伯努利试验，事件A 发生k 次的概率：(,)(1)(0,1,2,,)kkn kk nB n pC p p k n -=-= .（五）条件概率，乘法公式，独立性1.条件概率：()0P A >，A 发生条件下B 发生的概率()()()P AB P B A P A =2.条件概率的性质(1) 非负性：0(|)1P B A ≤≤ (2) 规范性：(|)1P A Ω=(3) 逆事件：(|)1(|)P A B P A B =- (4) 加法公式：121212(|)(|)(|)(|)P A A B P A B P A B P A A B =+-减法公式：12112(|)()(|)P A A B P A B P A A B -=-3.乘法公式()()()P AB P B A P A = 12121211()()()()n n n P A A A P A A A A P A A P A -=4.两个事件的独立性定义：()()()P AB P A P B =,称事件,A B 相互独立. 推论：设0()1P A <<，,A B 独立()(|)(|)P B P B A P B A ⇔==性质：,A B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立5.三个事件的独立性1)()()()=；P AB P A P B2)()()()P AC P A P C=；3)()()()=；P BC P B P C4)()()()()=；P ABC P A P B P C满足1-3：称三个事件,,A B C两两独立. 满足1-4：称三个事件,,A B C相互独立.(六)全概率公式与贝叶斯公式 1.完备事件组：若事件1,n A A =Ω,1i j A A i j n φ=≤≠≤，称事件1,,n A A 是一个完备事件组.2.全概率公式：1()()()ni i i P B P A P B A ==∑.3.贝叶斯公式：()1()()()()j jj niii P B A P A P A B P A P B A ==∑[题型一概率的基本计算] 【例1.1】()___A B C=()()A AB C()()B A B C()()()C A B A C()()()D A B A C【P332，例1】事件,A B ，满足1()()2P A P B ==和()1P A B =则有( )（A ）A B =Ω （B ）AB φ= （C ）()1P A B = （D ）()0P A B -=【例】设事件,A B互不相容,则（）()()0A P AB=()()()()=B P AB P A P B()()()=-C P A P B1()()1D P A B=【P332，例2】设,Y X 为2个随机变量，且{}30,Y 07P X ≥≥=,{}{}4007P X P Y ≥=≥=则(){}max ,0=___P X Y ≥【P328，4】设,,A B C 是随机事件，且()()()14P A P B P C ===,()()0P AB P BC ==,()18P AC =,求,,A B C 都不发生的概率【例】()()===,则P A P B P AB()0.3,0.4,0.5()___P B A B=【例】设相互独立的事件A,B都不发生的概率是1，且A发生B不发生的概率与B发生A不发生9的概率相等，求A发生的概率【例】()()111(),,432P A P B A P A B ===,则()___P A B =[题型二三大概型]【例】()0,1之间任取两个数，乘积小于12的概率____【例】区域()22:20D x y x y +≤≥内任取一点，求该点与坐标原点的连线和X 轴正方向所围成的夹角小于3π的概率【P329，7】设一厂家生产的每台仪器以概率0.7可直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后，以概率0.8出厂，以概率0.2定为不合格，不能出厂，现该厂生产了(2)台仪器(设各台n n≥生产过程相互独立).求(I)所有机器都能出厂的概率α.(II)其中恰好有两件能出厂的概率β.(III)至少有两件不能出厂的概率θ.[题型三 条件概率与独立性]【P328，例1】设,A B 是两个随机事件,()()01,0P A P B <<> ()()P B A P B A =则下列选项中正确的是___()()() A A B A B =P P ()()()B A B A B ≠P P ()()()()C AB A P B =P P ()()()()D AB P A P B ≠P【例】设0()1,0()1P A P B <<<<，(|)(|)1P A B P A B += 则( )（A ）A,B 互不相容 （B ）A,B 互逆 （C ）A,B 相互独立 （D ）A,B 不独立【P329，例3】将一枚硬币连续投掷两次，定义事件1A ：第一次出现正面，2A ：第二次出现正面，3A ：正反面各出现一次，4A ：两次都是出现正面，则下列说法正确的是（ ）（A ）123,,A A A 相互独立（B ）234,,A A A 相互独立（C ）123,,A A A 两两独立（D ）234,,A A A 两两独立【例】设,,A B C是三个相互独立的随机事件，且<<，则下列给定的四对事件中不一定相互0()1P C独立的是 ( )()A A B与C()B A C与C-与CC A B()D AB与C()【题型四全概率公式与贝叶斯公式】【P327，例4】在1,2,3,4中任取1个数为X，再从1,X中任取一个数为Y，则{}2___P Y==【P326，例3】设工厂A,B的产品的次品率分别为1%和2%，现在从由产品A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取1件（1）求该产品是次品的概率（2）已知取出为次品，求该次品属于A生产的概率【例 1.9】设有甲、乙两个箱子，甲箱中有m只白球，n个红球，乙箱中有a个白球，b个红球，现从甲箱中任意取出一只放入乙箱，再从乙箱中任取出一球，求（1）从乙中取出的是白球的概率（2）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是白球的概率（3）已知从乙中取出的是白球，从甲放入乙中的是红球的概率【例】甲乙两名运动员进行打靶训练，每次打靶甲中靶的概率为0.5，乙中靶的概率为0.3，甲乙两人都中靶的概率为0.2，每次打靶中只要有一人中靶就称为此次打靶合格，第n次()3n>打靶α=合格恰好是第3次合格的概率___63。

第三篇 概率统计第一讲 事件与概率考纲要求1.了解样本空间（基本事件空间）的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算.2.理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典型概率和几何型概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式以及贝叶斯（Bayes ）公式.3.理解事件独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法.一、事件运算与关系问题1 何谓样本空间？何谓随机事件？答 随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，样本空间的元素称为样本点.样本空间的子集称为随机事件. 样本空间称为必然事件，空集称为不可能事件，只含一个样本点的子集称为基本事件.由于随机事件是样本空间的子集，因此可以用集合方法研究事件.问题2 叙述事件的关系与运算.答 事件的关系与运算有A B A B B A ⊂⑴包含：若发生必导致发生，则称包含于，记作；A B B A A B A B =⑵相等：若包含于且包含于，则称与相等，记作；⑶和事件：“A 与B 至少发生一个”称为A 与B 的和事件，记作；A B ∪A ⑷积事件：“与B 同时发生”称为A 与B 的积事件，记作或者A B ∩AB ；AB A B A B A B −⑸差事件：“发生，不发生”称为与的差事件，记作或者；A A A ⑹逆事件(对立事件)：“不发生”称为的逆事件或者对立事件，记作；⑺互不相容（互斥）：若A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容或者互斥，记作； AB =∅⑻完备事件组：若，12n A A A Ω=∪∪ ∪(1)i j A A i j n =∅≤<≤，则称为完备事件组；12,,,n A A A A B ⑼与相互独立：；()()()P AB P A P B =⑽个事件相互独立：其中任意n 12,,,n A A A (2)k k n ≤≤个事件的积的概率等于它们的概率之积.问题3 叙述事件的运算律.答 事件的运算律就是集合的运算律，主要有A B B A =∪∪AB BA =⑴交换律：，；⑵结合律：()A ()B C A B C =∪∪∪∪()()AB C A BC =；，⑶分配律：()()(A B C AB AC )=∪∪()()()A BC A B A C =∪∪∪； ，A B A B =∪∩A B A B =∩∪⑷对偶律：，.问题4 证明下列关于独立性的命题： A B A B A B B A 独立.与独立，则与，与，与⑴若A B A B ⑵当，时，若()0P A >()0P B >不独立.与互斥，则与A B ⊂A B ⑶当时，若()0,()1P A P B ><不独立.，则与⑷概率为（或者概率为1）的事件与任一事件0A 独立，特别，不可能事件与任一事件∅A 独立，必然事件与任一事件A Ω独立.⑸若个事件相互独立，则它们两两独立，其逆命题不成立.n 12,,,n A A A 例B A AB =1.设为随机事件，且满足B A ,，则（）.【B 】(A) (B)A B =∅∪=B A ∪A B A =∪B B A =∪Ω (C) (D)2.对于任意二事件A 和B ，与不等价的是（）.【D 】B B A =∪(A)B A ⊂ (B)A B ⊂AB =∅ (C) (D)AB =∅3.设为两事件，且B A ,0)(=AB P ，则（）.【C 】A B 互斥 (B)AB 是不可能事件(A)与AB (C)未必是不可能事件 (D)或0)(=A P 0)(=B P【注 概率为零的事件不一定是不可能事件】0()1,()(P B P A B P A B <<=)4.设为两事件,且B A ,，则（）.【C 】B A = (C)A 与(A) (B)AB =∅B 相互独立 (D)A B ⊂ .A B 5.对于任意二事件，有（）.【B 】和(A)若,则一定独立 (B)若AB ≠∅AB ≠∅B A ,,则有可能独立B A ,(C)若则一定独立 (D)若AB =∅AB =∅B A ,,则一定不独立B A ,=1A 6.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：{第一次出现正面}，{第二次出现正面}，{正、反各出现一次}，{正面出现两次}，则事件（）.【C 】=2A =3A =4A (A)相互独立 (B)相互独立321,,A A A 432,,A A A (C)两两独立 (D)两两独立321,,A A A 432,,A A A 二、古典概型与几何概型问题5 如何计算古典型概率？()A n P A n =A Ω答 若样本空间仅包含有限个等可能的样本点，则任一事件的概率，其中n 为包含的样本点数，为A n A Ω包含的样本点数.常用计数方法：分类用加法，分步用乘法，有序用排列，无序用组合，穷举法.常犯的错误是计算样本点数时漏算和多算.问题6 如何计算几何型概率？()A s P A s=答 若样本空间Ω包含无限个等可能的样本点，则任一事件A 的概率，其中为的度量（长度、面积、体积），为s A s A Ω的度量. 例1.袋中装有10个球，其中红球6个，白球4个，从中任取3个球，则至少取到两个红球的概率为 213646310C C C C +.【】 2. 袋中装有6个球，其中红球1个，白球2个，黒球3个，从中每次取一个，取后放回，共取两次，则取到1个白球、1个黒球的概率为 13.【】 3.袋中装有10个球，其中红球6个，白球4个，两人依次随机从中各取1个球，取后不放回，则第二个人取到红球的概率为 .【0.6，抽签原理】4.一间宿舍内住有6位同学，求他们之中恰有4个人生日在同一月份的概率.4266121112C ⋅⋅】 【235.将3封信随机装入3个写好地址的信封内，则至少有一封装对的概率为 .【】 5126.掷两枚骰子，则它们的点数之和小于7的概率为 .【】7.一个陀螺的半圆周上均匀刻有[0内的数字，另半圆周上均匀刻有[1内的数字，则当它停止旋转时，着地点落在[内的概率为 ,1],3]0.5,1.5].【38】 3t 8.两个信号在[0内随机到达某接收装置，若它们到达的时间间隔小于,]t ，则发生干扰，求它们发生干扰的概率.【会面问题，59】 三、概率计算公式问题7 何谓加法公式？答 .加法公式：.()()()()P A B P A P B P AB =+−∪由加法公式可得：A B 互不相容时，；()()()P A B P A P B =+∪与⑴当()1()P A P A =−； ⑵()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++−−−+∪∪⑶（公式特点：加奇减偶. 可以推广到有限个事件的情形）.()()(P A B P A P AB )−=−；⑷.减法公式：B A ⊂()()(P A B P A P B )−=−.⑸当时，问题8 何谓条件概率？如何计算条件概率？(P B A )A B 答 事件发生的条件下，事件发生的概率称为条件概率. 计算条件概率的方法有：()()()P AB P B A P A =，其中. ()0P A >⑴利用条件概率公式A 发生的条件下的样本空间）⑵缩小样本空间（考虑事件问题9 叙述乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式.()()()()()P AB P A P B A P B P A B ==,A B 答 1.乘法公式：对于任意两个事件； ，有()()()()P ABC P A P B A P C AB =,,A B C 对于任意两个事件，有（可以推广到有限个事件的情形）.2.全概率公式：若是一个完备事件组，则对任一事件12,,,n A A A B ，有11()()()()n ni i i i P B P A B P A P B A ====∑∑i .3.贝叶斯公式：若是一个完备事件组，且，则有12,,,n A A A ()0P B >1()()()()(1,2,,()()()i i i i n i i i P A P B A P A B P A B i n P B P A P B A ====∑ ). 【注】 全概率公式在概率计算中是十分重要的，它利用完备事件组将事件12,,,n A A A B 分解为个互斥事件之和，然后利用加法公式和乘法公式计算其概率. 运用全概率公式计算事件的概率，关键是构造完备事件组，常用的完备事件组有：n 12,,,n A B A B A B A A ⑴与；取它的一切可能值{}(1,2,i X x i == )X ；⑵离散随机变量(1,2,)i A i = B .⑶伴随事件发生的一切可能的情形()0,()1P B P A B >例1. 设为两事件,且，=))))>B A ,则必有（）.【C 】(A) (B)()(P A B P A >∪()(P A B P B >∪(C) (D)()(P A B P A =∪()(P A B P B =∪2. 设为两事件,且，则必有（）.【B 】B A ,,()0A B P B ⊂()()P A P A B <()()P A P A B ≤()()P A P A B >()()P A P A B ≥ (B) (C) (D)(A)3.设5.0)(,9.0)()(==+B A P B P A P ∪，则=+)()(B A P B A P .【0.1】1114.100件产品中有10件次品，依次不放回地取出两件，则第二次才取得正品的概率为 .【】5.某厂生产的产品有70％可直接出厂，有30％需调试，其中调试后有80％可以出厂，20％定为不合格产品，现随机取一件，属于可出厂的产品，求该产品属于可直接出厂的概率.【0.74】6.每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收，由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2％，一件次品被误判为正品的概率为10％，求(1)检验的一箱能通过验收的概率；(2)检验10箱产品通过率不低于90％的概率.解 ⑴设表示“取到的一箱中有i 件次品”，i A B 表示“开箱检验时取到正品”，表示“检验的一箱能通过验收”.C 由全概率公式，00112()()()()()()()P B P A P B A P A P B A P A P B A =++211019180.9310310310=×+×+×=； ()()()()()0.90.980.10.10.892P C P B P C B P B P C B =+=×+×=X (10,)X B p ∼()0.892p P C ==⑵设表示“通过验收的箱数”，则，其中，{}{}{0.9991010X P P X P X P X ⎧⎫≥=≥==+=⎨⎬⎩⎭} 9910100.8920.1080.8920.705C =⋅+=.问题10 何谓二项概率公式？答 设事件A 在一次试验中出现的概率为，则次重复独立试验中，事件n p A 恰好出现次的概率，此公式称为二项概率公式.k ()(1)(0,1,,)k k n k n n P k C p p k n −=−= 例1. 设事件A 在一次试验中出现的概率为(01)p p <<，则次重复独立试验中，事件n A 至少出现一次的概率为 .2.甲乙两人进行乒乓球单打比赛，甲每局获胜的概率为，若采用五局三胜制，则甲获胜的概率为 0.6. 注意：第二讲 随机变量及其分布考纲要求{}()()F x P X x x =≤−∞<<∞1.理解随机变量的概念；理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量相联系的事件的概率.01−2.理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握分布、二项分布、超几何分布、泊松（Poisson ）分布及其应用.3.了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松定理近似计算二项分布.2(,)N μσ4.理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用.5.会求随机变量函数的分布.一、随机变量与分布函数问题1 何谓随机变量？ωX Ω答 如果对于样本空间中的每一个样本点（试验结果），变量都有一个确定的实数值与之对应，则称X ()X X ω=.为随机变量，记作▲随机变量是一个定义在样本空间上的实值函数.Ω问题2 分布函数的概念与性质.{}()()F x P X x x =≤−∞<<∞X 答 函数的分布函数.称为随机变量X X (,]x −∞内的概率.的分布函数就是的取值落在区间▲随机变量分布函数具有如下性质：()F x ⑴0(；)F x ≤≤101⑵，()F −∞=()F +∞=；⑶单调不减； ()F x⑷右连续即()F x (,x )∀∈−∞+∞()(0)F x F x =+，；{}()()P a X b F b F a <≤=−；⑸{}()(0)P X a F a F a ==−−⑹.▲离散随机变量的分布函数为阶梯函数，每个可能值是它的跳跃间断点；连续随机变量的分布函数()i i x x F x p ≤=∑()()xF x f x d −∞=∫)x 为(,−∞+∞上的连续函数.例题1.下列各函数中，可以作随机变量分布函数的是（）.【C 】211)(xx F +=x x F arctan 2)(π= （B ） （A ）0,0,(),01x F x x x x≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩π2arctan )(+=x x F （C ） （D ） 2.设与分别是随机变量与的分布函数.为使)(1x F )(2x F 1X 2X )()()(21x bF x aF x F −=是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数中应取（）.【A 】52,53−==b a 32,32==b a 23,21=−=b a 23,21==b a （B ） （C ） （D ） （A ）0,1/8,(),1,F x ax b ⎧⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩1,1,111.x x x x ,<−=−−<<≥41}1{==X P X 3.设随机变量， 的分布函数为又已知则（）.【A 】167,165==b a 169,167==b a 21,21==b a 83,83==b a （B ） （C ） （D ） （A ）X 注 本题中的随机变量既非离散、也非连续随机变量，因为其分布函数不是阶梯函数，又有两个间断点.问题3 叙述离散型随机变量及其概率分布的定义.X X 答 若随机变量是离散型随机变量.只取有限个或者可列无穷个值，则称{}(1,2,i i P X x p i === 若随机变量X 的取值为，则称12,,x x )X 的概率分布. 为求离散随机变量的概率分布，关键是确定它取哪些值，求出对应概率.X 的概率分布具有如下性质：随机变量⑴；0,1,2,i p i ≥= ⑵.1i i p=∑例1.设随机变量X 的分布律为，则常数⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−c c c 839102=c X 的分布函数 ，=)(x F .0,0.4,()0.8,1,F x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩,3,31,11,1≥<≤<≤−−<x x x x X X 2.设随机变量 则的概率分布为 的分布函数为.00,()2/301,1 1.x F x x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，，，13c =3X 1−1 答案 1. 2. ；0.40.40.2P问题3 何谓连续型随机变量？连续型随机变量的概率密度具有哪些性质？答 若存在非负函数()f x ，使得随机变量X 的分布函数，则称()()x F x f x dx −∞=∫X 为连续型随机变量，并称X ()f x 的概率密度或者密度函数.为概率密度具有如下性质性质：⑴；()0f x ≥()1f x dx +∞−∞=∫⑵；⑶连续；()()xF x f x dx −∞=∫x ⑷若()f x 在点连续，则；()()F x f x ′=⑸；{}()()()b a P a X b F b F a f x dx <≤=−=∫{}0P X a ==.⑹例 1.设和是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为和1X 2X )(1x f)(2x f ，分布函数分别为和，则（）.【C 】)(1x F )(2x F （A ） +必为某一随机变量的概率密度)(1x f )(2x f （B ） +必为某一随机变量的分布函数)(1x F )(2x F （C ） 必为某一随机变量的分布函数)(1x F )(2x F （D ） 必为某一随机变量的概率密度)(1x f )(2x f X X 2.已知连续型随机变量的概率密度是偶函数,是)(x f )(x F 的分布函数，则对任意常数,有（）.【B 】c =−)(c F ∫−c dx x f 0)(21 (D) ∫−c dx x f 0)(1（A ） （B ）)(c F 1)(2−c F （C ）1/3,()2/9,0f x ⎧⎪=⎨⎪⎩else x x ],6,3[],1,0[∈∈32}{=≥c X P 若c 使得3.设随机变量X 的概率密度为，则的取值范围是 c .【13】c ≤≤2,()0,x f x ⎧=⎨⎩)1,0()1,0(∉∈x x X }{}{a X P a X P ≤=≥,则= a 4.随机变量的概率密度为若.【2a =】 X X X −5.设连续型随机变量的分布函数为，密度函数为，若)(x F )(x f 与有相同的分布函数，则（）.【C 】)()(x F x F −=)()(x F x F −−=)()(x f x f −=（A ） （B ） （C ） (D) )()(x f x f −−=问题4 如何求随机变量函数的概率分布？X X 答 设在随机变量()g x ()Y g X =的函数. 的一切可能值有定义，则称为随机变量()Y g X =取哪些值，并求出对应的概率； 求离散型随机变量函数的分布，关键是：弄清()Y g X =的取值范围，并求出分布函数.求连续型随机变量函数的分布，关键是：弄清121344⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠101~111244X −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎝⎠12+=X Y 例1.设随机变量的概率分别为 ，则.【】 2.设随机变量X 服从参数为2的指数分布,求的概率密度.X e Y 21−−=解 X 的概率密度 22,0()0,0.x e x f x x −⎧>=⎨≤⎩,X 的取值范围(0,)+∞，的取值范围为(0.21X Y e −=−,1){}()Y F y P Y y =≤3X Y =，的分布函数{}()0Y F y P Y y =≤={}()1Y F y P Y y =≤=当时，0y ≤，当时，1y ≥， 当01时，y <<{}{}21()1ln(1)2X Y F y P Y y P e y P X y −⎧⎫=≤=−≤=≤−−⎨⎬⎩⎭11ln(1)ln(1)2220()2y y x f x dx e dx y −−−−−−∞==∫∫=，所以，的概率密度为1,(0,1),()()0,(0,1).Y Y y f y F y y ∈⎧′==⎨∉⎩21X Y e −=−1,()0,x f x ⎧−=⎨⎩.,11else x <<−12+=X Y X 求随机变量3.设随机变量的密度函数为的分布函数与密度函数.【1,0,−⎩12.y else <<,()Y f y =】问题5 有哪些常见分布？它们有哪些应用？ 答 常见分布有 1.分布01−{}1(1)(0,1)kkP X k p p k −==−=若X 的概率分布为，则称X 服从参数为的分布.01−p 2.二项分布{}(1)(0,1,,)kkn kn P X k C p p k n −==−= 若X 的概率分布为，则称X 服从参数为，p 的n~(,)X B n p .二项分布，记作最可能值，当0[(1)]k n p =+(1)n p +不是整数时；0(1),(1)k n p n p 1=++−，当是整数时.(1)n p +用于研究次重复独立试验中事件n A 出现的次数. 3.超几何分布{}(0,1,,m n m M N MnNC C P X m m n C −−=== )X X 若的概率分布为，则称服从参数为的超几何分布.,,n N M 用于研究不放回抽样. 4.几何分布{}1(1)(1,2,)k P X k p p k −==−= X X 服从参数为的几何分布.p 若的概率分布为，则称A 首次出现的试验次数. 用于研究重复独立试验中事件5.泊松（Poisson ）分布{}(0,1,2,!k P X k e k k λλ−=== λ)X X 若的概率分布为，则称服从参数为的泊松分布，记作~()X P λ.λλ0[]k λ=0,k 1λλ=−是整数时. ，当不是整数时；，当最可能值用于研究二项分布的极限.(1)!k k kn knC p p e k λλ−−−≈注 当n 很大，很小，p np λ=（泊松定理）； 时，(1)(m n m m m n mM N M n nN C C M C p p p C N−−−≈−=当很大，很小时，n N . 6.均匀分布1,[,]()0,[,],,x a b f x b ax a b ⎧∈⎪=−⎨⎪∉⎩若X 的概率密度为 则称X 服从区间[,上的均匀分布. ]a b 用于研究一维几何概率.7.指数分布若X 的概率密度为 则称,0()0,0,x e x f x x λλ−⎧>=⎨≤⎩,λX 的指数分布.服从参数为用于研究寿命、可靠性.8.正态分布22()2()x f x μσ−−=2σX X μ 则称的概率密度为服从参数为，的正态分布，记作若2~(,)X N μσ；当0μ=，1σ=X 时，则称服从标准正态分布，记作，其概率密度~(0,1)XN 22()x f x −=，分布函数记作()x Φ. 2~(,)X N μσ，则 设{}()(b a P a X b μμΦΦσσ−−<<=−；⑴⑵()1()x x ΦΦ−=−；⑶，(0)0.5Φ=(1.96)0.975Φ=； {}{}0.5P X P X μμ≤=≥=.⑷正常状态下，产品的产量指标、质量指标、测量误差服从正态分布.例1.一汽车沿一街道行驶，需要通过三个设有红绿灯的路口，各不同路口灯的显示情况相互独立，且每个路口上红、绿灯显示的时间比为1∶2，以X 表示该汽车驶过这条街道途中所遇到的红灯数，求1~(3,3X B X 的概率分布和分布函数.【】223e −X }2{}1{===X P X P ==}4{X P 2.设随机变量 服从泊松分布，且，则.【】 3.假设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数服从参数为)(t N t λ的泊松分布. ⑴求相继两次故障之间时间间隔T 的概率分布；⑵求在设备已无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率. {}()F t P T t =≤解 ⑴T 的取值范围为，T 的分布函数(0,)+∞， {}()F t P T t =≤当时，0t ≤＝0；{}{}{}()11()01tF t P T t P T t P N t eλ−=≤=−>=−==−当时，0t >.{}{}{}{}{}168816,8161(1)168881(1)P T T P T e P T T e P T P T e λλλ−−−≥≥≥−−≥≥====≥≥−− ⑵.4.设随机变量，则2~(2,),{24}0.3X N P X σ<<==<}0{X P . 【0.2】211~(,)X N μσ222~(,)Y N μσ5.设随机变量，且，1{1}{P X P Y μ−≤>−≤21}μ2则必有（ ）. 【A 】（A ）1σσ<（B ）12σσ>（C ）12μμ<12μμ>（D ） 1001=λ6..已知某类电子元件使用寿命（小时）服从参数为的指数分布.现有10个此类元件独立工作，求这10个元件中，至少有一个元件的寿命小于50小时的概率.【】 51e −−第三讲 二维随机变量的概率分布考纲要求1.理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率.2.理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变量相互独立的条件.3.掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度，理解其中参数的概率意义.4.会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布.一、二维随机变量的概率分布问题1 何谓二维随机变量的联合分布函数？何谓二维随机变量的边缘分布函数？{}(,),F x y P X x Y y =≤≤答 1.二维随机变量的联合分布函数),(Y X ，即的取值落在无穷矩形域),(Y X (,](,]x y −∞×−∞内的概率.二维随机变量的联合分布函数具有如下性质： ⑴0(；,)F x y ≤≤11⑵，(,)(,)(,)0F F y F x −∞−∞=−∞=−∞=(,)F +∞+∞=； x ⑶关于(,)F x y （关于）单调不减；yx ⑷关于(,)F x y y （关于）右连续. 2.二维随机变量关于),(Y X X 的边缘分布函数{}{}(),(,)lim (,)X y F x P X x P X x Y F x F x y →+∞=≤=≤<+∞=+∞=.二维随机变量关于Y 的边缘分布函数),(Y X {}{}(),(,)lim (,)Y x F y P Y y P X Y y F y F x y →+∞=≤=<+∞≤=+∞=.问题2 何谓二维离散型随机变量联合分布、边缘分布和条件分布？ 答 ⑴联合分布设二维离散随机变量(,)X Y 的所有可能值为(,),,1,2,i j x y i j = ，则称{},(,1,i j ij P X x Y y p i j ==== 2,)(,)X Y 的联合分布律，其中为二维离散随机变量01ij p ≤≤111ij i j p ∞∞===∑∑.，⑵边缘分布 称，{}1(1,2,)i iji j P X x pp i ∞⋅=====∑ {}1(1,2,j ij j i P Y y p p j ∞⋅=====∑ )X 和关于Y 的边缘分布律. (,)X Y 分别为关于利用联合概率分布表计算如下：⑶条件分布称{}(1,2,)iji j j p P X x Y y i p ⋅==== 为在j Y y =的条件下随机变量X 的条件分布；称{}(1,2,ijj i i p P Y y X x j p ⋅==== )为在i X x =的条件下随机变量Y 的条件分布.例λX 1.设某班车起点站上客人数服从参数为的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为且中途下车与否相互独立. 以Y 表示在中途下车的人数，求p ⑴在发车时有个乘客的条件下，中途有个人下车的概率；n m ⑵二维随机变量的概率分布(01-1).),(Y X {}(1)m mn m n P Y m X n C p p −===−解 ⑴；⑵二维随机变量的概率分布为),(Y X {}{}{},P X n Y m P X n P Y m X n ======(1)(0,1,2,0,1,,)!n m m n m n e C p p n m n n λλ−−=−== 2.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量的联合概率分布及关于),(Y X X 和关于Y 的边缘概率分布的部分数值，将其余数值填入表中的空白处.解 由联合分布与边缘分布的关系，得111116824p =−=； 由独立性，得11112464p ⋅=÷=； 由概率分布的性质，得213144p ⋅=−=；其余数值可类似求出.故1x 1/24 1/8 1/12 1/4 2x1/8 3/8 1/4 3/4 }{j y Y P =1/6 1/2 1/313.设随机变量且满足101~(11/41/21/4i X i −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠,2){}1201P X X ==，则{}12P X X == . 【0】问题3 何谓二维连续型随机变量的联合密度？它具有哪些性质？ (,)f x y ，使得随机变量(,)X Y 的分布函数答 若存在非负函数(,)(,)xyF x y f x y dxdy −∞−∞=∫∫(,)X Y (,)f x y (,)X Y ，则称为二维连续随机变量，并称为的联合概率密度或者联合密度函数.联合概率密度具有如下性质：⑴； (,)0f x y ≥(,)1f x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫⑵；⑶连续；(,)(,)x yF x y f x y dxdy −∞−∞=∫∫(,)(,)xyF x y f x y ′′=(,)f x y (,)x y 在点连续，则； ⑷若{}(,)(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=∫∫.⑸2(),(,)0,x y ce f x y −+⎧=⎨⎩.,0,0else y x +∞<<+∞<<例1.设二维随机变量的概率密度),(Y X则常数 =c {(,)1}D x y x y =+≤；落在区域),(Y X 内的概率为 .2()0(,)41x y f x y dxdy dx e dy +∞+∞+∞+∞−+−∞−∞==∫∫∫∫=c 4；【提示：由推出{}112()20(,)413xx y P X Y D dx e dy e −−+−∈==−∫∫.】问题4 如何求二维随机变量的边缘密度？答 设(,)X Y (,)f x y ，则可按如下公式计算边缘密度： 的概率密度为()(,)X f x f x y +∞−∞=∫dy X ； 关于的边缘密度()(,)Y f y f x y +∞−∞=∫dx 关于Y 的边缘密度.26,,(,)0,x y x f x y else⎧≤≤=⎨⎩X 例 设二维随机变量的概率密度),(Y X 则关于),(Y X 的边缘概率密度 =)(x f X =)(y f Y ，关于Y 的边缘概率密度 .(,)f x y 解 画出概率密度的非零区域. X 的取值范围[0， ,1]由图看出，当0122()(,)66()xX xf x f x y dy dy x x +∞−∞===∫∫x ≤≤−，时，关于X 的边缘概率密度26(),01,()0,.X x x x f x else ⎧−≤≤=⎨⎩),01,()0,.Y y y f y else ⎧−≤≤⎪=⎨⎪⎩类似可求出关于Y 的边缘概率密度问题5 如何求二维随机变量的条件密度？(),()X Y f x f y 答 设(,)X Y (,)f x y ,X Y 的概率密度为，关于的边缘密度分别为，则可按如下公式计算条件概率密度：(,)()()X Y Y f x y f x y f y =X 在Y 的条件下，y =； 的条件概率密度(,)()()Y X X f x y f y x f x =在的条件下，Y 的条件概率密度X x =.问题6 如何判断随机变量的独立性？ 答 判断随机变量的独立性的方法有：⑴随机变量X 与Y 相互独立； (,)()()X Y F x y F x F y ⇔=X 与Y 相互独立,,ij i j i j p p p ⋅⋅⇔∀=； ⑵离散型随机变量(,)()()X Y f x y f x f y ⇔=X 与Y 相互独立. ⑶连续随机变量问题7 何谓二维均匀分布？1,(,),(,)0,(,),x y D f x y x y D σ⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度 其中σ为的面积，则称(,D )X Y 服从区域上的均匀分布.D 问题8 何谓二维正态分布？它具有哪些性质？ 答 若二维随机变量(,)X Y 的概率密度2(,)f x y ]⎧⎫=⎬⎭ 221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ(,)X Y . 则称服从二维正态分布，记作221212(,,,,N )μμσσρ具有如下性质： 二维正态分布211(,)N μσ222(,)N μσX 和Y 的边缘分布分别为；⑴关于，⑵条件分布均为正态分布；aX bY +X 和Y 的非零线性组合服从正态分布； ⑶X 和Y 相互独立的充要条件是相关系数0ρ=.⑷例 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布和，则（ ）. )1,0(N )1,1(N 21}0{=≤+Y X P 21}1{=≤+Y X P (A) (B) 21}0{=≤−Y X P 21}0{=≤−Y X P (C) (D)【提示 独立的正态变量的线性函数仍为正态变量；B 】二、二维随机变量函数的分布问题9 如何求二维随机变量函数的概率分布？答 设在随机变量(,(,)g x y )X Y (,)Z g X Y =的一切可能值有定义，则称为随机变量(,)X Y 的函数.(,)Z g X Y =取哪些值，并求出对应的概率； 求离散型随机变量函数的分布，关键是：弄清(,)Z g X Y =的取值范围，并求出分布函数. 求连续型随机变量函数的分布，关键是：弄清X 与Y 的和Z X Y =+的概率密度，可用如下的卷积公式求两个独立随机变量()()()Z X Y f z f x f z x +∞−∞=−∫dx .例ηξ,ξ1.设是两个相互独立且服从同分布的随机变量，如果的分布律为3,2,1,31}{===i i P ξ),max(ηξ=X ),min(ηξ=Y 的分布律.，求与),max(ηξ=X 解 的取值为1，2，3{}{}{}{}111,1119P X P P P ξηξη========； {}{}{}{}321,11,22,29P X P P P ξηξηξη====+==+===； {}{}{}531129P X P X P X ==−=−==， ),max(ηξ=X 分布律为： 故X31 2P 1/93/95/9),min(ηξ=Y 分布律为：类似可求出 3Y 1 25/93/91/9P2.设和独立，1X 2X )2,1(1}2{,}1{=−====i p X P p X P i i ，令1,0,X ⎧=⎨⎩为偶数若为奇数若2121X X X X ++2X 的概率分布为 则. 02X1P2122p p −+222p p −}10,20),{(≤≤≤≤=y x y x D 3.设二维随机变量在矩形),(Y X 上服从均匀分布，试求边长为X 和Y 的矩形面积的概率密度.(99-1)S )(s f S 1,(,)(,)20,(,)x y Df x y x y D⎧∈⎪=⎨⎪∉⎩解 的概率密度),(Y X S XY =X 的取值范围为[0，Y 的取值范围为[0，,2],1]的取值范围为[0.,2]{}()S F s P S s =≤S XY =，的分布函数{}()0S F s P S s =≤={}()1S F s P S s =≤=当时，0s ≤，当时，2s ≥， 当02时，s <<{}{}{}()11S F s P S s P S s P XY s =≤=−>=−>211(,)1(1ln 2ln )22s s xxy ssf x y dxdy dx dy s >==−=+∫∫∫∫−， 1(ln 2ln ),02,()20,.S s s f s else ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩故的概率密度S 2~(,)X N μσX 和Y 相互独立， Y X Z +=~(,)Y U ππ−， .试求4.设随机变量的密度函数（用表示）.(92-1))(x Φ2~(,)X N μσX 和Y 相互独立，~(,)Y U ππ−解 ，，1(),()()20,.X X Y f x y f x f y else πππ⎧−<<⎪=⎨⎪⎩，则的密度函数),(Y X =),(y x fY X Z +=的分布函数{}{}()(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxd +≤=≤=+≤=∫∫y11()(22z y X z y dy f x dx dy ππππμΦππσ−−−∞−−−==∫∫∫z y t μσ−−=（令）1()()()22z z z z t dt t πμπμσσπμπμσσσΦσΦππ−−+−+−−−=−=∫∫dt ，Y X Z +=的密度函数1()()[]2Z Z z z f z F z πμππσσ+−−−⎛⎞⎛′==Φ−Φ⎜⎟⎜⎝⎠⎝μ⎞⎟⎠.第四讲 随机变量的数字特征考纲要求1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数），会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2.会求随机变量函数的数学期望.一、随机变量的数字特征问题1 叙述随机变量的数学期望的定义、性质及随机变量函数的数学期望公式. 答 随机变量的数学期望是随机变量的平均值，它反映随机变量取值的中心位置. 1.定义与公式{}(1,2,)i i P X x p i === i iiEX x p =∑X ,；⑴离散型随机变量的概率分布为{}(1,2,i i P X x p i === )X ，的概率分布为⑵离散型随机变量()()i i iEg X g x p =∑；{},(,1,i j ij P X x Y y p i j ==== ⑶二维离散型随机变量(,)X Y 2,)的概率分布为，(,)(,)i j ij ijEg X Y g x y p =∑∑；⑷连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,；()EX xf x dx +∞−∞=∫⑸连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,；()()()Eg X g x f x dx +∞−∞=∫(,)X Y (,)f x y ,⑹二维连续型随机变量的概率密度(,)(,)(,)Eg X Y g x y f x y dxdy +∞+∞−∞−∞=∫∫.2性质⑴；Ec c =⑵； EkX kEX =()E X c EX c +=+； ⑶()E X Y EX EY +=+⑷；()E XY EX EY =⋅X 与Y 相互独立，则⑸若； 问题2 叙述随机变量的方差的定义与性质.答 随机变量的方差反映随机变量取值的离散程度.1.定义 随机变量X 的方差2(DX E X EX =−). 2.性质 ⑴； ()0D c =⑵； 2()D kX k DX =⑶；()D X c DX +=()D X Y DX DY ±=+X 与Y 相互独立，则⑷若； ⑸.22()DX EX EX =−问题3 叙述随机变量的矩的定义.答 随机变量X 的阶原点矩，阶中心矩.k k k k a EX =()k k b E X EX =−显然，随机变量的数学期望是一阶原点矩，随机变量的方差是二阶中心矩. 问题4 如何求随机变量的数字特征？答 随机变量的数字特征是重点，也是常考点，读者务必在理解概念的基础上，熟练掌握计算数字特征的方法：⑴利用定义（6个公式）⑵用性质，计算时，要充分利用独立性条件.1,0,1,Y ⎧⎪=⎨⎪−⎩0,0,0,X X X >=<[]2,1−X 例 1.设随机变量则方差在上服从均匀分布，令随机变量98=DY ，提示：先求Y 的分布，再利用公式】22()DY EY EY =− .【2.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：X 的数学期望；⑴乙箱中次品数23=EX 14⑵从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【⑴p ⑵】 ,()0,ax b f x +⎧=⎨⎩]1,0[]1,0[∉∈x x 127=EX 3.设随机变量X ，则 =a 的概率密度为且已知，=b .1()()1f x dx ax b dx +∞−∞=+=∫∫17()()12xf x dx x ax b dx +∞−∞=+=∫∫】 ，【提示：X 4.设某种商品每周的需求量是服从区间上均匀分布的随机变量，而经销商店进货量为区间中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元；若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每 ]30,10[]30,10[一单位商品仅获利300元,为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最少进货量.1,1030,()200,.x f x else ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩X 解 服从区间上均匀分布，概率密度]30,10[ 设进货量为a ，则当10时，利润X a ≤≤500100()600100Y X a X X a =−−=− a 当时，利润30a X <≤500300()300200Y a X a X =+−=+ 600100,10,()300200,30,X a X Y g X X a a X a −≤≤⎧==⎨+<≤⎩故利润期望值301011()()(600100)(300200)2020aa EY g x f x dx x a dx x a +∞−∞==−++∫∫∫dx令，解得9280EY ≥21a =221()xx f x −+−=5.已知随机变量X 的概率密度函数，则EX = ，DX =.【1；12】 问题5 叙述协方差、相关系数的定义与性质 答1.协方差(,)()()Cov X Y E X EX Y EY =−−X 与Y 的协方差定义 随机变量. 协方差具有如下性质： ⑴； (,)(,)Cov X Y Cov Y X =(,)(,Cov aX bY abCov X Y )=⑵； ⑶；(,)(,Cov X k Y h Cov X Y ++=))⑷； (,)(,)(,)Cov X Y Z Cov X Y Cov X Z +=+⑸；(,)Cov X X DX =⑹； (,)Cov X Y EXY EX EY =−⋅⑺.()2(,D X Y DX DY Cov X Y ±=+±2.相关系数X 与Y 的线性相关程度.相关系数刻画两个随机变量XY ρ=0XY ρ=X 与Y 的相关系数. 若，则称随机变量定义 随机变量X 与Y 不相关.相关系数具有如下性质： 1XY ρ≤⑴；{}11XY P Y aX b ρ=⇔=+=，特别：若Y aX b =+⑵，则当时，0a >0a <1XY ρ=，当时，1XY ρ=−.问题6 设，证明下列命题等价： 0,0DX DY ≠≠X 与Y 不相关； ⑴⑵； (,)0Cov X Y =EXY EX EY =⋅⑶； ⑷. ()D X Y DX DY +=+XY ρ=证 由由知，命题⑵和⑶等价； (,)Cov X Y EXY EX EY =−⋅由知，命题⑵和⑷等价； ()2(,D X Y DX DY Cov X Y +=++)由等价关系的传递性知，这四个命题等价.问题7 随机变量的独立性与相关性有何关系？ X 与Y 独立，则X 与Y 一定不相关.答 若0XY ρ=⇒证明如下：X 与Y 独立EXY EX EY =⋅⇒(,)0Cov X Y =⇒X ，即与Y 一定不相关.若X 与不相关，则Y X 与不一定独立. 例如二维随机变量服从单位圆),(Y X Y }1),{(22≤+=y x y x G X 和Y 不相关，且X 与Y 不独立.上的均匀分布，则X 与Y 的联合分布为二维正态分布，则X 注意 若与独立的充要条件是Y X 与Y 不相关. 例{}213P X =={}123P X ==X 1.设随机变量与独立同分布，且Y X 的概率分布为，，，V 481max(,)U X Y =min(,)X Y ，求U 与V 的协方差.【(,)Cov U V =】 2π−)21(,0(2N Y X −2.设独立且都服从Y X ,的期望与方差.】，求3.对40个人的血液进行化验时，将每4个人并为一组化验一次，如果合格，则4个人只化验一次，若不合格，再对这组4个人逐个进行化验，共化验5次。